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# 5.6E: Ejercicios para la Sección 5.6

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Para los ejercicios 1 - 8, computar cada integral indefinida.

1)$$\displaystyle ∫e^{2x}\,dx$$

2)$$\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx \quad = \quad \frac{−1}{3}e^{−3x}+C$$

3)$$\displaystyle ∫2^x\,dx$$

4)$$\displaystyle ∫3^{−x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫3^{−x}\,dx \quad = \quad −\frac{3^{−x}}{\ln 3}+C$$

5)$$\displaystyle ∫\frac{1}{2x}\,dx$$

6)$$\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx \quad = \quad 2\ln x+C \quad = \quad \ln(x^2)+C$$

7)$$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2}\,dx$$

8)$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}+C$$

En los ejercicios 9 - 16, encuentra cada integral indefinida mediante el uso de sustituciones apropiadas.

9)$$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x}\,dx$$

10)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2} \quad = \quad −\frac{1}{\ln x}+C$$

11)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x}\quad (x>1)$$

12)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)} \quad = \quad \ln(\ln(\ln x))+C$$

13)$$\displaystyle ∫\tan θ\,dθ$$

14)$$\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(x\cos x)+C$$

15)$$\displaystyle ∫\frac{\ln(\sin x)}{\tan x}\,dx$$

16)$$\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx \quad = \quad −\dfrac{1}{2}(\ln(\cos(x)))^2+C$$

17)$$\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx$$

18)$$\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx \quad = \quad \dfrac{−e^{−x^3}}{3}+C$$

19)$$\displaystyle ∫e^{\sin x}\cos x\,dx$$

20)$$\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx\quad = \quad e^{\tan x}+C$$

21)$$\displaystyle ∫\frac{e^{\ln x}}{x}\,dx$$

22)$$\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt = \int \frac{1-t}{1-t}\,dt = \int 1\, dt \quad = \quad t+C$$

En los ejercicios 23 - 28, verificar por diferenciación eso$$\displaystyle ∫\ln x\,dx=x(\ln x−1)+C$$, luego utilizar los cambios apropiados de variables para computar la integral.

23)$$\displaystyle ∫\ln x\,dx$$ (Pista:$$\displaystyle ∫\ln x\,dx=\frac{1}{2}∫x\ln(x^2)\,dx$$)

24)$$\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx \quad = \quad \dfrac{1}{9}x^3(\ln(x^3)−1)+C$$

25)$$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x^2}\,dx$$ (Pista: Set$$u=\dfrac{1}{x}.)$$

26)$$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$$ (Pista: Set$$u=\sqrt{x}.)$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}(\ln x−2)+C$$

27) Escribir una integral para expresar el área bajo la gráfica de$$y=\dfrac{1}{t}$$ desde$$t=1$$ hasta$$e^x$$ y evaluar la integral.

28) Escribir una integral para expresar el área bajo la gráfica de$$y=e^t$$ entre$$t=0$$ y$$t=\ln x$$, y evaluar la integral.

Contestar
$$\displaystyle ∫^{\ln x}_0e^t\,dt=e^t\bigg|^{\ln x}_0=e^{\ln x}−e^0=x−1$$

En los ejercicios 29 - 35, utilizar sustituciones apropiadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos.

29)$$\displaystyle ∫\tan(2x)\,dx$$

30)$$\displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}\ln|\sin(3x)+\cos(3x)| + C$$

31)$$\displaystyle ∫\frac{x\sin(x^2)}{\cos(x^2)}\,dx$$

32)$$\displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}\ln∣\csc(x^2)+\cot(x^2)∣+C$$

33)$$\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx$$

34)$$\displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}(\ln(\csc x))^2+C$$

35)$$\displaystyle ∫\frac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\,dx$$

En los ejercicios 36 - 40, evaluar la integral definida.

36)$$\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx \quad = \quad \frac{1}{3}\ln\left(\tfrac{26}{7}\right)$$

37)$$\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx$$

38)$$\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(\sqrt{3}−1)$$

39)$$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/6}\csc x\,dx$$

40)$$\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$$

En los ejercicios 41 - 46, integrar utilizando la sustitución indicada.

