6.2: Determinación de volúmenes por rebanado

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objetivos de aprendizaje

Determinar el volumen de un sólido integrando una sección transversal (el método de rebanado).
Encuentra el volumen de un sólido de revolución usando el método de disco.
Encuentra el volumen de un sólido de revolución con una cavidad usando el método de la arandela.

En la sección anterior, utilizamos integrales definidas para encontrar el área entre dos curvas. En esta sección, utilizamos integrales definidas para encontrar volúmenes de sólidos tridimensionales. Consideramos tres aproximaciones —rebanado, discos y arandelas— para encontrar estos volúmenes, dependiendo de las características del sólido.

El volumen y el método de rebanado

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros hemos calculado volúmenes de sólidos mediante fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, se puede calcular multiplicando longitud, ancho y alto:$V=lwh.$ Las fórmulas para los volúmenes de:

una esfera

\[V_{sphere}=\dfrac{4}{3}πr^3, \nonumber \]

un cono

\[V_{cone}=\dfrac{1}{3}πr^2h \nonumber \]

y una pirámide

\[V_{pyramid}=\dfrac{1}{3}Ah \nonumber \]

también se han introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron usando geometría sola, todas estas fórmulas se pueden obtener mediante el uso de integración.

También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros pensamos que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una varilla metálica, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para discutir los cilindros en este contexto más general, primero necesitamos definir algún vocabulario.

Definimos la sección transversal de un sólido para que sea la intersección de un plano con el sólido. Un cilindro se define como cualquier sólido que se pueda generar trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, llamada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la Figura$\PageIndex{1}$ es un ejemplo de un cilindro con una base no circular. Para calcular el volumen de un cilindro, entonces, simplemente multiplicamos el área de la sección transversal por la altura del cilindro:$V=A⋅h.$ En el caso de un cilindro circular derecho (lata de sopa), esto se convierte$V=πr^2h.$

Este gráfico tiene dos figuras. La primera cifra es la mitad de un cilindro, en la porción plana. El cilindro tiene una línea a través del centro etiquetada como “x”. Cortando verticalmente a través del cilindro, perpendicular a la línea es un plano. La segunda figura es una sección transversal bidimensional del cilindro que se cruza con el plano. Se trata de un semicírculo. — Figura$\PageIndex{1}$*: Cada sección transversal de un cilindro en particular es idéntica a las demás.*

Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), es posible que no tengamos una fórmula para su volumen. En este caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen del sólido. Esto lo hacemos cortando el sólido en trozos, estimando el volumen de cada rebanada y luego agregando esos volúmenes estimados juntos. Las rebanadas deben estar todas paralelas entre sí, y cuando juntemos todas las rebanadas, deberíamos obtener todo el sólido. Consideremos, por ejemplo, el sólido S mostrado en la Figura$\PageIndex{2}$, extendiéndose a lo largo del$x$ eje -eje.

Esta figura es una gráfica de un sólido tridimensional. Tiene un borde a lo largo del eje x. El eje x es parte del sistema de coordenadas bidimensional con el eje y etiquetado. El borde del sólido a lo largo del eje x comienza en un punto etiquetado como “a” y se detiene en un punto etiquetado como “b”. — Figura$\PageIndex{2}$: Un sólido con una sección transversal variable.

Queremos dividirnos$S$ en rebanadas perpendiculares al $x$eje -eje. Como vemos más adelante en el capítulo, puede haber momentos en los que queremos cortar el sólido en alguna otra dirección, digamos, con cortes perpendiculares al$y$ eje. La decisión de qué manera cortar el sólido es muy importante. Si tomamos la decisión equivocada, los cálculos pueden llegar a ser bastante desordenados. Más adelante en el capítulo, examinamos algunas de estas situaciones en detalle y miramos cómo decidir de qué manera cortar el sólido. Para los fines de esta sección, sin embargo, utilizamos cortes perpendiculares al$x$ eje.

Debido a que el área de la sección transversal no es constante, dejamos$A(x)$ representar el área de la sección transversal en el punto x. Ahora vamos a$P={x_0,x_1…,X_n}$ ser una partición regular de$[a,b]$$i=1,2,…n$, y para, dejar$S_i$ representar la porción de$S$ estiramiento de$x_{i−1}$ a$x_i$. En la siguiente figura se muestra el sólido en rodajas con$n=3$.

