Saltar al contenido principal

# 4.10E: Ejercicios para la Sección 4.10

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 20, encuentra la antiderivada$$F(x)$$ de cada función$$f(x).$$

1)$$f(x)=\dfrac{1}{x^2}+x$$

2)$$f(x)=e^x−3x^2+\sin x$$

Responder
$$F(x)=e^x−x^3−\cos x+C$$

3)$$f(x)=e^x+3x−x^2$$

4)$$f(x)=x−1+4\sin(2x)$$

Responder
$$F(x)=\dfrac{x^2}{2}−x−2\cos(2x)+C$$

5)$$f(x)=5x^4+4x^5$$

6)$$f(x)=x+12x^2$$

Responder
$$F(x)=\frac{1}{2}x^2+4x^3+C$$

7)$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$

8)$$f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^3$$

Responder
$$F(x)=\frac{2}{5}\left(\sqrt{x}\right)^5+C$$

9)$$f(x)=x^{1/3}+\big(2x\big)^{1/3}$$

10)$$f(x)=\dfrac{x^{1/3}}{x^{2/3}}$$

Responder
$$F(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}+C$$

11)$$f(x)=2\sin(x)+\sin(2x)$$

12)$$f(x)=\sec^2 x +1$$

Responder
$$F(x)=x+\tan x+C$$

13)$$f(x)=\sin x\cos x$$

14)$$f(x)=\sin^2(x)\cos(x)$$

Responder
$$F(x)=\frac{1}{3}\sin^3(x)+C$$

15)$$f(x)=0$$

16)$$f(x)=\frac{1}{2}\csc^2 x+\dfrac{1}{x^2}$$

Responder
$$F(x)=−\frac{1}{2}\cot x −\dfrac{1}{x}+C$$

17)$$f(x)=\csc x\cot x+3x$$

18)$$f(x)=4\csc x\cot x−\sec x\tan x$$

Responder
$$F(x)=−\sec x−4\csc x+C$$

19)$$f(x)=8(\sec x)\big(\sec x−4\tan x\big)$$

20)$$f(x)=\frac{1}{2}e^{−4x}+\sin x$$

Responder
$$F(x)=−\frac{1}{8}e^{−4x}−\cos x+C$$

Para los ejercicios 21 - 29, evaluar la integral.

21)$$\displaystyle ∫(−1)\,dx$$

22)$$\displaystyle ∫\sin x\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\sin x\,dx = −\cos x+C$$

23)$$\displaystyle ∫\big(4x+\sqrt{x}\big)\,dx$$

24)$$\displaystyle ∫\frac{3x^2+2}{x^2}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{3x^2+2}{x^2}\,dx=3x−\frac{2}{x}+C$$

25)$$\displaystyle ∫\big(\sec x\tan x+4x\big)\,dx$$

26)$$\displaystyle ∫\big(4\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\big)\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\big(4\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\big)\,dx=\frac{8}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/4}+C$$

27)$$\displaystyle ∫\left(x^{−1/3}−x^{2/3}\right)\,dx$$

28)$$\displaystyle ∫\frac{14x^3+2x+1}{x^3}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{14x^3+2x+1}{x^3}\,dx=14x−\frac{2}{x}−\frac{1}{2x^2}+C$$

29)$$\displaystyle ∫\big(e^x+e^{−x}\big)\,dx$$

En los ejercicios 30 - 34, resolver el problema de valor inicial.

30)$$f′(x)=x^{−3},\quad f(1)=1$$

Responder
$$f(x)=−\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{3}{2}$$

31)$$f′(x)=\sqrt{x}+x^2,\quad f(0)=2$$

32)$$f′(x)=\cos x+\sec^2(x),\quad f(\frac{π}{4})=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Responder
$$f(x)=\sin x+\tan x+1$$

33)$$f′(x)=x^3−8x^2+16x+1,\quad f(0)=0$$

34)$$f′(x)=\dfrac{2}{x^2}−\dfrac{x^2}{2},\quad f(1)=0$$

Responder
$$f(x)=−\frac{1}{6}x^3−\dfrac{2}{x}+\dfrac{13}{6}$$

En los ejercicios 35 - 39, encontrar dos funciones posibles$$f$$ dadas las derivadas de segundo o tercer orden

35)$$f''(x)=x^2+2$$

36)$$f''(x)=e^{−x}$$

Responder
Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es$$f(x)=e^{−x}$$

37)$$f''(x)=1+x$$

38)$$f'''(x)=\cos x$$

Responder
Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es$$f(x)=−\sin x$$

39)$$f'''(x)=8e^{−2x}−\sin x$$

40) Un automóvil está siendo conducido a una velocidad de$$40$$ mph cuando se aplican los frenos. El auto desacelera a un ritmo constante de$$10\, \text{ft/sec}^2$$. ¿Cuánto falta para el auto?

Responder
$$5.867$$sec

41) En el problema anterior, calcule hasta dónde viaja el automóvil en el tiempo que tarda en detenerse.

42) Se está fusionando en la autopista, acelerando a un ritmo constante de$$12\, \text{ft/sec}^2$$. ¿Cuánto tiempo te lleva alcanzar la velocidad de fusión a$$60$$ mph?

Responder
$$7.333$$sec

43) Con base en el problema anterior, ¿hasta dónde viaja el automóvil para alcanzar la velocidad de fusión?

44) Una compañía de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más nuevo pueda detenerse en$$8$$ segundos cuando viaja a$$75$$ mph. Si asumimos una desaceleración constante, encuentra el valor de desaceleración que logra esto.

Responder
$$13.75\, \text{ft/sec}^2$$

45) Una compañía de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más nuevo pueda detenerse en menos de$$450$$ pies cuando viaja a$$60$$ mph. Si asumimos una desaceleración constante, encuentra el valor de desaceleración que logra esto.

En los ejercicios 46 - 51, encuentra la antiderivada de la función, asumiendo$$F(0)=0.$$

46) [T]$$\quad f(x)=x^2+2$$

Responder
$$F(x)=\frac{1}{3}x^3+2x$$

47) [T]$$\quad f(x)=4x−\sqrt{x}$$

48) [T]$$\quad f(x)=\sin x+2x$$

Responder
$$F(x)=x^2−\cos x+1$$

49) [T]$$\quad f(x)=e^x$$

50) [T]$$\quad f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$$

Responder
$$F(x)=−\dfrac{1}{x+1}+1$$

51) [T]$$\quad f(x)=e^{−2x}+3x^2$$

En los ejercicios 52 - 55, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. O probar que es cierto o encontrar un contraejemplo si es falso.

52) Si$$f(x)$$ es el antiderivado de$$v(x)$$, entonces$$2f(x)$$ es el antiderivado de$$2v(x).$$

Responder
Cierto

53) Si$$f(x)$$ es el antiderivado de$$v(x)$$, entonces$$f(2x)$$ es el antiderivado de$$v(2x).$$

54) Si$$f(x)$$ es el antiderivado de$$v(x),$$ entonces$$f(x)+1$$ es el antiderivado de$$v(x)+1.$$

Responder
Falso

55) Si$$f(x)$$ es el antiderivado de$$v(x)$$, entonces$$(f(x))^2$$ es el antiderivado de$$(v(x))^2.$$

4.10E: Ejercicios para la Sección 4.10 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.