41)$$\displaystyle ∫\frac{x}{x−100}\,dx;\quad u=x−100$$

42)$$\displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy;\quad u=y+1$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy \quad = \quad y−2\ln|y+1|+C$$

43)$$\displaystyle ∫\frac{1−x^2}{3x−x^3}\,dx;\quad u=3x−x^3$$

44)$$\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx;\quad u=\sin x−\cos x$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx \quad=\quad \ln|\sin x−\cos x|+C$$

45)$$\displaystyle ∫e^{2x}\sqrt{1−e^{2x}}\,dx;\quad u=e^{2x}$$

46)$$\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx;\quad u=\ln x$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}(1−(\ln x^2))^{3/2}+C$$

47)$$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx; \quad u = \sqrt{x} + 2$$

Contestar
$$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx \quad = \quad \left( \sqrt{x} + 2 \right)^2 - 8\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 8\ln\left( \sqrt{x} + 2 \right) + C$$

48)$$\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx; \quad u = e^{x} + 1$$

Contestar
$$\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx \quad = \quad \sec(e^x+1) + C$$

En los ejercicios 49 - 54, indique si la aproximación del punto final derecho sobreestima o subestima el área exacta. Después, calcule la estimación del punto final correcto$$R_{50}$$ y resuelva para el área exacta.

49) [T]$$y=e^x$$ sobre$$[0,1]$$

50) [T]$$y=e^{−x}$$ sobre$$[0,1]$$

Contestar
Dado que$$f$$ es decreciente, la estimación del punto final correcto subestima el área.
Solución exacta:$$\dfrac{e−1}{e},\quad R_{50}=0.6258$$.

51) [T]$$y=\ln(x)$$ sobre$$[1,2]$$

52) [T]$$y=\dfrac{x+1}{x^2+2x+6}$$ sobre$$[0,1]$$

Contestar
Dado que$$f$$ va en aumento, la estimación del punto final correcto sobreestima el área.
Solución exacta:$$\dfrac{2\ln(3)−\ln(6)}{2},\quad R_{50}=0.2033.$$

53) [T]$$y=2^x$$ sobre$$[−1,0]$$

54) [T]$$y=−2^{−x}$$ sobre$$[0,1]$$

Contestar
Dado que$$f$$ está aumentando, la estimación del punto final correcto sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor).
Solución exacta:$$−\dfrac{1}{\ln(4)},\quad R_{50}=−0.7164.$$

En los ejercicios 55 - 58,$$f(x)≥0$$ para$$a≤x≤b$$. Encuentra el área debajo de la gráfica de$$f(x)$$ entre los valores dados$$a$$ y$$b$$ integrando.

55)$$f(x)=\dfrac{\log_{10}(x)}{x};\quad a=10,b=100$$

56)$$f(x)=\dfrac{\log_2(x)}{x};\quad a=32,b=64$$

Contestar
$$\dfrac{11}{2}\ln 2$$

57)$$f(x)=2^{−x};\quad a=1,b=2$$

58)$$f(x)=2^{−x};\quad a=3,b=4$$

Contestar
$$\dfrac{1}{\ln(65,536)}$$

59) Encuentra el área debajo de la gráfica de la función$$f(x)=xe^{−x^2}$$ entre$$x=0$$ y$$x=5$$.

60) Calcular la integral de$$f(x)=xe^{−x^2}$$ y encontrar el valor más pequeño de$$N$$ tal manera que el área bajo la gráfica$$f(x)=xe^{−x^2}$$ entre$$x=N$$ y$$x=N+10$$ es, a lo sumo,$$0.01$$.

Contestar
$$\displaystyle ∫^{N+1}_Nxe^{−x^2}\,dx=\frac{1}{2}(e^{−N^2}−e^{−(N+1)^2}).$$La cantidad es menor que$$0.01$$ cuando$$N=2$$.

61) Encuentra el límite, como$$N$$ tiende al infinito, del área bajo la gráfica de$$f(x)=xe^{−x^2}$$ entre$$x=0$$ y$$x=5$$.

62) Demostrar que$$\displaystyle ∫^b_a\frac{dt}{t}=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dt}{t}$$ cuando$$0<a≤b$$.

Contestar
$$\displaystyle ∫^b_a\frac{dx}{x}=\ln(b)−\ln(a)=\ln(\frac{1}{a})−\ln(\frac{1}{b})=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dx}{x}$$

63) Supongamos que$$f(x)>0$$ para todos$$x$$ y eso$$f$$ y$$g$$ son diferenciables. Utilice la identidad$$f^g=e^{g\ln f}$$ y la regla de la cadena para encontrar la derivada de$$f^g$$.

