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# 6.1E: Ejercicios para la Sección 6.1

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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Para los ejercicios 1 - 2, determinar el área de la región entre las dos curvas en la figura dada integrando sobre el$$x$$ eje.

1)$$y=x^2−3$$ y$$y=1$$

Contestar
$$\dfrac{32}{3} \, \text{units}^2$$

2)$$y=x^2$$ y$$y=3x+4$$

Para los ejercicios 3 - 4, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, luego determine el área integrando sobre el$$x$$ eje. Ten en cuenta que tendrás dos integrales para resolver.

3)$$y=x^3$$ y$$y=x^2+x$$

Contestar
$$\dfrac{13}{12}\, \text{units}^2$$

4)$$y=\cos θ$$ y$$y=0.5$$, para$$0≤θ≤π$$

Para los ejercicios 5-6, determinar el área de la región entre las dos curvas integrándose sobre el$$y$$ eje -eje.

5)$$x=y^2$$ y$$x=9$$

Contestar
$$36 \, \text{units}^2$$

6)$$y=x$$ y$$x=y^2$$

Para los ejercicios 7 - 13, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determinar su área integrándose sobre el$$x$$ eje.

7)$$y=x^2$$ y$$y=−x^2+18x$$

Contestar

8)$$y=\dfrac{1}{x}, \quad y=\dfrac{1}{x^2}$$, y$$x=3$$

9)$$y=\cos x$$ y$$y=\cos^2x$$ en$$x \in [−π,π]$$

Contestar

10)$$y=e^x,\quad y=e^{2x−1}$$, y$$x=0$$

11)$$y=e^x, \quad y=e^{−x}, \quad x=−1$$ y$$x=1$$

Contestar

$$\dfrac{2(e−1)^2}{e}\, \text{units}^2$$

12)$$y=e, \quad y=e^x,$$ y$$y=e^{−x}$$

13)$$y=|x|$$ y$$y=x^2$$

Contestar

$$\dfrac{1}{3}\, \text{units}^2$$

Para los ejercicios 14 - 19, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar toda su área.

14)$$y=\sin(πx),\quad y=2x,$$ y$$x>0$$

15)$$y=12−x,\quad y=\sqrt{x},$$ y$$y=1$$

Contestar

$$\dfrac{34}{3}\, \text{units}^2$$

16)$$y=\sin x$$ y$$y=\cos x$$ más$$x \in [−π,π]$$

17)$$y=x^3$$ y$$y=x^2−2x$$ más$$x \in [−1,1]$$

Contestar

$$\dfrac{5}{2}\, \text{units}^2$$

18)$$y=x^2+9$$ y$$y=10+2x$$ más$$x \in [−1,3]$$

19)$$y=x^3+3x$$ y$$y=4x$$

Contestar

$$\dfrac{1}{2}\, \text{units}^2$$

Para los ejercicios 20 -25, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determinar su área integrándose sobre el$$y$$ eje.

20)$$x=y^3$$ y$$x = 3y−2$$

21)$$x=y$$ y$$x=y^3−y$$

Contestar

$$\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2$$

22)$$x=−3+y^2$$ y$$x=y−y^2$$

23)$$y^2=x$$ y$$x=y+2$$

Contestar

$$\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2$$

24)$$x=|y|$$ y$$2x=−y^2+2$$

25)$$x=\sin y,\quad x=\cos(2y),\quad y=π/2$$, y$$y=−π/2$$

Contestar

$$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, \text{units}^2$$

Para los ejercicios 26 - 37, grafica las ecuaciones y sombrea el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el$$x$$ eje o$$y$$ eje, lo que le parezca más conveniente.

26)$$x=y^4$$ y$$x=y^5$$

27)$$y=xe^x,\quad y=e^x,\quad x=0$$, y$$x=1$$.

Contestar

$$e^{−2}\, \text{units}^2$$

28)$$y=x^6$$ y$$y=x^4$$

29)$$x=y^3+2y^2+1$$ y$$x=−y^2+1$$

Responder

$$\dfrac{27}{4}\, \text{units}^2$$

30)$$y=|x|$$ y$$y=x^2−1$$

31)$$y=4−3x$$ y$$y=\dfrac{1}{x}$$

Responder

$$\left(\dfrac{4}{3}−\ln(3)\right)\, \text{units}^2$$

32)$$y=\sin x,\quad x=−π/6,\quad x=π/6,$$ y$$y=\cos^3 x$$

33)$$y=x^2−3x+2$$ y$$y=x^3−2x^2−x+2$$

Responder

$$\dfrac{1}{2}$$

34)$$y=2\cos^3(3x),\quad y=−1,\quad x=\dfrac{π}{4},$$ and $$x=−\dfrac{π}{4}$$

35)$$y+y^3=x$$ and $$2y=x$$

Responder

$$\dfrac{1}{2}$$unidades cuadradas

36)$$y=\sqrt{1−x^2}$$ y$$y=x^2−1$$

37)$$y=\cos^{−1}x,\quad y=\sin^{−1}x,\quad x=−1,$$ y$$x=1$$

Responder

$$−2(\sqrt{2}−π)$$unidades cuadradas

Para los ejercicios 38 - 47, encuentra el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas si es posible. Si no puede determinar analíticamente los puntos de intersección, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determinar el área aproximada de la región.

