5.6E: Ejercicios para la Sección 5.6
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1)\(\displaystyle ∫e^{2x}\,dx\)
2)\(\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx \quad = \quad \frac{−1}{3}e^{−3x}+C\)
3)\(\displaystyle ∫2^x\,dx\)
4)\(\displaystyle ∫3^{−x}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫3^{−x}\,dx \quad = \quad −\frac{3^{−x}}{\ln 3}+C\)
5)\(\displaystyle ∫\frac{1}{2x}\,dx\)
6)\(\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx \quad = \quad 2\ln x+C \quad = \quad \ln(x^2)+C\)
7)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2}\,dx\)
8)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}+C\)
En los ejercicios 9 - 16, encuentra cada integral indefinida mediante el uso de sustituciones apropiadas.
9)\(\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x}\,dx\)
10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2} \quad = \quad −\frac{1}{\ln x}+C\)
11)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x}\quad (x>1)\)
12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)} \quad = \quad \ln(\ln(\ln x))+C\)
13)\(\displaystyle ∫\tan θ\,dθ\)
14)\(\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(x\cos x)+C\)
15)\(\displaystyle ∫\frac{\ln(\sin x)}{\tan x}\,dx\)
16)\(\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx \quad = \quad −\dfrac{1}{2}(\ln(\cos(x)))^2+C\)
17)\(\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx\)
18)\(\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx \quad = \quad \dfrac{−e^{−x^3}}{3}+C\)
19)\(\displaystyle ∫e^{\sin x}\cos x\,dx\)
20)\(\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx\quad = \quad e^{\tan x}+C\)
21)\(\displaystyle ∫\frac{e^{\ln x}}{x}\,dx \)
22)\(\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt = \int \frac{1-t}{1-t}\,dt = \int 1\, dt \quad = \quad t+C\)
En los ejercicios 23 - 28, verificar por diferenciación eso\(\displaystyle ∫\ln x\,dx=x(\ln x−1)+C\), luego utilizar los cambios apropiados de variables para computar la integral.
23)\(\displaystyle ∫\ln x\,dx\) (Pista:\(\displaystyle ∫\ln x\,dx=\frac{1}{2}∫x\ln(x^2)\,dx\))
24)\(\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx \quad = \quad \dfrac{1}{9}x^3(\ln(x^3)−1)+C\)
25)\(\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x^2}\,dx\) (Pista: Set\(u=\dfrac{1}{x}.)\)
26)\(\displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx\) (Pista: Set\(u=\sqrt{x}.)\)
- Contestar
- \( \displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}(\ln x−2)+C\)
27) Escribir una integral para expresar el área bajo la gráfica de\(y=\dfrac{1}{t}\) desde\( t=1\) hasta\(e^x\) y evaluar la integral.
28) Escribir una integral para expresar el área bajo la gráfica de\(y=e^t\) entre\(t=0\) y\(t=\ln x\), y evaluar la integral.
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{\ln x}_0e^t\,dt=e^t\bigg|^{\ln x}_0=e^{\ln x}−e^0=x−1\)
En los ejercicios 29 - 35, utilizar sustituciones apropiadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos.
29)\(\displaystyle ∫\tan(2x)\,dx\)
30)\(\displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx\)
- Contestar
- \( \displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}\ln|\sin(3x)+\cos(3x)| + C\)
31)\(\displaystyle ∫\frac{x\sin(x^2)}{\cos(x^2)}\,dx\)
32)\(\displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx\)
- Contestar
- \( \displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}\ln∣\csc(x^2)+\cot(x^2)∣+C\)
33)\(\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx\)
34)\(\displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx\)
- Contestar
- \( \displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}(\ln(\csc x))^2+C\)
35)\(\displaystyle ∫\frac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\,dx\)
En los ejercicios 36 - 40, evaluar la integral definida.
36)\(\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx \quad = \quad \frac{1}{3}\ln\left(\tfrac{26}{7}\right)\)
37)\(\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx\)
38)\(\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(\sqrt{3}−1)\)
39)\(\displaystyle ∫^{π/2}_{π/6}\csc x\,dx\)
40)\(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\)
En los ejercicios 41 - 46, integrar utilizando la sustitución indicada.