Por último, para$i=1,2,…n,$ dejar$x^∗_i$ ser un punto arbitrario en$[x_{i−1},x_i]$. Entonces el volumen de rebanada$S_i$ puede ser estimado por$V(S_i)≈A(x^∗_i)\,Δx$. Sumando estas aproximaciones juntas, vemos que el volumen de todo el sólido se$S$ puede aproximar por

\[V(S)≈\sum_{i=1}^nA(x^∗_i)\,Δx. \nonumber \]

A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como$n→∞.$ Entonces tenemos

\[V(S)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nA(x^∗_i)\,Δx=∫_a^b A(x)\,dx. \nonumber \]

La técnica que acabamos de describir se llama método de rebanado. Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia.

Estrategia de resolución de problemas: búsqueda de volúmenes mediante el método de corte

Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del sólido. A menudo es útil dibujar un cuadro si no se proporciona uno.
Determinar una fórmula para el área de la sección transversal.
Integre la fórmula de área en el intervalo apropiado para obtener el volumen.

Recordemos que en esta sección, suponemos que los cortes son perpendiculares al$x$ eje -eje. Por lo tanto, la fórmula de área es en términos de x y los límites de integración se encuentran en el $x$eje -eje. Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas que se muestra aquí es válida independientemente de cómo elegimos cortar el sólido.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Deriving the Formula for the Volume of a Pyramid

Sabemos por geometría que la fórmula para el volumen de una pirámide es$V=\dfrac{1}{3}Ah$. Si la pirámide tiene una base cuadrada, ésta se convierte$V=\dfrac{1}{3}a^2h$, donde a denota la longitud de un lado de la base. Vamos a utilizar el método de rebanado para derivar esta fórmula.

Solución

Queremos aplicar el método de rebanado a una pirámide con base cuadrada. Para configurar la integral, considere la pirámide mostrada en la Figura$\PageIndex{4}$, orientada a lo largo del $x$eje.

Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica, etiquetada como “a”, es una pirámide en su costado. El eje x atraviesa la mitad de la pirámide. El punto de la parte superior de la pirámide está en el origen del sistema de coordenadas x y. La base de la pirámide está sombreada y etiquetada como “a”. Dentro de la pirámide hay un rectángulo sombreado etiquetado como “s”. La distancia desde el eje y hasta la base de la pirámide se etiqueta como “h”. la distancia del rectángulo dentro de la pirámide al eje y se etiqueta como “x”. La segunda figura es una sección transversal de la pirámide con los ejes x e y etiquetados. La sección transversal es un triángulo con un lado etiquetado como “a”, perpendicular al eje x. La distancia a es del eje y es h. Hay otra línea perpendicular al eje x dentro del triángulo. Está etiquetado como “s”. Es x unidades del eje y. — Figura$\PageIndex{4}$: (a) Una pirámide con base cuadrada se orienta a lo largo del$x$ eje. b) Una vista bidimensional de la pirámide se ve desde el costado.

Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadrados (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados transversales. Mirando la Figura$\PageIndex{4}$ (b), y usando una proporción, ya que estos son triángulos similares, tenemos

\[\dfrac{s}{a}=\dfrac{x}{h} \nonumber \]

\[s=\dfrac{ax}{h}. \nonumber \]

Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados transversales es

\[A(x)=s^2=\left(\dfrac{ax}{h}\right)^2 \quad\quad\text{(step 2)} \nonumber \]

Luego encontramos el volumen de la pirámide integrando de$0$ a$h$ (paso 3):

\[V=∫_0^hA(x)\,dx=∫_0^h\left(\dfrac{ax}{h}\right)^2\,dx=\dfrac{a^2}{h^2}∫_0^hx^2\,dx=\left.\Big[\dfrac{a^2}{h^2}\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)\Big]\right|^h_0=\dfrac{1}{3}a^2h. \nonumber \]

Esta es la fórmula que estábamos buscando.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Utilice el método de rebanado para derivar la fórmula\[V=\dfrac{1}{3}πr^2h \nonumber \] para el volumen de un cono circular.

Pista: Usar triángulos similares, como en Ejemplo$\PageIndex{1}$.

