11.E: Aplicaciones de Funciones Vectoriales Valoradas (Ejercicios)

11.1: Funciones con valores vectoriales

Términos y Conceptos

1. Las funciones con valores vectoriales están estrechamente relacionadas con _______ ________ de gráficas.

2. Al bosquejar funciones con valores vectoriales, técnicamente no se trata de graficar puntos, sino _______.

3. Puede ser útil pensar en _______ como un vector que apunta desde una posición inicial a una posición final.

Problemas

En los Ejercicios 4-11, bosquejar la función vectorizada en el intervalo dado.

4. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^2-1 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

5. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^3 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

6. \(\vec{r}(t) = \langle 1/t,t/t^2 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

7. \(\vec{r}(t) = \langle \frac{1}{10}t^2,\sin t \rangle, \text{ for }-2\pi \le t \le 2\pi\).

8. \(\vec{r}(t) = \langle \frac{1}{10}t^2,\sin t \rangle, \text{ for }-2\pi \le t \le 2\pi\).

9. \(\vec{r}(t) = \langle 3\sin (\pi t),2\cos (\pi t) \rangle, \text{ on }[0,2]\).

10. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,2\sin (2t) \rangle, \text{ on }[0,2\pi]\).

11. \(\vec{r}(t) = \langle 2\sec t,\tan t \rangle, \text{ on }[-\pi,\pi]\).

En los Ejercicios 12-15, bosquejar la función vectorizada en el intervalo dado en\(\mathbb{R}^3\). La tecnología puede ser útil para crear el boceto.

12. \(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t, t,2\sin t \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

13. \(\vec{r}(t) =\langle 3\cos t, \sin t,t/\pi \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

14. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,\sin t,\sin t \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

15. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,\sin t,\sin (2t) \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

En Ejercicios 16-19, encuentra\(\lVert \vec{r}(t) \rVert \).

16. \(\vec{r}(t) =\langle t,t^2 \rangle\).

17. \(\vec{r}(t) =\langle 5\cos t, 3\sin t \rangle\).

18. \(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t, 2\sin t, t \rangle\).

19. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t, t, t^2 \rangle\).

En los Ejercicios 20-27, cree una función de valor vectorial cuya gráfica coincida con la descripción dada.

20. Un círculo de radio 2, centrado\((1,2)\), trazado en sentido antihorario una vez encendido\([0,2\pi ] \).

21. Un círculo de radio 3, centrado\((5,5)\), trazado en sentido horario una vez encendido\([0,2\pi ] \).

22. Una elipse, centrada\((0,0)\) con la longitud del eje mayor vertical 10 y el eje menor de longitud 3, trazada una vez en sentido antihorario\([0,2\pi]\).

23. Una elipse, centrada\((3,-2)\) con la longitud del eje mayor horizontal 6 y el eje menor de longitud 4, trazada una vez en el sentido de las agujas del reloj\([0,2\pi]\).

24. Una línea pasante\((2,3)\) con una pendiente de 5.

25. Una línea pasante\((1,5)\) con una pendiente de -1/2.

26. Una hélice orientada verticalmente con radio de 2 que comienza\((2,0,0)\) y termina\((2,0,4\pi)\) después de 1 revolución en\([0,2\pi]\).

27. Una hélice orientada verticalmente con radio de 3 que comienza en\((3,0,0)\) y termina\((3,0,3)\) después de 2 revoluciones encendidas\([0,1]\).

En Ejercicios 28-31, encuentra la tasa promedio de cambio de\(\vec{r}(t)\) en el intervalo dado.

28. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \text{ on }[-2,2].\)

29. \(\vec{r}(t) = \langle t,t+\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi].\)

30. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,2\sin t, t \rangle \text{ on }[0,2\pi].\)

31. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2,t^3 \rangle \text{ on }[-1,3].\)

11.2: Cálculo y Funciones Vectoriales

Términos y Conceptos

1. Los límites, las derivadas y las integrales de las funciones vectoriales se evalúan _______ -wise.

2. La integral definitiva de una función de tasa de cambio da ________.

3. ¿Por qué generalmente no es útil graficar ambos\(\vec{r}(t)\text{ and }\vec{r}'(t)\) en los mismos ejes?

