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# 6.3E: Ejercicios para la Sección 6.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Para los ejercicios 1 - 6, encuentra el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de la carcasa como el método de la arandela. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar una rebanada típica a mano.

1) [T] Sobre la curva de$$y=3x,$$$$x=0,$$ y$$y=3$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

2) [T] Bajo la curva de$$y=3x,$$$$x=0$$, y$$x=3$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder

$$V = 54π$$unidades 3

3) [T] Sobre la curva de$$y=3x,$$$$x=0$$, y$$y=3$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

4) [T] Bajo la curva de$$y=3x,$$$$x=0,$$ y$$x=3$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

Responder

$$V = 81π$$unidades 3

5) [T] Bajo la curva de$$y=2x^3,\;x=0,$$ y$$x=2$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

6) [T] Bajo la curva de$$y=2x^3,\;x=0,$$ y$$x=2$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

Responder

$$V = \frac{512π}{7}$$unidades 3

Para los ejercicios 7 - 16, use conchas para encontrar los volúmenes de los sólidos dados. Tenga en cuenta que las regiones giradas se encuentran entre la curva y el$$x$$ eje y se rotan alrededor del$$y$$ eje.

7)$$y=1−x^2,$$$$x=0,$$ y$$x=1$$

8)$$y=5x^3,$$$$x=0$$, y$$x=1$$

Responder
$$V = 2π$$unidades 3

9)$$y=\dfrac{1}{x},$$$$x=1,$$ y$$x=100$$

10)$$y=\sqrt{1−x^2},$$$$x=0$$, y$$x=1$$

Responder
$$V= \frac{2π}{3}$$unidades 3

11)$$y=\dfrac{1}{1+x^2},$$$$x=0$$, y$$x=3$$

12)$$y=\sin x^2,x=0$$, y$$x=\sqrt{π}$$

Responder
$$V= 2π$$unidades 3

13)$$y=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}},$$$$x=0$$, y$$x=\frac{1}{2}$$

14)$$y=\sqrt{x},$$$$x=0$$, y$$x=1$$

Responder
$$V = \frac{4π}{5}$$unidades 3

15)$$y=(1+x^2)^3,$$$$x=0$$, y$$x=1$$

16)$$y=5x^3−2x^4,$$$$x=0$$, y$$x=2$$

Responder
$$V= \frac{64π}{3}$$unidades 3

Para los ejercicios 17 - 26, use shells para encontrar el volumen generado al rotar las regiones entre la curva dada y$$y=0$$ alrededor del$$x$$ eje.

17)$$y=\sqrt{1−x^2},$$$$x=0$$, y$$x=1$$

18)$$y=x^2,$$$$x=0$$, y$$x=2$$

Responder
$$V = \frac{32π}{5}$$unidades 3

19)$$y=e^x,$$$$x=0$$, y$$x=1$$

20)$$y=\ln(x),$$$$x=1$$, y$$x=e$$

Responder
$$V= π(e−2)$$unidades 3

21)$$x=\dfrac{1}{1+y^2},$$$$y=1$$, y$$y=4$$

22)$$x=\dfrac{1+y^2}{y},$$$$y=0$$, y$$y=2$$

Responder
$$V= \frac{28π}{3}$$unidades 3

23)$$x=\cos y,$$$$y=0$$, y$$y=π$$

24)$$x=y^3−4y^2,$$$$x=−1$$, y$$x=2$$

Responder
$$V= \frac{84π}{5}$$unidades 3

25)$$x=ye^y,$$$$x=−1$$, y$$x=2$$

26)$$x=e^y\cos y,$$$$x=0$$, y$$x=π$$

Responder
$$V = e^ππ^2$$unidades 3

Para los ejercicios 27 - 36, encuentra el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado.

