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# 6.2E: Ejercicios para la Sección 6.2

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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1) Derivar la fórmula para el volumen de una esfera utilizando el método de rebanado.

2) Utilice el método de rebanado para derivar la fórmula para el volumen de un cono.

3) Utilice el método de rebanado para derivar la fórmula para el volumen de un tetraedro con longitud lateral$$a.$$

4) Utilice el método de disco para derivar la fórmula para el volumen de un cilindro trapezoidal.

5) Explique cuándo usaría el método del disco versus el método de la lavadora. ¿Cuándo son intercambiables?

## Volúmenes por rebanado

Para los ejercicios 6 - 10, dibuja una rebanada típica y encuentra el volumen usando el método de rebanado para el volumen dado.

6) Una pirámide con altura 6 unidades y base cuadrada de lado 2 unidades, como se muestra aquí.

Solución:
Aquí las secciones transversales son cuadrados tomados perpendiculares al$$y$$ eje.
Utilizamos la sección transversal vertical de la pirámide a través de su centro para obtener una ecuación que relaciona$$x$$ y$$y$$.
Aquí esta sería la ecuación,$$y = 6 - 6x$$. Ya que necesitamos las dimensiones del cuadrado en cada$$y$$ -nivel, resolvemos esta ecuación$$x$$ para obtener,$$x = 1 - \tfrac{y}{6}$$.
Esto es la mitad de la distancia a través de la sección transversal cuadrada en el$$y$$ nivel -nivel, por lo que la longitud lateral de la sección transversal cuadrada es,$$s = 2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right).$$
Así, tenemos el área de una sección transversal es,

$$A(y) = \left[2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)\right]^2 = 4\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)^2.$$

\ (\ begin {align*}\ text {Entonces},\ quad V &=\ int_0^6 4\ izquierda (1 -\ tfrac {y} {6}\ derecha) ^2\, dy\ [5pt]
&= -24\ int_1^0 u^2\, du,\ quad\ text {donde}\, u = 1 -\ tfrac {y} {6},\,\ texto {so}\, du = -\ tfrac {1} {6}\, dy,\ quad\ implica\ quad -6\, du = dy\\ [5pt]
&= 24\ int_0^1 u^2\, du = 24\ dfrac {u^3} {3}\ bigg|_0^1\\ [5pt]
&= 8u^3\ bigg|_0^1\\ [5pt]
&= 8\ izquierda (1^3 - 0^3\ derecha)\ quad=\ quad 8\,\ text {unidades} ^3\ final {alinear*}\)

7) Una pirámide con altura 4 unidades y una base rectangular con longitud 2 unidades y ancho 3 unidades, como se muestra aquí.

8) Un tetraedro con un lado base de 4 unidades, como se ve aquí.

Contestar
$$V = \frac{32}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$$unidades 3

9) Una pirámide con altura 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 unidades y 8 unidades, como se ve aquí.

10) Un cono de radio$$r$$ y altura$$h$$ tiene un cono más pequeño de radio$$r/2$$ y altura$$h/2$$ retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se llama tronco.

Contestar
$$V = \frac{7\pi}{12} hr^2$$unidades 3

Para los ejercicios 11 - 16, dibuja un contorno del sólido y encuentra el volumen usando el método de rebanado.

11) La base es un círculo de radio$$a$$. Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados.

12) La base es un triángulo con vértices$$(0,0),(1,0),$$ y$$(0,1)$$. Las rebanadas perpendiculares al$$xy$$ plano son semicírculos.

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi(1-x)^2}{8}\, dx \quad = \quad \frac{π}{24}$$unidades 3

13) La base es la región bajo la parábola$$y=1−x^2$$ en el primer cuadrante. Las rebanadas perpendiculares al$$xy$$ plano son cuadrados.

14) La base es la región bajo la parábola$$y=1−x^2$$ y por encima del $$x$$eje. Las rebanadas perpendiculares $$y$$al eje son cuadrados.

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^1 4(1 - y)\,dy \quad = \quad 2$$unidades 3

15) La base es la región encerrada por$$y=x^2)$$ y$$y=9.$$ las rebanadas perpendiculares al$$x$$ eje son triángulos isósceles rectos.

16) La base es el área entre$$y=x$$ y$$y=x^2$$. Las rebanadas perpendiculares al$$x$$ eje son semicírculos.

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi}{8}\left( x - x^2 \right)^2 \, dx \quad=\quad \frac{π}{240}$$unidades 3

## Método de disco y arandela

Para los ejercicios 17 - 24, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método de disco o arandela para encontrar el volumen cuando la región se gira alrededor del$$x$$ eje.

17)$$x+y=8,\quad x=0$$, y$$y=0$$

18)$$y=2x^2,\quad x=0,\quad x=4,$$ y$$y=0$$

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^4 4\pi x^4\, dx \quad=\quad \frac{4096π}{5}$$unidades 3

19)$$y=e^x+1,\quad x=0,\quad x=1,$$ y$$y=0$$

20)$$y=x^4,\quad x=0$$, y$$y=1$$

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^1 \pi\left( 1^2 - \left( x^4\right)^2\right)\, dx = \int_0^1 \pi\left( 1 - x^8\right)\, dx \quad = \quad \frac{8π}{9}$$unidades 3

21)$$y=\sqrt{x},\quad x=0,\quad x=4,$$ y$$y=0$$

22)$$y=\sin x,\quad y=\cos x,$$ y$$x=0$$

Contestar

$$\displaystyle V = \int_0^{\pi/4} \pi \left( \cos^2 x - \sin^2 x\right) \, dx = \int_0^{\pi/4} \pi \cos 2x \, dx \quad=\quad \frac{π}{2}$$unidades 3

23)$$y=\dfrac{1}{x},\quad x=2$$, y$$y=3$$

24)$$x^2−y^2=9$$ y$$x+y=9,\quad y=0$$ y$$x=0$$

Contestar

$$V = 207π$$unidades 3

Para los ejercicios 25 - 32, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentra el volumen cuando la región se gira alrededor del$$y$$ eje.

