1.4E: Ejercicios para la Sección 1.4

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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En los ejercicios 1 - 6, utilice la prueba de líneas horizontales para determinar si cada una de las gráficas dadas es uno a uno.

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función que disminuye en una recta hasta el origen, donde comienza a aumentar en línea recta. La intercepción x y la intercepción y están ambas en el origen.$

Contestar: No uno a uno

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de 0 a 7 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función que siempre va en aumento. Hay una intercepción x aproximada en el punto (1, 0) y no se muestra ninguna intercepción y.$

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función que se asemeja a un semicírculo, la mitad superior de un círculo. La función inicia en el punto (-3, 0) y aumenta hasta el punto (0, 3), donde comienza a disminuir hasta que termina en el punto (3, 0). Las intercepciones x están en (-3, 0) y (3, 0). La intercepción y está en (0, 3).$

Contestar: No uno a uno

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función curva. La función aumenta hasta llegar al origen, luego disminuye hasta llegar al punto (2, -4), donde comienza a aumentar de nuevo. Hay x intercepciones en el origen y el punto (3, 0). La intercepción y está en el origen.$

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función curva que siempre va en aumento. La intercepción x y la intercepción y están ambas en el origen.$

Contestar: Uno a uno

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 7 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función que aumenta en línea recta hasta el punto aproximado (, 3). Después de este punto, la función se convierte en una línea recta horizontal. La intercepción x y la intercepción y están ambas en el origen.$

En los ejercicios 7 a 12,

a. encontrar la función inversa, y

b. encontrar el dominio y el rango de la función inversa.

7)$f(x)=x^2−4, \quad x≥0$

Contestar: a.$f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}$
b. Dominio:$x≥−4,$ Rango:$y≥0$

8)$f(x)=\sqrt[3]{x−4}$

9)$f(x)=x^3+1$

Contestar: a.$f^{−1}(x)=\sqrt[3]{x−1}$
b. Dominio: todos los números reales, Rango: todos los números reales

10)$f(x)=(x−1)^2, \quad x≤1$

11)$f(x)=\sqrt{x−1}$

Contestar: a.$f^{−1}(x)=x^2+1$,
b. Dominio:$x≥0,$ Rango:$y≥1$

12)$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$

En los ejercicios 13 - 16, utilice la gráfica de$f$ para bosquejar la gráfica de su función inversa.

13)

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función de línea recta creciente etiquetada como “f” que siempre va en aumento. La intercepción x está en (-2, 0) y la intercepción y están ambas en (0, 1).$

Contestar: $Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de dos funciones. La primera función es una función creciente de línea recta etiquetada como “f”. La intercepción x está en (-2, 0) y la intercepción y están ambas en (0, 1). La segunda función es de una función creciente de línea recta etiquetada como “f inversa”. La intercepción x está en el punto (1, 0) y la intercepción y está en el punto (0, -2).$

14)

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función decreciente curva etiquetada como “f”. A medida que la función disminuye, se acerca al eje x pero nunca lo toca. La función no tiene una intercepción x y la intercepción y es (0, 1).$

15)

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -8 a 8 y el eje y va de -8 a 8. La gráfica es de una función creciente de línea recta etiquetada como “f”. La función inicia en el punto (0, 1) y aumenta en línea recta hasta el punto (4, 6). Después de este punto, la función sigue aumentando, pero a un ritmo más lento que antes, ya que se acerca al punto (8, 8). La función no tiene una intercepción x y la intercepción y es (0, 1).$

Contestar: $alt$

16)

$Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. La gráfica es de una función curva decreciente etiquetada como “f”, que termina en el origen, que es tanto la intercepción x como la intercepción y. Otro punto de la función es (-4, 2).$

En los ejercicios 17 - 24, utilice la composición para determinar qué pares de funciones son inversas.

17)$f(x)=8x, \quad g(x)=\dfrac{x}{8}$

Contestar: Estas son inversas.

18)$f(x)=8x+3, \quad g(x)=\dfrac{x-3}{8}$

19)$f(x)=5x−7, \quad g(x)=\dfrac{x+5}{7}$

Contestar: Estas no son inversas.

20)$f(x)=\frac{2}{3}x+2, \quad g(x)=\frac{3}{2}x+3$

21)$f(x)=\dfrac{1}{x−1}, \;x≠1, \quad g(x)=\dfrac{1}{x}+1,\; x≠0$

Contestar: Estas son inversas.

22)$f(x)=x^3+1,\quad g(x)=(x−1)^{1/3}$

23)$f(x)=x^2+2x+1,\; x≥−1, \quad g(x)=−1+\sqrt{x},\; x≥0$

Contestar: Estas son inversas.

24)$f(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2, \quad g(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2$

En los ejercicios 25 - 33, evaluar las funciones. Dar el valor exacto.

25)$\tan^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Contestar: $\frac{π}{6}$

26)$\cos^{−1}\left(−\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

27)$\cot^{−1}(1)$

Contestar: $\frac{π}{4}$

28)$\sin^{−1}(−1)$

29)$\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Contestar: $\frac{π}{6}$

30)$\cos\big(\tan^{−1}(\sqrt{3})\big)$

31)$\sin\left(\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

Contestar: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

32)$\sin^{−1}\left(\sin\left(\frac{π}{3}\right)\right)$

33)$\tan^{−1}\left(\tan\left(−\frac{π}{6}\right)\right)$

Contestar: $-\frac{π}{6}$

34) La función$C=T(F)=(5/9)(F−32)$ convierte grados Fahrenheit a grados Celsius.

a) Encontrar la función inversa$F=T^{−1}(C)$

b) ¿Para qué se utiliza la función inversa?

