12.7: Líneas tangentes, líneas normales y planos tangentes

Derivadas y líneas tangentes van de la mano. Dado\(y=f(x)\), la línea tangente a la gráfica de\(f\) at\(x=x_0\) es la línea a través\(\big(x_0,f(x_0)\big) \) con pendiente\(f'(x_0)\); es decir, la pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea de cambio de\(f\) at\(x_0\).

Cuando se trata de funciones de dos variables, la gráfica ya no es una curva sino una superficie. En un punto dado de la superficie, parece que hay muchas líneas que se ajustan a nuestra intuición de ser “tangentes” a la superficie.

Figura 12.20: Mostrando varias líneas tangentes a una superficie.

En las Figuras 12.20 vemos líneas que son tangentes a curvas en el espacio. Dado que cada curva se encuentra sobre una superficie, tiene sentido decir que las líneas también son tangentes a la superficie. La siguiente definición define formalmente lo que significa ser “tangente a una superficie”.

Definición 93 Línea tangente direccional

Dejar\(z=f(x,y)\) ser diferenciable en un conjunto abierto\(S\) que contiene\((x_0,y_0)\) y dejar\(\vec u = \langle u_1, u_2\rangle\) ser un vector de unidad.

1. La línea\(\ell_x\) a través de\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) paralelo a\(\langle 1,0,f_x(x_0,y_0)\rangle\) es la línea tangente a\(f\) en la dirección de\(x\) at\((x_0,y_0)\).
2. La línea\(\ell_y\) a través de\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) paralelo a\(\langle 0,1,f_y(x_0,y_0)\rangle\) es la línea tangente a\(f\) en la dirección de\(y\) at\((x_0,y_0)\).
3. La línea\(\ell_{\vec u}\) a través de\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) paralelo a\(\langle u_1,u_2,D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)\rangle\) es la línea tangente a\(f\) en la dirección de\(\vec u\) at\((x_0,y_0)\).

Es instructivo considerar cada una de las tres direcciones dadas en la definición en términos de “pendiente”. La dirección de\(\ell_x\) es\(\langle 1,0,f_x(x_0,y_0)\rangle\); es decir, la “carrera” es una unidad en la\(x\) dirección -y la “subida” es\(f_x(x_0,y_0)\) unidades en la\(z\) dirección -dirección. Observe cómo la pendiente es solo la derivada parcial con respecto a\(x\). Se puede hacer una declaración similar para\(\ell_y\). La dirección de\(\ell_{\vec u}\) es\(\langle u_1,u_2,D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)\rangle\); la “carrera” es una unidad en la\(\vec u\) dirección (donde\(\vec u\) es un vector unitario) y la “subida” es la derivada direccional de\(z\) en esa dirección.

La definición 93 conduce a las siguientes ecuaciones paramétricas de líneas tangentes direccionales:

\[\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=x_0+t \\ y=y_0\\z=z_0+f_x(x_0,y_0)t \end{array}\right. \ \text{,}\quad \ell_y(t)=\left\{\begin{array}{l} x=x_0 \\ y=y_0+t\\z=z_0+f_y(x_0,y_0)t \end{array}\right.\ \text{and}\quad \ell_{\vec u}(t)=\left\{\begin{array}{l} x=x_0+u_1t \\ y=y_0+u_2t\\z=z_0+D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)t \end{array}\right..\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding directional tangent lines

Encuentre las líneas tangentes a la superficie\(z=\sin x\cos y\)\((\pi/2,\pi/2)\) en las\(y\) direcciones\(x\) y y también en la dirección de\(\vec v = \langle -1,1\rangle.\)

Solución

Las derivadas parciales con respecto a\(x\) y\(y\) son:

\ [\ begin {align*}
f_x (x, y) =\ cos x\ cos y\ quad &\ Rightarrow\ quad f_x (\ pi/2,\ pi/2) = 0\\
f_y (x, y) = -\ sin x\ sin y\ quad&\ Rightarrow\ quad f_y (\ pi/2,\ pi/2) =-1.
\ end {alinear*}\]

At\((\pi/2,\pi/2)\), el\(z\) valor -es 0.

