5.7E: Ejercicios para la Sección 5.7
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1)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}/2}_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}x\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=\dfrac{π}{3}\)
2)\(\displaystyle ∫^{1/2}_{−1/2}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)
3)\(\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^1_{\sqrt{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} \quad = \quad \tan^{−1}x\bigg|^1_{\sqrt{3}}=−\dfrac{π}{12}\)
4)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dx}{1+x^2}\)
5)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{\sqrt{2}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}} \quad = \quad \sec^{−1}x\bigg|^{\sqrt{2}}_1=\dfrac{π}{4}\)
6)\(\displaystyle ∫^{\frac{2}{\sqrt{3}}}_1\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)
En los ejercicios 7 - 12, encuentra cada integral indefinida, utilizando las sustituciones apropiadas.
7)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad = \quad \sin^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C\)
8)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}\)
9)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{9+x^2} \quad = \quad \frac{1}{3}\tan^{−1}\left(\frac{x}{3}\right)+C\)
10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{25+16x^2}\)
11)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−9}} \quad = \quad \frac{1}{3}\sec^{−1}\left(\frac{|x|}{3}\right)+C\)
12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{4x^2−16}}\)
13) Explicar la relación\(\displaystyle −\cos^{−1}t+C=∫\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}=\sin^{−1}t+C.\) ¿Es cierto, en general, eso\(\cos^{−1}t=−\sin^{−1}t\)?
- Contestar
- \(\cos(\frac{π}{2}−θ)=\sin θ.\)Entonces,\(\sin^{−1}t=\dfrac{π}{2}−\cos^{−1}t.\) Se diferencian por una constante.
14) Explicar la relación\(\displaystyle \sec^{−1}t+C=∫\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}=−\csc^{−1}t+C.\) ¿Es cierto, en general, eso\(\sec^{−1}t=−\csc^{−1}t\)?
15) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:\(\displaystyle ∫^2_1\frac{dt}{\sqrt{1−t^2}}\).
- Contestar
- \(\sqrt{1−t^2}\)no se define como un número real cuando\(t>1\).
16) Explicar lo que está mal con la siguiente integral:\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dt}{|t|\sqrt{t^2−1}}\).
- Contestar
- \(\sqrt{t^2−1}\)no se define como un número real cuando\(-1 \lt t \lt 1\), y el integrando no está definido cuando\(t = -1\) o\(t = 1\).
En los ejercicios 17 - 20, resuelve para la antiderivada de\(f\) con\(C=0\), luego usa una calculadora para graficar\(f\) y la antiderivada sobre el intervalo dado\([a,b]\). Identificar un valor de\(C\) tal manera que sumando\(C\) a la antiderivada recupera la integral definida\(\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt\).
17) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{9−x^2}}\,dx\) sobre\([−3,3]\)
- Contestar
-
El antiderivado es\( \sin^{−1}(\frac{x}{3})+C\). Tomando\(C=\frac{π}{2}\) recupera la integral definida.
18) [T]\(\displaystyle ∫\frac{9}{9+x^2}\,dx\) sobre\([−6,6]\)
19) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\cos x}{4+\sin^2x}\,dx\) sobre\([−6,6]\)
- Contestar
-
![Dos gráficas. El primero muestra la función f (x) = cos (x)/(4 + sin (x) ^2). Es una función oscilante sobre [-6, 6] con puntos de inflexión en aproximadamente (-3, -2.5), (0, .25) y (3, -2.5), donde (0, .25) es un máximo local y los otros son minutos locales. El segundo muestra la función F (x) = .5 * arctan (.5*sin (x)), que también oscila sobre [-6,6]. Tiene puntos de inflexión en aproximadamente (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), y (4.5, -.25).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/2641/CNX_Calc_Figure_05_07_203.jpeg)
El antiderivado es\(\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin x}{2})+C\). Tomando\(C=\frac{1}{2}\tan^{−1}(\frac{\sin(6)}{2})\) recupera la integral definida.
20) [T]\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\) sobre\([−6,6]\)
En los ejercicios 21 - 26, computar el antiderivado utilizando las sustituciones apropiadas.
21)\(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}t\,dt}{\sqrt{1−t^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\sin^{−1}t)^2+C\)
22)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{\sin^{−1} t\sqrt{1−t^2}}\)
23)\(\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\tan^{−1}(2t)}{1+4t^2}\,dt \quad = \quad \frac{1}{4}(\tan^{−1}(2t))^2+C\)
24)\(\displaystyle ∫\frac{t\tan^{−1}(t^2)}{1+t^4}\,dt\)
25)\(\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{t^2−4}}\,dt \quad = \quad \tfrac{1}{4}(\sec^{−1}\left(\tfrac{t}{2}\right))^2+C\)
26)\(\displaystyle ∫\frac{t\sec^{−1}(t^2)}{t^2\sqrt{t^4−1}}\,dt\)
En los ejercicios 27 - 32, utilice una calculadora para graficar la antiderivada de\(f\) con\(C=0\) sobre el intervalo dado\([a,b].\) Aproximar un valor de\(C\), si es posible, tal que\(C\) sumar a la antiderivada dé el mismo valor que la integral definida\(\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt.\)
27) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{x\sqrt{x^2−4}}\,dx\) sobre\([2,6]\)
- Contestar
-
El antiderivado es\(\frac{1}{2}\sec^{−1}(\frac{x}{2})+C\). Tomando\(C=0\) recupera la integral definitiva sobre\( [2,6]\).
28) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{(2x+2)\sqrt{x}}\,dx\) sobre\([0,6]\)
29) [T]\(\displaystyle ∫\frac{(\sin x+x\cos x)}{1+x^2\sin^2x\,dx}\) sobre\( [−6,6]\)
- Contestar
-
![La gráfica de f (x) = arctan (x sin (x)) sobre [-6,6]. Tiene cinco puntos de inflexión en aproximadamente (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1) y (5, -1.5).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/2643/CNX_Calc_Figure_05_07_207.jpeg)
El antiderivado general es\(\tan^{−1}(x\sin x)+C\). Tomando\(C=−\tan^{−1}(6\sin(6))\) recupera la integral definida.
30) [T]\(\displaystyle ∫\frac{2e^{−2x}}{\sqrt{1−e^{−4x}}}\,dx\) sobre\([0,2]\)
31) [T]\(\displaystyle ∫\frac{1}{x+x\ln 2x}\) sobre\([0,2]\)
- Contestar
-
![Una gráfica de la función f (x) = arctan (ln (x)) sobre (0, 2]. Es una curva creciente con intercepción x en (1,0).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/2644/CNX_Calc_Figure_05_07_209.jpeg)
El antiderivado general es\(\tan^{−1}(\ln x)+C\). Tomando\(\displaystyle C=\tfrac{π}{2}=\lim_{t \to ∞}\tan^{−1} t\) recupera la integral definida.
32) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\sin^{−1}x}{\sqrt{1−x^2}}\) sobre\([−1,1]\)
En los ejercicios 33 - 38, computar cada integral utilizando las sustituciones apropiadas.
33)\(\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{e^t}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt \quad = \quad \sin^{−1}(e^t)+C\)
34)\(\displaystyle ∫\frac{e^t}{1+e^{2t}}\,dt\)
35)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}}\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{dt}{t\sqrt{1−\ln^2t}} \quad = \quad \sin^{−1}(\ln t)+C\)
36)\(\displaystyle ∫\frac{dt}{t(1+\ln^2t)}\)
37)\(\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫\frac{\cos^{−1}(2t)}{\sqrt{1−4t^2}}\,dt \quad = \quad −\frac{1}{2}(\cos^{−1}(2t))^2+C\)
38)\(\displaystyle ∫\frac{e^t\cos^{−1}(e^t)}{\sqrt{1−e^{2t}}}\,dt\)
En los ejercicios 39 - 42, computar cada integral definida.
39)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\tan(\sin^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)\)
40)\(\displaystyle ∫^{1/2}_{1/4}\frac{\tan(\cos^{−1}t)}{\sqrt{1−t^2}}\,dt\)
41)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt\)
- Contestar
- \(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\sin(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt \quad = \quad 1−\frac{2}{\sqrt{5}}\)
42)\(\displaystyle ∫^{1/2}_0\frac{\cos(\tan^{−1}t)}{1+t^2}\,dt\)
43) Para\(A>0\), computar\(\displaystyle I(A)=∫^{A}_{−A}\frac{dt}{1+t^2}\) y evaluar\(\displaystyle \lim_{a→∞}I(A)\), el área bajo la gráfica de\(\dfrac{1}{1+t^2}\) on\([−∞,∞]\).
- Contestar
- \(2\tan^{−1}(A)→π\)como\(A→∞\)
44) Para\(1<B<∞\), computar\(\displaystyle I(B)=∫^B_1\frac{dt}{t\sqrt{t^2−1}}\) y evaluar\(\displaystyle \lim_{B→∞}I(B)\), el área bajo la gráfica de\(\frac{1}{t\sqrt{t^2−1}}\) más\([1,∞)\).
45) Utilizar la sustitución\(u=\sqrt{2}\cot x\) y la identidad\(1+\cot^2x=\csc^2x\) para evaluar\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\cos^2x}\). (Pista: Multiplica la parte superior e inferior del integrando por\(\csc^2x\).)
- Contestar
- Usando la pista, uno tiene\(\displaystyle ∫\frac{\csc^2x}{\csc^2x+\cot^2x}\,dx=∫\frac{\csc^2x}{1+2\cot^2x}\,dx.\) Set\(u=\sqrt{2}\cot x.\) Then,\(du=−\sqrt{2}\csc^2x\) y la integral es\(\displaystyle −\tfrac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{du}{1+u^2}=−\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}u+C=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\sqrt{2}\cot x)+C\). Si uno usa la identidad\(\tan^{−1}s+\tan^{−1}(\frac{1}{s})=\frac{π}{2}\), entonces esto también se puede escribir\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tan^{−1}(\frac{\tan x}{\sqrt{2}})+C.\)
46) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de\(f(x)=2x^2−1\) y se\(g(x)=(1+4x^2)^{−3/2}\) cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.
47) [T] Aproximar los puntos en los que las gráficas de\(f(x)=x^2−1\) y se\(f(x)=x^2−1\) cruzan, y aproximar el área entre sus gráficas con una precisión de tres decimales.
- Contestar
- \(x≈±1.13525.\)La estimación del punto final izquierdo con\(N=100\) es 2.796 y estos decimales persisten para\(N=500\).
48) Utilice la siguiente gráfica para demostrar que\(\displaystyle ∫^x_0\sqrt{1−t^2}\,dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1−x^2}+\frac{1}{2}\sin^{−1}x.\)
