2.3E: Ejercicios para la Sección 2.3

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116813

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

En los ejercicios 1 a 4, utilice las leyes de límite para evaluar cada límite. Justificar cada paso indicando la (s) ley (s) límite correspondiente (s

1)$\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)$

Contestar

Utilice la ley múltiple constante y la ley de diferencia:

$\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)=4\lim_{x→0}x^2−2\lim_{x→0}x+\lim_{x→0}3=0 + 0 + 3=3$

2)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3+3x^2+5}{4−7x}$

3)$\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}$

Contestar: Utilice la ley de raíz:$\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}=\sqrt{\lim_{x→−2}(x^2−6x+3)}=\sqrt{19}$

4)$\displaystyle \lim_{x→−1}(9x+1)^2$

En los ejercicios 5 - 10, utilizar la sustitución directa para evaluar el límite de cada función continua.

5)$\displaystyle \lim_{x→7}x^2$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→7}x^2\;=\;49$

6)$\displaystyle \lim_{x→−2}(4x^2−1)$

7)$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\;=\;1$

8)$\displaystyle \lim_{x→2}e^{2x−x^2}$

9)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\;=\;−\frac{5}{7}$

10)$\displaystyle \lim_{x→3}\ln e^{3x}$

En los ejercicios 11 - 20, utilizar la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada$0/0$. Después, evaluar el límite analíticamente.

11)$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}$

Contestar: $\displaystyle \text{When }x = 4, \quad\frac{x^2−16}{x−4}=\frac{16−16}{4−4}=\frac{0}{0};$

entonces,$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}= \lim_{x→4}\frac{(x+4)(x−4)}{x−4}=\lim_{x→4}(x+4) = 4+4 =8$

12)$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{x−2}{x^2−2x}$

13)$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x−12}$

Contestar: $\displaystyle \text{When }x = 6, \quad\frac{3x−18}{2x−12}=\frac{18−18}{12−12}=\frac{0}{0};$

entonces,$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x− 12}=\lim_{x→6}\frac{3(x−6)}{2(x−6)}=\lim_{x→6}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

14)$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(1+h)^2−1}{h}$

15)$\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}$

Contestar: $\displaystyle \text{When }t = 9, \quad\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}=\frac{9−9}{3−3}=\frac{0}{0};$

entonces,$\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3} =\lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t→9}\frac{(t−9)(\sqrt{t}+3)}{t - 9}=\lim_{t→9}(\sqrt{t}+3)=\sqrt{9}+3=6$

16)$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\dfrac{1}{a+h}−\dfrac{1}{a}}{h}$, donde$a$ es una constante de valor real

17)$\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}$

Contestar: $\displaystyle \text{When }θ = π, \quad\frac{\sin θ}{\tan θ}=\frac{\sin π}{\tan π}=\frac{0}{0};$

entonces,$\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}=\lim_{θ→ π}\frac{\sin θ}{\frac{\sin θ}{\cos θ}}=\lim_{θ→π}\cos θ=\cos π=−1$

18)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3−1}{x^2−1}$

19)$\displaystyle \lim_{x→1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}$

Contestar: $\displaystyle \text{When }x=1/2, \quad\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}−2}{1−1}=\frac{0}{0};$

entonces,$\displaystyle \lim_{x→ 1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\lim_{x→1/2}\frac{(2x−1)(x+2)}{2x−1}=\lim_{x→1/2}(x+2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

20)$\displaystyle \lim_{x→−3}\frac{\sqrt{x+4}−1}{x+3}$

En los ejercicios 21 - 24, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. Después, utilice el método utilizado en el Ejemplo 9 de esta sección para simplificar la función y determinar el límite.

21)$\displaystyle \lim_{x→−2^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$

Contestar: $−∞$

22)$\displaystyle \lim_{x→−2^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$

23)$\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$

Contestar: $−∞$

24)$\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}$

En los ejercicios 25 - 32, supongamos que$\displaystyle \lim_{x→6}f(x)=4,\quad \lim_{x→6}g(x)=9$, y$\displaystyle \lim_{x→6}h(x)=6$. Utilice estos tres hechos y las leyes de límite para evaluar cada límite.

25)$\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)=2\left(\lim_{x→6}f(x)\right)\left(\lim_{x→6}g(x)\right)=2 (4)(9)=72$

26)$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{g(x)−1}{f(x)}$

27)$\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)=\lim_{x→6}f(x)+\frac{1}{3}\lim_{x→6}g(x)=4+\frac{1}{3}(9)=7$

28)$\displaystyle \lim_{x→6}\frac{\big(h(x)\big)^3}{2}$

29)$\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}=\sqrt{\lim_{x→6}g(x)−\lim_{x→6}f(x)}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

30)$\displaystyle \lim_{x→6}x⋅h(x)$

31)$\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)⋅f(x)]$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)f(x)]=\left(\lim_{x→6}(x+1)\right)\left(\lim_{x→6}f(x)\right)=7(4)=28$

32)$\displaystyle \lim_{x→6}(f(x)⋅g(x)−h(x))$

[T] En los ejercicios 33 - 35, utilice una calculadora para dibujar la gráfica de cada función definida por partes y estudiarla para evaluar los límites dados.

