12.2: Límites y continuidad de las funciones multivariables

Seguimos con el patrón que hemos establecido en este texto: después de definir un nuevo tipo de función, le aplicamos ideas de cálculo. En la sección anterior se definieron funciones de dos y tres variables; esta sección investiga lo que significa que estas funciones sean “continuas”.

Comenzamos con una serie de definiciones. Estamos acostumbrados a “abrir intervalos” como\((1,3)\), que representa el conjunto de todos\(x\) tales que\(1<x<3\), y “intervalos cerrados” como\([1,3]\), que representa el conjunto de todos\(x\) tales que\(1\leq x\leq 3\). Necesitamos definiciones análogas para conjuntos abiertos y cerrados en el\(y\) plano\(x\) -.

Definición 79 Disco abierto, puntos de contorno e interiores, conjuntos abiertos y cerrados, conjuntos delimitados

Un disco abierto\(B\) en\(\mathbb{R}^2\) centrado en\((x_0,y_0)\) con radio\(r\) es el conjunto de todos los puntos\((x,y)\) tales que\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} < r\).

Dejar\(S\) ser un conjunto de puntos en\(\mathbb{R}^2\). Un punto\(P\) adentro\(\mathbb{R}^2\) es un punto límite de\(S\) si todos los discos abiertos centrados en\(P\) contienen tanto los puntos adentro como\(S\) los puntos no adentro\(S\).

• Un punto\(P\) en\(S\) es un punto interior de\(S\) si hay un disco abierto centrado en\(P\) que contiene solo puntos en\(S\).
• Un conjunto\(S\) está abierto si cada punto en\(S\) es un punto interior.
• Un conjunto\(S\) se cierra si contiene todos sus puntos de contorno.
• Un conjunto\(S\) es acotado si existe\(M>0\) tal que el disco abierto, centrado en el origen con radio\(M\), contiene\(S\). Un conjunto que no está acotado no tiene límites.

La Figura 12.7 muestra varios conjuntos en el\(y\) plano\(x\) -. En cada conjunto, el punto\(P_1\) se encuentra en el límite del conjunto ya que todos los discos abiertos centrados allí contienen ambos puntos en, y no en, el conjunto. En contraste, el punto\(P_2\) es un punto interior porque hay un disco abierto centrado ahí que se encuentra enteramente dentro del conjunto.

Figura 12.7: Ilustrando conjuntos abiertos y cerrados en el plano x-y.

El conjunto representado en la Figura 12.7 (a) es un conjunto cerrado ya que contiene todos sus puntos límite. El conjunto en (b) es abierto, ya que todos sus puntos son puntos interiores (o, de manera equivalente, no contiene ninguno de sus puntos límite). El conjunto en (c) no es ni abierto ni cerrado ya que contiene algunos de sus puntos límite.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Determining open/closed, bounded/unbounded

Determinar si el dominio de la función\(f(x,y)=\sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}\) es abierto, cerrado, o ninguno, y si está acotado.

Solución

Este dominio de esta función se encontró en el Ejemplo 12.1.1 ser\(D = \{(x,y)\ |\ \frac{x^2}9+\frac{y^2}4\leq 1\}\), la región delimitada por la elipse\(\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1\). Dado que la región incluye el límite (indicado por el uso de "\(\leq\)“), el conjunto contiene todos sus puntos límite y por lo tanto está cerrado. La región está delimitada como un disco de radio 4, centrado en el origen, contiene\(D\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Determining open/closed, bounded/unbounded

Determinar si el dominio de\(f(x,y) = \frac1{x-y}\) está abierto, cerrado o ninguno.

Solución
Como no podemos dividir por 0, encontramos que el dominio es\(D = \{(x,y)\ |\ x-y\neq 0\}\). En otras palabras, el dominio es el conjunto de todos los puntos\((x,y)\) no en la línea\(y=x\).

Figura 12.8: Esbozo del dominio de la función en el Ejemplo 12.2.2

El dominio se esboza en la Figura 12.8. Observe cómo podemos dibujar un disco abierto alrededor de cualquier punto del dominio que se encuentre completamente dentro del dominio, y también observar cómo los únicos puntos límite del dominio son los puntos en la línea\(y=x\). Concluimos que el dominio es un conjunto abierto. El conjunto no tiene límites.

Límites

Recordemos una pseudodefinición del límite de una función de una variable: "\( \lim\limits_{x\to c}f(x) = L\)" significa que si\(x\) está “muy cerca” a\(c\), entonces\(f(x)\) está “muy cerca” a\(L\). Se mantiene una pseudodefinición similar para funciones de dos variables. Diremos que eso
\[" \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = L"\]
significa “si el punto\((x,y)\) está realmente cerca del punto\((x_0,y_0)\), entonces\(f(x,y)\) está muy cerca de”\(L\). A continuación se da la definición formal.

