5.7: Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas

Objetivos de aprendizaje

• Integrar funciones dando como resultado funciones trigonométricas inversas

En esta sección nos centramos en integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas. Hemos trabajado con estas funciones antes. Recordemos, que las funciones trigonométricas no son uno a uno a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con inversos de funciones trigonométricas, siempre hay que tener cuidado para tener en cuenta estas restricciones. Además, previamente desarrollamos fórmulas para derivados de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas desarrolladas allí dan lugar directamente a fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas.

Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas

Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula para la integral sinusoidal inversa.

Regla: Fórmulas de integración que resultan en funciones trigonométricas inversas

Las siguientes fórmulas de integración producen funciones trigonométricas inversas:

\[ \begin{align} ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}} =\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{a^2+u^2} =\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}} =\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C \end{align} \nonumber \]

Prueba de la primera fórmula

Vamos\( y=\sin^{−1}\frac{x}{a}\). Entonces\( a \sin y=x\). Ahora usando diferenciación implícita, obtenemos

\[ \dfrac{d}{dx}(a \sin y)=\dfrac{d}{dx}(x) \nonumber \]

\[ a\cos y\dfrac{dy}{dx}=1 \nonumber \]

\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{a\cos y}. \nonumber \]

Para\( −\dfrac{π}{2}≤y≤\dfrac{π}{2},\cos y≥0.\) Así, aplicando la identidad pitagórica\( \sin^2y+\cos^2y=1\), tenemos\( \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}.\) Esto da

\[ \begin{align} \dfrac{1}{a \cos y} =\dfrac{1}{a\sqrt{1−\sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−a^2 \sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}. \end{align} \nonumber \]

Entonces para\( −a≤x≤a,\) nosotros tenemos

\[ ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−u^2}}\,du=\sin^{−1}\left(\frac{u}{a}\right)+C. \nonumber \]

□

Ejemplo\( \PageIndex{1}\): Evaluating a Definite Integral Using Inverse Trigonometric Functions

Evaluar la integral definida

\[ ∫^{1/2}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1−x^2}}. \nonumber \]

Solución

Podemos ir directamente a la fórmula para el antiderivado en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas, para luego evaluar la integral definida. Tenemos

\[\int_0^{1/2}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1} x \,\bigg|_0^{1/2} = \sin^{-1} \tfrac{1}{2} - \sin^{-1} 0 = \dfrac{\pi}{6}-0 = \dfrac{\pi}{6}. \nonumber \]

Tenga en cuenta que dado que el integrando es simplemente el derivado de\(\sin^{-1} x\), realmente solo estamos usando este hecho para encontrar el antiderivado aquí.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la integral indefinida usando una función trigonométrica inversa y sustitución de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\).

Pista

Utilice la fórmula en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas.

Contestar

\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad=\quad \sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C \)

En muchas integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas en la antiderivada, es posible que necesitemos usar la sustitución para ver cómo usar las fórmulas de integración proporcionadas anteriormente.

Ejemplo\( \PageIndex{2}\): Finding an Antiderivative Involving an Inverse Trigonometric Function using substitution

Evaluar la integral

\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}.\nonumber \]

Solución

Sustituto\( u=3x\). Entonces\( du=3\,dx\) y tenemos

\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}.\nonumber \]

Aplicando la fórmula con\( a=2,\) obtenemos

\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{2}\right)+C=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{3x}{2}\right)+C.\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}.\)

Pista

Sustituto\( u=4x\).

Contestar

\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}} = \dfrac{1}{4}\sin^{−1}(4x)+C\)

Ejemplo\( \PageIndex{3}\): Evaluating a Definite Integral

Evaluar la integral definida

\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}\nonumber. \nonumber \]

Solución

El formato del problema coincide con la fórmula sinusoidal inversa. Por lo tanto,

\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}=\sin^{−1}u\,\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=[\sin^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]−[\sin^{−1}(0)]=\dfrac{π}{3}.\nonumber \]

Integrales que dan como resultado otras funciones trigonométricas inversas

Existen seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, solo se anotan tres fórmulas de integración en la regla sobre fórmulas de integración dando como resultado funciones trigonométricas inversas porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En lugar de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorial −1 y evalúa la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinamos una fórmula más: la integral que resulta en la función tangente inversa.

Ejemplo\( \PageIndex{4}\): Finding an Antiderivative Involving the Inverse Tangent Function

Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{9+x^2}\,dx.\)

Solución

Aplicar la fórmula con\( a=3\). Entonces,

\[ ∫\dfrac{dx}{9+x^2}=\dfrac{1}{3}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C. \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2}\).

Pista

Siga los pasos en Ejemplo\( \PageIndex{4}\).

Contestar

\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2} = \frac{1}{4}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{4}\right)+C \)

Ejemplo\( \PageIndex{5}\): Applying the Integration Formulas WITH SUBSTITUTION

Encuentra un antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{1+4x^2}\,dx.\)

Solución

Comparando este problema con las fórmulas establecidas en la regla sobre fórmulas de integración que dan como resultado funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula para\( \tan^{−1} u+C\). Entonces usamos sustitución, dejar\( u=2x\), entonces\( du=2\,dx\) y\( \dfrac{1}{2}\,du=dx.\) Entonces, tenemos

\[ \dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}u+C=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}(2x)+C. \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2}.\)

Pista

Utilice la estrategia de resolución de Ejemplo\( \PageIndex{5}\) y la regla sobre fórmulas de integración que resulten en funciones trigonométricas inversas.

Contestar

\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2} = \dfrac{1}{10}\tan^{−1}\left(\dfrac{2x}{5}\right)+C \)

Ejemplo\( \PageIndex{6}\): Evaluating a Definite Integral

Evaluar la integral definida\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\dfrac{dx}{1+x^2}\).

Solución

Usa la fórmula para la tangente inversa. Tenemos

\[\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x\,\bigg|_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} = [\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)] - [\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)] =\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{6}.\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Evaluar la integral definida\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2}\).

Pista

Siga los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{6}\) para resolver el problema.

Contestar

\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2} = \dfrac{π}{8} \)

Conceptos clave

• Las fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas.
• Utilizar las fórmulas listadas en la regla sobre fórmulas de integración que resulten en funciones trigonométricas inversas para hacer coincidir el formato correcto y realizar las alteraciones necesarias para resolver el problema.
• A menudo se requiere sustitución para poner el integrando en la forma correcta.

Ecuaciones Clave

• Integrales que producen funciones trigonométricas inversas

\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}}=\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)

\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{a^2+u^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)

\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C\)

Colaboradores y Atribuciones

• Template:ContribOpenStaxCalc
• Includes some added textual clarifications and edits by Paul Seeburger (Monroe Community College)