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# 2.3E: Ejercicios para la Sección 2.3

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 a 4, utilice las leyes de límite para evaluar cada límite. Justificar cada paso indicando la (s) ley (s) límite correspondiente (s

1)$$\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)$$

Contestar

Utilice la ley múltiple constante y la ley de diferencia:

$$\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)=4\lim_{x→0}x^2−2\lim_{x→0}x+\lim_{x→0}3=0 + 0 + 3=3$$

2)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3+3x^2+5}{4−7x}$$

3)$$\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}$$

Contestar
Utilice la ley de raíz:$$\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}=\sqrt{\lim_{x→−2}(x^2−6x+3)}=\sqrt{19}$$

4)$$\displaystyle \lim_{x→−1}(9x+1)^2$$

En los ejercicios 5 - 10, utilizar la sustitución directa para evaluar el límite de cada función continua.

5)$$\displaystyle \lim_{x→7}x^2$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→7}x^2\;=\;49$$

6)$$\displaystyle \lim_{x→−2}(4x^2−1)$$

7)$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\;=\;1$$

8)$$\displaystyle \lim_{x→2}e^{2x−x^2}$$

9)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\;=\;−\frac{5}{7}$$

10)$$\displaystyle \lim_{x→3}\ln e^{3x}$$

En los ejercicios 11 - 20, utilizar la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada$$0/0$$. Después, evaluar el límite analíticamente.

11)$$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}$$

Contestar
$$\displaystyle \text{When }x = 4, \quad\frac{x^2−16}{x−4}=\frac{16−16}{4−4}=\frac{0}{0};$$

entonces,$$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}= \lim_{x→4}\frac{(x+4)(x−4)}{x−4}=\lim_{x→4}(x+4) = 4+4 =8$$

12)$$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{x−2}{x^2−2x}$$

13)$$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x−12}$$

Contestar
$$\displaystyle \text{When }x = 6, \quad\frac{3x−18}{2x−12}=\frac{18−18}{12−12}=\frac{0}{0};$$

entonces,$$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x− 12}=\lim_{x→6}\frac{3(x−6)}{2(x−6)}=\lim_{x→6}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

14)$$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(1+h)^2−1}{h}$$

15)$$\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}$$

Contestar
$$\displaystyle \text{When }t = 9, \quad\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}=\frac{9−9}{3−3}=\frac{0}{0};$$

entonces,$$\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3} =\lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t→9}\frac{(t−9)(\sqrt{t}+3)}{t - 9}=\lim_{t→9}(\sqrt{t}+3)=\sqrt{9}+3=6$$

16)$$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\dfrac{1}{a+h}−\dfrac{1}{a}}{h}$$, donde$$a$$ es una constante de valor real

17)$$\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}$$

Contestar
$$\displaystyle \text{When }θ = π, \quad\frac{\sin θ}{\tan θ}=\frac{\sin π}{\tan π}=\frac{0}{0};$$

entonces,$$\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}=\lim_{θ→ π}\frac{\sin θ}{\frac{\sin θ}{\cos θ}}=\lim_{θ→π}\cos θ=\cos π=−1$$

18)$$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3−1}{x^2−1}$$

19)$$\displaystyle \lim_{x→1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}$$

Contestar
$$\displaystyle \text{When }x=1/2, \quad\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}−2}{1−1}=\frac{0}{0};$$

entonces,$$\displaystyle \lim_{x→ 1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\lim_{x→1/2}\frac{(2x−1)(x+2)}{2x−1}=\lim_{x→1/2}(x+2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$

20)$$\displaystyle \lim_{x→−3}\frac{\sqrt{x+4}−1}{x+3}$$

En los ejercicios 21 - 24, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. Después, utilice el método utilizado en el Ejemplo 9 de esta sección para simplificar la función y determinar el límite.

21)$$\displaystyle \lim_{x→−2^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$$

Contestar
$$−∞$$

22)$$\displaystyle \lim_{x→−2^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$$

23)$$\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$$

Contestar
$$−∞$$

24)$$\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$$

En los ejercicios 25 - 32, supongamos que$$\displaystyle \lim_{x→6}f(x)=4,\quad \lim_{x→6}g(x)=9$$, y$$\displaystyle \lim_{x→6}h(x)=6$$. Utilice estos tres hechos y las leyes de límite para evaluar cada límite.

25)$$\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)=2\left(\lim_{x→6}f(x)\right)\left(\lim_{x→6}g(x)\right)=2 (4)(9)=72$$

26)$$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{g(x)−1}{f(x)}$$

27)$$\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)=\lim_{x→6}f(x)+\frac{1}{3}\lim_{x→6}g(x)=4+\frac{1}{3}(9)=7$$

28)$$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{\big(h(x)\big)^3}{2}$$

29)$$\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}=\sqrt{\lim_{x→6}g(x)−\lim_{x→6}f(x)}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$

30)$$\displaystyle \lim_{x→6}x⋅h(x)$$

31)$$\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)⋅f(x)]$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)f(x)]=\left(\lim_{x→6}(x+1)\right)\left(\lim_{x→6}f(x)\right)=7(4)=28$$

32)$$\displaystyle \lim_{x→6}(f(x)⋅g(x)−h(x))$$

[T] En los ejercicios 33 - 35, utilice una calculadora para dibujar la gráfica de cada función definida por partes y estudiarla para evaluar los límites dados.