Definición 80 Límite de una Función de Dos Variables

Dejar\(S\) ser un conjunto abierto que contiene\((x_0,y_0)\), y dejar\(f\) ser una función de dos variables definidas en\(S\), excepto posiblemente en\((x_0,y_0)\). El límite de\(f(x,y)\) como\((x,y)\) enfoques\((x_0,y_0)\) es\(L\), denotado\[ \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = L,\]
significa que dado cualquiera\(\epsilon>0\), existe\(\delta>0\) tal que para todos\((x,y)\neq (x_0,y_0)\), si\((x,y)\) está en el disco abierto centrado en\((x_0,y_0)\) con radio\(\delta\), entonces\(|f(x,y) - L|<\epsilon.\)

El concepto detrás de la Definición 80 se esboza en la Figura 12.9. Dado\(\epsilon>0\), encontrar\(\delta>0\) tal que si\((x,y)\) hay algún punto en el disco abierto centrado en\((x_0,y_0)\) en el\(x\) -\(y\) plano con radio\(\delta\), entonces\(f(x,y)\) debe estar dentro\(\epsilon\) de\(L\).

Figura 12.9: Ilustrando la definición de un límite. El disco abierto en el plano x-y tiene radio\(\delta\). Sea (x, y) cualquier punto en este disco;\(f(x,y)\) está dentro\(\epsilon\) de L.

El cálculo de los límites utilizando esta definición es bastante engorroso. El siguiente teorema nos permite evaluar límites mucho más fácilmente.

TEOREM 101 Propiedades Límite Básico de Funciones de Dos Variables

Dejar\(b\),\(x_0\),\(y_0\),\(L\) y\(K\) ser números reales, dejar\(n\) ser un entero positivo, y let\(f\) y\(g\) ser funciones con los siguientes límites: Se mantienen
\[\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = L \quad \text{\ and\ } \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(x,y) = K.\]
los siguientes límites.

1. Constantes:\( \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} b = b\)
2. Identidad:\( \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} x = x_0;\qquad \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} y = y_0\)
3. Sumas/Diferencias:\( \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\big(f(x,y)\pm g(x,y)\big) = L\pm K\)
4. Multiplos escalares:\(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} b\cdot f(x,y) = bL\)
5. Productos:\(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)\cdot g(x,y) = LK\)
6. Cocientes:\(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)/g(x,y) = L/K\), (\(K\neq 0)\)
7. Poderes:\(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)^n = L^n\)

Este teorema, combinado con los Teoremas 2 y 3 de la Sección 1.3, nos permite evaluar muchos límites.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Evaluating a limit

Evalúe los siguientes límites:
\[1. \lim\limits_{(x,y)\to (1,\pi)} \frac yx + \cos(xy) \qquad\qquad 2. \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{3xy}{x^2+y^2}\]

Solución

1. Los teoremas mencionados nos permiten simplemente evaluar\(y/x+\cos(xy)\) cuándo\(x=1\) y\(y=\pi\). Si se devuelve una forma indeterminada, debemos hacer más trabajo para evaluar el límite; de lo contrario, el resultado es el límite. Por lo tanto
   \[\begin{align*}\lim\limits_{(x,y)\to (1,\pi)} \frac yx + \cos(xy) &= \frac\pi{1}+\cos \pi \\&= \pi -1.\end{align*}\]
   
2. Intentamos evaluar el límite sustituyendo 0 por\(x\) y\(y\), pero el resultado es la forma indeterminada "”\(0/0\). Para evaluar este límite, debemos “hacer más trabajo”, pero aún no hemos aprendido qué “tipo” de trabajo hacer. Por lo tanto, todavía no podemos evaluar este límite.

Al tratar con funciones de una sola variable, también consideramos límites unilaterales y declaramos

\[\lim\limits_{x\to c}f(x) = L \quad\text{ if, and only if,}\quad \lim\limits_{x\to c^+}f(x) =L \quad\textbf{ and}\quad \lim\limits_{x\to c^-}f(x) =L.\]

Es decir, el límite es\(L\) si y sólo si\(L\) se\(f(x)\) acerca cuando se\(x\) acerca\(c\) desde cualquier dirección, la izquierda o la derecha.