Así, las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a\(f\) at\((\pi/2,\pi/2)\) en las direcciones de\(x\) y\(y\) son:

\[\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=\pi/2 + t\\ y=\pi/2 \\z=0 \end{array}\right. \quad \text{and}\quad \ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=\pi/2 \\ y=\pi/2+t \\z=-t \end{array}\right..\]

Las dos líneas se muestran con la superficie en la Figura 12.21 (a).

Figura 12.21: Una superficie y líneas tangentes direccionales en el Ejemplo 12.7.1

Para encontrar la ecuación de la línea tangente en la dirección de\(\vec v\), primero encontramos el vector unitario en la dirección de\(\vec v\):\(\vec u = \langle -1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}\rangle\). La derivada direccional\((\pi/2,\pi,2)\) en la dirección de\(\vec u\) es

\[D_{\vec u\,}f(\pi/2,\pi,2) = \langle 0,-1\rangle \cdot \langle -1/\sqrt{2},1/\sqrt 2\rangle = -1/\sqrt 2.\]

Por lo tanto, la línea tangente direccional es

\[\ell_{\vec u}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= \pi/2 -t/\sqrt{2}\\ y = \pi/2 + t/\sqrt{2} \\ z= -t/\sqrt{2}\end{array}\right. .\]

La curva a través\((\pi/2,\pi/2,0)\) en la dirección de\(\vec v\) se muestra en la Figura 12.21 (b) junto con\(\ell_{\vec u}(t)\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding directional tangent lines

Vamos\(f(x,y) = 4xy-x^4-y^4\). Encuentra las ecuaciones de todas las líneas tangentes direccionales a\(f\) at\((1,1)\).

Solución
Primero tenga en cuenta que\(f(1,1) = 2\). Necesitamos calcular las derivadas direccionales, así que necesitamos\(\nabla f\). Comenzamos por computar derivados parciales.

\[f_x = 4y-4x^3 \Rightarrow f_x(1,1) = 0;\quad f_y = 4x-4y^3\Rightarrow f_y(1,1) = 0.\]

Así\(\nabla f(1,1) = \langle 0,0\rangle\). Dejar\(\vec u = \langle u_1,u_2\rangle\) ser cualquier vector de unidad. La derivada direccional de\(f\) at\((1,1)\) será\(D_{\vec u\,}f(1,1) = \langle 0,0\rangle\cdot \langle u_1,u_2\rangle = 0\). No importa qué dirección elijamos; la derivada direccional es siempre 0. Por lo tanto

\[\ell_{\vec u}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1 +u_1t\\ y = 1+ u_2 t\\ z= 2\end{array}\right.\]

En la Figura 12.22 se muestra una gráfica de\(f\) y el punto\((1,1,2)\). Tenga en cuenta que este punto llega en la cima de una “colina”, y por lo tanto cada línea tangente a través de este punto tendrá una “pendiente” de 0.

Figura 12.22: Gráfica\(f\) en el Ejemplo 12.7.2

Es decir, considere cualquier curva en la superficie que pase por este punto. Cada curva tendrá un máximo relativo en este punto, de ahí que su línea tangente tendrá una pendiente de 0. La siguiente sección investiga los puntos en las superficies donde todas las líneas tangentes tienen una pendiente de 0.

Líneas normales

Al tratar con una función\(y=f(x)\) de una variable, afirmamos que una línea pasante\((c,f(c))\) era tangente a\(f\) si la línea tenía una pendiente de\(f'(c)\) y era normal (o, perpendicular, ortogonal) a\(f\) si tenía una pendiente de\(-1/f'(c)\). Extendemos el concepto de normal, u ortogonal, a funciones de dos variables.