Sólidos de la revolución

Si una región en un plano gira alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se denomina sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene tres gráficas. La primera gráfica, etiquetada como “a” es una región en el plano x y. La región es creada por una curva sobre el eje x y el eje x. La segunda gráfica, etiquetada como “b” es la misma región que en “a”, pero muestra la región comenzando a girar alrededor del eje x. La tercera gráfica, etiquetada como “c”, es el sólido formado al rotar la región desde “a” completamente alrededor del eje x, formando un sólido. — Figura$\PageIndex{5}$: (a) Esta es la región que gira alrededor del$x$ eje. b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, barre un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución.

Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, tales como piezas de máquinas producidas por un torno. Pasamos el resto de esta sección mirando sólidos de este tipo. El siguiente ejemplo utiliza el método de rebanado para calcular el volumen de un sólido de revolución.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

Utilice el método de corte para encontrar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficas de$f(x)=x^2−4x+5,x=1$,$x=4,$ y girado alrededor del$x$ eje.

Solución

Usando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática a lo largo del intervalo$[1,4]$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es una gráfica de la parábola f (x) =x^2-4x+5. La parábola es la parte superior de una región sombreada por encima del eje x. La región está delimitada a la izquierda por una línea en x=1 y a la derecha por una línea en x=4. — Figura$\PageIndex{6}$: Región utilizada para producir un sólido de revolución.

A continuación, gire la región alrededor del$x$ eje -como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficas de la parábola f (x) =x^2-4x+5. La parábola es la parte superior de una región sombreada por encima del eje x. La región está delimitada a la izquierda por una línea en x=1 y a la derecha por una línea en x=4. La primera gráfica tiene un sólido sombreado debajo de la parábola. Este sólido se ha formado girando la parábola alrededor del eje x. La segunda gráfica es la misma que la primera, con el sólido girado para mostrar el sólido. — Figura$\PageIndex{7}$: Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región de la Figura$\PageIndex{6}$ alrededor del$x$ **eje.**

Dado que el sólido se formó girando la región alrededor del$x$ eje, las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por$f(x).$ Use la fórmula para el área del círculo:

\[A(x)=πr^2=π[f(x)]^2=π(x^2−4x+5)^2\quad\quad\text{(step 2).} \nonumber \]

El volumen, entonces, es (paso 3)

\[\begin{align*} V &=∫_a^b A(x)\,dx \\ &=∫^4_1π(x^2−4x+5)^2\,dx \\ &=π∫^4_1(x^4−8x^3+26x^2−40x+25)\,dx \\ &=\left. π\left(\dfrac{x^5}{5}−2x^4+\dfrac{26x^3}{3}−20x^2+25x\right)\right|^4_1 \\ &=\dfrac{78}{5}π \end{align*}\]

El volumen es$78π/5\,\text{units}^3.$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Utilice el método de corte para encontrar el volumen del sólido de revolución formado girando la región entre la gráfica de la función$f(x)=1/x$ y el$x$ eje -sobre el intervalo$[1,2]$ alrededor del$x$ eje -eje. Consulte la siguiente figura.

$Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica es la curva f (x) =1/x, es una curva decreciente, por encima del eje x en el primer cuadrante. La gráfica tiene una región sombreada bajo la curva entre x=1 y x=2. La segunda gráfica es la curva f (x) =1/x en el primer cuadrante. Además, debajo de esta gráfica, hay un sólido entre x=1 y x=2 que se ha formado rotando la región desde la primera gráfica alrededor del eje x.$

Pista: Utilice la estrategia de resolución de problemas presentada anteriormente y siga Ejemplo$\PageIndex{2}$ para ayudar con el paso 2.

Responder: $\dfrac{π}{2} \,\text{units}^3$

El método del disco

Cuando usamos el método de rebanado con sólidos de revolución, a menudo se le llama método de disco porque, para sólidos de revolución, las rebanadas utilizadas para sobreaproximar el volumen del sólido son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre la gráfica de la función$f(x)=(x−1)^2+1$ y el $x$eje -sobre el intervalo$[−1,3]$ alrededor del$x$ eje -eje. La gráfica de la función y un disco representativo se muestran en la Figura$\PageIndex{8}$ (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en las Figuras$\PageIndex{8}$ (c) y (d).

