Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.7E: Ejercicios para la Sección 5.7

  • Page ID
    116224
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En los ejercicios 1 - 6, evaluar cada integral en términos de una función trigonométrica inversa.

    1)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}x\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=\dfrac{π}{3}\)

    2)\(\displaystyle ∫^{1/2}_{−1/2}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

    3)\(\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} \quad = \quad \tan^{−1}x\bigg|^1_{\sqrt{3}}=−\dfrac{π}{12}\)

    4)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dx}{1+x^2}\)

    5)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}} \quad = \quad \sec^{−1}x\bigg|^{\sqrt{2}}_1=\dfrac{π}{4}\)

    6)\(\displaystyle ∫^{\frac{2}{\sqrt{3}}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)

    En los ejercicios 7 - 12, encuentra cada integral indefinida, utilizando las sustituciones apropiadas.

    7)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C\)

    8)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}\)

    9)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2} \quad = \quad \frac{1}{3}\tan^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C\)

    10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{25+16x^2}\)

    11)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}} \quad = \quad \frac{1}{3}\sec^{−1}\left(\frac{|x|}{3}\right)+C\)

    12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{4x^2−16}}\)

    13) Explicar la relación\(\displaystyle −\cos^{−1}t+C=∫\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}=\sin^{−1}t+C.\) ¿Es cierto, en general, eso\(\cos^{−1}t=−\sin^{−1}t\)?

    Contestar
    \(\cos(\frac{π}{2}−θ)=\sin θ.\)Entonces,\(\sin^{−1}t=\dfrac{π}{2}−\cos^{−1}t.\) Se diferencian por una constante.

    14) Explicar la relación\(\displaystyle \sec^{−1}t+C=∫\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}=−\csc^{−1}t+C.\) ¿Es cierto, en general, eso\(\sec^{−1}t=−\csc^{−1}t\)?

    15) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:\(\displaystyle ∫^2_1\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}\).

    Contestar
    \(\sqrt{1−t^2}\)no se define como un número real cuando\(t>1\).

    16) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}\).

    Contestar
    \(\sqrt{t^2−1}\)no se define como un número real cuando\(-1 \lt t \lt 1\), y el integrando no está definido cuando\(t = -1\) o\(t = 1\).

    En los ejercicios 17 - 20, resuelve para la antiderivada de\(f\) con\(C=0\), luego usa una calculadora para graficar\(f\) y la antiderivada sobre el intervalo dado\([a,b]\). Identificar un valor de\(C\) tal manera que sumando\(C\) a la antiderivada recupera la integral definida\(\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt\).

    17) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{9−x^2}}\,dx\) sobre\([−3,3]\)

    Contestar

    Dos gráficas. El primero muestra la función f (x) = 1/sqrt (9 — x^2). Es una curva de apertura hacia arriba simétrica alrededor del eje y, cruzando en (0, 1/3). El segundo muestra la función F (x) = arcsin (1/3 x). Se trata de una curva creciente que atraviesa el origen.

    El antiderivado es\( \sin^{−1}(\frac{x}{3})+C\). Tomando\(C=\frac{π}{2}\) recupera la integral definida.

    18) [T]\(\displaystyle ∫\frac{9}{9+x^2}\,dx\) sobre\([−6,6]\)

    19) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\cos x}{4+\sin^2x}\,dx\) sobre\([−6,6]\)

    Contestar

    Dos gráficas. El primero muestra la función f (x) = cos (x)/(4 + sin (x) ^2). Es una función oscilante sobre [-6, 6] con puntos de inflexión en aproximadamente (-3, -2.5), (0, .25) y (3, -2.5), donde (0, .25) es un máximo local y los otros son minutos locales. El segundo muestra la función F (x) = .5 * arctan (.5*sin (x)), que también oscila sobre [-6,6]. Tiene puntos de inflexión en aproximadamente (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), y (4.5, -.25).

    El antiderivado es\(\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin x}{2})+C\). Tomando\(C=\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin(6)}{2})\) recupera la integral definida.

    20) [T]\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\) sobre\([−6,6]\)

    En los ejercicios 21 - 26, computar el antiderivado utilizando las sustituciones apropiadas.

    21)\(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t\,dt}{\sqrt{1−t^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\sin^{−1}t)^2+C\)

    22)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{\sin^{−1} t\sqrt{1−t^2}}\)

    23)\(\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt \quad = \quad \frac{1}{4}(\tan^{−1}(2t))^2+C\)

    24)\(\displaystyle ∫\frac{t\tan^{−1}(t^2)}{1+t^4}\,dt\)

    25)\(\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt \quad = \quad \tfrac{1}{4}(\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right))^2+C\)

    26)\(\displaystyle ∫\frac{t\sec^{−1}(t^2)}{t^2\sqrt{t^4−1}}\,dt\)

    En los ejercicios 27 - 32, utilice una calculadora para graficar la antiderivada de\(f\) con\(C=0\) sobre el intervalo dado\([a,b].\) Aproximar un valor de\(C\), si es posible, tal que\(C\) sumar a la antiderivada dé el mismo valor que la integral definida\(\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt.\)

    27) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{x\sqrt{x^2−4}}\,dx\) sobre\([2,6]\)

    Contestar

    Una gráfica de la función f (x) = -.5 * arctan (2/(sqrt (x^2 — 4))) en el cuadrante cuatro. Es una curva descendente cóncava creciente con una asíntota vertical en x=2.