64) Utilizar el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de$$h(x)=x^x(1+\ln x)$$ y evaluar$$\displaystyle ∫^3_2x^x(1+\ln x)\,dx$$.

Contestar
23

65) Demostrar que si$$c>0$$, entonces la integral$$\frac{1}{x}$$ de de$$ac$$ a$$bc$$ $$(\text{for}\,0<a<b)$$es la misma que la integral de$$\frac{1}{x}$$ de$$a$$ a $$b$$.

Los siguientes ejercicios están destinados a derivar las propiedades fundamentales del tronco natural a partir de la definición$$\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}$$, utilizando propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones.

66) Utilizar la identidad$$\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}$$ para derivar la identidad$$\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=−\ln x$$.

Contestar
Podemos suponer que$$x>1$$, entonces$$\dfrac{1}{x}<1.$$ entonces,$$\displaystyle ∫^{1/x}_{1}\frac{dt}{t}$$. Ahora haga la sustitución$$u=\dfrac{1}{t}$$, así$$du=−\dfrac{dt}{t^2}$$ y$$\dfrac{du}{u}=−\dfrac{dt}{t}$$, y cambie los puntos finales:$$\displaystyle ∫^{1/x}_1\frac{dt}{t}=−∫^x_1\frac{du}{u}=−\ln x.$$

67) Utilizar un cambio de variable en la integral$$\displaystyle ∫^{xy}_1\frac{1}{t}\,dt$$ para mostrar que$$\ln xy=\ln x+\ln y$$ para$$x,y>0$$.

68) Utilizar la identidad$$\displaystyle \ln x=∫^x_1\frac{dt}{x}$$ para mostrar que$$\ln(x)$$ es una función creciente de$$x$$ on$$[0,∞)$$, y utilizar los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de$$\ln(x)$$ es$$(−∞,∞)$$. Sin más suposiciones, concluya que$$\ln(x)$$ tiene una función inversa definida en$$(−∞,∞).$$

69) Fingir, por el momento, que no sabemos que$$e^x$$ es la función inversa de$$\ln(x)$$, pero hay que tener en cuenta que$$\ln(x)$$ tiene una función inversa definida en$$(−∞,∞)$$. Llámenlo$$E$$. Usa la identidad$$\ln xy=\ln x+\ln y$$ para deducir eso$$E(a+b)=E(a)E(b)$$ para cualquier número real$$a$$,$$b$$.

70) Fingir, por el momento, que no sabemos que$$e^x$$ es la función inversa de$$\ln x$$, pero hay que tener en cuenta que$$\ln x$$ tiene una función inversa definida en$$(−∞,∞)$$. Llámenlo$$E$$. Demostrar que$$E'(t)=E(t).$$

Contestar
$$x=E(\ln(x)).$$Entonces,$$1=\dfrac{E'(\ln x)}{x}$$ o$$x=E'(\ln x)$$. Dado que cualquier número se$$t$$ puede escribir$$t=\ln x$$ para algunos$$x$$, y para tal$$t$$ tenemos$$x=E(t)$$, se deduce que para cualquier$$t,\,E'(t)=E(t).$$

71) El seno integral, definido como$$\displaystyle S(x)=∫^x_0\frac{\sin t}{t}\,dt$$ es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula simple cerrada, es posible estimar su comportamiento para grandes$$x$$. Muéstralo para$$k≥1,\quad |S(2πk)−S(2π(k+1))|≤\dfrac{1}{k(2k+1)π}.$$ (Pista:$$\sin(t+π)=−\sin t$$)

72) [T] La distribución normal en probabilidad viene dada por$$p(x)=\dfrac{1}{σ\sqrt{2π}}e^{−(x−μ)^2/2σ^2}$$, donde$$σ$$ está la desviación estándar y$$μ$$ es la media. La distribución normal estándar en probabilidad,$$p_s$$, corresponde a$$μ=0$$ y$$σ=1$$. Calcular las estimaciones de punto final izquierdo$$R_{10}$$ y$$R_{100}$$ de$$\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^{2/2}}\,dx.$$

Contestar
$$R_{10}=0.6811,\quad R_{100}=0.6827$$

73) [T] Calcular las estimaciones de punto final correcto$$R_{50}$$ y$$R_{100}$$ de$$\displaystyle ∫^5_{−3}\frac{1}{2\sqrt{2π}}e^{−(x−1)^2/8}$$.