Esta cifra tiene cuatro gráficas. La primera gráfica, etiquetada como “a” es una parábola f (x) = (x-1) ^2+1. La curva está por encima del eje x e interseca el eje y en y=2. Bajo la curva en el primer cuadrante hay un rectángulo vertical que comienza en el eje x y se detiene en la curva. La segunda gráfica, etiquetada como “b”, es la misma parábola que en la primera gráfica. El rectángulo debajo de la parábola de la primera gráfica se ha girado alrededor del eje x formando un disco sólido. La tercera gráfica etiquetada con “c” es la misma parábola que la primera gráfica. Hay una región sombreada delimitada arriba por la parábola, a la izquierda por la línea x=-1 y a la derecha por la línea x=3, y abajo por el eje x. La cuarta gráfica etiquetada con “d” es la misma parábola que la primera gráfica. La región de la tercera gráfica se ha girado alrededor del eje x para formar un sólido. — Figura$\PageIndex{8}$: (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del$x$ **eje.** (c) La región bajo la curva gira alrededor del$x$ **eje,** dando como resultado (d) el sólido de revolución.

Figura$\PageIndex{8}$: (e) Una versión dinámica de este sólido de revolución generado usando CalcPlot3D.

Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula de volumen cuando desarrollamos el método de rebanado. Sabemos que\[∫_a^b A(x)\,dx.\nonumber \]

La única diferencia con el método del disco es que conocemos la fórmula para el área transversal antes de tiempo; es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla.

El método del disco

Dejar$f(x)$ ser continuo y no negativo. Definir$R$ como la región delimitada arriba por la gráfica de$f(x)$, abajo por el$x$ eje -, a la izquierda por la línea$x=a$, y a la derecha por la línea$x=b$. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar$R$ alrededor del$x$ eje viene dado por

\[V=∫^b_aπ[f(x)]^2\,dx. \nonumber \]

El volumen del sólido que hemos estado estudiando (Figura$\PageIndex{8}$) viene dado por

\ [\ begin {align*} V &=^b_aπ\ izquierda [f (x)\ derecha] ^2\, dx\\
&=^3_ {−1} π\ grande [(x−1) ^2+1\ grande] ^2\, dx=π^3_ {−1}\ grande [(x−1) ^4+2 (x−1) ^2+1\ grande] ^2\, dx\\
&=π\ izquierda. \ Grande [\ frac {1} {5} (x−1) ^5+\ frac {2} {3} (x−1) ^3+x\ Grande]\ derecha|^3_ {−1}\\
&=π\ izquierda [\ izquierda (\ frac {32} {5} +\ frac {16} {3} +3\ derecha) −\ izquierda (−\ frac {32} {5} −\ frac {16} {3} −1\ derecha)\ derecha]\\
&=\ frac {412π} {15}\,\ texto {unidades} ^3. \ end {alinear*}\]

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 1

Utilice el método de disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica$f(x)=\sqrt{x}$ y el$x$ eje -sobre el intervalo$[1,4]$ alrededor del$x$ eje -eje.

Solución

Las gráficas de la función y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica etiquetada como “a” es la curva f (x) = squareroot (x). Es una curva creciente por encima del eje x. La curva se encuentra en el primer cuadrante. Bajo la curva hay una región delimitada por x=1 y x=4. La parte inferior de la región es el eje x. La segunda gráfica etiquetada como “b” es la misma curva que la primera gráfica. La región sólida de la primera gráfica se ha girado alrededor del eje x para formar una región sólida. — Figura$\PageIndex{9}$: (a) La función$f(x)=\sqrt{x}$ a lo largo del intervalo$[1,4]$. (b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo la gráfica de$f(x)$ alrededor del$x$ **eje**.

Tenemos

\ [\ begin {align*} v&=^b_aπ\ grande [f (x)\ grande] ^2\, dx\\
&=^4_1π\ izquierda [\ sqrt {x}\ derecha] ^2\, dx=π^4_1x\, dx\\
&=\ dfrac {π} {2} x^2\ bigg^4_1=\ dfrac {15π} {2}\ final {alinear*}\]

El volumen es$(15π)/2 \,\text{units}^3.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Utilice el método de disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica$f(x)=\sqrt{4−x}$ y el$x$ eje -sobre el intervalo$[0,4]$ alrededor del$x$ eje -eje.

Pista: Utilice el procedimiento de Ejemplo$\PageIndex{3}$.

Responder: $8π \,\text{units}^3$

Hasta ahora, nuestros ejemplos tienen todas las regiones preocupadas giradas alrededor del$x$ eje -eje, pero podemos generar un sólido de revolución girando una región plana alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, nos fijamos en un sólido de revolución que se ha generado al girar una región alrededor del$y$ eje -eje. La mecánica del método del disco es casi la misma que cuando el$x$ -eje es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de$y$ e integramos con respecto a y también. Esto se resume en la siguiente regla.