Problemas

En los Ejercicios 4-7, evaluar el límite dado.

4. \(\lim\limits_{t\to 5}\langle 2t+1, 3t^2-1,\sin t \rangle\)

5. \(\lim\limits_{t\to 3}\langle e^t, \frac{t^2-9}{t+3} \rangle\)

6. \(\lim\limits_{t\to 0}\langle \frac{t}{\sin t},(1+t)^{\frac{1}{t}} \rangle\)

7. \(\lim\limits_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h},\text{ where }\vec{r}(t) = \langle t^2,t,1 \rangle\)

En los Ejercicios 8-9, identifique el (los) intervalo (s) en el que\(\vec{r}(t)\) es continuo.

8. \(\vec{r}(t) =\langle t^2, 1/t \rangle\)

9. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t, e^t, \ln t \rangle\)

En Ejercicios 10-14, encuentra la derivada de la función dada.

10. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,e^t,\ln t \rangle\)

11. \(\vec{r}(t) =\left \langle \frac{1}{t},\frac{2t-1}{3t+1},\tan t \right \rangle\)

12. \(\vec{r}(t) =(t^2) \langle \sin t, 2t+5\rangle\)

13. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t-1 \rangle \cdot \langle \sin t,2t+5 \rangle\)

14. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t-1,1 \rangle \times \langle \sin t, 2t+5,1\rangle\)

En Ejercicios 15-18, encuentra\(\vec{r}'(t)\). Croquis\(\vec{r}(t)\text{ and }\vec{r}'(1)\), con el punto inicial de\(\vec{r}'(1)\text{ at }\vec{r}(1)\).

15. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+t,t^2-t\rangle \)

16. \(\vec{r}(t) =\langle t^2-2t+2,t^3-3t^2+2t\rangle \)

17. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t^3-t\rangle \)

18. \(\vec{r}(t) =\langle t^2-4t+5, t^3-6t^2+11t-6\rangle \)

En los Ejercicios 19-22, dé la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(\vec{r}(t)\) al valor t dado.

19. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+t,t^2-t\rangle\text{ at }t=1.\)

20. \(\vec{r}(t) =\langle3\cos t, \sin t\rangle\text{ at }t=\pi/4.\)

21. \(\vec{r}(t) =\langle 3\cos t, 3\sin t, t\rangle\text{ at }t=\pi.\)

22. \(\vec{r}(t) =\langle e^t,\tan t, t\rangle\text{ at }t=0.\)

En los Ejercicios 23-26, encuentra el (los) valor (s) de t para el cual no\(\vec{r}(t)\) es suave.

23. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin t -t\rangle\)

24. \(\vec{r}(t)=\langle t^2-2t+1,t^3+t^2-5t+3\rangle\)

25. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t-\sin t -\cos t, \cos (4t)\rangle\)

26. \(\vec{r}(t)=\langle t^3-3t+2, -\cos (\pi t),\sin^2 (\pi t)\rangle\)

Ejercicios 27-29 te piden verificar partes del Teorema 92. En cada let\(f(t)=t^3,\vec{r}(t) = \langle t^2, t-1, 1 \rangle \) y\(\vec{s}(t)=\langle \sin t, e^t, t \rangle \). Calcular las diversas derivadas como se indica.

27. Simplifica\(f(t)\vec{r}(t)\), luego encuentra su derivada; mostrar esto es lo mismo que\(f'(t)\vec{r}'(t) +f(t)\vec{r}'(t)\).

28. Simplifica\(\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t)\), luego encuentra su derivada; mostrar esto es lo mismo que\(\vec{r}'(t)\cdot \vec{s}'(t) +\vec{r}(t)\cdot \vec{s}'(t)\).