En el plano, hay infinitas direcciones desde las que\((x,y)\) podrían acercarse\((x_0,y_0)\). De hecho, no tenemos que limitarnos a acercarnos\((x_0,y_0)\) desde una dirección particular, sino que podemos acercarnos a ese punto por un camino que no es una línea recta. Es posible llegar a diferentes valores limitantes al acercarse a\((x_0,y_0)\) lo largo de diferentes caminos. Si esto sucede, decimos que\( \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0) } f(x,y)\) no existe (esto es análogo a los límites de la mano izquierda y derecha de las funciones de una sola variable que no son iguales).

Nuestros teoremas nos dicen que podemos evaluar la mayoría de los límites de manera bastante simple, sin preocuparnos por los caminos. Cuando surgen formas indeterminadas, el límite puede o no existir. Si existe, puede ser difícil probarlo ya que necesitamos mostrar que se obtiene el mismo valor limitante independientemente del camino elegido. El caso en el que el límite no existe suele ser más fácil de tratar, ya que a menudo podemos elegir dos caminos por los que el límite es diferente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Showing limits do not exist

1. Show\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{3xy}{x^2+y^2}\) no existe encontrando los límites a lo largo de las líneas\(y=mx\).
   
2. Show\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{x+y}\) no existe encontrando el límite a lo largo del camino\(y=-\sin x\).

Solución

1. Evaluar\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{3xy}{x^2+y^2}\) a lo largo\(y\) de las líneas\(y=mx\) significa reemplazar todos con\(mx\) y evaluar el límite resultante:
   \[\begin{align*}\lim\limits_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{3x(mx)}{x^2+(mx)^2} &=\lim\limits_{x\to 0} \frac{3mx^2}{x^2(m^2+1)}\\&= \lim\limits_{x\to 0} \frac{3m}{m^2+1}\\&= \frac{3m}{m^2+1}.\end{align*}\]
   Si bien el límite existe para cada elección de\(m\), obtenemos un límite diferente para cada elección de\(m\). Es decir, a lo largo de diferentes líneas obtenemos valores limitantes diferentes, es decir, el límite no existe.
   
2. Vamos\(f(x,y) = \frac{\sin(xy)}{x+y}\). Estamos para demostrar que\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\) no existe encontrando el límite a lo largo del camino\(y=-\sin x\). Primero, sin embargo, considerar los límites encontrados en la línea\(y=mx\) como se hizo anteriormente.
   \[\begin{align*}\lim\limits_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{\sin\big(x(mx)\big)}{x+mx} &= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (mx^2)}{x(m+1)} \\&= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(mx^2)}{x}\cdot\frac1{m+1}.\end{align*}\]
   
   Al aplicar la Regla de L'H\ ^opital, podemos mostrar que este límite es 0 excepto cuando\(m=-1\), es decir, a lo largo de la línea\(y=-x\). Esta línea no está en el dominio de\(f\), por lo que hemos encontrado el siguiente hecho: a lo largo de cada línea\(y=mx\) en el dominio de\(f\),\( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0\).
   
   Ahora considera el límite a lo largo del camino\(y=-\sin x\):\[ \lim\limits_{(x,-\sin x)\to (0,0)} \frac{\sin\big(-x\sin x\big)}{x-\sin x} = \lim\limits_{x\to0} \frac{\sin\big(-x\sin x\big)}{x-\sin x}\] Ahora aplica la Regla de L'H\ ^opital dos veces: Da un\[\begin{align*}\quad &= \lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos\big(-x\sin x\big)(-\sin x-x\cos x)}{1-\cos x} \quad \left(\text{"}= 0/0\text{''}\right)\\&= \lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin\big(-x\sin x\big)(-\sin x-x\cos x)^2+\cos\big(-x\sin x\big)(-2\cos x+x\sin x)}{\sin x}\\&= \text{"2/0''} \Rightarrow \text{the limit does not exist.}\end{align*}\] paso atrás y considera lo que acabamos de descubrir. A lo largo de cualquier línea\(y=mx\) en el dominio de la\(f(x,y)\), el límite es 0. Sin embargo, a lo largo del camino\(y=-\sin x\), que yace en el dominio de\(f(x,y)\) para todos\(x\neq 0\), el límite no existe. Dado que el límite no es el mismo a lo largo de todos los caminos hacia\((0,0)\), decimos que\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(xy)}{x+y}\) no existe.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Finding a limit

Vamos\( f(x,y) = \frac{5x^2y^2}{x^2+y^2}\). Encontrar\(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) .\)

solución
Es relativamente fácil demostrar que a lo largo de cualquier línea\(y=mx\), el límite es 0. Esto no es suficiente para probar que el límite existe, como se demostró en el ejemplo anterior, pero nos dice que si el límite sí existe entonces debe ser 0.

