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5.7E: Ejercicios para la Sección 5.7

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En los ejercicios 1 - 6, evaluar cada integral en términos de una función trigonométrica inversa.

1)$$\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}x\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=\dfrac{π}{3}$$

2)$$\displaystyle ∫^{1/2}_{−1/2}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}$$

3)$$\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} \quad = \quad \tan^{−1}x\bigg|^1_{\sqrt{3}}=−\dfrac{π}{12}$$

4)$$\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dx}{1+x^2}$$

5)$$\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}} \quad = \quad \sec^{−1}x\bigg|^{\sqrt{2}}_1=\dfrac{π}{4}$$

6)$$\displaystyle ∫^{\frac{2}{\sqrt{3}}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}$$

En los ejercicios 7 - 12, encuentra cada integral indefinida, utilizando las sustituciones apropiadas.

7)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$$

8)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}$$

9)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2} \quad = \quad \frac{1}{3}\tan^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$$

10)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{25+16x^2}$$

11)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}} \quad = \quad \frac{1}{3}\sec^{−1}\left(\frac{|x|}{3}\right)+C$$

12)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{4x^2−16}}$$

13) Explicar la relación$$\displaystyle −\cos^{−1}t+C=∫\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}=\sin^{−1}t+C.$$ ¿Es cierto, en general, eso$$\cos^{−1}t=−\sin^{−1}t$$?

Contestar
$$\cos(\frac{π}{2}−θ)=\sin θ.$$Entonces,$$\sin^{−1}t=\dfrac{π}{2}−\cos^{−1}t.$$ Se diferencian por una constante.

14) Explicar la relación$$\displaystyle \sec^{−1}t+C=∫\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}=−\csc^{−1}t+C.$$ ¿Es cierto, en general, eso$$\sec^{−1}t=−\csc^{−1}t$$?

15) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:$$\displaystyle ∫^2_1\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}$$.

Contestar
$$\sqrt{1−t^2}$$no se define como un número real cuando$$t>1$$.

16) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:$$\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}$$.

Contestar
$$\sqrt{t^2−1}$$no se define como un número real cuando$$-1 \lt t \lt 1$$, y el integrando no está definido cuando$$t = -1$$ o$$t = 1$$.

En los ejercicios 17 - 20, resuelve para la antiderivada de$$f$$ con$$C=0$$, luego usa una calculadora para graficar$$f$$ y la antiderivada sobre el intervalo dado$$[a,b]$$. Identificar un valor de$$C$$ tal manera que sumando$$C$$ a la antiderivada recupera la integral definida$$\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt$$.

17) [T]$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{9−x^2}}\,dx$$ sobre$$[−3,3]$$

Contestar

El antiderivado es$$\sin^{−1}(\frac{x}{3})+C$$. Tomando$$C=\frac{π}{2}$$ recupera la integral definida.

18) [T]$$\displaystyle ∫\frac{9}{9+x^2}\,dx$$ sobre$$[−6,6]$$

19) [T]$$\displaystyle ∫\frac{\cos x}{4+\sin^2x}\,dx$$ sobre$$[−6,6]$$

Contestar

El antiderivado es$$\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin x}{2})+C$$. Tomando$$C=\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin(6)}{2})$$ recupera la integral definida.

20) [T]$$\displaystyle ∫\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$$ sobre$$[−6,6]$$

En los ejercicios 21 - 26, computar el antiderivado utilizando las sustituciones apropiadas.

21)$$\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t}{\sqrt{1−t^2}}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t\,dt}{\sqrt{1−t^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\sin^{−1}t)^2+C$$

22)$$\displaystyle ∫\frac{dt}{\sin^{−1} t\sqrt{1−t^2}}$$

23)$$\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt \quad = \quad \frac{1}{4}(\tan^{−1}(2t))^2+C$$

24)$$\displaystyle ∫\frac{t\tan^{−1}(t^2)}{1+t^4}\,dt$$

25)$$\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt \quad = \quad \tfrac{1}{4}(\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right))^2+C$$

26)$$\displaystyle ∫\frac{t\sec^{−1}(t^2)}{t^2\sqrt{t^4−1}}\,dt$$

En los ejercicios 27 - 32, utilice una calculadora para graficar la antiderivada de$$f$$ con$$C=0$$ sobre el intervalo dado$$[a,b].$$ Aproximar un valor de$$C$$, si es posible, tal que$$C$$ sumar a la antiderivada dé el mismo valor que la integral definida$$\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt.$$

27) [T]$$\displaystyle ∫\frac{1}{x\sqrt{x^2−4}}\,dx$$ sobre$$[2,6]$$

Contestar

El antiderivado es$$\frac{1}{2}\sec^{−1}(\frac{x}{2})+C$$. Tomando$$C=0$$ recupera la integral definitiva sobre$$[2,6]$$.