25)$$y=4−\dfrac{1}{2}x,\quad x=0,$$ y$$y=0$$

26)$$y=2x^3,\quad x=0,\quad x=1,$$ y$$y=0$$

Contestar

$$V = \frac{4π}{5}$$unidades 3

27)$$y=3x^2,\quad x=0,$$ y$$y=3$$

28)$$y=\sqrt{4−x^2},\quad y=0,$$ y$$x=0$$

Contestar

$$V = \frac{16π}{3}$$unidades 3

29)$$y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}},\quad x=0$$, y$$x=3$$

30)$$x=\sec(y)$$ y$$y=\dfrac{π}{4},\quad y=0$$ y$$x=0$$

Contestar

$$V = π$$unidades 3

31)$$y=\dfrac{1}{x+1},\quad x=0$$, y$$x=2$$

32)$$y=4−x,\quad y=x,$$ y$$x=0$$

Contestar

$$V = \frac{16π}{3}$$unidades 3

Para los ejercicios 33 - 40, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentra el volumen cuando la región se gira alrededor del$$x$$ eje.

33)$$y=x+2,\quad y=x+6,\quad x=0$$, y$$x=5$$

34)$$y=x^2$$ y$$y=x+2$$

Contestar

$$V = \frac{72π}{5}$$unidades 3

35)$$x^2=y^3$$ y$$x^3=y^2$$

36)$$y=4−x^2$$ y$$y=2−x$$

Contestar

$$V = \frac{108π}{5}$$unidades 3

37) [T]$$y=\cos x,\quad y=e^{−x},\quad x=0$$, y$$x=1.2927$$

38)$$y=\sqrt{x}$$ y$$y=x^2$$

Contestar

$$V = \frac{3π}{10}$$unidades 3

39)$$y=\sin x,\quad y=5\sin x,\quad x=0$$ y$$x=π$$

40)$$y=\sqrt{1+x^2}$$ y$$y=\sqrt{4−x^2}$$

Contestar

$$V = 2\sqrt{6}π$$unidades 3

Para los ejercicios 41 - 45, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método de arandela para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del$$y$$ eje.

41)$$y=\sqrt{x},\quad x=4$$, y$$y=0$$

42)$$y=x+2,\quad y=2x−1$$, y$$x=0$$

Contestar

$$V = 9π$$unidades 3

43)$$y=\dfrac{3}{x}$$ y$$y=x^3$$

44)$$x=e^{2y},\quad x=y^2,\quad y=0$$, y$$y=\ln(2)$$

Contestar

$$V = \dfrac{π}{20}(75−4\ln^5(2))$$unidades 3

45)$$x=\sqrt{9−y^2},\quad x=e^{−y},\quad y=0$$, y$$y=3$$

46) Los envases de yogur pueden tener forma de frustums. Gire la línea$$y=\left(\frac{1}{m}\right)x$$ alrededor del$$y$$ eje para encontrar el volumen entre$$y=a$$ y$$y=b$$.

Contestar
$$V = \dfrac{m^2π}{3}(b^3−a^3)$$unidades 3

47) Gire la elipse$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ alrededor del$$x$$ eje -eje para aproximarse al volumen de una pelota de fútbol, como se ve aquí.

48) Gira la elipse$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ alrededor del$$y$$ eje para aproximar el volumen de una pelota de fútbol.

Contestar
$$V = \frac{4a^2bπ}{3}$$unidades 3

49) Una mejor aproximación del volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que viene de girar$$y=\sin x) around the \(x$$ -eje de$$x=0$$ a$$x=π$$. ¿Cuál es el volumen de esta aproximación futbolística, como se ve aquí?

Para los ejercicios 51 - 56, encuentra el volumen del sólido descrito.

51) La base es la región entre$$y=x$$ y$$y=x^2$$. Las rebanadas perpendiculares al$$x$$ eje son semicírculos.

52) La base es la región encerrada por la elipse genérica.$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$$ Las rebanadas perpendiculares al$$x$$ eje son semicírculos.

Contestar
$$V = \frac{2ab^2π}{3}$$unidades 3

53) Perforar un agujero de radio a abajo del eje del cono$$a$$ derecho y a través de la base del radio$$b$$, como se ve aquí.

54) Encuentra el volumen común a dos esferas de radio$$r$$ con centros que están$$2h$$ separados, como se muestra aquí.

Contestar
$$V = \frac{π}{12}(r+h)^2(6r−h)$$unidades 3

55) Encuentra el volumen de una tapa esférica de altura$$h$$ y radio$$r$$ donde$$h<r$$, como se ve aquí.

56) Encuentra el volumen de una esfera de radio$$R$$ con una tapa de altura$$h$$ quitada de la parte superior, como se ve aquí.

Contestar
$$V = \dfrac{π}{3}(h+R)(h−2R)^2$$unidades 3