Regla: El Método del Disco para Sólidos de la Revolución en torno al$y$-axis

Dejar$g(y)$ ser continuo y no negativo. Definir$Q$ como la región delimitada a la derecha por la gráfica de$g(y)$, a la izquierda por el$y$ eje -eje, abajo por la línea$y=c$, y arriba por la línea$y=d$. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar$Q$ alrededor del$y$ eje viene dado por

\[V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy. \nonumber \]

El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 2

$R$Sea la región delimitada por la gráfica de$g(y)=\sqrt{4−y}$ y el$y$ eje -eje sobre el intervalo$y$ -eje$[0,4]$. Utilice el método de disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar$R$ alrededor del$y$ eje.

Solución

La figura$\PageIndex{10}$ muestra la función y un disco representativo que se puede utilizar para estimar el volumen. Observe que como estamos girando la función alrededor del$y$ eje -eje, los discos son horizontales, en lugar de verticales.

Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica etiquetada como “a” es la curva g (y) = raíz cuadrada (4-y). Es una curva decreciente que comienza en el eje y en y=4. Entre la curva y el eje y hay un rectángulo horizontal. El rectángulo comienza en el eje y y se detiene en la curva. La segunda gráfica etiquetada como “b” es la misma curva que la primera gráfica. El rectángulo de la primera gráfica se ha girado alrededor del eje y para formar un disco horizontal. — Figura$\PageIndex{10}$: (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función$g(y)=\sqrt{4−y}$ y el$y$ **eje.** b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del$y$ **eje.**

La región a girar y el sólido completo de la revolución se representan en la siguiente figura.

Para encontrar el volumen, integramos con respecto a$y$. Obtenemos

\[V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy=∫^4_0π\left[\sqrt{4−y}\right]^2\,dy=π∫^4_0(4−y)\,dy=π\left.\left[4y−\frac{y^2}{2}\right]\right|^4_0=8π. \nonumber \]

El volumen es$8π \,\text{units}^3$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Utilice el método de disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre la gráfica$g(y)=y$ y el$y$ eje -sobre el intervalo$[1,4]$ alrededor del$y$ eje -eje.

Pista: Utilice el procedimiento de Ejemplo$\PageIndex{4}$.

Responder: $21π \,\text{units}^3$

El método de la lavadora

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el medio; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma en que se conforma la región de la revolución con respecto al eje de la revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre las gráficas de dos funciones. Una tercera forma en que esto puede suceder es cuando se selecciona un eje de revolución que no sea el $x$eje $y$-eje o -eje.

Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el medio, las rebanadas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, considere la región delimitada arriba por la gráfica de la función$f(x)=\sqrt{x}$ y a continuación por la gráfica de la función a$g(x)=1$ lo largo del intervalo$[1,4]$. Cuando esta región gira alrededor del$x$ eje, el resultado es un sólido con una cavidad en el medio, y las rebanadas son arandelas. La gráfica de la función y una arandela representativa se muestran en la Figura$\PageIndex{12}$ (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en las Figuras$\PageIndex{12}$ (c) y (d).

Esta cifra tiene cuatro gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene las dos funciones f (x) =squareroot (x) y g (x) =1 graficadas en el primer cuadrante. f (x) es una curva creciente que comienza en el origen y g (x) es una línea horizontal en y=1. Las curvas se cruzan en el par ordenado (1,1). Entre las curvas hay un rectángulo sombreado con la parte inferior en g (x) y la parte superior en f (x). La segunda gráfica etiquetada como “b” son las mismas dos curvas que la primera gráfica. El rectángulo sombreado entre las curvas de la primera gráfica se ha girado alrededor del eje x para formar un disco abierto o arandela. La tercera gráfica etiquetada como “a” tiene las mismas dos curvas que la primera gráfica. Hay una región sombreada entre las dos curvas entre donde se cruzan y una línea en x=4. La cuarta gráfica son las mismas dos curvas que la primera con la región de la tercera gráfica girada alrededor del eje x formando una región sólida con un centro hueco. El centro hueco se representa en la gráfica con líneas horizontales discontinuas en y=1 e y=-1. — Figura$\PageIndex{12}$: (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del$x$ **eje.** c) La región entre las curvas en el intervalo dado. d) El sólido resultante de la revolución.

