3.9E: Ejercicios para la Sección 3.9
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En los ejercicios 1 - 15, encuentra\(f′(x)\) para cada función.
1)\(f(x)=x^2e^x\)
- Contestar
- \(f'(x) = 2xe^x+x^2e^x\)
2)\(f(x)=\dfrac{e^{−x}}{x}\)
3)\(f(x)=e^{x^3\ln x}\)
- Contestar
- \(f'(x) = e^{x^3\ln x}\left(3x^2\ln x+x^2\right)\)
4)\(f(x)=\sqrt{e^{2x}+2x}\)
5)\(f(x)=\dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\)
- Contestar
- \(f'(x) = \dfrac{4}{(e^x+e^{−x})^2}\)
6)\(f(x)=\dfrac{10^x}{\ln 10}\)
7)\(f(x)=2^{4x}+4x^2\)
- Contestar
- \(f'(x) = 2^{4x+2}⋅\ln 2+8x\)
8)\(f(x)=3^{\sin 3x}\)
9)\(f(x)=x^π⋅π^x\)
- Contestar
- \(f'(x) = πx^{π−1}⋅π^x+x^π⋅π^x\ln π\)
10)\(f(x)=\ln(4x^3+x)\)
11)\(f(x)=\ln\sqrt{5x−7}\)
- Contestar
- \(f'(x) = \dfrac{5}{2(5x−7)}\)
12)\(f(x)=x^2\ln 9x\)
13)\(f(x)=\log(\sec x)\)
- Contestar
- \(f'(x) = \dfrac{\tan x}{\ln 10}\)
14)\(f(x)=\log_7(6x^4+3)^5\)
15)\(f(x)=2^x⋅\log_37^{x^2−4}\)
- Contestar
- \(f'(x) = 2^x⋅\ln 2⋅\log_3 7^{x^2−4}+2^x⋅\dfrac{2x\ln 7}{\ln 3}\)
Para los ejercicios 16 - 23, use diferenciación logarítmica para encontrar\(\dfrac{dy}{dx}\).
16)\(y=x^{\sqrt{x}}\)
17)\(y=(\sin 2x)^{4x}\)
- Contestar
- \(\dfrac{dy}{dx} = (\sin 2x)^{4x}\big[4⋅\ln(\sin 2x)+8x⋅\cot 2x\big]\)
18)\(y=(\ln x)^{\ln x}\)
19)\(y=x^{\log_2x}\)
- Contestar
- \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\log_2x}⋅\dfrac{2\ln x}{x\ln 2}\)
20)\(y=(x^2−1)^{\ln x}\)
21)\(y=x^{\cot x}\)
- Contestar
- \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\cot x}⋅\left[−\csc^2x⋅\ln x+\dfrac{\cot x}{x}\right]\)
22)\(y=\dfrac{x+11}{\sqrt[3]{x^2−4}}\)
23)\(y=x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4\)
- Contestar
- \(\dfrac{dy}{dx} = x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4⋅\left[\dfrac{−1}{2x}+\dfrac{4x}{3(x^2+3)}+\dfrac{12}{3x−4}\right]\)
24) [T] Encuentra una ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(f(x)=4xe^{(x^2−1)}\) en el punto donde
\(x=−1.\)Grafica tanto la función como la línea tangente.
25) [T] Encuentra la ecuación de la línea que es normal a la gráfica de\(f(x)=x⋅5^x\) en el punto donde\(x=1\). Grafica tanto la función como la línea normal.
- Contestar
- \(y=\frac{−1}{5+5\ln 5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln 5}\right)\)
26) [T] Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(x^3−x\ln y+y^3=2x+5\) en el punto donde\(x=2\). (Pista: Utilice la diferenciación implícita para encontrar\(\dfrac{dy}{dx}\).) Grafica tanto la curva como la línea tangente.
27) Considerar la función\(y=x^{1/x}\) para\(x>0.\)
a. Determinar los puntos en la gráfica donde la línea tangente es horizontal.
b. Determinar los puntos en la gráfica dónde\(y′>0\) y aquellos dónde\(y′<0\).