29. Simplifica\(\vec{r}(t)\times \vec{s}(t)\), luego encuentra su derivada; mostrar esto es lo mismo que\(\vec{r}'(t)\times \vec{s}'(t) +\vec{r}(t)\times \vec{s}'(t)\).

En los Ejercicios 30-33, evaluar la integral definida o indefinida dada.

30. \(\int \langle t^3,\cos t, te^t \rangle \,dt\)

31. \(\int \left \langle \frac{1}{1+t^2},\sec^2 t \right \rangle \,dt\)

32. \(\int_0^{\pi} \langle -\sin t, \cos t \rangle \,dt\)

33. \(\int_{-2}^{2} \langle 2t+1,2t-1 \rangle \,dt\)

En los Ejercicios 34-37, resolver los problemas de valor inicial dados.

34. Encontrar\(\vec{r}(t)\), dado que\(\vec{r}'(t)=\langle t,\sin t \rangle\) y\(\vec{r}(0) =\langle 2,2 \rangle\).

35. Encontrar\(\vec{r}(t)\), dado que\(\vec{r}'(t)=\langle 1,(t+1),\tan t \rangle\) y\(\vec{r}(0) =\langle 1,2 \rangle\).

36. Encontrar\(\vec{r}(t)\), dado que\(\vec{r}''(t)=\langle t^2,t,1 \rangle\),\(\vec{r}'(0) =\langle 1,2,3 \rangle \text{ and }\vec{r}(0)=\langle 4,5,6 \rangle\).

37. Encontrar\(\vec{r}(t)\), dado que\(\vec{r}''(t)=\langle \cos t, \sin t, e^t \rangle\),\(\vec{r}'(0) =\langle 0,0,0 \rangle \text{ and }\vec{r}(0)=\langle 0,0,0 \rangle\).

En Ejercicios 38-41, encuentra la longitud del arco de\(\vec{r}(t)\) en el intervalo indicado.

38. \(\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,2\sin t,3t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

39. \(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t, 3\sin t, 4\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\).

40. \(\vec{r}(t)=\langle t^3,t^2, t^3\rangle \text{ on }[0,1]\).

41. \(\vec{r}(t)=\langle e^{-t}\cos t, e^{-t}\sin t\rangle \text{ on }[0,1]\).

42. Demostrar Teorema 93; es decir, mostrar si\(\vec{r}(t)\) tiene longitud constante y es diferenciable, entonces\(\vec{r}(t)\cdot \vec{r}'(t)=0\). (Pista: usa la regla del producto para calcular\(\frac{d}{dt} (\vec{r}(t)\cdot \vec{r}(t))\).)

11.3: El cálculo del movimiento

Términos y Conceptos

1. ¿En qué se diferencia la velocidad de la velocidad?

2. ¿Cuál es la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida?

3. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad promedio y velocidad promedio?

4. La distancia recorrida es la misma que ______ _______, solo vista en un contexto diferente.

5. Describir un escenario donde la velocidad promedio de un objeto es un número grande, pero la magnitud de la velocidad promedio no es un número grande.

6. Explique por qué no es posible tener una velocidad promedio con una gran magnitud pero una velocidad media pequeña.

Problemas

En los Ejercicios 7-10,\(\vec{r}(t)\) se da una función de posición. Encontrar\(\vec{v}(t)\) y\(\vec{a}(t)\).

7. \(\vec{r}(t)=\langle 2t+1,5t-2, 7 \rangle\)

8. \(\vec{r}(t)=\langle 3t^2-2t+1, -t^2+t+14 \rangle\)

9. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin t \rangle\)

10. \(\vec{r}(t)=\langle t/10, -\cos t, \sin t \rangle\)

En los Ejercicios 11-14,\(\vec{r}(t)\) se da una función de posición. Sketch\(\vec{r}(t)\) y\(\vec{a}(t)\), luego agrega\(\vec{r}(t_0)\) y\(\vec{a}(t_0)\) a tu boceto, con sus puntos iniciales en\(\vec{r}(t_0)\), para el valor dado de\(t_0\).

