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# 4.6E: Ejercicios para la Sección 4.6

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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Para los ejercicios 1 - 5, examine las gráficas. Identificar dónde se encuentran las asíntotas verticales.

1)

Contestar
$$x=1$$

2)

3)

Contestar
$$x=−1,\;x=2$$

4)

5)

Contestar
$$x=0$$

Para las funciones$$f(x)$$ en los ejercicios 6 - 10, determinar si hay una asíntota en$$x=a$$. Justifica tu respuesta sin graficar en una calculadora.

6)$$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+5x+4},\quad a=−1$$

7)$$f(x)=\dfrac{x}{x−2},\quad a=2$$

Contestar
Sí, hay una asíntota vertical en$$x = 2$$.

8)$$f(x)=(x+2)^{3/2},\quad a=−2$$

9)$$f(x)=(x−1)^{−1/3},\quad a=1$$

Contestar
Sí, hay asíntota vertical en$$x = 1$$.

10)$$f(x)=1+x^{−2/5},\quad a=1$$

En los ejercicios 11 - 20, evaluar el límite.

11)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{3x+6}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{3x+6} = 0$$

12)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{2x−5}{4x}$$

13)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x^2−2x+5}{x+2}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x^2−2x+5}{x+2} = ∞$$

14)$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{3x^3−2x}{x^2+2x+8}$$

15)$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x^4−4x^3+1}{2−2x^2−7x^4}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x^4−4x^3+1}{2−2x^2−7x^4} = −\frac{1}{7}$$

16)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$$

17)$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{\sqrt{4x^2−1}}{x+2}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{\sqrt{4x^2−1}}{x+2} = -2$$

18)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}}$$

19)$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{4x}{\sqrt{x^2−1}} = -4$$

20)$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{2\sqrt{x}}{x−\sqrt{x}+1}$$

Para los ejercicios 21 - 25, encuentra las asíntotas horizontales y verticales.

21)$$f(x)=x−\dfrac{9}{x}$$

Contestar
Horizontal: ninguno,
Vertical:$$x=0$$

22)$$f(x)=\dfrac{1}{1−x^2}$$

23)$$f(x)=\dfrac{x^3}{4−x^2}$$

Contestar
Horizontal: ninguno,
Vertical:$$x=±2$$

24)$$f(x)=\dfrac{x^2+3}{x^2+1}$$

25)$$f(x)=\sin(x)\sin(2x)$$

Contestar
Horizontal: ninguno,
Vertical: ninguno

26)$$f(x)=\cos x+\cos(3x)+\cos(5x)$$

27)$$f(x)=\dfrac{x\sin(x)}{x^2−1}$$

Contestar
Horizontal:$$y=0,$$
Vertical:$$x=±1$$

28)$$f(x)=\dfrac{x}{\sin(x)}$$

29)$$f(x)=\dfrac{1}{x^3+x^2}$$

Contestar
Horizontal:$$y=0,$$
Vertical:$$x=0$$ y$$x=−1$$

30)$$f(x)=\dfrac{1}{x−1}−2x$$

31)$$f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^3−1}$$

Contestar
Horizontal:$$y=1,$$
Vertical:$$x=1$$

32)$$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}$$

33)$$f(x)=x−\sin x$$

Contestar
Horizontal: ninguno,
Vertical: ninguno

34)$$f(x)=\dfrac{1}{x}−\sqrt{x}$$

Para los ejercicios 35 - 38, construir una función$$f(x)$$ que tenga las asíntotas dadas.

35)$$x=1$$ y$$y=2$$

Contestar
Las respuestas variarán, por ejemplo:$$y=\dfrac{2x}{x−1}$$

36)$$x=1$$ y$$y=0$$

37)$$y=4, \;x=−1$$

Contestar
Las respuestas variarán, por ejemplo:$$y=\dfrac{4x}{x+1}$$

38)$$x=0$$

En los ejercicios 39 - 43, grafica la función en una calculadora gráfica en la ventana$$x=[−5,5]$$ y estima la asíntota o límite horizontal. Después, calcule la asíntota o límite horizontal real.

39) [T]$$f(x)=\dfrac{1}{x+10}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{1}{x+10}=0$$así$$f$$ tiene una asíntota horizontal de$$y=0$$.

40) [T]$$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+7x+6}$$

41) [T]$$\displaystyle \lim_{x→−∞}x^2+10x+25$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→−∞}x^2+10x+25 = ∞$$

42) [T]$$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{x+2}{x^2+7x+6}$$

43) [T]$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x+2}{x+5}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{3x+2}{x+5}=3$$por lo que esta función tiene una asíntota horizontal de$$y=3$$.

En los ejercicios 44 - 55, dibuja una gráfica de las funciones sin usar una calculadora. Asegúrese de notar todas las características importantes de la gráfica: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.

44)$$y=3x^2+2x+4$$

45)$$y=x^3−3x^2+4$$

Contestar

46)$$y=\dfrac{2x+1}{x^2+6x+5}$$

47)$$y=\dfrac{x^3+4x^2+3x}{3x+9}$$

Contestar

48)$$y=\dfrac{x^2+x−2}{x^2−3x−4}$$

49)$$y=\sqrt{x^2−5x+4}$$

Contestar

50)$$y=2x\sqrt{16−x^2}$$

51)$$y=\dfrac{\cos x}{x}$$, el$$x=[−2π,2π]$$

Contestar

52)$$y=e^x−x^3$$

53)$$y=x\tan x, \quad x=[−π,π]$$

Contestar

54)$$y=x\ln(x), \quad x>0$$

55)$$y=x^2\sin(x),\quad x=[−2π,2π]$$

Contestar

56) ¿$$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$Para tener una asíntota en$$y=2$$ ese momento los polinomios$$P(x)$$ y$$Q(x)$$ debe tener qué relación?

57)$$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ Para tener una asíntota en$$x=0$$, entonces los polinomios$$P(x)$$ y$$Q(x).$$ deben tener ¿qué relación?

Contestar
$$Q(x).$$debe tener$$x^{k+1}$$ como factor, donde$$P(x)$$ tiene$$x^k$$ como factor.

58) Si$$f′(x)$$ tiene asíntotas en$$y=3$$ y$$x=1$$, entonces ¿qué asíntotas$$f(x)$$ tiene?

59) Ambos$$f(x)=\dfrac{1}{x−1}$$ y$$g(x)=\dfrac{1}{(x−1)^2}$$ tienen asíntotas en$$x=1$$ y$$y=0.$$ ¿Cuál es la diferencia más obvia entre estas dos funciones?

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)=-\infty \text{ and } \lim_{x→1^−}g(x)=\infty$$

60) Verdadero o falso: Cada proporción de polinomios tiene asíntotas verticales.

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