33)$$f(x)=\begin{cases}x^2, & x≤3\\ x+4, & x>3\end{cases}$$

a.$$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)$$

b.$$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)$$

Contestar

3. Hay un círculo abierto en (3, 7), y la pendiente es 1." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_202.jpeg">

a.$$9$$; b.$$7$$

34)$$g(x)=\begin{cases}x^3−1, & x≤0\\1, & x>0\end{cases}$$

a.$$\displaystyle \lim_{x→0^−}g(x)$$

b.$$\displaystyle \lim_{x→0^+}g(x)$$

35)$$h(x)=\begin{cases}x^2−2x+1, & x<2\\3−x, & x≥2\end{cases}$$

a.$$\displaystyle \lim_{x→2^−}h(x)$$

b.$$\displaystyle \lim_{x→2^+}h(x)$$

En los ejercicios 36 - 43, utilice las siguientes gráficas y las leyes de límite para evaluar cada límite.

-3. Otros puntos clave son (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) y (-9,6). La función por tramos inferior tiene un segmento lineal y un segmento curvo. El segmento lineal existe para x < -3 y tiene pendiente decreciente. Va a (-3, -2) a x=-3. El segmento curvo parece ser la mitad derecha de una parábola de apertura hacia abajo. Va al punto del vértice (-3,2) en x=-3. Cruza el eje y un poco por debajo de y=-2. Otros puntos clave son (0, -7/3), (-5,0), (1, -5), (-7, 2) y (-9, 4)." style="width: 456px; height: 935px;" width="456px" height="935px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_201.jpeg">

36)$$\displaystyle \lim_{x→−3^+}(f(x)+g(x))$$

37)$$\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))=\lim_{x→−3^−}f(x)−3\lim_{x→−3^−}g(x)=0+6=6$$

38)$$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)g(x)}{3}$$

39)$$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}=\frac{2+\left(\displaystyle \lim_{x→−5}g(x)\right)}{\displaystyle \lim_{x→−5}f(x)}=\frac{2+0}{2}=1$$

40)$$\displaystyle \lim_{x→1}(f(x))^2$$

41)$$\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x→1}f(x)−\lim_{x→1}g(x)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}$$

42)$$\displaystyle \lim_{x→−7}(x⋅g(x))$$

43)$$\displaystyle \lim_{x→−9}[x⋅f(x)+2⋅g(x)]$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−9}(xf(x)+2g(x))=\left(\lim_{x→−9}x\right)\left(\lim_{x→−9}f(x)\right)+2\lim_{x→−9}g(x)=(−9)(6)+2(4)=−46$$

Para los ejercicios 44 - 46, evalúe el límite usando el teorema de squeeze. Use una calculadora para graficar las funciones$$f(x),\;g(x)$$, y$$h(x)$$ cuando sea posible.

44) [T] ¿Verdadero o Falso? Si$$2x−1≤g(x)≤x^2−2x+3$$, entonces$$\displaystyle \lim_{x→2}g(x)=0$$.

45) [T]$$\displaystyle \lim_{θ→0}θ^2\cos\left(\frac{1}{θ}\right)$$

Contestar

El límite es cero.

46)$$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)$$, donde$$f(x)=\begin{cases}0, & x\text{ rational}\\ x^2, & x\text{ irrrational}\end{cases}$$

47) [T] En la física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia$$r$$ en vacío se rige por la ley de Coulomb:$$E(r)=\dfrac{q}{4πε_0r^2}$$, donde$$E$$ representa la magnitud del campo eléctrico,$$q$$ es la carga de la partícula,$$r$$ es la distancia entre el partícula y donde se mide la fuerza del campo, y$$\dfrac{1}{4πε_0}$$ es la constante de Coulomb:$$8.988×109N⋅m^2/C^2$$.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$$E(r)$$ dado que la carga de la partícula es$$q=10^{−10}$$.

b. Evaluar$$\displaystyle \lim_{r→0^+}E(r)$$. ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué estás evaluando desde la derecha?

Contestar

a.

b. ∞. La magnitud del campo eléctrico a medida que te acercas a la partícula q se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa.

48) [T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen:$$ρ=m/V.$$

a. use una calculadora para trazar el volumen en función de la densidad$$(V=m/ρ)$$, asumiendo que está examinando algo de masa$$8$$ kg ($$m=8$$).

b. Evaluar$$\displaystyle \lim_{x→0^+}V(\rho)$$ y explicar el significado físico.

2.3E: Ejercicios para la Sección 2.3 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.