11. \(\vec{r}(t)=\langle t,\sin t \rangle \text{ on }[0,\pi /2 ];\, t_0=\pi/4 \)

12. \(\vec{r}(t)=\langle t^2,\sin t^2 \rangle \text{ on }[0,\pi /2 ];\, t_0=\sqrt{\pi/4} \)

13. \(\vec{r}(t)=\langle t^2+t,-t^2+2t \rangle \text{ on }[-2,2 ];\, t_0=1 \)

14. \(\vec{r}(t)=\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2 \rangle \text{ on }[-1,1 ];\, t_0=0 \)

En los Ejercicios 15-24, se da una función\(\vec{r}(t)\) de posición de un objeto. Encuentra la velocidad del objeto en términos de\(t\), y encuentra dónde se minimiza/maximiza la velocidad en el intervalo indicado.

15. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t \rangle \text{ on }[-1,1]\)

16. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^2-t^3 \rangle \text{ on }[-1,1]\)

17. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

18. \(\vec{r}(t) = \langle 2\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

19. \(\vec{r}(t) = \langle \sec t, \tan t \rangle \text{ on }[0,\pi/4]\)

20. \(\vec{r}(t) = \langle t+\cos t, 1-\sin t\rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

21. \(\vec{r}(t) = \langle 12t, 5\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,4\pi]\)

22. \(\vec{r}(t) = \langle t^2-t,t^2+t,t \rangle \text{ on }[0,1]\)

23. \(\vec{r}(t) = \left \langle t,t^2,\sqrt{1-t^2} \right \rangle \text{ on }[-1,1]\)

24. Movimiento del Proyectil:\(\vec{r}(t) = \left \langle (v_0 \cos \theta )t, -\frac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta )t\right \rangle \text{ on } \left [ 0,\frac{2v_0 \sin \theta}{g}\right ]\).

En los Ejercicios 25-28, se dan funciones de posición\(\vec{r}_1 (t)\) y\(\vec{r}_2 (s)\) para dos objetos que siguen el mismo camino en los intervalos respectivos.
(a) Demostrar que las posiciones son las mismas en los\(s_0\) valores indicados\(t_0\) y; es decir, mostrar\(\vec{r}_1 (t_0)=\vec{r}_2 (s_0)\).
(b) Encontrar la velocidad, velocidad y aceleración de los dos objetos a\(t_0\) y\(s_0\), respectivamente.

25.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle t, t^2 \rangle \text{ on }[0,1]; t_0 =1\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle s^2, s^4 \rangle \text{ on }[0,1]; s_0 =1\)

26.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle 3\cos t,3\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]; t_0 =\pi/2\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle 3\cos (4s),3\sin (4s) \rangle \text{ on }[0,\pi/2]; s_0 =\pi/8\)

27.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle 3t,2t \rangle \text{ on }[0,2]; t_0 =2\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle 6t-6,4t-4 \rangle \text{ on }[1,2]; s_0 =2\)

28.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle t, \sqrt{t} \rangle \text{ on }[0,1]; t_0 =1\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle \sin t,\sqrt{\sin t} \rangle \text{ on }[0,\pi/2]; s_0 =\pi/2\)

En los Ejercicios 29-32, encuentra la función de posición de un objeto dada su aceleración y velocidad inicial y posición.

29. \(\vec{a}(t) =\langle 2,3\rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 1,2\rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 5,-2 \rangle \)

30. \(\vec{a}(t) =\langle 2,3\rangle; \quad \vec{v}(1)=\langle 1,2\rangle,\quad \vec{r}(1) = \langle 5,-2 \rangle \)

31. \(\vec{a}(t) =\langle \cos t,-\sin t \rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 0,1 \rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 0,0 \rangle \)

32. \(\vec{a}(t) =\langle 0,-32\rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 10,50 \rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 0,0 \rangle \)

En los Ejercicios 33-36, encuentra el desplazamiento, la distancia recorrida, la velocidad promedio y la velocidad promedio del objeto descrito en el intervalo dado.

