5.4: Las fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Objetivos de aprendizaje

• Aplicar las fórmulas básicas de integración.
• Explicar la significancia del teorema del cambio neto.
• Utilizar el teorema del cambio neto para resolver problemas aplicados.
• Aplicar las integrales de las funciones pares e impares.

En esta sección, utilizamos algunas fórmulas básicas de integración estudiadas previamente para resolver algunos problemas clave aplicados. Es importante señalar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas. Si bien las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave a tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una sola función (cuando uno o ambos de los límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales difieren por una constante. A medida que se familiarice con la integración, tendrá una idea de cuándo usar integrales definidas y cuándo usar integrales indefinidas. Naturalmente seleccionarás el enfoque correcto para un problema dado sin pensar demasiado en ello. Sin embargo, hasta que estos conceptos se cimenten en tu mente, piensa detenidamente si necesitas una integral definida o una integral indefinida y asegúrate de que estás usando la notación adecuada basada en tu elección.

Fórmulas básicas de integración

Recordemos las fórmulas de integración dadas en la sección de Antiderivados y las propiedades de integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas y propiedades.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Integrating a Function Using the Power Rule

Utilice la regla de poder para integrar la función\( \displaystyle ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt\).

Solución

El primer paso es reescribir la función y simplificarla para que podamos aplicar la regla de poder:

\[ \begin{align*} ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt &=∫^4_1t^{1/2}(1+t)\,dt \\[4pt] &=∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt. \end{align*}\]

Ahora aplica la regla de poder:

\[ \begin{align*} ∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt &= \left . \left(\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{2}{5}t^{5/2}\right) \right|^4_1 \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(4)^{3/2}+\frac{2}{5}(4)^{5/2} \right]− \left[\frac{2}{3}(1)^{3/2}+\frac{2}{5}(1)^{5/2}\right] \\[4pt] &=\frac{256}{15}. \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la integral definitiva de\( f(x)=x^2−3x\) sobre el intervalo\([1,3].\)

Pista

Sigue el proceso de Ejemplo\(\PageIndex{1}\) para resolver el problema.

Contestar

\[ \int_1^3 \left(x^2 - 3x\right) \, dx = −\frac{10}{3} \nonumber \]

El Teorema del Cambio Neto

El teorema del cambio neto considera la integral de una tasa de cambio. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor equivale al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula se puede expresar de dos maneras. El segundo es más familiar; es simplemente la integral definitiva.

Teorema de Cambio Neto

El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio:

\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)dx \label{Net1} \]

o

\[∫^b_aF'(x)dx=F(b)−F(a). \label{Net2} \]

Restar\(F(a)\) de ambos lados de la Ecuación\ ref {Net1} produce la Ecuación\ ref {Net2}. Ya que son fórmulas equivalentes, cuál usamos depende de la aplicación.

La significancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto se puede aplicar al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto da cuenta automáticamente de cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrar, apliquemos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento.

Miramos un ejemplo sencillo de esto en la sección El Integral Definitivo. Supongamos que un automóvil se mueve hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p.m. y las 4 p.m., luego el automóvil se mueve hacia el sur a 30 mph entre las 4 p.m. y las 5 p.m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): La gráfica muestra la velocidad versus el tiempo para el movimiento dado de un automóvil.

Tal como lo hicimos antes, podemos usar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto así como la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por

\[ ∫^5_2v(t)\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_4−30\,dt=80−30=50. \nonumber \]

Así, a las 5 de la tarde el automóvil se encuentra a 50 mi al norte de su posición inicial. La distancia total recorrida viene dada por

\[ ∫^5_2|v(t)|\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_430\,dt=80+30=110. \nonumber \]

Por lo tanto, entre las 2 p.m. y las 5 p.m., el automóvil recorrió un total de 110 millas.