Dejar\(z=f(x,y)\) ser una función diferenciable de dos variables. Por Definición 93, at\((x_0,y_0)\),\(\ell_x(t)\) es una línea paralela al vector\(\vec d_x=\langle 1,0,f_x(x_0,y_0)\rangle\) y\(\ell_y(t)\) es una línea paralela a\(\vec d_y=\langle 0,1,f_y(x_0,y_0)\rangle\). Dado que las líneas en estas direcciones\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) son tangentes a la superficie, una línea a través de este punto y ortogonal a estas direcciones sería ortogonal, o normal, a la superficie. Podemos usar esta dirección para crear una línea normal.

La dirección de la línea normal es ortogonal a\(\vec d_x\) y\(\vec d_y\), por lo tanto, la dirección es paralela a\(\vec d_n = \vec d_x\times \vec d_y\). Resulta que este producto cruzado tiene una forma muy simple:

\[ \vec d_x\times \vec d_y = \langle 1,0,f_x\rangle \times \langle 0,1,f_y\rangle = \langle -f_x,-f_y,1\rangle.\]

A menudo es más conveniente referirse a lo contrario de esta dirección, a saber\(\langle f_x,f_y,-1\rangle\). Esto lleva a una definición.

Definición 94 Línea Normal

Dejar\(z=f(x,y)\) ser diferenciable en un conjunto abierto\(S\) que contiene\((x_0,y_0)\) donde

\[a = f_x(x_0,y_0) \quad \text{and}\quad b=f_y(x_0,y_0)\]

se definen.

1. Un vector distinto de cero paralelo a\(\vec n=\langle a,b,-1\rangle\) es ortogonal a\(f\) at\(P=\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\).
2. La línea\(\ell_n\) a través\(P\) con dirección paralela a\(\vec n\) es la línea normal a\(f\) at\(P\).

Así, las ecuaciones paramétricas de la línea normal a una superficie\(f\) en\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) son:

\[\ell_{n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= x_0+at\\ y = y_0 + bt \\ z = f(x_0,y_0) - t\end{array}\right..\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a normal line

Encuentra la ecuación de la línea normal a\(z=-x^2-y^2+2\) at\((0,1)\).

Solución

Nos encontramos\(z_x(x,y) = -2x\) y\(z_y(x,y) = -2y\); en\((0,1)\), tenemos\(z_x = 0\) y\(z_y = -2\). Tomamos la dirección de la línea normal, siguiendo la Definición 94, para ser\(\vec n=\langle 0,-2,-1\rangle\). La línea con esta dirección pasando por el punto\((0,1,1)\) es

\[\ell_n(t) = \left\{\begin{array}{l} x=0\\y=-2t+1\\z=-t+1\end{array}\right.\quad \text{or}\quad \ell_n(t)=\langle 0,-2,-1\rangle t+\langle 0,1,1\rangle.\]

Figura 12.23: Graficando una superficie con una línea normal del Ejemplo 12.7.3

La superficie\(z=-x^2+y^2\), junto con la línea normal encontrada, se grafica en la Figura 12.23.

La dirección de la línea normal tiene muchos usos, uno de los cuales es la definición del plano tangente que definimos en breve. Otro uso es en la medición de distancias desde la superficie hasta un punto. Dado un punto\(Q\) en el espacio, es un concepto geométrico general definir la distancia desde\(Q\) la superficie como la longitud del segmento de línea más corto\(\overline{PQ}\) sobre todos los puntos\(P\) de la superficie. Esto, a su vez, implica que\(\vec{PQ}\) será ortogonal a la superficie en\(P\). Por lo tanto podemos medir la distancia desde\(Q\) la superficie\(f\) encontrando un punto\(P\) en la superficie tal que\(\vec{PQ}\) sea paralelo a la línea normal a\(f\) at\(P\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Finding the distance from a point to a surface

Dejar\(f(x,y) = 2-x^2-y^2\) y dejar\(Q = (2,2,2)\). Encuentra la distancia desde\(Q\) la superficie definida por\(f\).