- Contestar
- a.\(x=e \approx 2.718\)
b.\(y'>0 \text{ for } (0,e)\) y\(y'<0 \text{ for } (e,∞).\)
28) La fórmula\(I(t)=\dfrac{\sin t}{e^t}\) es la fórmula para una corriente alterna en descomposición.
a. Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes.
| \(t\) | \(\frac{\sin t}{e^t}\) |
|---|---|
| \ (t\) ">0 | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (i) |
| \ (t\) ">\(π/2\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (ii) |
| \ (t\) ">\(π\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (iii) |
| \ (t\) ">\(3π/2\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (vi) |
| \ (t\) ">\(2π\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (v) |
| \ (t\) ">\(2π\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (vi) |
| \ (t\) ">\(3π\) | \ (\ frac {\ sin t} {e^t}\) "> (vii) |
b. Utilizando únicamente los valores de la tabla, determinar dónde\(I(t)\) es horizontal la línea tangente a la gráfica de.
29) [T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era aproximadamente 500,000. Supongamos que la población está aumentando a una tasa de 5% anual.
a. Escribir la función exponencial que relaciona a la población total en función de\(t\).
b. Utilizar la parte a. para determinar la tasa a la que la población está aumentando en\(t\) años.
c. Utilizar la parte b. para determinar la tasa a la que la población está aumentando en 10 años
- Contestar
- a.\(P=500,000(1.05)^t\) individuos
b.\(P′(t)=24395⋅(1.05)^t\) individuos por año
c.\(39,737\) individuos por año
30) [T] Un isótopo del elemento erbio tiene una vida media de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente.
a. escribir la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de\(t\), medida en horas.
b. Utilizar a. para determinar la velocidad a la que la sustancia se desintegra en\(t\) horas.
c. Usar b. para determinar la tasa de decaimiento a las\(t=4\) horas.
31) [T] El número de casos de influenza en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1964 se modela por la función\(N(t)=5.3e^{0.093t^2−0.87t},(0≤t≤4)\), donde\(N(t)\) da el número de casos (en miles) y\(t\) se mide en años, con\(t=0\) correspondiente a principios de 1960.
a. mostrar el trabajo que evalúa\(N(0)\) y\(N(4)\). Describa brevemente lo que estos valores indican sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
b. Mostrar trabajo que evalúe\(N′(0)\) y\(N′(3)\). Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en Estados Unidos.
- Contestar
- a. A principios de 1960 había 5.3 mil casos de la enfermedad en la ciudad de Nueva York. A principios de 1963 había aproximadamente 723 casos de la enfermedad en Estados Unidos.
b. a principios de 1960 el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a razón de\(−4.611\) mil por año; a principios de 1963, el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a razón de\(−0.2808\) mil por año.
32) [T] La tasa relativa de cambio de una función\(y=f(x)\) diferenciable viene dada por\(\frac{100⋅f′(x)}{f(x)}%.\) Un modelo para el crecimiento poblacional es una función de crecimiento de Gompertz, dada por\(P(x)=ae^{−b⋅e^{−cx}}\) donde\(a,b\), y\(c\) son constantes.
a. Encuentre la fórmula relativa de la tasa de cambio para la función genérica de Gompertz.
b. Utilice la parte a. para encontrar la tasa relativa de cambio de una población en\(x=20\) meses cuando\(a=204,\;b=0.0198,\) y\(c=0.15.\)
c. Interpretar brevemente lo que significa el resultado de la parte b.
Para los ejercicios 33 - 36, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, dada en la siguiente tabla.
| Año desde 1790 | Población |
| 0 | 33,131 |
| 10 | 60,515 |
| 20 | 96,373 |
| 30 | 123,706 |
| 40 | 202,300 |
| 50 | 312,710 |
| 60 | 515,547 |
| 70 | 813,669 |
Población de la ciudad de Nueva York sobre el tiempoOrigen: http://en.Wikipedia.org/wiki/Largest... _Estados Unidos
_por_populación_por_década
33) [T] Usando un programa de computadora o una calculadora, ajustar una curva de crecimiento a los datos del formulario\(p=ab^t\).
- Contestar
- \(p=35741(1.045)^t\)
34) [T] Usando el mejor ajuste exponencial para los datos, escribir una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.
35) [T] Usando el mejor ajuste exponencial para los datos, escribir una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año.
- Contestar
-
Año desde 1790 \(P"\) 0 69.25 10 107.5 20 167.0 30 259.4 40 402.8 50 625.5 60 971.4 70 1508.5
36) [T] Utilizando las tablas de primera y segunda derivadas y el mejor ajuste, responda las siguientes preguntas:
a. ¿Será preciso el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué o por qué no?
b. Estimar la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de la parte A.?