28) [T]$$\displaystyle ∫\frac{1}{(2x+2)\sqrt{x}}\,dx$$ sobre$$[0,6]$$

29) [T]$$\displaystyle ∫\frac{(\sin x+x\cos x)}{1+x^2\sin^2x\,dx}$$ sobre$$[−6,6]$$

Contestar

El antiderivado general es$$\tan^{−1}(x\sin x)+C$$. Tomando$$C=−\tan^{−1}(6\sin(6))$$ recupera la integral definida.

30) [T]$$\displaystyle ∫\frac{2e^{−2x}}{\sqrt{1−e^{−4x}}}\,dx$$ sobre$$[0,2]$$

31) [T]$$\displaystyle ∫\frac{1}{x+x\ln 2x}$$ sobre$$[0,2]$$

Contestar

El antiderivado general es$$\tan^{−1}(\ln x)+C$$. Tomando$$\displaystyle C=\tfrac{π}{2}=\lim_{t \to ∞}\tan^{−1} t$$ recupera la integral definida.

32) [T]$$\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}x}{\sqrt{1−x^2}}$$ sobre$$[−1,1]$$

En los ejercicios 33 - 38, computar cada integral utilizando las sustituciones apropiadas.

33)$$\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt \quad = \quad \sin^{−1}(e^t)+C$$

34)$$\displaystyle ∫\frac{e^t}{1+e^{2t}}\,dt$$

35)$$\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}} \quad = \quad \sin^{−1}(\ln t)+C$$

36)$$\displaystyle ∫\frac{dt}{t(1+\ln^2t)}$$

37)$$\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt \quad = \quad −\frac{1}{2}(\cos^{−1}(2t))^2+C$$

38)$$\displaystyle ∫\frac{e^t\cos^{−1}(e^t)}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt$$

En los ejercicios 39 - 42, computar cada integral definida.

39)$$\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)$$

40)$$\displaystyle ∫^{1/2}_{1/4}\frac{\tan(\cos^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt$$

41)$$\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt \quad = \quad 1−\frac{2}{\sqrt{5}}$$

42)$$\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\cos(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt$$

43) Para$$A>0$$, computar$$\displaystyle I(A)=∫^{A}_{−A}\frac{dt}{1+t^2}$$ y evaluar$$\displaystyle \lim_{a→∞}I(A)$$, el área bajo la gráfica de$$\dfrac{1}{1+t^2}$$ on$$[−∞,∞]$$.

Contestar
$$2\tan^{−1}(A)→π$$como$$A→∞$$

44) Para$$1<B<∞$$, computar$$\displaystyle I(B)=∫^B_1\frac{dt}{t\sqrt{t^2−1}}$$ y evaluar$$\displaystyle \lim_{B→∞}I(B)$$, el área bajo la gráfica de$$\frac{1}{t\sqrt{t^2−1}}$$ más$$[1,∞)$$.

45) Utilizar la sustitución$$u=\sqrt{2}\cot x$$ y la identidad$$1+\cot^2x=\csc^2x$$ para evaluar$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\cos^2x}$$. (Pista: Multiplica la parte superior e inferior del integrando por$$\csc^2x$$.)

Contestar
Usando la pista, uno tiene$$\displaystyle ∫\frac{\csc^2x}{\csc^2x+\cot^2x}\,dx=∫\frac{\csc^2x}{1+2\cot^2x}\,dx.$$ Set$$u=\sqrt{2}\cot x.$$ Then,$$du=−\sqrt{2}\csc^2x$$ y la integral es$$\displaystyle −\tfrac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{du}{1+u^2}=−\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}u+C=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\sqrt{2}\cot x)+C$$. Si uno usa la identidad$$\tan^{−1}s+\tan^{−1}(\frac{1}{s})=\frac{π}{2}$$, entonces esto también se puede escribir$$\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\frac{\tan x}{\sqrt{2}})+C.$$

46) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de$$f(x)=2x^2−1$$ y se$$g(x)=(1+4x^2)^{−3/2}$$ cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.

47) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de$$f(x)=x^2−1$$ y se$$f(x)=x^2−1$$ cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.

Contestar
$$x≈±1.13525.$$La estimación del punto final izquierdo con$$N=100$$ es 2.796 y estos decimales persisten para$$N=500$$.

48) Utilice la siguiente gráfica para demostrar que$$\displaystyle ∫^x_0\sqrt{1−t^2}\,dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1−x^2}+\frac{1}{2}\sin^{−1}x.$$

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