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1.4E: Ejercicios para la Sección 1.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 6, utilice la prueba de líneas horizontales para determinar si cada una de las gráficas dadas es uno a uno.

1)

Contestar
No uno a uno

2)

3)

Contestar
No uno a uno

4)

5)

Contestar
Uno a uno

6)

En los ejercicios 7 a 12,

a. encontrar la función inversa, y

b. encontrar el dominio y el rango de la función inversa.

7)$$f(x)=x^2−4, \quad x≥0$$

Contestar
a.$$f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}$$
b. Dominio:$$x≥−4,$$ Rango:$$y≥0$$

8)$$f(x)=\sqrt[3]{x−4}$$

9)$$f(x)=x^3+1$$

Contestar
a.$$f^{−1}(x)=\sqrt[3]{x−1}$$
b. Dominio: todos los números reales, Rango: todos los números reales

10)$$f(x)=(x−1)^2, \quad x≤1$$

11)$$f(x)=\sqrt{x−1}$$

Contestar
a.$$f^{−1}(x)=x^2+1$$,
b. Dominio:$$x≥0,$$ Rango:$$y≥1$$

12)$$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$$

En los ejercicios 13 - 16, utilice la gráfica de$$f$$ para bosquejar la gráfica de su función inversa.

13)

Contestar

14)

15)

Contestar

16)

En los ejercicios 17 - 24, utilice la composición para determinar qué pares de funciones son inversas.

17)$$f(x)=8x, \quad g(x)=\dfrac{x}{8}$$

Contestar
Estas son inversas.

18)$$f(x)=8x+3, \quad g(x)=\dfrac{x-3}{8}$$

19)$$f(x)=5x−7, \quad g(x)=\dfrac{x+5}{7}$$

Contestar
Estas no son inversas.

20)$$f(x)=\frac{2}{3}x+2, \quad g(x)=\frac{3}{2}x+3$$

21)$$f(x)=\dfrac{1}{x−1}, \;x≠1, \quad g(x)=\dfrac{1}{x}+1,\; x≠0$$

Contestar
Estas son inversas.

22)$$f(x)=x^3+1,\quad g(x)=(x−1)^{1/3}$$

23)$$f(x)=x^2+2x+1,\; x≥−1, \quad g(x)=−1+\sqrt{x},\; x≥0$$

Contestar
Estas son inversas.

24)$$f(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2, \quad g(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2$$

En los ejercicios 25 - 33, evaluar las funciones. Dar el valor exacto.

25)$$\tan^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

Contestar
$$\frac{π}{6}$$

26)$$\cos^{−1}\left(−\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

27)$$\cot^{−1}(1)$$

Contestar
$$\frac{π}{4}$$

28)$$\sin^{−1}(−1)$$

29)$$\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Contestar
$$\frac{π}{6}$$

30)$$\cos\big(\tan^{−1}(\sqrt{3})\big)$$

31)$$\sin\left(\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$$

Contestar
$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

32)$$\sin^{−1}\left(\sin\left(\frac{π}{3}\right)\right)$$

33)$$\tan^{−1}\left(\tan\left(−\frac{π}{6}\right)\right)$$

Contestar
$$-\frac{π}{6}$$

34) La función$$C=T(F)=(5/9)(F−32)$$ convierte grados Fahrenheit a grados Celsius.

a) Encontrar la función inversa$$F=T^{−1}(C)$$

b) ¿Para qué se utiliza la función inversa?

35) [T] La velocidad$$V$$ (en centímetros por segundo) de la sangre en una arteria a una distancia$$x$$ cm del centro de la arteria puede ser modelada por la función$$V=f(x)=500(0.04−x^2)$$ para$$0≤x≤0.2.$$

a) Encontrar$$x=f^{−1}(V).$$

b) Interpretar para qué se utiliza la función inversa.

c) Encontrar la distancia desde el centro de una arteria con una velocidad de 15 cm/s, 10 cm/s y 5 cm/s.

Contestar
a.$$x=f^{−1}(V)=\sqrt{0.04−\dfrac{V}{500}}$$
b. La función inversa determina la distancia desde el centro de la arteria a la que fluye la sangre con velocidad$$V.$$
c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

36) Una función que convierte las tallas de vestido en Estados Unidos a las de Europa viene dada por$$D(x)=2x+24.$$

a) Encuentra las tallas de vestidos europeos que corresponden a las tallas 6, 8, 10 y 12 en Estados Unidos.

b) Encuentra la función que convierte las tallas de vestidos europeos a tallas de vestido estadounidenses.

c) Usa la parte b. para encontrar las tallas de vestido en Estados Unidos que corresponden a 46, 52, 62 y 70.

