6.2E: Ejercicios para la Sección 6.2

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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1) Derivar la fórmula para el volumen de una esfera utilizando el método de rebanado.

2) Utilice el método de rebanado para derivar la fórmula para el volumen de un cono.

3) Utilice el método de rebanado para derivar la fórmula para el volumen de un tetraedro con longitud lateral$a.$

4) Utilice el método de disco para derivar la fórmula para el volumen de un cilindro trapezoidal.

5) Explique cuándo usaría el método del disco versus el método de la lavadora. ¿Cuándo son intercambiables?

Volúmenes por rebanado

Para los ejercicios 6 - 10, dibuja una rebanada típica y encuentra el volumen usando el método de rebanado para el volumen dado.

6) Una pirámide con altura 6 unidades y base cuadrada de lado 2 unidades, como se muestra aquí.

$Esta figura es una pirámide con ancho de base de 2 y altura de 6 unidades.$

Solución:: Aquí las secciones transversales son cuadrados tomados perpendiculares al$y$ eje.
Utilizamos la sección transversal vertical de la pirámide a través de su centro para obtener una ecuación que relaciona$x$ y$y$.
Aquí esta sería la ecuación,$ y = 6 - 6x $. Ya que necesitamos las dimensiones del cuadrado en cada$y$ -nivel, resolvemos esta ecuación$x$ para obtener,$x = 1 - \tfrac{y}{6}$.
Esto es la mitad de la distancia a través de la sección transversal cuadrada en el$y$ nivel -nivel, por lo que la longitud lateral de la sección transversal cuadrada es,$s = 2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right).$
Así, tenemos el área de una sección transversal es,

$A(y) = \left[2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)\right]^2 = 4\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)^2.$

\ (\ begin {align*}\ text {Entonces},\ quad V &=\ int_0^6 4\ izquierda (1 -\ tfrac {y} {6}\ derecha) ^2\, dy\ [5pt]
&= -24\ int_1^0 u^2\, du,\ quad\ text {donde}\, u = 1 -\ tfrac {y} {6},\,\ texto {so}\, du = -\ tfrac {1} {6}\, dy,\ quad\ implica\ quad -6\, du = dy\\ [5pt]
&= 24\ int_0^1 u^2\, du = 24\ dfrac {u^3} {3}\ bigg|_0^1\\ [5pt]
&= 8u^3\ bigg|_0^1\\ [5pt]
&= 8\ izquierda (1^3 - 0^3\ derecha)\ quad=\ quad 8\,\ text {unidades} ^3\ final {alinear*}\)

7) Una pirámide con altura 4 unidades y una base rectangular con longitud 2 unidades y ancho 3 unidades, como se muestra aquí.

$Esta figura es una pirámide con ancho de base de 2, longitud de 3 y altura de 4 unidades.$

8) Un tetraedro con un lado base de 4 unidades, como se ve aquí.

$Esta figura es un triángulo equilátero con longitud lateral de 4 unidades.$

Contestar: $V = \frac{32}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$unidades ³

9) Una pirámide con altura 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 unidades y 8 unidades, como se ve aquí.

$Esta figura es una pirámide con una base triangular. La vista es de la base. Los lados del triángulo miden 6 unidades, 8 unidades y 8 unidades. La altura de la pirámide es de 5 unidades.$

10) Un cono de radio$ r$ y altura$ h$ tiene un cono más pequeño de radio$ r/2$ y altura$ h/2$ retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se llama tronco.

$Esta figura es una gráfica tridimensional de un cono boca abajo. El cono está dentro de un prisma rectangular que representa el sistema de coordenadas xyz. El radio de la parte inferior del cono es “r” y el radio de la parte superior del cono está etiquetado como “r/2”.$

Contestar: $V = \frac{7\pi}{12} hr^2$unidades ³

Para los ejercicios 11 - 16, dibuja un contorno del sólido y encuentra el volumen usando el método de rebanado.

11) La base es un círculo de radio$ a$. Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados.

12) La base es un triángulo con vértices$ (0,0),(1,0),$ y$ (0,1)$. Las rebanadas perpendiculares al$xy$ plano son semicírculos.

Contestar

$Esta figura muestra el eje x y el eje y con una línea que comienza en el eje x en (1,0) y termina en el eje y en (0,1). Perperpendiculares al plano XY hay 4 semicírculos sombreados con sus diámetros comenzando en el eje x y terminando en la línea, disminuyendo en tamaño lejos del origen.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi(1-x)^2}{8}\, dx \quad = \quad \frac{π}{24}$unidades ³

13) La base es la región bajo la parábola$ y=1−x^2$ en el primer cuadrante. Las rebanadas perpendiculares al$xy$ plano son cuadrados.

14) La base es la región bajo la parábola$ y=1−x^2$ y por encima del $x$eje. Las rebanadas perpendiculares $y$al eje son cuadrados.