Figura$\PageIndex{12}$: (e) Una versión dinámica de este sólido de revolución generado usando CalcPlot3D.

El área transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interno. En este caso,

$A(x)=π\left(\sqrt{x}\right)^2−π(1)^2=π(x−1).$

Entonces el volumen del sólido es

\[V=∫^b_a A(x)\,dx=∫^4_1π(x−1)\,dx=π\left.\left[\frac{x^2}{2}−x\right]\right|^4_1=\frac{9}{2}π\,\text{units}^3. \nonumber \]

Generalizar este proceso da el método de la lavadora.

Regla: El método de la lavadora

Supongamos$f(x)$ y$g(x)$ son funciones continuas, no negativas tales que$f(x)≥g(x)$ sobre$[a,b]$. Dejar$R$ denotar la región delimitada arriba por la gráfica de$f(x)$, abajo por la gráfica de$g(x)$, a la izquierda por la línea$x=a$, y a la derecha por la línea$x=b$. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar$R$ alrededor del$x$ eje viene dado por

\[V=∫^b_aπ\left[(f(x))^2−(g(x))^2\right]\,dx. \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Using the Washer Method

Encuentra el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región delimitada arriba por la gráfica de$f(x)=x$ y abajo por la gráfica de$g(x)=1/x$ sobre el intervalo$[1,4]$ alrededor del$x$ eje -eje.

Solución

Las gráficas de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene las dos curvas f (x) =x y g (x) =1/x, se grafican solo en el primer cuadrante. f (x) es una línea diagonal que comienza en el origen y g (x) es una curva decreciente con el eje y como asíntota vertical y el eje x como asíntota horizontal. Las gráficas se cruzan en (1,1). Hay una región sombreada entre las gráficas, delimitada a la derecha por una línea en x=4. La segunda gráfica son las mismas dos curvas. Hay un sólido formado por la rotación de la región sombreada desde la primera gráfica alrededor del eje x. — Figura$\PageIndex{13}$: (a) La región entre las gráficas de las funciones$f(x)=x$ y$g(x)=1/x$ sobre el intervalo$[1,4]$. (b) Girar la región alrededor del$x$ **eje** genera un sólido de revolución con una cavidad en el medio.

Tenemos

\ [\ begin {align*} V &=^b_aπ\ big [(f (x)) ^2− (g (x)) ^2\ grande]\, dx=π^4_1\ izquierda [x^2−\ izquierda (\ frac {1} {x}\ derecha) ^2\ derecha]\, dx\\
&=π\ izquierda. \ izquierda [\ frac {x^3} {3} +\ frac {1} {x}\ derecha]\ derecha|^4_1\\
&=\ dfrac {81π} {4}\,\ texto {unidades} ^3. \ end {alinear*}\]

$clipboard_ec285765f5c0a0709a54ba430e31011a6.png$

Figura$\PageIndex{13}$: (c) Una versión dinámica de este sólido de revolución generado usando CalcPlot3D.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región delimitada por las gráficas de$f(x)=\sqrt{x}$ y$g(x)=1/x$ sobre el intervalo$[1,3]$ alrededor del $x$eje.

Pista: Grafica las funciones para determinar qué gráfica forma el límite superior y qué gráfico forma el límite inferior, luego usa el procedimiento de Ejemplo$\PageIndex{5}$.

Responder: $\dfrac{10π}{3} \,\text{units}^3$

Al igual que con el método del disco, también podemos aplicar el método de arandela a sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del$y$ eje. En este caso, se aplica la siguiente regla.

Regla: El Método de Arandela para Sólidos de Revolución en torno al$y$-axis

Supongamos$u(y)$ y$v(y)$ son funciones continuas, no negativas tales que$v(y)≤u(y)$ para$y∈[c,d]$. Dejar$Q$ denotar la región delimitada a la derecha por la gráfica de$u(y)$, a la izquierda por la gráfica de$v(y)$, abajo por la línea$y=c$, y arriba por la línea$y=d$. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar$Q$ alrededor del$y$ eje viene dado por

\[V=∫^d_cπ\left[(u(y))^2−(v(y))^2\right]\,dy. \nonumber \]

