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# 3.5E: Ejercicios para la Sección 3.5

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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En los ejercicios 1 - 10, encuentra$$\dfrac{dy}{dx}$$ para las funciones dadas.

1)$$y=x^2−\sec x+1$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=2x−\sec x\tan x$$

2)$$y=3\csc x+\dfrac{5}{x}$$

3)$$y=x^2\cot x$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=2x\cot x−x^2\csc^2 x$$

4)$$y=x−x^3\sin x$$

5)$$y=\dfrac{\sec x}{x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\sec x\tan x−\sec x}{x^2}$$

6)$$y=\sin x\tan x$$

7)$$y=(x+\cos x)(1−\sin x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=(1−\sin x)(1−\sin x)−\cos x(x+\cos x)$$

8)$$y=\dfrac{\tan x}{1−\sec x}$$

9)$$y=\dfrac{1−\cot x}{1+\cot x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^2 x}{(1+\cot x)^2}$$

10)$$y=(\cos x)(1+\csc x)$$

En los ejercicios 11 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangente a cada una de las funciones dadas en los valores indicados de$$x$$. Luego usa una calculadora para graficar tanto la función como la línea tangente para asegurar que la ecuación para la línea tangente sea correcta.

11) [T]$$f(x)=−\sin x,\quad x=0$$

Contestar

$$y=−x$$

12) [T]$$f(x)=\csc x,\quad x=\frac{π}{2}$$

13) [T]$$f(x)=1+\cos x,\quad x=\frac{3π}{2}$$

Contestar

$$y=x+\frac{2−3π}{2}$$

14) [T]$$f(x)=\sec x,\quad x=\frac{π}{4}$$

15) [T]$$f(x)=x^2−\tan x, \quad x=0$$

Contestar

$$y=−x$$

16) [T]$$f(x)=5\cot x, \quad x=\frac{π}{4}$$

En los ejercicios 17 - 22, encuentra$$\dfrac{d^2y}{dx^2}$$ para las funciones dadas.

17)$$y=x\sin x−\cos x$$

Contestar
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 3\cos x−x\sin x$$

18)$$y=\sin x\cos x$$

19)$$y=x−\frac{1}{2}\sin x$$

Contestar
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\sin x$$

20)$$y=\dfrac{1}{x}+\tan x$$

21)$$y=2\csc x$$

Contestar
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 2\csc(x)\left(\csc^2(x)+\cot^2(x)\right)$$

22)$$y=\sec^2 x$$

23) Encuentra todos$$x$$ los valores en la gráfica de$$f(x)=−3\sin x\cos x$$ donde la línea tangente es horizontal.

Contestar
$$x = \dfrac{(2n+1)π}{4}$$, donde$$n$$ es un número entero

24) Encuentra todos$$x$$ los valores en la gráfica de$$f(x)=x−2\cos x$$ para$$0<x<2π$$ donde la línea tangente tiene pendiente 2.

25) Dejar$$f(x)=\cot x.$$ Determinar los puntos en la gráfica de$$f$$ para$$0<x<2π$$ donde la (s) línea (s) tangente (s) es (son) paralela a la línea$$y=−2x$$.

Contestar
$$\left(\frac{π}{4},1\right),\quad \left(\frac{3π}{4},−1\right),\quad\left(\frac{5π}{4},1\right),\quad \left(\frac{7π}{4},−1\right)$$

26) [T] Una masa en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en simple movimiento armónico, modelada por la función$$s(t)=−6\cos t$$ donde s se mide en pulgadas y$$t$$ se mide en segundos. Encuentre la velocidad a la que el resorte oscila en$$t=5$$ s.

27) Dejar que la posición de un péndulo oscilante en simple movimiento armónico sea dada por$$s(t)=a\cos t+b\sin t$$. Encuentra las constantes$$a$$ y$$b$$ tal que cuando la velocidad es de 3 cm/s,$$s=0$$ y$$t=0$$.

Contestar
$$a=0,\quad b=3$$

28) Después de que un buceador salta de una tabla de buceo, el borde de la tabla oscila con la posición dada por$$s(t)=−5\cos t$$ cm a$$t$$ segundos después del salto.

a. Esbozar un periodo de la función de posición para$$t≥0$$.

b. Encuentra la función de velocidad.

c. Esbozar un periodo de la función de velocidad para$$t≥0$$.

d. Determinar los tiempos en que la velocidad es$$0$$ superior a un periodo.

e. Encuentra la función de aceleración.

f. Esbozar un periodo de la función de aceleración para$$t≥0$$.

29) El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, viene dado por$$y=10+5\sin x$$ dónde$$y$$ está el número de hamburguesas vendidas y$$x$$ representa el número de horas después de que el restaurante abrió a las 11 de la mañana hasta las 11 de la noche, cuando cierra la tienda. Encuentra$$y'$$ y determina los intervalos donde va en aumento el número de hamburguesas que se venden.

Contestar
$$y′=5\cos(x)$$, aumentando en$$\left(0,\frac{π}{2}\right),\;\left(\frac{3π}{2},\frac{5π}{2}\right)$$, y$$\left(\frac{7π}{2},12\right)$$

30) [T] La cantidad de lluvias mensuales en Phoenix, Arizona, puede aproximarse por$$y(t)=0.5+0.3\cos t$$, donde$$t$$ es meses desde enero. Encuentre$$y′$$ y use una calculadora para determinar los intervalos donde la cantidad de lluvia que cae está disminuyendo.

Para los ejercicios 31 - 33, use la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas.

31)$$\dfrac{d}{dx}(\cot x)=−\csc^2x$$

32)$$\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$$

33)$$\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x$$

34) Utilizar la definición de derivado y la identidad$$\cos(x+h)=\cos x\cos h−\sin x\sin h$$ para demostrarlo$$\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x$$.

Para los ejercicios 35 - 39, encuentre la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas.

35)$$\dfrac{d^3y}{dx^3}$$ de$$y=3\cos x$$

Contestar
$$\dfrac{d^3y}{dx^3} = 3\sin x$$

36)$$\dfrac{d^2y}{dx^2}$$ de$$y=3\sin x+x^2\cos x$$

37)$$\dfrac{d^4y}{dx^4}$$ de$$y=5\cos x$$

Contestar
$$\dfrac{d^4y}{dx^4} = 5\cos x$$

38)$$\dfrac{d^2y}{dx^2}$$ de$$y=\sec x+\cot x$$

39)$$\dfrac{d^3y}{dx^3}$$ de$$y=x^{10}−\sec x$$

Contestar
$$\dfrac{d^3y}{dx^3} = 720x^7−5\tan(x)\sec^3(x)−\tan^3(x)\sec(x)$$

3.5E: Ejercicios para la Sección 3.5 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.