En resumen, el desplazamiento neto puede incluir valores tanto positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad representa tanto la distancia hacia delante como la distancia hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad a lo largo del intervalo. La distancia total recorrida, por otro lado, siempre es positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, necesitamos integrar el valor absoluto de la función de velocidad.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding Net Displacement

Dada una función de velocidad\(v(t)=3t−5\) (en metros por segundo) para una partícula en movimiento de vez\(t=0\) en cuando se\(t=3,\) encuentra el desplazamiento neto de la partícula.

Solución

Aplicando el teorema del cambio neto, tenemos

\[ ∫^3_0(3t−5)\,dt=\left(\frac{3t^2}{2}−5t\right)\bigg|^3_0=\left[\frac{3(3)^2}{2}−5(3)\right]−0=\frac{27}{2}−15=\frac{27}{2}−\frac{30}{2}=−\frac{3}{2}. \nonumber \]

El desplazamiento neto es\( −\frac{3}{2}\) m (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): La gráfica muestra la velocidad versus el tiempo para una partícula que se mueve con una función de velocidad lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding the Total Distance Traveled

Use Ejemplo\(\PageIndex{2}\) para encontrar la distancia total recorrida por una partícula de acuerdo con la función de velocidad\(v(t)=3t−5\) m/seg durante un intervalo de tiempo\([0,3].\)

Solución

La distancia total recorrida incluye tanto los valores positivos como los negativos. Por lo tanto, debemos integrar el valor absoluto de la función de velocidad para encontrar la distancia total recorrida.

Para continuar con el ejemplo, usa dos integrales para encontrar la distancia total. Primero, encuentra la\(t\) -intercepción de la función, ya que ahí es donde ocurre la división del intervalo. Establezca la ecuación igual a cero y resuelva para\(t\). Por lo tanto,

\[ \begin{align*} 3t−5 &=0 \\[4pt] 3t &=5 \\[4pt] t &=\frac{5}{3}. \end{align*}\]

Los dos subintervalos son\( \left[0,\frac{5}{3}\right]\) y\( \left[\frac{5}{3},3\right]\). Para encontrar la distancia total recorrida, integre el valor absoluto de la función. Dado que la función es negativa sobre el intervalo\(\left[0,\frac{5}{3}\right]\), tenemos\(\big|v(t)\big|=−v(t)\) sobre ese intervalo. Terminado\(\left[ \frac{5}{3},3\right]\), la función es positiva, entonces\(\big|v(t)\big|=v(t)\). Por lo tanto, tenemos

\ [\ begin {align*} ^3_0|v (t) |\, dt &=^ {5/3} _0−v (t)\, dt+^3_ {5/3} v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {5/3} _0 5−3t\, dt+^3_ {5/3} 3t−5\, dt\\ [4pt]
&=\ izquierda (5t−\ frac {3t^2} {2}\ derecha)\ bigg|^ {5/3} _0+\ izquierda (\ frac {3t^2} {2} −5t\ derecha)\ bigg|^3_ {5/3}\\ [4pt]
&=\ izquierda [5 (\ frac {5} {3}) −\ frac {3 (5/3) ^2} {2}\ derecha] −0+\ izquierda [\ frac {27} {2} −15\ derecha] −\ izquierda [\ frac {3 (5/3) ^2} {2} −\ frac {25} {3}\ derecha]\\ [4pt]
&=\ frac {25} {3} −\ frac {25} 6} +\ frac {27} {2} −15−\ frac {25} {6} +\ frac {25} {3}\\ [4pt]
&=\ frac {41} {6}\ end {align*}\]

Entonces, la distancia total recorrida es\( \frac{14}{6}\) m.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad\(f(t)=\frac{1}{2}e^t−2\) a lo largo del intervalo\([0,2]\).

Pista

Siga los procedimientos de Ejemplos\(\PageIndex{2}\) y\(\PageIndex{3}\). Tenga en cuenta que\(f(t)≤0\) para\(t≤\ln 4\) y\(f(t)≥0\) para\(t≥\ln 4\).

Contestar

Desplazamiento neto:\( \frac{e^2−9}{2}≈−0.8055\) m; distancia total recorrida:\( 4\ln 4−7.5+\frac{e^2}{2}≈1.740\) m.