Contestar

$Esta figura muestra el eje x y el eje y en perspectiva tridimensional. En la gráfica de arriba del eje x se encuentra una parábola, que tiene su vértice en y=1 y x-intercepta en (-1,0) y (1,0). Hay 3 regiones sombreadas cuadradas perpendiculares al plano x y, que tocan la parábola a cada lado, disminuyendo en tamaño alejándose del origen.$

$\displaystyle V = \int_0^1 4(1 - y)\,dy \quad = \quad 2$unidades ³

15) La base es la región encerrada por$ y=x^2)$ y$ y=9.$ las rebanadas perpendiculares al$x$ eje son triángulos isósceles rectos.

16) La base es el área entre$ y=x$ y$ y=x^2$. Las rebanadas perpendiculares al$x$ eje son semicírculos.

Contestar

$Esta figura es una gráfica con los ejes x e y diagonales para mostrar la perspectiva tridimensional. En el primer cuadrante de la gráfica están las curvas y=x, una línea, e y=x^2, una parábola. Se cruzan en el origen y en (1,1). Varias regiones sombreadas de forma semicircular son perpendiculares al plano x y, que van de la parábola a la línea y perpendiculares a la línea.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi}{8}\left( x - x^2 \right)^2 \, dx \quad=\quad \frac{π}{240}$unidades ³

Método de disco y arandela

Para los ejercicios 17 - 24, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método de disco o arandela para encontrar el volumen cuando la región se gira alrededor del$x$ eje.

17)$ x+y=8,\quad x=0$, y$ y=0$

18)$ y=2x^2,\quad x=0,\quad x=4,$ y$ y=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=2x^2, abajo por el eje x, y a la derecha por la línea vertical x=4.$

$\displaystyle V = \int_0^4 4\pi x^4\, dx \quad=\quad \frac{4096π}{5}$unidades ³

19)$ y=e^x+1,\quad x=0,\quad x=1,$ y$ y=0$

20)$ y=x^4,\quad x=0$, y$ y=1$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la línea y=1, abajo por la curva y=x^4, y a la izquierda por el eje y.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \pi\left( 1^2 - \left( x^4\right)^2\right)\, dx = \int_0^1 \pi\left( 1 - x^8\right)\, dx \quad = \quad \frac{8π}{9}$unidades ³

21)$ y=\sqrt{x},\quad x=0,\quad x=4,$ y$ y=0$

22)$ y=\sin x,\quad y=\cos x,$ y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=cos (x), abajo a la izquierda por el eje y y abajo a la derecha por y=sin (x). La región sombreada se encuentra en el primer cuadrante.$

$\displaystyle V = \int_0^{\pi/4} \pi \left( \cos^2 x - \sin^2 x\right) \, dx = \int_0^{\pi/4} \pi \cos 2x \, dx \quad=\quad \frac{π}{2}$unidades ³

23)$ y=\dfrac{1}{x},\quad x=2$, y$ y=3$

24)$ x^2−y^2=9$ y$ x+y=9,\quad y=0$ y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la línea x + y=9, abajo por el eje x, a la izquierda por el eje y, y a la izquierda por la curva x^2-y^2=9.$

$V = 207π$unidades ³

Para los ejercicios 25 - 32, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentra el volumen cuando la región se gira alrededor del$y$ eje.

25)$ y=4−\dfrac{1}{2}x,\quad x=0,$ y$ y=0$

26)$ y=2x^3,\quad x=0,\quad x=1,$ y$ y=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=2x^3, abajo por el eje x, y a la derecha por la línea x=1.$

$V = \frac{4π}{5}$unidades ³

27)$ y=3x^2,\quad x=0,$ y$ y=3$

28)$ y=\sqrt{4−x^2},\quad y=0,$ y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Se trata de un cuarto de círculo con centro en el origen y radio de 2. Está sombreado en el interior.$

$V = \frac{16π}{3}$unidades ³

29)$ y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}},\quad x=0$, y$ x=3$

30)$ x=\sec(y)$ y$ y=\dfrac{π}{4},\quad y=0$ y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la línea y=pi/4, a la derecha por la curva x=seg (y), abajo por el eje x, y a la izquierda por el eje y.$

$V = π$unidades ³

31)$ y=\dfrac{1}{x+1},\quad x=0$, y$ x=2$

32)$ y=4−x,\quad y=x,$ y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es un triángulo sombreado delimitado arriba por la línea y=4-x, abajo por la línea y=x, y a la izquierda por el eje y.$

$V = \frac{16π}{3}$unidades ³

Para los ejercicios 33 - 40, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentra el volumen cuando la región se gira alrededor del$x$ eje.