27)$$y=3−x$$,$$y=0$$,$$x=0$$, y$$x=2$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

28)$$y=x^3$$,$$y=0$$,$$x=0$$, y$$y=8$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder
$$V=\frac{64π}{5}$$unidades 3

29)$$y=x^2,$$$$y=x,$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

30)$$y=\sqrt{x},$$$$x=0$$, y$$x=1$$ girado alrededor de la línea$$x=2.$$

Responder
$$V=\frac{28π}{15}$$unidades 3

31)$$y=\dfrac{1}{4−x},$$$$x=1,$$ y$$x=2$$ girado alrededor de la línea$$x=4$$.

32)$$y=\sqrt{x}$$ y$$y=x^2$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder
$$V=\frac{3π}{10}$$unidades 3

33)$$y=\sqrt{x}$$ y$$y=x^2$$ girado alrededor de la línea$$x=2$$.

34)$$x=y^3,$$$$y=\dfrac{1}{x},$$$$x=1$$, y$$y=2$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

Responder
$$\frac{52π}{5}$$unidades 3

35)$$x=y^2$$ y$$y=x$$ girado alrededor de la línea$$y=2$$.

36) [T] Izquierda de$$x=\sin(πy)$$, derecha de$$y=x$$, alrededor del$$y$$ eje.

Responder
$$V \approx 0.9876$$unidades 3

Para los ejercicios 37 - 44, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen generado cuando la función se gira alrededor del eje especificado. Luego, usa tu método elegido para encontrar el volumen.

37) [T]$$y=x^2$$ y$$y=4x$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

38) [T]$$y=\cos(πx),y=\sin(πx),x=\frac{1}{4}$$, y$$x=\frac{5}{4}$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder

$$V = 3\sqrt{2}$$unidades 3

39) [T]$$y=x^2−2x,\; x=2,$$ y$$x=4$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

40) [T]$$y=x^2−2x,\; x=2,$$ y$$x=4$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

Responder

$$V= \frac{496π}{15}$$unidades 3

41) [T]$$y=3x^3−2,\; y=x$$, y$$x=2$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

42) [T]$$y=3x^3−2,\; y=x$$, y$$x=2$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder

$$V = \frac{398π}{15}$$unidades 3

43) [T]$$x=\sin(πy^2)$$ y$$x=\sqrt{2}y$$ girado alrededor del$$x$$ eje.

44) [T]$$x=y^2,\; x=y^2−2y+1$$, y$$x=2$$ girado alrededor del$$y$$ eje.

Responder

$$V =15.9074$$unidades 3

Para los ejercicios 45 - 51, utilice el método de conchas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que se representan en las figuras adjuntas.

45) Usa el método de los proyectiles para encontrar el volumen de una esfera de radio$$r$$.

46) Usa el método de conchas para encontrar el volumen de un cono con radio$$r$$ y altura$$h$$.

Responder
$$V = \frac{1}{3}πr^2h$$unidades 3

47) Usa el método de los proyectiles para encontrar el volumen de una elipse$$(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1$$ girada alrededor del$$x$$ eje.

48) Utilizar el método de conchas para encontrar el volumen de un cilindro con radio$$r$$ y altura$$h$$.

Responder
$$V= πr^2h$$unidades 3

49) Usa el método de conchas para encontrar el volumen de la rosquilla creada cuando el círculo$$x^2+y^2=4$$ se gira alrededor de la línea$$x=4$$.

50) Considerar la región encerrada por las gráficas de$$y=f(x),\; y=1+f(x),\; x=0,\; y=0,$$ y$$x=a>0$$. ¿Cuál es el volumen del sólido generado cuando esta región se gira alrededor del$$y$$ eje -eje? Supongamos que la función se define a lo largo del intervalo$$[0,a]$$.

Responder
$$V=πa^2$$unidades 3

51) Considerar la función$$y=f(x)$$, que disminuye de$$f(0)=b$$ a$$f(1)=0$$. Configura las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método shell como el método de disco, del sólido generado cuando esta región, con$$x=0$$ y$$y=0$$, se gira alrededor del$$y$$ eje -eje. Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? (Pista: Dado que$$f(x)$$ es uno a uno, existe una inversa$$f^{−1}(y)$$.)