38) [T]$$x=e^y$$ y$$y=x−2$$

39) [T]$$y=x^2$$ y$$y=\sqrt{1−x^2}$$

Responder
$$1.067$$unidades cuadradas

40) [T]$$y=3x^2+8x+9$$ y$$3y=x+24$$

41) [T]$$x=\sqrt{4−y^2}$$ y$$y^2=1+x^2$$

Responder
$$0.852$$unidades cuadradas

42) [T]$$x^2=y^3$$ y$$x=3y$$

43) [T]$$y=\sin^3x+2,\quad y=\tan x,\quad x=−1.5,$$ y$$x=1.5$$

Responder
$$7.523$$unidades cuadradas

44) [T]$$y=\sqrt{1−x^2}$$ y$$y^2=x^2$$

45) [T]$$y=\sqrt{1−x^2}$$ y$$y=x^2+2x+1$$

Responder
$$\dfrac{3π−4}{12}$$unidades cuadradas

46) [T]$$x=4−y^2$$ y$$x=1+3y+y^2$$

47) [T]$$y=\cos x,\quad y=e^x,\quad x=−π,\quad$$ y$$\quad x=0$$

Responder
$$1.429$$unidades cuadradas

48) El triángulo más grande con una base en el$$x$$ eje -que encaja dentro de la mitad superior del círculo unitario$$y^2+x^2=1$$ viene dado por$$y=1+x$$ y$$y=1−x$$. Consulte la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo?

49) Una fábrica que vende celulares tiene una función de costo marginal$$C(x)=0.01x^2−3x+229$$, donde$$x$$ representa el número de celulares, y una función de ingresos marginales dada por$$R(x)=429−2x.$$ Encuentra el área entre las gráficas de estas curvas y$$x=0.$$ ¿Qué representa esta área?

Responder
\$33,333.33 beneficio total para 200 celulares vendidos

50) Un parque de diversiones tiene una función de costo marginal$$C(x)=1000e−x+5$$, donde$$x$$ representa el número de boletos vendidos, y una función marginal de ingresos dada por$$R(x)=60−0.1x$$. Encuentra el beneficio total generado al vender$$550$$ boletos. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, a dos decimales.

51) La tortuga versus la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal$$H(t)=1−\cos((πt)/2)$$ mientras que la velocidad de la tortuga es$$T(t)=(1/2)\tan^{−1}(t/4)$$, donde$$t$$ se mide el tiempo en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Encuentra el área entre las curvas de tiempo$$t=0$$ a la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Qué representa? Use una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

Responder
$$3.263$$mi representa lo lejos que está la liebre de la tortuga

52) La tortuga versus la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal$$H(t)=(1/2)−(1/2)\cos(2πt)$$ mientras que la velocidad de la tortuga es$$T(t)=\sqrt{t}$$, donde$$t$$ se mide el tiempo en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en 1 hora, ¿quién ganó la carrera y por cuánto? Use una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales.

Para los ejercicios 53 - 55, encuentra el área entre las curvas integrando con respecto$$x$$ y luego con respecto a$$y$$. ¿Un método es más fácil que el otro? ¿Obtienes la misma respuesta?

53)$$y=x^2+2x+1$$ y$$y=−x^2−3x+4$$

Responder
$$\dfrac{343}{24}$$unidades cuadradas

54)$$y=x^4$$ y$$x=y^5$$

55)$$x=y^2−2$$ y$$x=2y$$

Responder
$$4\sqrt{3}$$unidades cuadradas

Para los ejercicios 56 - 57, resuelve usando cálculo, luego revisa tu respuesta con geometría.

56) Determinar las ecuaciones para los lados del cuadrado que toca el círculo unitario en los cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Encuentra el área entre el perímetro de esta plaza y el círculo unitario. ¿Hay otra manera de resolver esto sin usar cálculo?

57) Encuentra el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de$$y=2x+1,\,y=1−2x$$ y$$y=−\dfrac{3}{5}$$, como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna manera de resolver esto sin usar cálculo?

Responder
$$\left(π−\dfrac{32}{25}\right)$$unidades cuadradas