33. Un objeto con función de posición\(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t,2\sin t,3t\rangle \), donde las distancias se miden en pies y el tiempo es en segundos, encendido\([0,2\pi ]\).

34. Un objeto con función de posición\(\vec{r}(t) =\langle 5\cos t, -5\sin t\rangle \), donde las distancias se miden en pies y el tiempo es en segundos, encendido\([0,\pi ]\).

35. Un objeto con función de velocidad\(\vec{v}(t) =\langle \cos t, \sin t \rangle \), donde las distancias se miden en pies y el tiempo es en segundos, encendido\([0,2\pi ]\).

36. Un objeto con función de velocidad\(\vec{r}(t) =\langle 1,2,-1\rangle \), donde las distancias se miden en pies y el tiempo es en segundos, encendido\([0,10 ]\).

Los ejercicios 37-42 te piden resolver una variedad de problemas basados en los principios del movimiento de proyectiles.

37. Un niño hace girar una pelota, unida a una cuerda de 3 pies, sobre su cabeza en un círculo en sentido antihorario. El balón hace 2 revoluciones por segundo.
¿A qué valores t debería el niño soltar la cuerda para que la bola se dirija directamente a un árbol parado a 10 pies frente a él?

38. David se enfrenta a Goliat con sólo una piedra en un cabestrillo de 3 pies, que gira sobre su cabeza a 4 revoluciones por segundo. Se destacan a 20 pies de distancia.
(a) ¿A qué t -valores debe David soltar la piedra en su cabestrillo para golpear a Goliat?
b) ¿Cuál es la velocidad a la que se desplaza la piedra cuando se libera?
(c) Supongamos que David libera la piedra desde una altura de 6 pies y la frente de Goliat está a 9 pies sobre el suelo. ¿Qué ángulo de elevación debe aplicar David a la piedra para golpear la cabeza de Goliat?

39. Un cazador apunta a un ciervo que se encuentra a 40 metros de distancia. Su arco en cruz está a una altura de 5 pies, y apunta a un lugar en el ciervo a 4 pies sobre el suelo. La ballesta dispara sus flechas a 300 pies/s.
(a) ¿En qué ángulo de elevación debe sostener la ballesta para golpear su objetivo?
b) Si el venado se mueve perpendicularmente a su línea de visión a una velocidad de 20mph, aproximadamente ¿cuánto debe conducir al venado para golpear en el lugar deseado?

40. Un jugador de béisbol golpea una pelota a 100 mph, con una altura inicial de 3 pies y un ángulo de elevación de 20\(^\circ\), en el Fenway Park de Boston. La pelota vuela hacia el famoso “Monstruo Verde”, una pared de 37 pies de altura ubicada a 310 pies del plato principal.
(a) Demostrar que al golpearse, la pelota choca contra la pared.
(b) Demostrar que si el ángulo de elevación es 21\(^\circ\), la pelota despeja al Monstruo Verde.

41. Un Cessna vuela a 1000 pies a 150 mph y deja caer una caja de suministros al profesor (y a su esposa) en una isla. Ignorando la resistencia al viento, ¿hasta dónde viajarán horizontalmente los suministros antes de que aterricen?

42. Un mariscal de campo de fútbol lanza un pase desde una altura de 6 pies, con la intención de golpear a su receptor a 20 yardas de distancia a una altura de 5 pies.
(a) Si la pelota se lanza a una velocidad de 50 mph, ¿qué ángulo de elevación se necesita para golpear su objetivo previsto?
(b) Si la pelota se lanza con un ángulo de elevación de 8\(^\circ\), ¿qué velocidad inicial del balón se necesita para golpear su objetivo?

11.4: Unidad Tangente y Vectores Normales

Términos y Conceptos

1. Si\(\vec{T}(t)\) es un vector tangente unitario, ¿qué es\(\lVert \vec{T}(t)\rVert \)?

2. Si\(\vec{N}(t)\) es un vector normal de unidad, ¿qué es\(\vec{N}(t)\cdot \vec{r}'(t) \)?

3. El vector de aceleración\(\vec{a}(t)\) se encuentra en el plano definido por qué dos vectores?

4. \(a_T\)mide cuánto afecta la aceleración al _______ de un objeto.

