1.5E: Ejercicios para la Sección 1.5
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En los ejercicios 1 - 4, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión a dos dígitos significativos después del decimal.
1)f(x)=5x
a.x=3
b.x=12
c.x=√2
- Responder
- a.125
b.2.24
c.9.74
2)f(x)=(0.3)x
a.x=−1
b.x=4
c.x=−1.5
3)f(x)=10x
a.x=−2
b.x=4
c.x=53
- Responder
- a.0.01
b.10,000
c.46.42
4)f(x)=ex
a.x=2
b.x=−3.2
c.x=π
En los ejercicios 5 - 10, haga coincidir la ecuación exponencial con la gráfica correcta.
a.y=4−x
b.y=3x−1
c.y=2x+1
d.y=(12)x+2
e.y=−3−x
f.y=1−5x
5)
- Responder
- d
6)
7)
- Responder
- b
8)
9)
- Responder
- e
10)
En los ejercicios 11 - 17, esboza la gráfica de la función exponencial. Determinar el dominio, el rango y la asíntota horizontal.
11)f(x)=ex+2
- Responder
- Dominio: todos los números reales, Rango:(2,∞),y=2
12)f(x)=−2x
13)f(x)=3x+1
- Responder
- Dominio: todos los números reales, Rango:(0,∞),y=0
14)f(x)=4x−1
15)f(x)=1−2−x
- Responder
- Dominio: todos los números reales, Rango:(−∞,1),y=1
16)f(x)=5x+1+2
17)f(x)=e−x−1
- Responder
- Dominio: todos los números reales, Rango:(−1,∞),y=−1
En los ejercicios 18 - 25, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente.
18)log381=4
19)log82=13
- Responder
- 81/3=2
20)log51=0
21)log525=2
- Responder
- 52=25
22)log0.1=−1
23)ln(1e3)=−3
- Responder
- e−3=1e3
24)log93=0.5
25)ln1=0
- Responder
- e0=1
En los ejercicios 26 - 35, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente.
26)23=8
27)4−2=116
- Responder
- log4(116)=−2
28)102=100
29)90=1
- Responder
- log91=0
30)(13)3=127
31)3√64=4
- Responder
- log644=13
32)ex=y
33)9y=150
- Responder
- log9150=y
34)b3=45
35)4−3/2=0.125
- Responder
- log40.125=−32
En los ejercicios 36 - 41, esboza la gráfica de la función logarítmica. Determinar el dominio, el rango y la asíntota vertical.
36)f(x)=3+lnx
37)f(x)=ln(x−1)
- Responder
- Dominio:(1,∞), Rango:(−∞,∞),x=1
38)f(x)=ln(−x)
39)f(x)=1−lnx
- Responder
- Dominio:(0,∞), Rango:(−∞,∞),x=0
40)f(x)=logx−1
41)f(x)=ln(x+1)
- Responder
- Dominio:(−1,∞), Rango:(−∞,∞),x=−1
En los ejercicios 42 - 47, usa propiedades de logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia y/o producto de logaritmos.
42)logx4y
43)log39a3b
- Responder
- 2+3log3a−log3b
44)lna3√b
45)log5√125xy3
- Responder
- 32+12log5x+32log5y
46)log43√xy64
47)ln(6√e3)
- Responder
- −32+ln6
En los ejercicios 48 - 55, resuelve exactamente la ecuación exponencial.
48)5x=125
49)e3x−15=0
- Responder
- ln153
50)8x=4
51)4x+1−32=0
- Responder
- 32
52)3x/14=110
53)10x=7.21
- Responder
- log7.21
54)4⋅23x−20=0
55)73x−2=11
- Contestar
- 23+log113log7
En los ejercicios 56 - 63, resuelve la ecuación logarítmica exactamente, si es posible.
56)log3x=0
57)log5x=−2
- Contestar
- x=125
58)log4(x+5)=0
59)log(2x−7)=0
- Contestar
- x=4
60)ln√x+3=2
61)log6(x+9)+log6x=2
- Contestar
- x=3
62)log4(x+2)−log4(x−1)=0
63)lnx+ln(x−2)=ln4
- Contestar
- 1+√5
En los ejercicios 64 - 69, utilice la fórmula de cambio de base y ya sea base10 o basee para evaluar las expresiones dadas. Contestar en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales.