33)$f(x)=\begin{cases}x^2, & x≤3\\ x+4, & x>3\end{cases}$

a.$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)$

b.$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)$

Contestar

La gráfica de una función por tramos con dos segmentos. La primera es la parábola x^2, que existe para x<=3. El vértice está en el origen, se abre hacia arriba, y hay un círculo cerrado en el punto final (3,9). El segundo segmento es la línea x+4, que es una función lineal existente para x 3. Hay un círculo abierto en (3, 7), y la pendiente es 1." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_202.jpeg">

a.$9$; b.$ 7$

34)$g(x)=\begin{cases}x^3−1, & x≤0\\1, & x>0\end{cases}$

a.$\displaystyle \lim_{x→0^−}g(x)$

b.$\displaystyle \lim_{x→0^+}g(x)$

35)$h(x)=\begin{cases}x^2−2x+1, & x<2\\3−x, & x≥2\end{cases}$

a.$\displaystyle \lim_{x→2^−}h(x)$

b.$\displaystyle \lim_{x→2^+}h(x)$

En los ejercicios 36 - 43, utilice las siguientes gráficas y las leyes de límite para evaluar cada límite.

Dos gráficas de funciones por piezas. La parte superior es f (x), que tiene dos segmentos lineales. La primera es una línea con pendiente negativa existente para x < -3. Va hacia el punto (-3,0) en x= -3. El siguiente tiene pendiente creciente y va al punto (-3, -2) en x=-3. Existe para x -3. Otros puntos clave son (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) y (-9,6). La función por tramos inferior tiene un segmento lineal y un segmento curvo. El segmento lineal existe para x < -3 y tiene pendiente decreciente. Va a (-3, -2) a x=-3. El segmento curvo parece ser la mitad derecha de una parábola de apertura hacia abajo. Va al punto del vértice (-3,2) en x=-3. Cruza el eje y un poco por debajo de y=-2. Otros puntos clave son (0, -7/3), (-5,0), (1, -5), (-7, 2) y (-9, 4)." style="width: 456px; height: 935px;" width="456px" height="935px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_201.jpeg">

36)$\displaystyle \lim_{x→−3^+}(f(x)+g(x))$

37)$\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))=\lim_{x→−3^−}f(x)−3\lim_{x→−3^−}g(x)=0+6=6$

38)$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)g(x)}{3}$

39)$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}=\frac{2+\left(\displaystyle \lim_{x→−5}g(x)\right)}{\displaystyle \lim_{x→−5}f(x)}=\frac{2+0}{2}=1$

40)$\displaystyle \lim_{x→1}(f(x))^2$

41)$\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x→1}f(x)−\lim_{x→1}g(x)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}$

42)$\displaystyle \lim_{x→−7}(x⋅g(x))$

43)$\displaystyle \lim_{x→−9}[x⋅f(x)+2⋅g(x)]$

Contestar: $\displaystyle \lim_{x→−9}(xf(x)+2g(x))=\left(\lim_{x→−9}x\right)\left(\lim_{x→−9}f(x)\right)+2\lim_{x→−9}g(x)=(−9)(6)+2(4)=−46$

Para los ejercicios 44 - 46, evalúe el límite usando el teorema de squeeze. Use una calculadora para graficar las funciones$f(x),\;g(x)$, y$h(x)$ cuando sea posible.

44) [T] ¿Verdadero o Falso? Si$2x−1≤g(x)≤x^2−2x+3$, entonces$\displaystyle \lim_{x→2}g(x)=0$.

45) [T]$\displaystyle \lim_{θ→0}θ^2\cos\left(\frac{1}{θ}\right)$

Contestar

El límite es cero.

$El gráfico de tres funciones sobre el dominio [-1,1], coloreado rojo, verde y azul de la siguiente manera: rojo: theta^2, verde: theta^2 * cos (1/theta) y azul: - (theta^2). Las funciones roja y azul se abren hacia arriba y hacia abajo respectivamente como paráguilas con vértices en el origen. La función verde queda atrapada entre los dos.$

46)$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)$, donde$f(x)=\begin{cases}0, & x\text{ rational}\\ x^2, & x\text{ irrrational}\end{cases}$

47) [T] En la física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia$r$ en vacío se rige por la ley de Coulomb:$E(r)=\dfrac{q}{4πε_0r^2}$, donde$E$ representa la magnitud del campo eléctrico,$q$ es la carga de la partícula,$r$ es la distancia entre el partícula y donde se mide la fuerza del campo, y$\dfrac{1}{4πε_0}$ es la constante de Coulomb:$8.988×109N⋅m^2/C^2$.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$E(r)$ dado que la carga de la partícula es$q=10^{−10}$.

b. Evaluar$\displaystyle \lim_{r→0^+}E(r)$. ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué estás evaluando desde la derecha?

Contestar

$Una gráfica de una función con dos curvas. El primero está en el cuadrante dos y se curva asintóticamente hasta el infinito a lo largo del eje y y a 0 a lo largo del eje x a medida que x va al infinito negativo. El segundo está en el cuadrante uno y se curva asintóticamente hasta el infinito a lo largo del eje y y a 0 a lo largo del eje x a medida que x va al infinito.$

b. ∞. La magnitud del campo eléctrico a medida que te acercas a la partícula q se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa.

48) [T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen:$ρ=m/V.$

a. use una calculadora para trazar el volumen en función de la densidad$(V=m/ρ)$, asumiendo que está examinando algo de masa$8$ kg ($m=8$).

b. Evaluar$\displaystyle \lim_{x→0^+}V(\rho)$ y explicar el significado físico.

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type