4.9E: Ejercicios para la Sección 4.9

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 a 5, escribe la fórmula de Newton como$x_{n+1}=F(x_n)$ para resolver$f(x)=0$.

1)$f(x)=x^2+1$

2)$f(x)=x^3+2x+1$

Responder: $F(x_n)=x_n−\dfrac{x_n^3+2x_n+1}{3x_n^2+2}$

3)$f(x)=\sin x$

4)$f(x)=e^x$

Responder: $F(x_n)=x_n−\dfrac{e^{x_n}}{e^{x_n}}$

5)$f(x)=x^3+3xe^x$

En los ejercicios 6 - 8, resuelve$f(x)=0$ usando la iteración$x_{n+1}=x_{n−c}f(x_n)$, que difiere ligeramente del método de Newton. Encuentra una$c$ que funcione y una$c$ que no pueda converger, con la excepción de$c=0.$

6)$f(x)=x^2−4,$ con$x_0=0$

Responder: $|c|>0.5$falla,$|c|≤0.5$ funciona

7)$f(x)=x^2−4x+3,$ con$x_0=2$

8) ¿Cuál es el valor de$“c”$ para el método de Newton?

Responder: $c=\dfrac{1}{f′(x_n)}$

En los ejercicios 9 - 16, computar$x_1$ y$x_2$ usar el método iterativo especificado.

Empezar en

a.$x_0=0.6$ y

b.$x_0=2.$

9)$x_{n+1}=x_n^2−\frac{1}{2}$

10)$x_{n+1}=2x_n\left(1−x_n\right)$

Responder: a.$ x_1=\frac{12}{25}, \; x_2=\frac{312}{625};$
b.$x_1=−4, \; x_2=−40$

11)$x_{n+1}=\sqrt{x_n}$

12)$x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{x_n}}$

Responder: a.$x_1=1.291, \; x_2=0.8801;$
b.$x_1=0.7071, \; x_2=1.189$

13)$x_{n+1}=3x_n(1−x_n)$

14)$x_{n+1}=x_n^2+x_{n−2}$

Responder: a.$x_1=−\frac{26}{25}, \; x_2=−\frac{1224}{625};$
b.$x_1=4, \;x_2=18$

15)$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n−1$

16)$x_{n+1}=|x_n|$

Responder: a.$x_1=\frac{6}{10},\; x_2=\frac{6}{10};$
b.$x_1=2, \; x_2=2$

En los ejercicios 17 - 26, resuelve a cuatro decimales usando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elige cualquier suposición inicial$x_0$ que no sea la raíz exacta.

17)$x^2−10=0$

18)$x^4−100=0$

Responder: $3.1623$o$−3.1623$

19)$x^2−x=0$

20)$x^3−x=0$

Contestar: $0,$$−1$o$1$

21)$x+5\cos x=0$

22)$x+\tan x =0,$ elegir$x_0∈\left(−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)$

Contestar: $0$

23)$\dfrac{1}{1−x}=2$

24)$1+x+x^2+x^3+x^4=2$

Contestar: $0.5188$o$−1.2906$

25)$x^3+(x+1)^3=10^3$

26)$x=\sin^2(x)$

Contestar: $0$

En los ejercicios 27 - 30, usa el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función where$f(x)=x$; redondear a tres decimales.

27)$\sin x$

28)$\tan x$ en$x=\left(\frac{π}{2},\frac{3π}{2}\right)$

Contestar: $4.493$

29)$e^x−2$

30)$\ln(x)+2$

Contestar: $0.159,\; 3.146$

El método de Newton se puede utilizar para encontrar máximos y mínimos de funciones además de las raíces. En este caso aplicar el método de Newton a la función derivada$f′(x)$ para encontrar sus raíces, en lugar de la función original. En los ejercicios 31 - 32, considere la formulación del método.

31) Para encontrar candidatos a máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos$f′(x)=0.$ Mostrar que para resolver los puntos críticos de una función$f(x)$, el método de Newton viene dado por$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f′(x_n)}{f''(x_n)}$.

32) ¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función$f$?