64)log547
65)log782
- Contestar
- log82log7≈2.2646
66)log6103
67)log0.5211
- Contestar
- log211log0.5≈−7.7211
68)log2π
69)log0.20.452
- Contestar
- log0.452log0.2≈0.4934
70) Reescribir las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplificar.
a.2cosh(lnx) b.cosh4x+sinh4x c.cosh2x−sinh2x d.ln(coshx+sinhx)+ln(coshx−sinhx)
71) [T] El número de bacteriasN en un cultivo después det días puede ser modelado por la funciónN(t)=1300⋅(2)t/4. Encuentra el número de bacterias presentes después de15 días.
- Contestar
- ∼17,491
72) [T] La demandaD (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la funciónD(p)=150⋅(2.7)−0.25p, dondep está el precio (en dólares) de un barril de petróleo. Encuentra la cantidad de petróleo que se demanda (al millón de barriles más cercano) cuando el precio esté entre $15 y $20.
73) [T] El montoA de una inversión de $100,000 pagando continuamente y compuesta por t años viene dado porA(t)=100,000⋅e0.055t. Encuentra la cantidadA acumulada en5 años.
- Contestar
- Aproximadamente $131,653 se acumula en 5 años.
74) [T] Una inversión se compone mensual, trimestral o anual y viene dada por la funciónA=P(1+jn)nt, dondeA está el valor de la inversión en el momentot,P es el principio inicial que se invirtió,j es la tasa de interés anual, yn es el número de tiempo el interés se compone por año. Dada una tasa de interés anual de 3.5% y un principio inicial de $100,000, encuentra el montoA acumulado en 5 años por intereses que se compone a. diario, b., mensual, c. trimestral, y d. anual.
75) [T] La concentración de iones hidrógeno en una sustancia se denota por[H+], medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define por la función logarítmicapH=−log[H+]. Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es 7. Una sustancia con un pH menor a 7 es un ácido, mientras que una que tiene un pH superior a 7 es una base.
a. Encontrar el pH de las siguientes sustancias. Redondear las respuestas a un dígito.
b. Determinar si la sustancia es un ácido o una base.
i. Huevos:[H+]=1.6×10−8 mol/L
ii. Cerveza:[H+]=3.16×10−3 mol/L
iii. Jugo de Tomate:[H+]=7.94×10−5 mol/l
- Contestar
- i. a. pH = 8 b. Base
ii. a. pH = 3 b. Ácido
iii. a. pH = 4 b. Ácido
76) [T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la funciónQ(t)=Q0⋅e−0.08664t, dondeQ0 está la cantidad inicial de una muestra de la sustancia yt es en días. Determinar cuánto tiempo tarda (al día más cercano) el 95% de una cantidad en decairse.
77) [T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013(t=0) la población estadounidense era de 316 millones y estaba aumentando según el siguiente modelo:
P(t)=316e0.0074t,
dondeP se mide en millones de personas yt se mide en años posteriores a 2013.
a. Con base en este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020?
b. Determinar cuándo la población estadounidense será el doble de lo que es en 2013.
- Contestar
- a.∼333 millones
b. 94 años a partir de 2013, o en 2107
78) [T] La cantidadA acumulada después de que los1000 dólares se inviertan port años a una tasa de interés del 4% es modelada por la funciónA(t)=1000(1.04)t.
a. Encontrar la cantidad acumulada después de5 años y10 años.
b. Determinar el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original.
79) [T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio se duplica en número en12 horas. Supongamos, inicialmente, que hay1000 bacterias presentes.
a. Utilizar la función exponencialQ=Q0ekt para determinar el valork, que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondear a cuatro decimales.
b. Determinar aproximadamente cuánto tiempo tarda en crecer200,000 las bacterias.
- Contestar
- a.k≈0.0578
b. ≈92 horas
80) [T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada6 mes. Supongamos que inicialmente había120 conejos.
a. Utilice la función exponencialP=P0at para determinar la constante de la tasa de crecimientoa. Redondear a cuatro decimales.
b. utilizar la función en la parte a. para determinar aproximadamente cuánto tiempo tarda la población de conejos en llegar a 3500.
81) [T] El sismo de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8.3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un sismo de magnitud 4.9 causó sólo daños menores. Aproximadamente, ¿cuánta energía más liberó el terremoto de San Francisco que por el sismo japonés?
- Contestar
- El terremoto de San Francisco tuvo103.4 o∼2512 veces más energía que el terremoto de Japón.