Para probar que el límite es 0, aplicamos la Definición 80. \(\epsilon >0\)Déjese dar. Queremos encontrar\(\delta >0\) tal que si\(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} <\delta\), entonces\(|f(x,y)-0| <\epsilon\).

Set\(\delta < \sqrt{\epsilon/5}\). Tenga en cuenta que\( \left|\frac{5y^2}{x^2+y^2}\right| <5\) para todos\((x,y)\neq (0,0)\), y que si\(\sqrt{x^2+y^2} <\delta\), entonces\(x^2<\delta^2\).

Vamos\(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2}<\delta\). Considerar\(|f(x,y)-0|\):
\ [\ begin {align*}
|f (x, y) -0| &=\ izquierda|\ frac {5x^2y^2} {x^2+y^2} -0\ derecha|\\
&=\ izquierda|x^2\ cdot\ frac {5y^2} {x^2+y^2}\ derecha|\
c&<\ delta^2\ punto 5\\
&<\ frac {\ épsilon} {5}\ cdot 5\\
&= \ épsilon.
\ end {align*}\]
Así que si\(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}<\delta\) entonces\(|f(x,y)-0|<\epsilon\), que es lo que queríamos mostrar. Así\( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5x^2y^2}{x^2+y^2} = 0\).

Continuidad

La definición 3 define lo que significa que una función de una variable sea continua. En resumen, significó que la gráfica de la función no tenía roturas, agujeros, saltos, etc. Definimos continuidad para funciones de dos variables de manera similar a la que hicimos para funciones de una variable.

Definición 81 Continuo

Deje que\(f(x,y)\) se defina una función en un disco abierto\(B\) que contenga el punto\((x_0,y_0)\).

1. \(f\)es continuo en\((x_0,y_0)\) si\(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)\).
2. \(f\)es continuo encendido\(B\) si\(f\) es continuo en todos los puntos en\(B\). Si\(f\) es continuo en todos los puntos en\(\mathbb{R}^2\), decimos que\(f\) es continuo en todas partes.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Continuity of a function of two variables

Dejar\ (f (x, y) =\ left\ {\ begin {array} {rl}\ frac {\ cos y\ sin x} {x} & x\ neq 0\\
\ cos y & x=0
\ end {array}\ right.\). ¿Es\(f\) continuo en\((0,0)\)? ¿Es\(f\) continuo en todas partes?

Solución

Para determinar si\(f\) es continuo en\((0,0)\), necesitamos\(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\) compararlo con\(f(0,0)\).

Aplicando la definición de\(f\), vemos eso\(f(0,0) = \cos 0 = 1\).

Consideramos ahora el límite\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\). Sustituyendo\(0\)\(x\) y\(y\) en\((\cos y\sin x)/x\) devoluciones la forma indeterminada “0/0", por lo que necesitamos hacer más trabajo para evaluar este límite.

Considerar dos límites relacionados:\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \cos y\) y\( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin x}x\). El primer límite no contiene\(x\), y como\(\cos y\) es continuo,\[ \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \cos y =\lim\limits_{y\to 0} \cos y = \cos 0 = 1.\]

El segundo límite no contiene\(y\). Por Teorema 5 podemos decir
\[\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\]
Finalmente, el Teorema 101 de esta sección establece que podemos combinar estos dos límites de la siguiente manera:
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {(x, y)\ to (0,0)}\ frac {\ cos y\ sin x} {x} &=\ lim\ limits_ {(x, y)\ to (0,0)} (\ cos y)\ izquierda (\ frac { \ sin x} {x}\ derecha)\\
&=\ izquierda (\ lim\ limits_ {(x, y)\ a (0,0)}\ cos y\ derecha)\ izquierda (\ lim\ limits_ {(x, y)\ a (0,0)}\ frac {\ sin x} {x}\ derecha)\\
&= (1) (1)\\
&=1.
\ end {alinear*}\]

Hemos encontrado que\( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos y\sin x}{x} = f(0,0)\), así\(f\) es continuo en\((0,0)\).

Un análisis similar muestra que\(f\) es continuo en todos los puntos en\(\mathbb{R}^2\). Siempre y cuando\(x\neq0\), podamos evaluar el límite directamente; cuando\(x=0\), un análisis similar muestra que el límite es\(\cos y\). Así podemos decir que\(f\) es continuo en todas partes. En la Figura 12.10\(f\) se da una gráfica de. Observe como no tiene descansos, saltos, etc.

Figura 12.10: Una gráfica de\(f(x,y)\) en el Ejemplo 12.2.6.