Contestar: Tenemos que$f$ ser dos veces continuamente diferenciables.

En los ejercicios 33 - 40, utilice el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos y/o máximos locales de las siguientes funciones; redondear a tres decimales.

33) Mínimo de$f(x)=x^2+2x+4$

34) Mínimo de$f(x)=3x^3+2x^2−16$

Contestar: $x=0$

35) Mínimo de$f(x)=x^2e^x$

36) Máximo de$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$

Contestar: $x=−1$

37) Máximo de$f(x)=x^3+10x^2+15x−2$

38) Máximo de$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x}$

Contestar: $x=5.619$

39) Mínimo del mínimo no nulo$f(x)=x^2\sin x,$ más cercano a$x=0$

40) Mínimo de$f(x)=x^4+x^3+3x^2+12x+6$

Contestar: $x=−1.326$

En los ejercicios 41 - 44, utilice el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué no funciona.

41) El método de Newton,$x^2+2=0$

42) El método de Newton,$0=e^x$

Contestar: No hay solución a la ecuación.

43) Método de Newton, a$0=1+x^2$ partir de$x_0=0$

44) Resolviendo a$x_{n+1}=−x_n^3$ partir de$x_0=−1$

Contestar: Entra en un ciclo.

En los ejercicios 45 - 48, utilice el método secante, un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula viene dada por

$x_n=x_{n−1}−f(x_{n−1})\dfrac{x_{n−1}−x_{n−2}}{f(x_{n−1})−f(x_{n−2})}.$

45) una raíz para una$0=x^2−x−3$ precisión de tres decimales.

46) Encuentra una raíz para una$0=\sin x+3x$ precisión de cuatro decimales.

Contestar: $0$

47) Encuentra una raíz para una$0=e^x−2$ precisión de cuatro decimales.

48) Encuentra una raíz para una$\ln(x+2)=\dfrac{1}{2}$ precisión de cuatro decimales.

Contestar: $−0.3513$

49) ¿Por qué usarías el método secante sobre el método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias$f$?

En los ejercicios 50 - 54, use tanto el método de Newton como el método secante para calcular una raíz para las siguientes ecuaciones. Use una calculadora o computadora para calcular cuántas iteraciones de cada una se necesitan para alcanzar dentro de los tres decimales de la respuesta exacta. Para el método secante, usa la primera conjetura del método de Newton.

50)$f(x)=x^2+2x+1,\quad x_0=1$

Contestar: Newton:$11$ iteraciones, secante:$16$ iteraciones

51)$f(x)=x^2, \quad x_0=1$

52)$f(x)=\sin x, \quad x_0=1$

Contestar: Newton: tres iteraciones, secante: seis iteraciones

53)$f(x)=e^x−1, \quad x_0=2$

54)$f(x)=x^3+2x+4, \quad x_0=0$

Contestar: Newton: cinco iteraciones, secante: ocho iteraciones

En los ejercicios 55 - 56, considere la ecuación de Kepler respecto a las órbitas planetarias$M=E−ε\sin(E)$, donde$M$ está la anomalía media,$E$ es la anomalía excéntrica, y$ε$ mide la excentricidad.

55) Utilizar el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica$E$ cuando la anomalía media$M=\frac{π}{3}$ y la excentricidad de la órbita$ε=0.25;$ rondan a tres decimales.

56) Utilizar el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica$E$ cuando la anomalía media$M=\frac{3π}{2}$ y la excentricidad de la órbita$ε=0.8;$ rondan a tres decimales.

Contestar: $E=4.071$

En los ejercicios 57 - 58, considere una inversión bancaria. La inversión inicial es$$10,000$. Después de$25$ años, la inversión se ha triplicado$$30,000.$

57) Utilizar el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se compuso anualmente.

58) Utilizar el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se compuso continuamente.

Contestar: $4.394%$

59) El costo de impresión de un libro puede ser dado por la ecuación$C(x)=1000+12x+\frac{1}{2}x^{2/3}$. Utilice el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la impresora vende cada libro por$$20.$