En lugar de mirar un ejemplo del método de arandela con el$y$ eje -eje como eje de revolución, ahora consideramos un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar exactamente cómo describir el área de la sección transversal del volumen.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Encuentra el volumen de un sólido de revolución formado al girar la región delimitada arriba$f(x)=4−x$ y abajo por el$x$ eje -sobre el intervalo$[0,4]$ alrededor de la línea$y=−2.$

Solución

La gráfica de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene las dos curvas f (x) =4-x y -2. Hay una región sombreada que forma un triángulo delimitado por la línea decreciente f (x), el eje y y el eje x. La segunda gráfica son las mismas dos curvas. Hay un sólido formado al rotar la región sombreada desde la primera gráfica alrededor de la línea y=-2. Hay un cilindro hueco dentro del sólido representado por las líneas y=-2 e y=-4. — Figura$\PageIndex{14}$: (a) La región entre la gráfica de la función$f(x)=4−x$ y el **$x$eje -sobre** el intervalo$[0,4]$. (b) Girar la región alrededor de la línea$y=−2$ genera un sólido de revolución con un agujero cilíndrico a través de su centro.

No podemos aplicar la fórmula de volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, todavía sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interno. Mirando la gráfica de la función, vemos que el radio del círculo exterior está dado por$f(x)+2,$ lo que simplifica a

$f(x)+2=(4−x)+2=6−x.$

El radio del círculo interno es$g(x)=2.$ Por lo tanto, tenemos

\ [\ begin {align*} V &=^4_0π\ left [(6−x) ^2− (2) ^2\ derecha]\, dx\\
&=π^4_0 (x^2−12x+32)\, dx=π\ izquierda. \ izquierda [\ frac {x^3} {3} −6x^2+32x\ derecha]\ derecha|^4_0\\
&=\ dfrac {160π} {3}\,\ texto {unidades} ^3. \ end {alinear*}\]

Figura$\PageIndex{14}$: (c) Una versión dinámica de este sólido de revolución generado usando CalcPlot3D.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Encuentra el volumen de un sólido de revolución formado girando la región delimitada arriba por la gráfica de$f(x)=x+2$ y abajo por el$x$ eje -sobre el intervalo$[0,3]$ alrededor de la línea$y=−1.$

Pista: Utilice el procedimiento de Ejemplo$\PageIndex{6}$.

Responder: $60π$unidades ³

Conceptos clave

Integrales definidas se pueden utilizar para encontrar los volúmenes de sólidos. Usando el método de rebanado, podemos encontrar un volumen integrando el área de la sección transversal.
Para los sólidos de revolución, los cortes de volumen suelen ser discos y las secciones transversales son círculos. El método de los discos implica aplicar el método de rebanar en el caso particular en el que las secciones transversales son círculos, y usar la fórmula para el área de un círculo.
Si un sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rebanadas de volumen son arandelas. Con el método de arandelas, el área del círculo interno se resta del área del círculo exterior antes de integrarse.

Ecuaciones Clave

Método de disco a lo largo del$x$ eje

$\displaystyle V=∫^b_aπ\big[f(x)\big]^2\,dx$

Método de disco a lo largo del$y$ eje

$\displaystyle V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy$

Método de Arandela

$\displaystyle V=∫^b_aπ\left[(f(x))^2−(g(x))^2\right]\,dx$

Glosario

sección transversal: la intersección de un plano y un objeto sólido

método de disco: un caso especial del método de rebanado utilizado con sólidos de revolución cuando las rebanadas son discos

método de rebanado: un método para calcular el volumen de un sólido que consiste en cortar el sólido en trozos, estimar el volumen de cada pieza, luego sumar estas estimaciones para llegar a una estimación del volumen total; a medida que el número de rebanadas va al infinito, esta estimación se convierte en una integral que da el valor exacto del volumen

sólido de revolución: un sólido generado al girar una región en un plano alrededor de una línea en ese plano

método de arandela: un caso especial del método de rebanado utilizado con sólidos de revolución cuando las rebanadas son arandelas

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Estrategia de resolución de problemas: búsqueda de volúmenes mediante el método de corte

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Deriving the Formula for the Volume of a Pyramid

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

El método del disco

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 1

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Regla: El Método del Disco para Sólidos de la Revolución en torno al\(y\)-axis

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Regla: El método de la lavadora

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Using the Washer Method

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Regla: El Método de Arandela para Sólidos de Revolución en torno al\(y\)-axis

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)