Problemas

En Ejercicios 5-8, dado\(\vec{r}(t)\), encontrarlo\(\vec{T}(t)\) y evaluarlo al valor indicado de t.

5. \(\vec{r}(t) = \langle 2t^2,t^2-1 \rangle ,\quad t=1\)

6. \(\vec{r}(t) = \langle t,\cos t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

7. \(\vec{r}(t) = \langle \cos^3 t,\sin^3 t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

8. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle ,\quad t=\pi\)

En los Ejercicios 9-12, encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva en el valor t indicado usando el vector tangente unitario. Nota: estos son los mismos problemas que en los Ejercicios 5-8.

9. \(\vec{r}(t) = \langle 2t^2,t^2-1 \rangle ,\quad t=1\)

10. \(\vec{r}(t) = \langle t,\cos t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

11. \(\vec{r}(t) = \langle \cos^3 t,\sin^3 t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

12. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle ,\quad t=\pi\)

En Ejercicios 13-16, encuentra\(\vec{N}(t)\) usando la Definición 75. Confirma el resultado utilizando el Teorema 97.

13. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,3\sin t \rangle \)

14. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \)

15. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t,2\sin t \rangle \)

16. \(\vec{r}(t) = \langle e^t, e^{-t} \rangle \)

En los Ejercicios 17-20,\(\vec{r}(t)\) se da una función de posición junto con su vector tangente unitario\(\vec{T}(t)\) evaluado en\(t=a\), para algún valor de\(a\).
a) Confirmar que\(\vec{T}(a)\) es como se indica.
(b) Utilizando una gráfica de\(\vec{r}(t)\) y Teorema 97, encontrar\(\vec{N}(a)\).

17. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, 5\sin t \rangle;\quad \vec{T}(\pi/4)=\left \langle -\frac{3}{\sqrt{34}},\frac{5}{\sqrt{34}}\right \rangle\)

18. \(\vec{r}(t) = \left \langle t,\frac{1}{t^2+1} \right \rangle;\quad \vec{T}(1)=\left \langle \frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right \rangle\)

19. \(\vec{r}(t) = (1+2\sin t)(\cos t, \sin t);\quad \vec{T}(0)=\left \langle \frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right \rangle\)

20. \(\vec{r}(t) = \left \langle \cos^3 t,\sin^3 t \right \rangle;\quad \vec{T}(\pi/4)=\left \langle -\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right \rangle\)

En Ejercicios 21-24, encuentra\(\vec{N}(t)\).

21. \(\vec{r}(t)=\langle 4t, 2\sin t, 2\cos t \rangle\)

22. \(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t ,3\sin t,4\sin t \rangle\)

23. \(\vec{r}(t)=\langle a\cos t, a\sin t,bt \rangle\)

24. \(\vec{r}(t)=\langle \cos (at),\sin (at),t \rangle\)

En Ejercicios 25-30, encuentra\(a_T\) y\(a_N\) da\(\vec{r}(t)\). Haga un boceto\(\vec{r}(t)\) en el intervalo indicado y comente los tamaños relativos de\(a_T\) y\(a_N\) en los valores t indicados.

25. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \text{ on }[-1,1];\text{ consider }t=0\text{ and }t=1\).

26. \(\vec{r}(t) = \langle t,1/t \rangle \text{ on }(0,4;\text{ consider }t=1\text{ and }t=2\).

27. \(\vec{r}(t) = \langle 2\cos t, 2\sin t\rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ consider }t=1\text{ and }t=\pi/2\).

28. \(\vec{r}(t) = \langle \cos (t^2),\sin (t^2)\rangle \text{ on }(0,2\pi];\text{ consider }t=\sqrt{\pi/2}\text{ and }t=\sqrt{\pi}\).