Solución

Esta superficie se utiliza en el Ejemplo 12.7.2, por lo que sabemos que en\((x,y)\), la dirección de la línea normal será\(\vec d_n = \langle -2x,-2y,-1\rangle\). Un punto\(P\) en la superficie tendrá coordenadas\((x,y,2-x^2-y^2)\), entonces\(\vec{PQ} = \langle 2-x,2-y,x^2+y^2\rangle\). Para encontrar donde\(\vec{PQ}\) es paralelo a\(\vec d_n\), necesitamos encontrar\(x\),\(y\) y\(c\) tal que\(c\vec{PQ} = \vec d_n\).

\ [\ begin {alinear*}
c\ vec {PQ} &=\ vec d_n\\
c\ langle 2-x,2-y, x^2+y^2\ rangle &=\ langle -2x, -2y, -1\ rangle. \ end {alinear*}\]

Esto implica

\ [\ begin {alinear*} c (2-x) &= -2x\\
c (2-y) &= -2y\\
c (x^2+y^2) &= -1
\ end {align*}\]

En cada ecuación, podemos resolver para\(c\):

\[c = \frac{-2x}{2-x} = \frac{-2y}{2-y} = \frac{-1}{x^2+y^2}.\]

Las dos primeras fracciones implican\(x=y\), y así la última fracción puede ser reescrita como\(c=-1/(2x^2)\). Entonces

\ [\ begin {alinear*}
\ frac {-2x} {2-x} &=\ frac {-1} {2x^2}\
-2x (2x^2) &= -1 (2-x)\\
4x^3 &= 2-x\
4x^3+x-2 &=0.
\ end {alinear*}\]

Esta última ecuación es una cúbica, lo cual no es difícil de resolver con un solucionador numérico. Nos encontramos con eso\(x= 0.689\), de ahí\(P = (0.689,0.689, 1.051)\). Encontramos la distancia de\(Q\) a la superficie de\(f\) es

\[\norm{\vec{PQ}} = \sqrt{(2-0.689)^2 +(2-0.689)^2+(2-1.051)^2} = 2.083.\]

Podemos tomar el concepto de medir la distancia de un punto a una superficie para encontrar un punto a\(Q\) una distancia particular de una superficie en un punto\(P\) dado de la superficie.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Finding a point a set distance from a surface

Vamos\(f(x,y) = x-y^2+3\). Vamos\(P = \big(2,1,f(2,1)\big) = (2,1,4)\). Encuentra puntos\(Q\) en el espacio que están a 4 unidades de la superficie de\(f\) al\(P\). Es decir, encontrar\(Q\) tal que\(\norm{\vec{PQ}}=4\) y\(\vec{PQ}\) es ortogonal a\(f\) at\(P\).

Solución

Comenzamos por encontrar derivados parciales:

\ [\ begin {align*}
f_x (x, y) =1\ qquad &\ Rightarrow\ qquad f_x (2,1) = 1\\
f_y (x, y) = -2y\ qquad &\ Rightarrow\ qquad f_y (2,1) = -2
\ end {align*}\]

El vector\(\vec n=\langle 1,-2,-1\rangle\) es ortogonal a\(f\) at\(P\). Por razones que quedarán más claras en un momento, encontramos el vector unitario en la dirección de\(\vec n\):

\[\vec u = \frac{\vec n}{\norm n} = \langle 1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},-1/\sqrt{6}\rangle \approx \langle 0.408,-0.816,-0.408\rangle.\]

Por lo tanto, la línea normal a\(f\) at se\(P\) puede escribir como

\[\ell_n(t) = \langle 2,1,4\rangle + t\langle 0.408,-0.816,-0.408 \rangle.\]

Una ventaja de esta parametrización de la línea es que dejar\(t=t_0\) da un punto en la línea que es\(|t_0|\) unidades de\(P\). (Esto se debe a que la dirección de la línea se da en términos de un vector unitario). Hay así dos puntos en el espacio 4 unidades de\(P\):

\ [\ begin {align*}
Q_1 &=\ ell_n (4) & Q_2 &=\ ell_n (-4)\\
&\ aprox\ langle 3.63, -2.27, 2.37\ rangle & &\ approx\ langle 0.37, 4.27, 5.63\ rangle
\ end {align*}\]

Figura 12.24: Graficando la superficie en el Ejemplo 12.7.5 junto con puntos a 4 unidades de la superficie.

