5.7: Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
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- Integrar funciones dando como resultado funciones trigonométricas inversas
En esta sección nos centramos en integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas. Hemos trabajado con estas funciones antes. Recordemos, que las funciones trigonométricas no son uno a uno a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con inversos de funciones trigonométricas, siempre hay que tener cuidado para tener en cuenta estas restricciones. Además, previamente desarrollamos fórmulas para derivados de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas desarrolladas allí dan lugar directamente a fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas.
Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula para la integral sinusoidal inversa.
Las siguientes fórmulas de integración producen funciones trigonométricas inversas:
\[ \begin{align} ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}} =\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{a^2+u^2} =\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}} =\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C \end{align} \nonumber \]
Vamos\( y=\sin^{−1}\frac{x}{a}\). Entonces\( a \sin y=x\). Ahora usando diferenciación implícita, obtenemos
\[ \dfrac{d}{dx}(a \sin y)=\dfrac{d}{dx}(x) \nonumber \]
\[ a\cos y\dfrac{dy}{dx}=1 \nonumber \]
\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{a\cos y}. \nonumber \]
Para\( −\dfrac{π}{2}≤y≤\dfrac{π}{2},\cos y≥0.\) Así, aplicando la identidad pitagórica\( \sin^2y+\cos^2y=1\), tenemos\( \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}.\) Esto da
\[ \begin{align} \dfrac{1}{a \cos y} =\dfrac{1}{a\sqrt{1−\sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−a^2 \sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}. \end{align} \nonumber \]
Entonces para\( −a≤x≤a,\) nosotros tenemos
\[ ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−u^2}}\,du=\sin^{−1}\left(\frac{u}{a}\right)+C. \nonumber \]
□
Evaluar la integral definida
\[ ∫^{1/2}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1−x^2}}. \nonumber \]
Solución
Podemos ir directamente a la fórmula para el antiderivado en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas, para luego evaluar la integral definida. Tenemos
\[\int_0^{1/2}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1} x \,\bigg|_0^{1/2} = \sin^{-1} \tfrac{1}{2} - \sin^{-1} 0 = \dfrac{\pi}{6}-0 = \dfrac{\pi}{6}. \nonumber \]
Tenga en cuenta que dado que el integrando es simplemente el derivado de\(\sin^{-1} x\), realmente solo estamos usando este hecho para encontrar el antiderivado aquí.
Encuentra la integral indefinida usando una función trigonométrica inversa y sustitución de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\).
- Pista
-
Utilice la fórmula en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas.
- Contestar
-
\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad=\quad \sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C \)
En muchas integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas en la antiderivada, es posible que necesitemos usar la sustitución para ver cómo usar las fórmulas de integración proporcionadas anteriormente.
Evaluar la integral
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}.\nonumber \]
Solución
Sustituto\( u=3x\). Entonces\( du=3\,dx\) y tenemos
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}.\nonumber \]
Aplicando la fórmula con\( a=2,\) obtenemos
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{2}\right)+C=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{3x}{2}\right)+C.\nonumber \]
Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}.\)
- Pista
-
Sustituto\( u=4x\).
- Contestar
-
\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}} = \dfrac{1}{4}\sin^{−1}(4x)+C\)
Evaluar la integral definida
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}\nonumber. \nonumber \]
Solución
El formato del problema coincide con la fórmula sinusoidal inversa. Por lo tanto,
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}=\sin^{−1}u\,\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=[\sin^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]−[\sin^{−1}(0)]=\dfrac{π}{3}.\nonumber \]
Integrales que dan como resultado otras funciones trigonométricas inversas
Existen seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, solo se anotan tres fórmulas de integración en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En lugar de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorial −1 y evalúa la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinamos una fórmula más: la integral que resulta en la función tangente inversa.
Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{9+x^2}\,dx.\)
Solución
Aplicar la fórmula con\( a=3\). Entonces,
\[ ∫\dfrac{dx}{9+x^2}=\dfrac{1}{3}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C. \nonumber \]
Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2}\).
- Pista
-
Siga los pasos en Ejemplo\( \PageIndex{4}\).
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2} = \frac{1}{4}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{4}\right)+C \)
Encuentra un antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{1+4x^2}\,dx.\)
Solución
Comparando este problema con las fórmulas establecidas en la regla sobre fórmulas de integración que dan como resultado funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula para\( \tan^{−1} u+C\). Entonces usamos sustitución, dejar\( u=2x\), entonces\( du=2\,dx\) y\( \dfrac{1}{2}\,du=dx.\) Entonces, tenemos
\[ \dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}u+C=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}(2x)+C. \nonumber \]
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2}.\)
- Pista
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Utilice la estrategia de resolución de Ejemplo\( \PageIndex{5}\) y la regla sobre fórmulas de integración que resulten en funciones trigonométricas inversas.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2} = \dfrac{1}{10}\tan^{−1}\left(\dfrac{2x}{5}\right)+C \)
Evaluar la integral definida\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\dfrac{dx}{1+x^2}\).
Solución
Usa la fórmula para la tangente inversa. Tenemos
\[\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x\,\bigg|_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} = [\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)] - [\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)] =\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{6}.\nonumber \]
Evaluar la integral definida\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2}\).
- Pista
-
Siga los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{6}\) para resolver el problema.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2} = \dfrac{π}{8} \)
Conceptos clave
- Las fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas.
- Utilizar las fórmulas listadas en la regla sobre fórmulas de integración que resulten en funciones trigonométricas inversas para hacer coincidir el formato correcto y realizar las alteraciones necesarias para resolver el problema.
- A menudo se requiere sustitución para poner el integrando en la forma correcta.
Ecuaciones Clave
- Integrales que producen funciones trigonométricas inversas
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}}=\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{a^2+u^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C\)
Colaboradores y Atribuciones
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Includes some added textual clarifications and edits by Paul Seeburger (Monroe Community College)