29. \(\vec{r}(t) = \langle a\cos t, a\sin t ,bt\rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ where }a,b>0;\text{ consider }t=0 \text{ and }t=\pi/2\).

30. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 4\sin t, 3\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ consider }t=0\text{ and }t=\pi/2\).

11.5: El parámetro de longitud de arco y curvatura

Términos y Conceptos

1. Es común describir la posición en términos tanto de ______ y/o _______.

2. Una medida de la “curva” de una curva es ________.

3. Dar dos formas con curvatura constante.

4. Describa con sus propias palabras lo que es un “círculo osculante”.

5. Completar la identidad:\(\vec{T}'(s)=\) _________\(\vec{N}(s)\).

6. Dada una función de posición\(\vec{r}(t)\), ¿cómo son\(a_T\) y\(a_N\) afectados por la curvatura?

Problemas

En los Ejercicios 7-10,\(\vec{r}(t)\) se da una función de posición\(t=0\) corresponds to the initial position. Find the arc length parameter \(s\), donde, y reescribir\(\vec{r}(t)\) en términos de\(s\); es decir, encontrar\(\vec{r}(s)\).

7. \(\vec{r}(t) = \langle 2t, t, -2t \rangle\)

8. \(\vec{r}(t) = \langle 7\cos t, 7\sin t \rangle\)

9. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, 3\sin t, 2t \rangle\)

10. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 13\sin t,12\cos t \rangle\)

En los Ejercicios 11-22 se describe una curva C junto con 2 puntos sobre C.
(a) Mediante un boceto, determinar en cuál de estos puntos es mayor la curvatura.
(b) Encontrar la curvatura\(\kappa\) de C, y evaluar\(\kappa\) en cada uno de los 2 puntos dados.

11. \(C\)se define por\(y=x^3-x\); puntos dados en\(x=0\) y\(x=1/2\).

12. \(C\)se define por\(y=\frac{1}{x^2+1}\); puntos dados en\(x=0\) y\(x=2\).

13. \(C\)se define por\(y=\cos x\); puntos dados en\(x=0\) y\(x=\pi /2\).

14. \(C\)se define por\(y=\sqrt{1-x^2}\) on\((-1,1)\); puntos dados en\(x=0\) y\(x=1/2\).

15. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin (2t) \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/4\).

16. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle \cos^2 (t),\sin t\cos t \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/3\).

17. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle t^2-1,t^3-t \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/6\).

18. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle \tan t,\sec t \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/6\).

19. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle 4t+2,3t-1,2t+5\rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=1\).

20. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle t^3-t,t^3-4,t^2-1 \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=1\).

21. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle 3\cos t, 3\sin t, 2t \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/2\).

22. \(C\)se define por\(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t, 13\sin t, 12\cos t \rangle\); puntos dados en\(t=0\) y\(t=\pi/2\).

En Ejercicios 23-26, encuentra el valor de x o t donde se maximiza la curvatura.

23. \(y=\frac{1}{6}x^3\)

24. \(y=\sin x\)

25. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+2t, 3t-t^2 \rangle\)

26. \(\vec{r}(t) = \langle t, 4/t, 3/t \rangle \)

En Ejercicios 27-30, encuentra el radio de curvatura en el valor indicado.

27. \(y=\tan x , \text{ at }x=\pi/4 \)

28. \(y=x^2+x-3 , \text{ at }x=\pi/4 \)

29. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t ,\sin (3t) \rangle , \text{ at }t=0 \)

30. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos (3t),t \rangle , \text{ at }t=0 \)

En los Ejercicios 31-34, encuentra la ecuación del círculo osculante a la curva en el valor t indicado.

31. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle ,\text{ at }t=0.\)

32. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, \sin t \rangle ,\text{ at }t=0.\)

33. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,\sin t \rangle ,\text{ at }t=\pi/2.\)

34. \(\vec{r}(t) = \langle t^2-t,t^2+t \rangle ,\text{ at }t=0.\)