41)\(\displaystyle ∫\frac{x}{x−100}\,dx;\quad u=x−100\)
42)\(\displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy;\quad u=y+1\)
- Contestar
- \( \displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy \quad = \quad y−2\ln|y+1|+C\)
43)\(\displaystyle ∫\frac{1−x^2}{3x−x^3}\,dx;\quad u=3x−x^3\)
44)\(\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx;\quad u=\sin x−\cos x\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx \quad=\quad \ln|\sin x−\cos x|+C\)
45)\(\displaystyle ∫e^{2x}\sqrt{1−e^{2x}}\,dx;\quad u=e^{2x}\)
46)\(\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx;\quad u=\ln x\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}(1−(\ln x^2))^{3/2}+C\)
47)\(\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx; \quad u = \sqrt{x} + 2\)
- Contestar
- \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx \quad = \quad \left( \sqrt{x} + 2 \right)^2 - 8\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 8\ln\left( \sqrt{x} + 2 \right) + C\)
48)\(\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx; \quad u = e^{x} + 1\)
- Contestar
- \(\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx \quad = \quad \sec(e^x+1) + C\)
En los ejercicios 49 - 54, indique si la aproximación del punto final derecho sobreestima o subestima el área exacta. Después, calcule la estimación del punto final correcto\(R_{50}\) y resuelva para el área exacta.
49) [T]\(y=e^x\) sobre\([0,1]\)
50) [T]\( y=e^{−x}\) sobre\([0,1]\)
- Contestar
- Dado que\(f\) es decreciente, la estimación del punto final correcto subestima el área.
Solución exacta:\(\dfrac{e−1}{e},\quad R_{50}=0.6258\).
51) [T]\(y=\ln(x)\) sobre\([1,2]\)
52) [T]\(y=\dfrac{x+1}{x^2+2x+6}\) sobre\( [0,1]\)
- Contestar
- Dado que\(f\) va en aumento, la estimación del punto final correcto sobreestima el área.
Solución exacta:\(\dfrac{2\ln(3)−\ln(6)}{2},\quad R_{50}=0.2033.\)
53) [T]\(y=2^x\) sobre\([−1,0]\)
54) [T]\( y=−2^{−x}\) sobre\( [0,1]\)
- Contestar
- Dado que\(f\) está aumentando, la estimación del punto final correcto sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor).
Solución exacta:\(−\dfrac{1}{\ln(4)},\quad R_{50}=−0.7164.\)
En los ejercicios 55 - 58,\(f(x)≥0\) para\(a≤x≤b\). Encuentra el área debajo de la gráfica de\(f(x)\) entre los valores dados\(a\) y\(b\) integrando.
55)\(f(x)=\dfrac{\log_{10}(x)}{x};\quad a=10,b=100\)
56)\(f(x)=\dfrac{\log_2(x)}{x};\quad a=32,b=64\)
- Contestar
- \(\dfrac{11}{2}\ln 2\)
57)\(f(x)=2^{−x};\quad a=1,b=2\)
58)\(f(x)=2^{−x};\quad a=3,b=4\)
- Contestar
- \(\dfrac{1}{\ln(65,536)}\)
59) Encuentra el área debajo de la gráfica de la función\( f(x)=xe^{−x^2}\) entre\(x=0\) y\(x=5\).
60) Calcular la integral de\(f(x)=xe^{−x^2}\) y encontrar el valor más pequeño de\(N\) tal manera que el área bajo la gráfica\(f(x)=xe^{−x^2}\) entre\( x=N\) y\(x=N+10\) es, a lo sumo,\(0.01\).
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{N+1}_Nxe^{−x^2}\,dx=\frac{1}{2}(e^{−N^2}−e^{−(N+1)^2}).\)La cantidad es menor que\(0.01\) cuando\(N=2\).
61) Encuentra el límite, como\(N\) tiende al infinito, del área bajo la gráfica de\(f(x)=xe^{−x^2}\) entre\(x=0\) y\(x=5\).
62) Demostrar que\(\displaystyle ∫^b_a\frac{dt}{t}=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dt}{t}\) cuando\(0<a≤b\).
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^b_a\frac{dx}{x}=\ln(b)−\ln(a)=\ln(\frac{1}{a})−\ln(\frac{1}{b})=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dx}{x}\)
63) Supongamos que\(f(x)>0\) para todos\(x\) y eso\(f\) y\(g\) son diferenciables. Utilice la identidad\( f^g=e^{g\ln f}\) y la regla de la cadena para encontrar la derivada de\( f^g\).