Aplicación del Teorema del Cambio Neto

El teorema del cambio neto se puede aplicar al flujo y consumo de fluidos, como se muestra en Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): How Many Gallons of Gasoline Are Consumed?

Si el motor de una lancha se arranca a las\(t=0\) y el barco consume gasolina a razón de\(5−t^3\) gal/hr, ¿cuánta gasolina se usa en las primeras\(2\) horas?

Solución

Expresar el problema como una integral definida, integrar y evaluar utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Los límites de integración son los puntos finales del intervalo [0,2]. Tenemos

\[ \begin{align*} ∫^2_0\left(5−t^3\right)\,dt &=\left(5t−\frac{t^4}{4}\right)∣^2_0 \\[4pt] &=\left[5(2)−\frac{(2)^4}{4}\right]−0 \\[4pt] &=10−\frac{16}{4} \\[4pt] &=6. \end{align*} \nonumber \]

Así, la lancha utiliza\(6\) gal de gas en\(2\) horas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Chapter Opener: Iceboats

Como vimos al comienzo del capítulo, los mejores corredores de hielo pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Andrew es un iceboater intermedio, sin embargo, por lo que alcanza velocidades iguales a sólo el doble de la velocidad del viento.

Figura\(\PageIndex{3}\): (crédito: modificación de obra de Carter Brown, Flickr)

Supongamos que Andrew saca su hielera una mañana cuando una brisa ligera\(5\) de mph ha estado soplando toda la mañana. Sin embargo, a medida que Andrew pone su barco de hielo, el viento comienza a repuntar. Durante su primera media hora de navegación en hielo, la velocidad del viento aumenta según la función\(v(t)=20t+5.\) Para la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento se mantiene constante a\(15\) mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\15, & \text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases} \nonumber \]

Recordando que el barco de hielo de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y asumiendo que se mueve en línea recta alejándose de su punto de partida, ¿a qué distancia está Andrew de su punto de partida tras\(1\) hora?

Solución

Para averiguar hasta dónde ha viajado Andrew, necesitamos integrar su velocidad, que es el doble de la velocidad del viento. Entonces

\[\text{Distance} = ∫^1_02v(t)\,dt. \nonumber \]

Sustituyendo las expresiones por las que nos dieron\(v(t)\), obtenemos

\ [\ begin {align*} ^1_02v (t)\, dt &=^ {1/2} _02v (t)\, dt+^1_ {1/2} 2v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {1/2} _02 (20t+5)\, dt+^1_ {1/3} 2 (15)\, dt\ [4pt]
&=^ {1/2} _0 (40t+10)\, dt+^1_ {1/2} 30\, dt\\ [4pt]
&=\ grande [20t^2+10t\ grande]\ bigg|^ {1/2} _0+\ grande [30t\ grande]\ bigg|^1_ {1/2}\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ frac {20} {4} +5\ derecha) −0+ (30−15)\\ [4pt]
&=25. \ end {alinear*}\]

Andrew está a 25 km de su punto de partida después de 1 hora.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que, en lugar de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento comienza a disminuir de acuerdo con la función\(v(t)=−10t+15.\) En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\−10t+15, &\text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases}. \nonumber \]

Bajo estas condiciones, ¿a qué distancia de su punto de partida está Andrew después de 1 hora?

Pista

No olvides que el barco de hielo de Andrew se mueve el doble de rápido que el viento.

Contestar

\(17.5\)mi

Integración de funciones pares e impares

Vimos en Funciones y Gráficas que una función par es una función en la que\(f(−x)=f(x)\) para todos\(x\) en el dominio, es decir, la gráfica de la curva no cambia cuando\(x\) se reemplaza por\(−x\). Las gráficas de las funciones pares son simétricas alrededor del\(y\) eje. Una función impar es aquella en la que\(f(−x)=−f(x)\) para todos\(x\) en el dominio, y la gráfica de la función es simétrica sobre el origen.