La superficie se grafica junto con puntos\(P\),\(Q_1\),\(Q_2\) y una parte de la línea normal a\(f\) at\(P\).

Planos Tangentes

Podemos usar la dirección de la línea normal para definir un plano. Con\(a=f_x(x_0,y_0)\),\(b=f_y(x_0,y_0)\) y\(P = \big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\), el vector\(\vec n=\langle a,b,-1\rangle\) es ortogonal a\(f\) at\(P\). Por lo tanto, el plano\(P\) con vector normal\(\vec n\) es tangente a\(f\) at\(P\).

Definición 95 Plano tangente

Dejar\(z=f(x,y)\) ser diferenciable en un conjunto abierto\(S\) que contenga\((x_0,y_0)\), dónde\(a = f_x(x_0,y_0)\),\(b=f_y(x_0,y_0)\),\(\vec n= \langle a,b,-1\rangle\) y\(P=\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\).

El plano a través\(P\) con vector normal\(\vec n\) es el plano tangente a\(f\) at\(P\). La forma estándar de este plano es

\[a(x-x_0) + b(y-y_0) - \big(z-f(x_0,y_0)\big) = 0.\]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding tangent planes

Encuentra la ecuación del plano tangente a\(z=-x^2-y^2+2\) at\((0,1)\).

Solución

Tenga en cuenta que esta es la misma superficie y punto utilizados en el Ejemplo 12.7.3. Ahí encontramos\(\vec n = \langle 0,-2,-1\rangle\) y\(P = (0,1,1)\). Por lo tanto, la ecuación del plano tangente es

\[-2(y-1)-(z-1)=0.\]

Figura 12.25: Graficando una superficie con plano tangente del Ejemplo 17.2.6

La superficie\(z=-x^2+y^2\) y el plano tangente se representan gráficamente en la Figura 12.25.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Using the tangent plane to approximate function values

El punto\((3,-1,4)\) se encuentra en la superficie de una función diferenciable desconocida\(f\) donde\(f_x(3,-1) = 2\) y\(f_y(3,-1) = -1/2\). Encuentra la ecuación del plano tangente a\(f\) at\(P\), y usa esto para aproximar el valor de\(f(2.9,-0.8)\).

Solución

Conocer las derivadas parciales en nos\((3,-1)\) permite formar el vector normal al plano tangente,\(\vec n = \langle 2,-1/2,-1\rangle\). Así, la ecuación de la línea tangente a\(f\) at\(P\) es:

\[2(x-3)-1/2(y+1) - (z-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 2(x-3)-1/2(y+1)+4.\label{eq:tpl7}\]

Así como las líneas tangentes proporcionan excelentes aproximaciones de curvas cerca de su punto de intersección, los planos tangentes proporcionan excelentes aproximaciones de superficies cerca de su punto de intersección. Entonces\(f(2.9,-0.8) \approx z(2.9,-0.8) = 3.7.\)

Este no es un nuevo método de aproximación. Compara la expresión de la derecha para\(z\) en la Ecuación\ ref {eq:tpl7} con el diferencial total:

\[dz = f_xdx + f_ydy \quad \text{and} \quad z = \underbrace{\underbrace{2}_{f_x}\underbrace{(x-3)}_{dx}+\underbrace{-1/2}_{f_y}\underbrace{(y+1)}_{dy}}_{dz}+4.\]

Así, el “nuevo\(z\) -valor” es la suma del cambio en\(z\) (i.e.,\(dz\)) y el antiguo\(z\) -valor (4). Como se mencionó al estudiar el diferencial total, no es raro conocer información derivada parcial sobre una función desconocida, y se utilizan planos tangentes para dar aproximaciones precisas de la función.