64) Utilizar el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de\(h(x)=x^x(1+\ln x)\) y evaluar\(\displaystyle ∫^3_2x^x(1+\ln x)\,dx\).
- Contestar
- 23
65) Demostrar que si\(c>0\), entonces la integral\(\frac{1}{x}\) de de\(ac\) a\(bc\) \((\text{for}\,0<a<b)\)es la misma que la integral de\(\frac{1}{x}\) de\(a\) a \(b\).
Los siguientes ejercicios están destinados a derivar las propiedades fundamentales del tronco natural a partir de la definición\(\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}\), utilizando propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones.
66) Utilizar la identidad\(\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}\) para derivar la identidad\(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=−\ln x\).
- Contestar
- Podemos suponer que\(x>1\), entonces\(\dfrac{1}{x}<1.\) entonces,\(\displaystyle ∫^{1/x}_{1}\frac{dt}{t}\). Ahora haga la sustitución\(u=\dfrac{1}{t}\), así\(du=−\dfrac{dt}{t^2}\) y\(\dfrac{du}{u}=−\dfrac{dt}{t}\), y cambie los puntos finales:\(\displaystyle ∫^{1/x}_1\frac{dt}{t}=−∫^x_1\frac{du}{u}=−\ln x.\)
67) Utilizar un cambio de variable en la integral\(\displaystyle ∫^{xy}_1\frac{1}{t}\,dt\) para mostrar que\(\ln xy=\ln x+\ln y\) para\( x,y>0\).
68) Utilizar la identidad\(\displaystyle \ln x=∫^x_1\frac{dt}{x}\) para mostrar que\(\ln(x)\) es una función creciente de\(x\) on\([0,∞)\), y utilizar los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de\(\ln(x)\) es\((−∞,∞)\). Sin más suposiciones, concluya que\(\ln(x)\) tiene una función inversa definida en\( (−∞,∞).\)
69) Fingir, por el momento, que no sabemos que\(e^x\) es la función inversa de\(\ln(x)\), pero hay que tener en cuenta que\(\ln(x)\) tiene una función inversa definida en\( (−∞,∞)\). Llámenlo\(E\). Usa la identidad\(\ln xy=\ln x+\ln y\) para deducir eso\(E(a+b)=E(a)E(b)\) para cualquier número real\(a\),\(b\).
70) Fingir, por el momento, que no sabemos que\( e^x\) es la función inversa de\(\ln x\), pero hay que tener en cuenta que\( \ln x\) tiene una función inversa definida en\((−∞,∞)\). Llámenlo\(E\). Demostrar que\(E'(t)=E(t).\)
- Contestar
- \(x=E(\ln(x)).\)Entonces,\(1=\dfrac{E'(\ln x)}{x}\) o\(x=E'(\ln x)\). Dado que cualquier número se\(t\) puede escribir\(t=\ln x\) para algunos\(x\), y para tal\(t\) tenemos\(x=E(t)\), se deduce que para cualquier\(t,\,E'(t)=E(t).\)
71) El seno integral, definido como\(\displaystyle S(x)=∫^x_0\frac{\sin t}{t}\,dt\) es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula simple cerrada, es posible estimar su comportamiento para grandes\(x\). Muéstralo para\(k≥1,\quad |S(2πk)−S(2π(k+1))|≤\dfrac{1}{k(2k+1)π}.\) (Pista:\( \sin(t+π)=−\sin t\))
72) [T] La distribución normal en probabilidad viene dada por\(p(x)=\dfrac{1}{σ\sqrt{2π}}e^{−(x−μ)^2/2σ^2}\), donde\(σ\) está la desviación estándar y\(μ\) es la media. La distribución normal estándar en probabilidad,\(p_s\), corresponde a\( μ=0\) y\(σ=1\). Calcular las estimaciones de punto final izquierdo\(R_{10}\) y\(R_{100}\) de\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^{2/2}}\,dx.\)
- Contestar
- \(R_{10}=0.6811,\quad R_{100}=0.6827\)
73) [T] Calcular las estimaciones de punto final correcto\(R_{50}\) y\(R_{100}\) de\(\displaystyle ∫^5_{−3}\frac{1}{2\sqrt{2π}}e^{−(x−1)^2/8}\).
Colaboradores y Atribuciones
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Paul Seeburger (Monroe Community College) added problems 47-48 to Section 5.6 exercises.