Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.3E: Ejercicios para la Sección 2.3

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    116813

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En los ejercicios 1 a 4, utilice las leyes de límite para evaluar cada límite. Justificar cada paso indicando la (s) ley (s) límite correspondiente (s

    1)\(\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)\)

    Contestar

    Utilice la ley múltiple constante y la ley de diferencia:

    \(\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)=4\lim_{x→0}x^2−2\lim_{x→0}x+\lim_{x→0}3=0 + 0 + 3=3\)

    2)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3+3x^2+5}{4−7x}\)

    3)\(\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}\)

    Contestar
    Utilice la ley de raíz:\(\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}=\sqrt{\lim_{x→−2}(x^2−6x+3)}=\sqrt{19}\)

    4)\(\displaystyle \lim_{x→−1}(9x+1)^2\)

    En los ejercicios 5 - 10, utilizar la sustitución directa para evaluar el límite de cada función continua.

    5)\(\displaystyle \lim_{x→7}x^2\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→7}x^2\;=\;49\)

    6)\(\displaystyle \lim_{x→−2}(4x^2−1)\)

    7)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\;=\;1\)

    8)\(\displaystyle \lim_{x→2}e^{2x−x^2}\)

    9)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\;=\;−\frac{5}{7}\)

    10)\(\displaystyle \lim_{x→3}\ln e^{3x}\)

    En los ejercicios 11 - 20, utilizar la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada\(0/0\). Después, evaluar el límite analíticamente.

    11)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \text{When }x = 4, \quad\frac{x^2−16}{x−4}=\frac{16−16}{4−4}=\frac{0}{0};\)

    entonces,\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}= \lim_{x→4}\frac{(x+4)(x−4)}{x−4}=\lim_{x→4}(x+4) = 4+4 =8\)

    12)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{x−2}{x^2−2x}\)

    13)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x−12}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \text{When }x = 6, \quad\frac{3x−18}{2x−12}=\frac{18−18}{12−12}=\frac{0}{0};\)

    entonces,\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x− 12}=\lim_{x→6}\frac{3(x−6)}{2(x−6)}=\lim_{x→6}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

    14)\(\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(1+h)^2−1}{h}\)

    15)\(\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \text{When }t = 9, \quad\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}=\frac{9−9}{3−3}=\frac{0}{0};\)

    entonces,\(\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3} =\lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t→9}\frac{(t−9)(\sqrt{t}+3)}{t - 9}=\lim_{t→9}(\sqrt{t}+3)=\sqrt{9}+3=6\)

    16)\(\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\dfrac{1}{a+h}−\dfrac{1}{a}}{h}\), donde\(a\) es una constante de valor real

    17)\(\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \text{When }θ = π, \quad\frac{\sin θ}{\tan θ}=\frac{\sin π}{\tan π}=\frac{0}{0};\)

    entonces,\(\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}=\lim_{θ→ π}\frac{\sin θ}{\frac{\sin θ}{\cos θ}}=\lim_{θ→π}\cos θ=\cos π=−1\)

    18)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3−1}{x^2−1}\)

    19)\(\displaystyle \lim_{x→1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \text{When }x=1/2, \quad\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}−2}{1−1}=\frac{0}{0};\)

    entonces,\(\displaystyle \lim_{x→ 1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\lim_{x→1/2}\frac{(2x−1)(x+2)}{2x−1}=\lim_{x→1/2}(x+2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)

    20)\(\displaystyle \lim_{x→−3}\frac{\sqrt{x+4}−1}{x+3}\)

    En los ejercicios 21 - 24, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. Después, utilice el método utilizado en el Ejemplo 9 de esta sección para simplificar la función y determinar el límite.

    21)\(\displaystyle \lim_{x→−2^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    Contestar
    \(−∞\)

    22)\(\displaystyle \lim_{x→−2^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    23)\(\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    Contestar
    \(−∞\)

    24)\(\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    En los ejercicios 25 - 32, supongamos que\(\displaystyle \lim_{x→6}f(x)=4,\quad \lim_{x→6}g(x)=9\), y\(\displaystyle \lim_{x→6}h(x)=6\). Utilice estos tres hechos y las leyes de límite para evaluar cada límite.

    25)\(\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)=2\left(\lim_{x→6}f(x)\right)\left(\lim_{x→6}g(x)\right)=2 (4)(9)=72\)

    26)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{g(x)−1}{f(x)}\)

    27)\(\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)=\lim_{x→6}f(x)+\frac{1}{3}\lim_{x→6}g(x)=4+\frac{1}{3}(9)=7\)

    28)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{\big(h(x)\big)^3}{2}\)

    29)\(\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}=\sqrt{\lim_{x→6}g(x)−\lim_{x→6}f(x)}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\)

    30)\(\displaystyle \lim_{x→6}x⋅h(x)\)

    31)\(\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)⋅f(x)]\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)f(x)]=\left(\lim_{x→6}(x+1)\right)\left(\lim_{x→6}f(x)\right)=7(4)=28\)

    32)\(\displaystyle \lim_{x→6}(f(x)⋅g(x)−h(x))\)

    [T] En los ejercicios 33 - 35, utilice una calculadora para dibujar la gráfica de cada función definida por partes y estudiarla para evaluar los límites dados.