35) [T] La velocidad$V$ (en centímetros por segundo) de la sangre en una arteria a una distancia$x$ cm del centro de la arteria puede ser modelada por la función$V=f(x)=500(0.04−x^2)$ para$0≤x≤0.2.$

a) Encontrar$x=f^{−1}(V).$

b) Interpretar para qué se utiliza la función inversa.

c) Encontrar la distancia desde el centro de una arteria con una velocidad de 15 cm/s, 10 cm/s y 5 cm/s.

Contestar: a.$x=f^{−1}(V)=\sqrt{0.04−\dfrac{V}{500}}$
b. La función inversa determina la distancia desde el centro de la arteria a la que fluye la sangre con velocidad$V.$
c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

36) Una función que convierte las tallas de vestido en Estados Unidos a las de Europa viene dada por$D(x)=2x+24.$

a) Encuentra las tallas de vestidos europeos que corresponden a las tallas 6, 8, 10 y 12 en Estados Unidos.

b) Encuentra la función que convierte las tallas de vestidos europeos a tallas de vestido estadounidenses.

c) Usa la parte b. para encontrar las tallas de vestido en Estados Unidos que corresponden a 46, 52, 62 y 70.

37) [T] El costo de eliminar una toxina de un lago está modelado por la función$C(p)=\dfrac{75p}{85−p},$ donde$C$ está el costo (en miles de dólares) y$p$ es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medida en partes por mil millones [ppb]). Este modelo es válido sólo cuando la cantidad de toxina es inferior a 85 ppb.

a) Encontrar el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de la toxina del lago.

b) Encontrar la función inversa.

c) Utilizar la parte b. para determinar cuánto de la toxina se elimina por $50,000.

Contestar: a. $31,250, $66,667, $107,143
b.$p=\dfrac{85C}{C+75}$
c. 34 ppb

38) [T] Un auto de carreras está acelerando a una velocidad dada por$v(t)=\frac{25}{4}t+54,$

donde$v$ esta la velocidad (en pies por segundo) en el tiempo$t.$

a) Encuentra la velocidad del carro a 10 seg.

b) Encontrar la función inversa.

c) Utilice la parte b. para determinar cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar una velocidad de 150 pies/seg.

39) [T] El número Mach de un avión$M$ es la relación entre su velocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión está volando a una altitud constante, entonces su ángulo Mach viene dado por$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right).$

Encuentra el ángulo Mach (al grado más cercano) para los siguientes números de Mach.

1.0”." style="width: 465px; height: 305px;" width="465px" height="305px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_04_215.jpeg">

a.$μ=1.4$

b.$μ=2.8$

c.$μ=4.3$

Contestar: a.$\sim 92°$ b.$\sim 42°$ c.$\sim 27°$

40) [T] Usando$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right)$, encuentre el número Mach M para los siguientes ángulos.

a.$μ=\frac{π}{6}$

b.$μ=\frac{2π}{7}$

c.$μ=\frac{3π}{8}$

41) [T] La temperatura (en grados Celsius) de una ciudad en el norte de Estados Unidos puede ser modelada por la función

$T(x)=5+18\sin\left[\frac{π}{6}(x−4.6)\right],$

donde$x$ es tiempo en meses y$x=1.00$ corresponde al 1 de enero. Determinar el mes y el día en que la temperatura es$21°C.$

Contestar: $x≈6.69,\, 8.51$; así, la temperatura ocurre el 21 de junio y 15 de agosto

42) [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y caída de las mareas. Está modelado por la función$D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8,$ donde$t$ está el número de horas después de la medianoche. Determine la primera vez después de la medianoche cuando la profundidad es$11.75$ ft.

43) [T] Un objeto que se mueve en movimiento armónico simple es modelado por la función$s(t)=−6\cos\left(\dfrac{πt}{2}\right),$ donde$s$ se mide en pulgadas y$t$ se mide en segundos. Determine la primera vez en la que se encuentra$4.5$ la distancia movida.

Contestar: $\sim 1.5$sec

44) [T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 pies de altura que se cuelga 2.5 pies por encima del nivel de los ojos de una persona promedio. El ángulo de visión$θ$ puede ser modelado por la función$θ=\tan^{−1}\frac{5.5}{x}−\tan^{−1}\frac{2.5}{x}$, donde$x$ está la distancia (en pies) desde el retrato. Encuentra el ángulo de visión cuando una persona está a 4 pies del retrato.

45) [T] Utilice una calculadora para evaluar$\tan^{−1}(\tan(2.1))$ y$\cos^{−1}(\cos(2.1))$. Explicar los resultados de cada uno.

Contestar: $\tan^{−1}(\tan(2.1))≈−1.0416$; la expresión no es igual$2.1$ ya que$2.1>1.57=\frac{π}{2}$ —en otras palabras, no está en el dominio restringido de$\tan x$. $\cos^{−1}(\cos(2.1))=2.1$, ya que$2.1$ está en el dominio restringido de$\cos x$.

46) [T] Utilice una calculadora para evaluar$\sin(\sin^{−1}(−2))$ y$\tan(\tan^{−1}(−2))$. Explicar los resultados de cada uno.

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