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LibreTexts Español

1.5E: Ejercicios para la Sección 1.5

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En los ejercicios 1 - 4, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión a dos dígitos significativos después del decimal.

1)f(x)=5x

a.x=3

b.x=12

c.x=2

Responder
a.125
b.2.24
c.9.74

2)f(x)=(0.3)x

a.x=1

b.x=4

c.x=1.5

3)f(x)=10x

a.x=2

b.x=4

c.x=53

Responder
a.0.01
b.10,000
c.46.42

4)f(x)=ex

a.x=2

b.x=3.2

c.x=π

En los ejercicios 5 - 10, haga coincidir la ecuación exponencial con la gráfica correcta.

a.y=4x

b.y=3x1

c.y=2x+1

d.y=(12)x+2

e.y=3x

f.y=15x

5)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -2 a 8. La gráfica es de una función curva decreciente. La función disminuye hasta que se acerca a la línea “y = 2”, pero nunca toca esta línea. La intercepción y está en el punto (0, 3) y no hay intercepción x.

Responder
d

6)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -9 a 2. El gráfico es de una función que comienza ligeramente por debajo de la línea “y = 1” y comienza a disminuir rápidamente en una curva. La intercepción x y la intercepción y están ambas en el origen.

7)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función creciente curvada que comienza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, (1/3)). Otro punto de la gráfica está en (1, 1).

Responder
b

8)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función decreciente curva que disminuye hasta que se acerca al eje x sin tocarlo. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, 1). Otro punto de la gráfica está en (-1, 4).

9)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función creciente curvada que aumenta hasta que se acerca cerca del eje x sin tocarlo. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, -1). Otro punto de la gráfica está en (-1, -3).

Responder
e

10)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función creciente curvada que comienza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, 2). Otro punto de la gráfica está en (-1, 1).

En los ejercicios 11 - 17, esboza la gráfica de la función exponencial. Determinar el dominio, el rango y la asíntota horizontal.

11)f(x)=ex+2

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función creciente curva que comienza ligeramente por encima de la línea “y = 2” y comienza a aumentar rápidamente. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, 3).

Responder
Dominio: todos los números reales, Rango:(2,),y=2

12)f(x)=2x

alt

13)f(x)=3x+1

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función creciente curvada que comienza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intercepción x y la intercepción y está en el punto (0, 3). Otro punto de la gráfica está en (-1, 1).

Responder
Dominio: todos los números reales, Rango:(0,),y=0

14)f(x)=4x1

alt

15)f(x)=12x

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función creciente curvada que aumenta hasta que llega cerca de la línea “y = 1” sin tocarla. Allí x intercepción y la intercepción y están ambas en el origen. Otro punto de la gráfica está en (-1, -1).

Responder
Dominio: todos los números reales, Rango:(,1),y=1

16)f(x)=5x+1+2

alt

17)f(x)=ex1

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función decreciente curva que disminuye hasta que llega cerca de la línea “y = -1” sin tocarla. Allí x intercepción y la intercepción y están ambas en el origen. Hay un punto aproximado en la gráfica en (-1, 1.7).

Responder
Dominio: todos los números reales, Rango:(1,),y=1

En los ejercicios 18 - 25, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente.

18)log381=4

19)log82=13

Responder
81/3=2

20)log51=0

21)log525=2

Responder
52=25

22)log0.1=1

23)ln(1e3)=3

Responder
e3=1e3

24)log93=0.5

25)ln1=0

Responder
e0=1

En los ejercicios 26 - 35, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente.

26)23=8

27)42=116

Responder
log4(116)=2

28)102=100

29)90=1

Responder
log91=0

30)(13)3=127

31)364=4

Responder
log644=13

32)ex=y

33)9y=150

Responder
log9150=y

34)b3=45

35)43/2=0.125

Responder
log40.125=32

En los ejercicios 36 - 41, esboza la gráfica de la función logarítmica. Determinar el dominio, el rango y la asíntota vertical.

36)f(x)=3+lnx

alt

37)f(x)=ln(x1)


Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función curva creciente que comienza ligeramente a la derecha de la línea vertical “x = 1”. No hay intercepción y y la intercepción x está en el punto aproximado (2, 0).

Responder
Dominio:(1,), Rango:(,),x=1

38)f(x)=ln(x)

alt

39)f(x)=1lnx

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -1 a 9 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función curva decreciente que comienza ligeramente a la derecha del eje y. No hay intercepción y y la intercepción x está en el punto (e, 0).

Responder
Dominio:(0,), Rango:(,),x=0

40)f(x)=logx1

221

41)f(x)=ln(x+1)

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. La gráfica es de una función curva creciente que comienza ligeramente a la derecha de la línea vertical “x = -1”. Allí y intercepción y la intercepción x están ambas en el origen.

Responder
Dominio:(1,), Rango:(,),x=1

En los ejercicios 42 - 47, usa propiedades de logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia y/o producto de logaritmos.

42)logx4y

43)log39a3b

Responder
2+3log3alog3b

44)lna3b

45)log5125xy3

Responder
32+12log5x+32log5y

46)log43xy64

47)ln(6e3)

Responder
32+ln6

En los ejercicios 48 - 55, resuelve exactamente la ecuación exponencial.