37) [T] El costo de eliminar una toxina de un lago está modelado por la función$$C(p)=\dfrac{75p}{85−p},$$ donde$$C$$ está el costo (en miles de dólares) y$$p$$ es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medida en partes por mil millones [ppb]). Este modelo es válido sólo cuando la cantidad de toxina es inferior a 85 ppb.

a) Encontrar el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de la toxina del lago.

b) Encontrar la función inversa.

c) Utilizar la parte b. para determinar cuánto de la toxina se elimina por $50,000. Contestar a.$31,250, $66,667,$107,143
b.$$p=\dfrac{85C}{C+75}$$
c. 34 ppb

38) [T] Un auto de carreras está acelerando a una velocidad dada por$$v(t)=\frac{25}{4}t+54,$$

donde$$v$$ esta la velocidad (en pies por segundo) en el tiempo$$t.$$

a) Encuentra la velocidad del carro a 10 seg.

b) Encontrar la función inversa.

c) Utilice la parte b. para determinar cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar una velocidad de 150 pies/seg.

39) [T] El número Mach de un avión$$M$$ es la relación entre su velocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión está volando a una altitud constante, entonces su ángulo Mach viene dado por$$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right).$$

Encuentra el ángulo Mach (al grado más cercano) para los siguientes números de Mach.

1.0”." style="width: 465px; height: 305px;" width="465px" height="305px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_04_215.jpeg">

a.$$μ=1.4$$

b.$$μ=2.8$$

c.$$μ=4.3$$

Contestar
a.$$\sim 92°$$ b.$$\sim 42°$$ c.$$\sim 27°$$

40) [T] Usando$$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right)$$, encuentre el número Mach M para los siguientes ángulos.

a.$$μ=\frac{π}{6}$$

b.$$μ=\frac{2π}{7}$$

c.$$μ=\frac{3π}{8}$$

$$T(x)=5+18\sin\left[\frac{π}{6}(x−4.6)\right],$$

donde$$x$$ es tiempo en meses y$$x=1.00$$ corresponde al 1 de enero. Determinar el mes y el día en que la temperatura es$$21°C.$$

Contestar
$$x≈6.69,\, 8.51$$; así, la temperatura ocurre el 21 de junio y 15 de agosto

42) [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y caída de las mareas. Está modelado por la función$$D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8,$$ donde$$t$$ está el número de horas después de la medianoche. Determine la primera vez después de la medianoche cuando la profundidad es$$11.75$$ ft.

43) [T] Un objeto que se mueve en movimiento armónico simple es modelado por la función$$s(t)=−6\cos\left(\dfrac{πt}{2}\right),$$ donde$$s$$ se mide en pulgadas y$$t$$ se mide en segundos. Determine la primera vez en la que se encuentra$$4.5$$ la distancia movida.

Contestar
$$\sim 1.5$$sec

44) [T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 pies de altura que se cuelga 2.5 pies por encima del nivel de los ojos de una persona promedio. El ángulo de visión$$θ$$ puede ser modelado por la función$$θ=\tan^{−1}\frac{5.5}{x}−\tan^{−1}\frac{2.5}{x}$$, donde$$x$$ está la distancia (en pies) desde el retrato. Encuentra el ángulo de visión cuando una persona está a 4 pies del retrato.

45) [T] Utilice una calculadora para evaluar$$\tan^{−1}(\tan(2.1))$$ y$$\cos^{−1}(\cos(2.1))$$. Explicar los resultados de cada uno.

Contestar
$$\tan^{−1}(\tan(2.1))≈−1.0416$$; la expresión no es igual$$2.1$$ ya que$$2.1>1.57=\frac{π}{2}$$ —en otras palabras, no está en el dominio restringido de$$\tan x$$. $$\cos^{−1}(\cos(2.1))=2.1$$, ya que$$2.1$$ está en el dominio restringido de$$\cos x$$.

46) [T] Utilice una calculadora para evaluar$$\sin(\sin^{−1}(−2))$$ y$$\tan(\tan^{−1}(−2))$$. Explicar los resultados de cada uno.