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# 3.8E: Ejercicios para la Sección 3.8

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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En los ejercicios 1 - 10, utilizar la diferenciación implícita para encontrar$$\dfrac{dy}{dx}$$.

1)$$x^2−y^2=4$$

2)$$6x^2+3y^2=12$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−2x}{y}$$

3)$$x^2y=y−7$$

4)$$3x^3+9xy^2=5x^3$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{3y}−\dfrac{y}{2x}$$

5)$$xy−\cos(xy)=1$$

6)$$y\sqrt{x+4}=xy+8$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y−\dfrac{y}{2\sqrt{x+4}}}{\sqrt{x+4}−x}$$

7)$$−xy−2=\frac{x}{7}$$

8)$$y\sin(xy)=y^2+2$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2\cos(xy)}{2y−\sin(xy)−xy\cos(xy)}$$

9)$$(xy)^2+3x=y^2$$

10)$$x^3y+xy^3=−8$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−3x^2y−y^3}{x^3+3xy^2}$$

Para los ejercicios 11 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado. Use una calculadora o software de computadora para graficar la función y la línea tangente.

11) [T]$$x^4y−xy^3=−2, \quad (−1,−1)$$

12) [T]$$x^2y^2+5xy=14,\quad (2,1)$$

Contestar

$$y=−\frac{1}{2}x+2$$

13) [T]$$\tan(xy)=y,\quad \left(\frac{π}{4},1\right)$$

14) [T]$$xy^2+\sin(πy)−2x^2=10, \quad (2,−3)$$

Contestar

$$y=\frac{1}{π+12}x−\frac{3π+38}{π+12}$$

15) [T]$$\dfrac{x}{y}+5x−7=−\frac{3}{4}y, \quad (1,2)$$

16) [T]$$xy+\sin(x)=1,\quad \left(\frac{π}{2},0\right)$$

Contestar

$$y=0$$

17) [T] La gráfica de un folium de Descartes con ecuación$$2x^3+2y^3−9xy=0$$ se da en la siguiente gráfica.

a. Encuentra la ecuación de la línea tangente en el punto$$(2,1)$$. Grafica la línea tangente junto con el folium.

b. Encuentra la ecuación de la línea normal a la línea tangente en a. en el punto$$(2,1)$$.

18) Para la ecuación$$x^2+2xy−3y^2=0,$$

a. Encuentra la ecuación de la línea normal a la tangente en el punto$$(1,1)$$.

b. ¿En qué otro punto la línea normal en a. interseca la gráfica de la ecuación?

Contestar
a.$$y=−x+2$$
b.$$(3,−1)$$

19) Encuentra todos los puntos de la gráfica$$y^3−27y=x^2−90$$ en los que la línea tangente es vertical.

20) Para la ecuación$$x^2+xy+y^2=7$$,

a. Encuentra la (s)$$x$$ intercepción (s).

b.Encuentra la pendiente de la (s) línea (s) tangente (s) en la (s)$$x$$ intersección (s).

c. ¿Qué indica el (los) valor (s) de la parte b. sobre la (s) línea (s) tangente (s)?

Contestar
a.$$\left(±\sqrt{7},0\right)$$
b.$$−2$$
c. Son paralelas ya que la pendiente es la misma en ambas intercepciones.

21) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la ecuación$$\sin^{−1}x+\sin^{−1}y=\frac{π}{6}$$ en el punto$$\left(0,\frac{1}{2}\right)$$.

22) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la ecuación$$\tan^{−1}(x+y)=x^2+\frac{π}{4}$$ en el punto$$(0,1)$$.

Contestar
$$y=−x+1$$

23) Encontrar$$y′$$ y$$y''$$ para$$x^2+6xy−2y^2=3$$.

24) [T] El número de celulares producidos cuando los$$x$$ dólares se gastan en mano de obra y los$$y$$ dólares se gastan en capital invertido por un fabricante pueden modelarse mediante la ecuación$$60x^{3/4}y^{1/4}=3240$$.

a. Encontrar$$\frac{dy}{dx}$$ y evaluar en el punto$$(81,16)$$.

b. Interpretar el resultado de a.

Contestar
a.$$\frac{dy}{dx}=−0.5926$$
b. Cuando se gastan 81 dólares en mano de obra y 16 dólares se gastan en capital, la cantidad gastada en capital disminuye en \$0.5926 por cada dólar gastado en mano de obra.

25) [T] El número de automóviles producidos cuando los$$x$$ dólares se gastan en mano de obra y los$$y$$ dólares se gastan en capital invertido por un fabricante pueden modelarse mediante la ecuación$$30x^{1/3}y^{2/3}=360$$.

(Ambos$$x$$ y$$y$$ se miden en miles de dólares.)

a. Encontrar$$\frac{dy}{dx}$$ y evaluar en el punto$$(27,8)$$.

b. Interpretar el resultado de la parte a.

26) El volumen de un cono circular derecho de radio$$x$$ y altura$$y$$ viene dado por$$V=\frac{1}{3}πx^2y$$. Supongamos que el volumen del cono es$$85π\,\text{cm}^3$$. Encuentra$$\dfrac{dy}{dx}$$ cuándo$$x=4$$ y$$y=16$$.

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −8$$

Para los ejercicios 27 - 28, considere una caja rectangular cerrada con una base cuadrada con lado$$x$$ y altura$$y$$.

27) Encontrar una ecuación para el área de superficie de la caja rectangular,$$S(x,y)$$.

28) Si el área de superficie de la caja rectangular es de 78 pies cuadrados, encuentre$$\dfrac{dy}{dx}$$ cuando$$x=3$$ pies y$$y=5$$ pies.

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −2.67$$

En los ejercicios 29 - 31, utilizar la diferenciación implícita para determinar$$y′$$. ¿La respuesta concuerda con las fórmulas que hemos determinado previamente?

29)$$x=\sin y$$

30)$$x=\cos y$$

Contestar
$$y′=−\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}$$

31)$$x=\tan y$$

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