48)5x=125

49)e3x15=0

Responder
ln153

50)8x=4

51)4x+132=0

Responder
32

52)3x/14=110

53)10x=7.21

Responder
log7.21

54)423x20=0

55)73x2=11

Contestar
23+log113log7

En los ejercicios 56 - 63, resuelve la ecuación logarítmica exactamente, si es posible.

56)log3x=0

57)log5x=2

Contestar
x=125

58)log4(x+5)=0

59)log(2x7)=0

Contestar
x=4

60)lnx+3=2

61)log6(x+9)+log6x=2

Contestar
x=3

62)log4(x+2)log4(x1)=0

63)lnx+ln(x2)=ln4

Contestar
1+5

En los ejercicios 64 - 69, utilice la fórmula de cambio de base y ya sea base10 o basee para evaluar las expresiones dadas. Contestar en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales.

64)log547

65)log782

Contestar
log82log72.2646

66)log6103

67)log0.5211

Contestar
log211log0.57.7211

68)log2π

69)log0.20.452

Contestar
log0.452log0.20.4934

70) Reescribir las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplificar.

a.2cosh(lnx) b.cosh4x+sinh4x c.cosh2xsinh2x d.ln(coshx+sinhx)+ln(coshxsinhx)

71) [T] El número de bacteriasN en un cultivo después det días puede ser modelado por la funciónN(t)=1300(2)t/4. Encuentra el número de bacterias presentes después de15 días.

Contestar
17,491

72) [T] La demandaD (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la funciónD(p)=150(2.7)0.25p, dondep está el precio (en dólares) de un barril de petróleo. Encuentra la cantidad de petróleo que se demanda (al millón de barriles más cercano) cuando el precio esté entre $15 y $20.

73) [T] El montoA de una inversión de $100,000 pagando continuamente y compuesta por t años viene dado porA(t)=100,000e0.055t. Encuentra la cantidadA acumulada en5 años.

Contestar
Aproximadamente $131,653 se acumula en 5 años.

74) [T] Una inversión se compone mensual, trimestral o anual y viene dada por la funciónA=P(1+jn)nt, dondeA está el valor de la inversión en el momentot,P es el principio inicial que se invirtió,j es la tasa de interés anual, yn es el número de tiempo el interés se compone por año. Dada una tasa de interés anual de 3.5% y un principio inicial de $100,000, encuentra el montoA acumulado en 5 años por intereses que se compone a. diario, b., mensual, c. trimestral, y d. anual.

75) [T] La concentración de iones hidrógeno en una sustancia se denota por[H+], medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define por la función logarítmicapH=log[H+]. Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es 7. Una sustancia con un pH menor a 7 es un ácido, mientras que una que tiene un pH superior a 7 es una base.

a. Encontrar el pH de las siguientes sustancias. Redondear las respuestas a un dígito.

b. Determinar si la sustancia es un ácido o una base.

i. Huevos:[H+]=1.6×108 mol/L

ii. Cerveza:[H+]=3.16×103 mol/L

iii. Jugo de Tomate:[H+]=7.94×105 mol/l

Contestar
i. a. pH = 8 b. Base
ii. a. pH = 3 b. Ácido
iii. a. pH = 4 b. Ácido

76) [T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la funciónQ(t)=Q0e0.08664t, dondeQ0 está la cantidad inicial de una muestra de la sustancia yt es en días. Determinar cuánto tiempo tarda (al día más cercano) el 95% de una cantidad en decairse.

77) [T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013(t=0) la población estadounidense era de 316 millones y estaba aumentando según el siguiente modelo:

P(t)=316e0.0074t,

dondeP se mide en millones de personas yt se mide en años posteriores a 2013.

a. Con base en este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020?

b. Determinar cuándo la población estadounidense será el doble de lo que es en 2013.

Contestar
a.333 millones
b. 94 años a partir de 2013, o en 2107

78) [T] La cantidadA acumulada después de que los1000 dólares se inviertan port años a una tasa de interés del 4% es modelada por la funciónA(t)=1000(1.04)t.

a. Encontrar la cantidad acumulada después de5 años y10 años.

b. Determinar el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original.

79) [T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio se duplica en número en12 horas. Supongamos, inicialmente, que hay1000 bacterias presentes.

a. Utilizar la función exponencialQ=Q0ekt para determinar el valork, que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondear a cuatro decimales.

b. Determinar aproximadamente cuánto tiempo tarda en crecer200,000 las bacterias.

Contestar
a.k0.0578
b. ≈92 horas

80) [T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada6 mes. Supongamos que inicialmente había120 conejos.

a. Utilice la función exponencialP=P0at para determinar la constante de la tasa de crecimientoa. Redondear a cuatro decimales.

b. utilizar la función en la parte a. para determinar aproximadamente cuánto tiempo tarda la población de conejos en llegar a 3500.

81) [T] El sismo de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8.3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un sismo de magnitud 4.9 causó sólo daños menores. Aproximadamente, ¿cuánta energía más liberó el terremoto de San Francisco que por el sismo japonés?

Contestar
El terremoto de San Francisco tuvo103.4 o2512 veces más energía que el terremoto de Japón.

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