El Degradado y Líneas Normales, Planos Tangentes

Los métodos desarrollados en esta sección hasta el momento dan un método sencillo de encontrar ecuaciones de líneas normales y planos tangentes para superficies con ecuaciones explícitas de la forma\(z=f(x,y)\). Sin embargo, no manejan bien las ecuaciones implícitas, como\(x^2+y^2+z^2=1\). Existe una técnica que nos permite encontrar vectores ortogonales a estas superficies en función del gradiente.

Definición 96 Gradiente

Dejar\(w=F(x,y,z)\) ser diferenciable en una bola abierta\(B\) que contenga el punto\((x_0,y_0,z_0)\).

1. El gradiente de\(F\) es\(\nabla F(x,y,z) = \langle f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z)\rangle\).
2. El gradiente de\(F\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es\[\nabla F(x_0,y_0,z_0) = \langle f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0)\rangle.\]

Recordemos que cuando\(z=f(x,y)\), el gradiente\(\nabla f = \langle f_x,f_y\rangle\) es ortogonal a las curvas de nivel de\(f\). Se puede hacer una declaración análoga sobre el gradiente\(\nabla F\), donde\(w= F(x,y,z)\). Dado un punto\((x_0,y_0,z_0)\), vamos\(c = F(x_0,y_0,z_0)\). Entonces\(F(x,y,z) = c\) es una superficie nivelada que contiene el punto\((x_0,y_0,z_0)\). El siguiente teorema establece que\(\nabla F(x_0,y_0,z_0)\) es ortogonal a esta superficie de nivel.

TEOREM 113 Las superficies de gradiente y nivel

Dejar\(w=F(x,y,z)\) ser diferenciable en una bola abierta\(B\) que contenga\((x_0,y_0,z_0)\) con gradiente\(\nabla F\), donde\(F(x_0,y_0,z_0) = c\).

El vector\(\nabla F(x_0,y_0,z_0)\) es ortogonal a la superficie nivelada\(F(x,y,z)=c\) en\((x_0,y_0,z_0)\).

El gradiente en un punto da un vector ortogonal a la superficie en ese punto. Esta dirección se puede utilizar para encontrar planos tangentes y líneas normales.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Using the gradient to find a tangent plane

Encuentra la ecuación del plano tangente al elipsoide\( \frac{x^2}{12} +\frac{y^2}{6}+\frac{z^2}{4}=1\) en\(P = (1,2,1)\).

Solución

Consideramos la ecuación del elipsoide como una superficie nivelada de una función\(F\) de tres variables, donde\(F(x,y,z) = \frac{x^2}{12} +\frac{y^2}{6}+\frac{z^2}{4}\). El gradiente es:

\ [\ begin {align*}
\ nabla F (x, y, z) &=\ langle f_x, f_y, f_z\ rangle\\
&=\ langle\ frac x6,\ frac y3,\ frac z2\ rangle.
\ end {alinear*}\]

At\(P\), el gradiente es\(\nabla F(1,2,1) = \langle 1/6, 2/3, 1/2\rangle\). Así la ecuación del plano tangente al elipsoide at\(P\) es

\[\frac 16(x-1) + \frac23(y-2) + \frac 12(z-1) = 0.\]

Figura 12.26: Un elipsoide y su plano tangente en un punto.

El plano elipsoide y tangente se grafica en la Figura 12.26.

Las líneas tangentes y los planos a las superficies tienen muchos usos, incluyendo el estudio de las tasas instantáneas de cambios y la realización de aproximaciones. Las líneas normales también tienen muchos usos. En esta sección nos enfocamos en usarlos para medir distancias desde una superficie. Otra aplicación interesante es en los gráficos por computadora, donde se determinan los efectos de la luz sobre una superficie utilizando vectores normales.

En el siguiente apartado se investiga otro uso de derivados parciales: determinar los extremos relativos. Al tratar con funciones de la forma\(y=f(x)\), encontramos extremos relativos al encontrar\(x\) dónde\(f'(x) = 0\). Podemos comenzar a encontrar extremos relativos de\(z=f(x,y)\) fijando\(f_x\) y\(f_y\) a 0, pero resulta que hay más a considerar.