    33)\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x≤3\\ x+4, & x>3\end{cases}\)

    a.\(\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)\)

    Contestar

    La gráfica de una función por tramos con dos segmentos. La primera es la parábola x^2, que existe para x<=3. El vértice está en el origen, se abre hacia arriba, y hay un círculo cerrado en el punto final (3,9). El segundo segmento es la línea x+4, que es una función lineal existente para x 3. Hay un círculo abierto en (3, 7), y la pendiente es 1." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_202.jpeg">

    a.\(9\); b.\( 7\)

    34)\(g(x)=\begin{cases}x^3−1, & x≤0\\1, & x>0\end{cases}\)

    a.\(\displaystyle \lim_{x→0^−}g(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}g(x)\)

    35)\(h(x)=\begin{cases}x^2−2x+1, & x<2\\3−x, & x≥2\end{cases}\)

    a.\(\displaystyle \lim_{x→2^−}h(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→2^+}h(x)\)

    En los ejercicios 36 - 43, utilice las siguientes gráficas y las leyes de límite para evaluar cada límite.

    Dos gráficas de funciones por piezas. La parte superior es f (x), que tiene dos segmentos lineales. La primera es una línea con pendiente negativa existente para x < -3. Va hacia el punto (-3,0) en x= -3. El siguiente tiene pendiente creciente y va al punto (-3, -2) en x=-3. Existe para x -3. Otros puntos clave son (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) y (-9,6). La función por tramos inferior tiene un segmento lineal y un segmento curvo. El segmento lineal existe para x < -3 y tiene pendiente decreciente. Va a (-3, -2) a x=-3. El segmento curvo parece ser la mitad derecha de una parábola de apertura hacia abajo. Va al punto del vértice (-3,2) en x=-3. Cruza el eje y un poco por debajo de y=-2. Otros puntos clave son (0, -7/3), (-5,0), (1, -5), (-7, 2) y (-9, 4)." style="width: 456px; height: 935px;" width="456px" height="935px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_201.jpeg">

    36)\(\displaystyle \lim_{x→−3^+}(f(x)+g(x))\)

    37)\(\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))=\lim_{x→−3^−}f(x)−3\lim_{x→−3^−}g(x)=0+6=6\)

    38)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)g(x)}{3}\)

    39)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}=\frac{2+\left(\displaystyle \lim_{x→−5}g(x)\right)}{\displaystyle \lim_{x→−5}f(x)}=\frac{2+0}{2}=1\)

    40)\(\displaystyle \lim_{x→1}(f(x))^2\)

    41)\(\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x→1}f(x)−\lim_{x→1}g(x)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}\)

    42)\(\displaystyle \lim_{x→−7}(x⋅g(x))\)

    43)\(\displaystyle \lim_{x→−9}[x⋅f(x)+2⋅g(x)]\)

    Contestar
    \(\displaystyle \lim_{x→−9}(xf(x)+2g(x))=\left(\lim_{x→−9}x\right)\left(\lim_{x→−9}f(x)\right)+2\lim_{x→−9}g(x)=(−9)(6)+2(4)=−46\)

    Para los ejercicios 44 - 46, evalúe el límite usando el teorema de squeeze. Use una calculadora para graficar las funciones\(f(x),\;g(x)\), y\(h(x)\) cuando sea posible.

    44) [T] ¿Verdadero o Falso? Si\(2x−1≤g(x)≤x^2−2x+3\), entonces\(\displaystyle \lim_{x→2}g(x)=0\).

    45) [T]\(\displaystyle \lim_{θ→0}θ^2\cos\left(\frac{1}{θ}\right)\)

    Contestar

    El límite es cero.

    El gráfico de tres funciones sobre el dominio [-1,1], coloreado rojo, verde y azul de la siguiente manera: rojo: theta^2, verde: theta^2 * cos (1/theta) y azul: - (theta^2). Las funciones roja y azul se abren hacia arriba y hacia abajo respectivamente como paráguilas con vértices en el origen. La función verde queda atrapada entre los dos.

    46)\(\displaystyle \lim_{x→0}f(x)\), donde\(f(x)=\begin{cases}0, & x\text{ rational}\\ x^2, & x\text{ irrrational}\end{cases}\)

    47) [T] En la física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia\(r\) en vacío se rige por la ley de Coulomb:\(E(r)=\dfrac{q}{4πε_0r^2}\), donde\(E\) representa la magnitud del campo eléctrico,\(q\) es la carga de la partícula,\(r\) es la distancia entre el partícula y donde se mide la fuerza del campo, y\(\dfrac{1}{4πε_0}\) es la constante de Coulomb:\(8.988×109N⋅m^2/C^2\).

    a. Utilice una calculadora gráfica para graficar\(E(r)\) dado que la carga de la partícula es\(q=10^{−10}\).

    b. Evaluar\(\displaystyle \lim_{r→0^+}E(r)\). ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué estás evaluando desde la derecha?

    Contestar

    a.

    Una gráfica de una función con dos curvas. El primero está en el cuadrante dos y se curva asintóticamente hasta el infinito a lo largo del eje y y a 0 a lo largo del eje x a medida que x va al infinito negativo. El segundo está en el cuadrante uno y se curva asintóticamente hasta el infinito a lo largo del eje y y a 0 a lo largo del eje x a medida que x va al infinito.

    b. ∞. La magnitud del campo eléctrico a medida que te acercas a la partícula q se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa.

    48) [T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen:\(ρ=m/V.\)

    a. use una calculadora para trazar el volumen en función de la densidad\((V=m/ρ)\), asumiendo que está examinando algo de masa\(8\) kg (\(m=8\)).

    b. Evaluar\(\displaystyle \lim_{x→0^+}V(\rho)\) y explicar el significado físico.

    2.3E: Ejercicios para la Sección 2.3 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.