33)$ y=x+2,\quad y=x+6,\quad x=0$, y$ x=5$

34)$ y=x^2$ y$ y=x+2$

Contestar

$Esta figura es una gráfica por encima del eje x. Es una región sombreada delimitada arriba por la línea y=x+2, y abajo por la parábola y=x^2.$

$V = \frac{72π}{5}$unidades ³

35)$ x^2=y^3$ y$ x^3=y^2$

36)$ y=4−x^2$ y$ y=2−x$

Contestar

$Esta figura es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=4-x^2 y por debajo por la línea y=2-x.$

$V = \frac{108π}{5}$unidades ³

37) [T]$ y=\cos x,\quad y=e^{−x},\quad x=0$, y$ x=1.2927$

38)$ y=\sqrt{x}$ y$ y=x^2$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=squareroot (x), abajo por la curva y=x^2.$

$V = \frac{3π}{10}$unidades ³

39)$ y=\sin x,\quad y=5\sin x,\quad x=0$ y$ x=π$

40)$ y=\sqrt{1+x^2}$ y$ y=\sqrt{4−x^2}$

Contestar

$Esta figura es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=squareroot (4-x^2) y, debajo por la curva y=squareroot (1+x^2).$

$V = 2\sqrt{6}π$unidades ³

Para los ejercicios 41 - 45, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método de arandela para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del$y$ eje.

41)$ y=\sqrt{x},\quad x=4$, y$ y=0$

42)$ y=x+2,\quad y=2x−1$, y$ x=0$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la línea y=x+2, abajo por la línea y=2x-1, y a la izquierda por el eje y.$

$V = 9π$unidades ³

43)$ y=\dfrac{3}{x}$ y$ y=x^3$

44)$ x=e^{2y},\quad x=y^2,\quad y=0$, y$ y=\ln(2)$

Contestar

$Esta figura es una gráfica en el primer cuadrante. Es una región sombreada delimitada arriba por la curva y=ln (2), abajo por el eje x, a la izquierda por la curva x=y^2, y a la derecha por la curva x=e^ (2y).$

$V = \dfrac{π}{20}(75−4\ln^5(2))$unidades ³

45)$ x=\sqrt{9−y^2},\quad x=e^{−y},\quad y=0$, y$ y=3$

46) Los envases de yogur pueden tener forma de frustums. Gire la línea$ y=\left(\frac{1}{m}\right)x$ alrededor del$y$ eje para encontrar el volumen entre$ y=a$ y$ y=b$.

$Esta cifra tiene dos partes. La primera parte es un cono sólido. La base del cono es más ancha que la parte superior. Se muestra en una caja tridimensional. Debajo del cono hay una imagen de un recipiente de yogur con la misma forma que la figura.$

Contestar: $V = \dfrac{m^2π}{3}(b^3−a^3)$unidades ³

47) Gire la elipse$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ alrededor del$x$ eje -eje para aproximarse al volumen de una pelota de fútbol, como se ve aquí.

$Esta figura tiene un óvalo que es aproximadamente igual a la imagen de un balón de fútbol.$

48) Gira la elipse$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ alrededor del$y$ eje para aproximar el volumen de una pelota de fútbol.

Contestar: $V = \frac{4a^2bπ}{3}$unidades ³

49) Una mejor aproximación del volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que viene de girar$ y=\sin x) around the \(x$ -eje de$ x=0$ a$ x=π$. ¿Cuál es el volumen de esta aproximación futbolística, como se ve aquí?

$Esta figura tiene una forma ovalada tridimensional. Se encuentra dentro de una caja paralela al eje x en el borde frontal inferior de la caja. El eje y es vertical al sólido.$

Para los ejercicios 51 - 56, encuentra el volumen del sólido descrito.

51) La base es la región entre$ y=x$ y$ y=x^2$. Las rebanadas perpendiculares al$x$ eje son semicírculos.

52) La base es la región encerrada por la elipse genérica.$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$ Las rebanadas perpendiculares al$x$ eje son semicírculos.

Contestar: $V = \frac{2ab^2π}{3}$unidades ³

53) Perforar un agujero de radio a abajo del eje del cono$a$ derecho y a través de la base del radio$b$, como se ve aquí.

$Esta figura es un cono boca abajo. Tiene un radio de la parte superior como “b”, centro en “a” y altura como “b”.$

54) Encuentra el volumen común a dos esferas de radio$r$ con centros que están$2h$ separados, como se muestra aquí.

$Esta figura tiene dos círculos que se cruzan. Ambos círculos tienen radio “r”. Hay un segmento de línea de un centro a otro. En medio de la intersección de los círculos se encuentra el punto “h”. Está en el segmento de línea.$

Contestar: $V = \frac{π}{12}(r+h)^2(6r−h)$unidades ³

55) Encuentra el volumen de una tapa esférica de altura$h$ y radio$r$ donde$h<r$, como se ve aquí.

$Esta figura una porción de una esfera. Esta tapa esférica tiene radio “r” y altura “h”.$

56) Encuentra el volumen de una esfera de radio$R$ con una tapa de altura$h$ quitada de la parte superior, como se ve aquí.

$Esta figura es una esfera con una porción superior quitada. El radio de la esfera es “R”. La distancia desde el centro hasta donde se retira la porción superior es “R-h”.$

Contestar: $V = \dfrac{π}{3}(h+R)(h−2R)^2$unidades ³

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