Integrales de funciones pares, cuando los límites de integración son de\(−a\) a\(a\), involucran dos áreas iguales, porque son simétricas alrededor del\(y\) eje -eje. Integrales de funciones impares, cuando los límites de integración se\([−a,a],\) evalúan de manera similar a cero porque las áreas por encima y por debajo del\(x\) eje -son iguales.

Integrales de funciones pares e impares

Para funciones continuas incluso de tal manera que\(f(−x)=f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=2∫^a_0f(x)\,dx. \nonumber \]

Para funciones impares continuas tales que\(f(−x)=−f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=0. \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Integrating an Even Function

Integre la función even\(\displaystyle ∫^2_{−2}(3x^8−2)\,dx\) y verifique que la fórmula de integración para funciones pares se mantenga.

Solución

La simetría aparece en las gráficas de la Figura\(\PageIndex{4}\). La gráfica (a) muestra la región por debajo de la curva y por encima del\(x\) eje. Tenemos que acercarnos a esta gráfica una cantidad enorme para ver la región. La gráfica (b) muestra la región por encima de la curva y por debajo del\(x\) eje. El área firmada de esta región es negativa. Ambas vistas ilustran la simetría sobre el\(y\) eje -eje de una función par. Tenemos

\ [\ begin {align*} ^2_ {−2} (3x^8−2)\, dx &=\ left (\ frac {x^9} {3} −2x\ derecha) ^2_ {−2}\\ [4pt]
&=\ left [\ frac {(2) ^9} {3} −2 (2)\ derecha] −\ izquierda [\ frac {(−2) ^9} {3} −2 (−2)\ derecha]\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ frac {512} {3} −4\ derecha) −\ izquierda (−\ frac {512} {3} +4\ derecha)\\ [4pt]
&=\ frac {1000} {3} . \ end {alinear*}\]

Para verificar la fórmula de integración para funciones pares, podemos calcular la integral de\(0\) a\(2\) y doblarla, luego verificar para asegurarnos de que obtenemos la misma respuesta.

\[ ∫^2_0(3x^8−2)\,dx=\left(\frac{x^9}{3}−2x\right)\bigg|^2_{0}=\frac{512}{3}−4=\frac{500}{3} \nonumber \]

Ya que\( 2⋅\frac{500}{3}=\frac{1000}{3},\) hemos verificado la fórmula para funciones pares en este ejemplo en particular.

Figura\(\PageIndex{4}\): La gráfica (a) muestra el área positiva entre la curva y el\(x\) eje, mientras que la gráfica (b) muestra el área negativa entre la curva y el\(x\) eje. Ambas vistas muestran la simetría alrededor del\(y\) eje.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Integrating an Odd Function

Evaluar la integral definida de la función impar\(−5 \sin x\) a lo largo del intervalo\([−π,π].\)

Solución

La gráfica se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\). Podemos ver la simetría sobre el origen por el área positiva sobre el\(x\) eje sobre\([−π,0]\), y el área negativa debajo\(x\) del eje sobre\([0,π].\) tenemos

\[ \begin{align*} ∫^π_{−π}−5\sin x \,dx &=−5(−\cos x)\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=5\cos x\,\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=[5\cos π]−[5\cos(−π)] \\[4pt] &=−5−(−5)=0. \end{align*}\]

Figura:La\(\PageIndex{5}\) gráfica muestra áreas entre una curva y el eje\(x\) -para una función impar.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Integrar la función\(\displaystyle ∫^2_{−2}x^4\,dx.\)

Pista

Integrar una función uniforme.

Contestar

\(\dfrac{64}{5}\)

Conceptos clave

• El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero.
• El área bajo una función par sobre un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el\(x\) eje positivo. Para una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa.

Ecuaciones Clave

• Teorema de Cambio Neto\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)\,dx\nonumber \] o\[∫^b_aF'(x)\,dx=F(b)−F(a) \nonumber \]

Glosario

teorema del cambio neto

si conocemos la tasa de cambio de una cantidad, el teorema de cambio neto dice que la cantidad futura es igual a la cantidad inicial más la integral de la tasa de cambio de la cantidad