    El antiderivado es\(\frac{1}{2}\sec^{−1}(\frac{x}{2})+C\). Tomando\(C=0\) recupera la integral definitiva sobre\( [2,6]\).

    28) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{(2x+2)\sqrt{x}}\,dx\) sobre\([0,6]\)

    29) [T]\(\displaystyle ∫\frac{(\sin x+x\cos x)}{1+x^2\sin^2x\,dx}\) sobre\( [−6,6]\)

    Contestar

    La gráfica de f (x) = arctan (x sin (x)) sobre [-6,6]. Tiene cinco puntos de inflexión en aproximadamente (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1) y (5, -1.5).

    El antiderivado general es\(\tan^{−1}(x\sin x)+C\). Tomando\(C=−\tan^{−1}(6\sin(6))\) recupera la integral definida.

    30) [T]\(\displaystyle ∫\frac{2e^{−2x}}{\sqrt{1−e^{−4x}}}\,dx\) sobre\([0,2]\)

    31) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{x+x\ln 2x}\) sobre\([0,2]\)

    Contestar

    Una gráfica de la función f (x) = arctan (ln (x)) sobre (0, 2]. Es una curva creciente con intercepción x en (1,0).

    El antiderivado general es\(\tan^{−1}(\ln x)+C\). Tomando\(\displaystyle C=\tfrac{π}{2}=\lim_{t \to ∞}\tan^{−1} t\) recupera la integral definida.

    32) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}x}{\sqrt{1−x^2}}\) sobre\([−1,1]\)

    En los ejercicios 33 - 38, computar cada integral utilizando las sustituciones apropiadas.

    33)\(\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt \quad = \quad \sin^{−1}(e^t)+C\)

    34)\(\displaystyle ∫\frac{e^t}{1+e^{2t}}\,dt\)

    35)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}}\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}} \quad = \quad \sin^{−1}(\ln t)+C\)

    36)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{t(1+\ln^2t)}\)

    37)\(\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt \quad = \quad −\frac{1}{2}(\cos^{−1}(2t))^2+C\)

    38)\(\displaystyle ∫\frac{e^t\cos^{−1}(e^t)}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt\)

    En los ejercicios 39 - 42, computar cada integral definida.

    39)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)\)

    40)\(\displaystyle ∫^{1/2}_{1/4}\frac{\tan(\cos^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)

    41)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt \quad = \quad 1−\frac{2}{\sqrt{5}}\)

    42)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\cos(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt\)

    43) Para\(A>0\), computar\(\displaystyle I(A)=∫^{A}_{−A}\frac{dt}{1+t^2}\) y evaluar\(\displaystyle \lim_{a→∞}I(A)\), el área bajo la gráfica de\(\dfrac{1}{1+t^2}\) on\([−∞,∞]\).

    Contestar
    \(2\tan^{−1}(A)→π\)como\(A→∞\)

    44) Para\(1<B<∞\), computar\(\displaystyle I(B)=∫^B_1\frac{dt}{t\sqrt{t^2−1}}\) y evaluar\(\displaystyle \lim_{B→∞}I(B)\), el área bajo la gráfica de\(\frac{1}{t\sqrt{t^2−1}}\) más\([1,∞)\).

    45) Utilizar la sustitución\(u=\sqrt{2}\cot x\) y la identidad\(1+\cot^2x=\csc^2x\) para evaluar\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\cos^2x}\). (Pista: Multiplica la parte superior e inferior del integrando por\(\csc^2x\).)

    Contestar
    Usando la pista, uno tiene\(\displaystyle ∫\frac{\csc^2x}{\csc^2x+\cot^2x}\,dx=∫\frac{\csc^2x}{1+2\cot^2x}\,dx.\) Set\(u=\sqrt{2}\cot x.\) Then,\(du=−\sqrt{2}\csc^2x\) y la integral es\(\displaystyle −\tfrac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{du}{1+u^2}=−\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}u+C=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\sqrt{2}\cot x)+C\). Si uno usa la identidad\(\tan^{−1}s+\tan^{−1}(\frac{1}{s})=\frac{π}{2}\), entonces esto también se puede escribir\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\frac{\tan x}{\sqrt{2}})+C.\)

    46) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de\(f(x)=2x^2−1\) y se\(g(x)=(1+4x^2)^{−3/2}\) cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.

    47) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de\(f(x)=x^2−1\) y se\(f(x)=x^2−1\) cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.

    Contestar
    \(x≈±1.13525.\)La estimación del punto final izquierdo con\(N=100\) es 2.796 y estos decimales persisten para\(N=500\).

    48) Utilice la siguiente gráfica para demostrar que\(\displaystyle ∫^x_0\sqrt{1−t^2}\,dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1−x^2}+\frac{1}{2}\sin^{−1}x.\)

    Diagrama que contiene dos formas, una cuña de un círculo sombreado en azul encima de un triángulo sombreado en marrón. La hipotenusa del triángulo es uno de los bordes de los radios de la cuña del círculo y tiene una longitud de 1 unidad. Hay una línea roja punteada que forma un rectángulo fuera de parte de la cuña y el triángulo, con la hipotenusa del triángulo como la diagonal del rectángulo. La curva del círculo se describe mediante la ecuación sqrt (1-x^2).


    5.7E: Ejercicios para la Sección 5.7 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.