El siguiente teorema es muy similar al Teorema 8, dándonos formas de combinar funciones continuas para crear otras funciones continuas.

TEOREM 102 Propiedades de las Funciones Continuas

Dejar\(f\) y\(g\) ser continuo en un disco abierto\(B\), dejar\(c\) ser un número real, y dejar\(n\) ser un entero positivo. Las siguientes funciones son continuas\(B\).

1. Sumas/Diferencias:\(f\pm g\)
2. Multiplos Constantes:\(c\cdot f\)
3. Productos:\(f\cdot g\)
4. Cocientes:\(f/g\) (tan largos como\(g\neq 0\) en\(B\))
5. Poderes:\(f\,^n\)
6. Raíces:\(\sqrt[n]{f}\) (si\(n\) es par entonces\(f\geq 0\) encendido\(B\); si\(n\) es impar, entonces verdadero para todos los valores de\(f\) on\(B\).)
7. Composiciones: Ajustar las definiciones de\(f\) y\(g\) a: Let\(f\) be continuous on\(B\), donde\(B\) está el rango de\(f\) on\(J\), y let\(g\) be una sola función variable que es continua on\(J\). Entonces\(g\circ f\), es decir,\(g(f(x,y))\), es continuo en\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Establishing continuity of a function

Vamos\(f(x,y) = \sin (x^2\cos y)\). \(f\)El espectáculo es continuo en todas partes.

Solución
Aplicaremos ambos Teoremas 8 y 102. Vamos\(f_1(x,y) = x^2\). Dado que no\(y\) se usa realmente en la función, y los polinomios son continuos (por el Teorema 8), concluimos que\(f_1\) es continuo en todas partes. Se puede hacer una declaración similar sobre\(f_2(x,y) = \cos y\). La Parte 3 del Teorema 102 establece que\(f_3=f_1\cdot f_2\) es continuo en todas partes, y la Parte 7 del teorema afirma que la composición del seno con\(f_3\) es continua: es decir,\(\sin (f_3) = \sin(x^2\cos y)\) es continua en todas partes.

Funciones de tres variables

Las definiciones y teoremas que se dan en esta sección pueden extenderse de manera natural a definiciones y teoremas sobre funciones de tres (o más) variables. Aquí cubrimos los conceptos clave; algunos términos de las Definiciones 79 y 81 no se redefinen pero sus significados análogos deben ser claros para el lector.

Definición 82 Bolas Abiertas, Límite, Continuas

1. Una bola abierta\(\mathbb{R}^3\) centrada en\((x_0,y_0,z_0)\) con radio\(r\) es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) tal que\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} = r\).
2. Dejar\(D\) ser un conjunto abierto en\(\mathbb{R}^3\) contener\((x_0,y_0,z_0)\), y dejar\(f(x,y,z)\) ser una función de tres variables definidas en\(D\), excepto posiblemente en\((x_0,y_0,z_0)\). El límite de\(f(x,y,z)\) como\((x_0,y_0,z_0)\) se\((x,y,z)\) acerca es\(L\), denotado
   \[\lim\limits_{(x,y,z)\to (x_0,y_0,z_0)} f(x,y,z) = L,\]
   significa que dado cualquiera\(\epsilon >0\), hay\(\delta >0\) tal que para todos\((x,y,z)\neq(x_0,y_0,z_0)\), si\((x,y,z)\) está en la bola abierta centrada en\((x_0,y_0,z_0)\) con radio\(\delta\), entonces\(|f(x,y,z) - L|< \epsilon\).
3. Dejar\(f(x,y,z)\) definirse sobre una bola abierta\(B\) que contenga\((x_0,y_0,z_0)\). \(f\)es continuo en\((x_0,y_0,z_0)\) si\( \lim\limits_{(x,y,z)\to (x_0,y_0,z_0)} f(x,y,z) = f(x_0,y_0,z_0)\).

Estas definiciones también pueden extenderse naturalmente para aplicarse a funciones de cuatro o más variables. El teorema 102 también se aplica a la función de tres o más variables, permitiéndonos decir que la función\[ f(x,y,z) = \frac{e^{x^2+y}\sqrt{y^2+z^2+3}}{\sin (xyz)+5}\] es continua en todas partes.

Al considerar las funciones de una sola variable, estudiamos los límites, luego la continuidad, luego la derivada. En nuestro estudio actual de las funciones multivariables, hemos estudiado los límites y la continuidad. En la siguiente sección estudiamos la derivación, la cual adquiere un ligero giro ya que estamos en un contexto multivarible.