6.9E: Ejercicios para la Sección 6.9

1) [T] Encuentra expresiones para\(\cosh x+\sinh x\) y\(\cosh x−\sinh x.\) Usa una calculadora para graficar estas funciones y asegurarte de que tu expresión sea correcta.

Contestar

\(e^x\)y\(e^{−x}\)

2) A partir de las definiciones de\(\cosh(x)\) y\(\sinh(x)\), encontrar sus antiderivados.

3) Demostrar eso\(\cosh(x)\) y\(\sinh(x)\) satisfacer\( y''=y\).

Contestar

Las respuestas pueden variar

4) Utilice la regla del cociente para verificar que\(\dfrac{d}{dx}\big(\tanh(x)\big)=\text{sech}^2(x).\)

5) Derivar\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\cosh(2x)\) de la definición.

Contestar

Las respuestas pueden variar

6) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para\(\sinh(2x)\).

7) Demostrar\(\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\) cambiando la expresión a exponenciales.

Contestar

Las respuestas pueden variar

8) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para\(\cosh(x+y).\)

En los ejercicios 9 - 18, encuentra las derivadas de las funciones dadas y grafica junto con la función para asegurar que tu respuesta sea correcta.

9) [T]\(\cosh(3x+1)\)

Contestar

\(3\sinh(3x+1)\)

10) [T]\(\sinh(x^2)\)

11) [T]\(\dfrac{1}{\cosh(x)}\)

Contestar

\(−\tanh(x)\text{sech}(x)\)

12) [T]\(\sinh(\ln(x))\)

13) [T]\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)\)

Contestar

\(4\cosh(x)\sinh(x)\)

14) [T]\(\cosh^2(x)−\sinh^2(x)\)

15) [T]\(\tanh(\sqrt{x^2+1})\)

Contestar

\(\dfrac{x\text{sech}^2(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\)

16) [T]\(\dfrac{1+\tanh(x)}{1−\tanh(x)}\)

17) [T]\(\sinh^6(x)\)

Contestar

\(6\sinh^5(x)\cosh(x)\)

18) [T]\(\ln(\text{sech}(x)+\tanh(x))\)

En los ejercicios 19 - 28, encuentra los antiderivados para las funciones dadas.

19)\(\cosh(2x+1)\)

Contestar

\(\frac{1}{2}\sinh(2x+1)+C\)

20)\(\tanh(3x+2)\)

21)\(x\cosh(x^2)\)

Contestar

\(\frac{1}{2}\sinh^2(x^2)+C\)

22)\(3x^3\tanh(x^4)\)

23)\(\cosh^2(x)\sinh(x)\)

Contestar

\(\frac{1}{3}\cosh^3(x)+C\)

24)\(\tanh^2(x)\text{sech}^2(x)\)

25)\(\dfrac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)}\)

Contestar

\(\ln(1+\cosh(x))+C\)

26)\(\coth(x)\)

27)\(\cosh(x)+\sinh(x)\)

Contestar

\(\cosh(x)+\sinh(x)+C\)

28)\((\cosh(x)+\sinh(x))^n\)

En los ejercicios 29 - 35, encuentra las derivadas para las funciones.

29)\(\tanh^{−1}(4x)\)

Contestar

\(\dfrac{4}{1−16x^2}\)

30)\(\sinh^{−1}(x^2)\)

31)\(\sinh^{−1}(\cosh(x))\)

Contestar

\(\dfrac{\sinh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)+1}}\)

32)\(\cosh^{−1}(x^3)\)

33)\(\tanh^{−1}(\cos(x))\)

Contestar

\(−\csc(x)\)

34)\(e^{\sinh^{−1}(x)}\)

35)\(\ln(\tanh^{−1}(x))\)

Contestar

\(−\dfrac{1}{(x^2−1)\tanh^{−1}(x)}\)

En los ejercicios 36 - 42, encuentra los antiderivados para las funciones.

36)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{4−x^2}\)

37)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{a^2−x^2}\)

Contestar

\(\dfrac{1}{a}\tanh^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)

38)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)

39)\(\displaystyle ∫\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\)

Contestar

\(\sqrt{x^2+1}+C\)

40)\(\displaystyle ∫−\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)

41)\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−1}}\)

Contestar

\(\cosh^{−1}(e^x)+C\)

42)\(\displaystyle ∫−\frac{2x}{x^4−1}\)

En los ejercicios 43 - 45, usa el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a velocidad al cuadrado obedece a la ecuación\(\dfrac{dv}{dt}=g−v^2\).

43) Demostrar que\(v(t)=\sqrt{g}\tanh(\sqrt{g}t)\) satisface esta ecuación.

Contestar

Las respuestas pueden variar

44) Derivar la expresión anterior para\(v(t)\) integrando\(\dfrac{dv}{g−v^2}=dt\).

45) [T] Estimar hasta dónde ha caído un cuerpo en\(12\) segundos encontrando el área debajo de la curva de\(v(t)\).

Contestar

\(37.30\)

En los ejercicios 46 - 48, usa este escenario: Un cable que cuelga bajo su propio peso tiene una pendiente\(S=\dfrac{dy}{dx}\) que satisface\(\dfrac{dS}{dx}=c\sqrt{1+S^2}\). La constante\(c\) es la relación entre la densidad del cable y la tensión.

46) Demostrar que\(S=\sinh(cx)\) satisface esta ecuación.

47) Integrar\(\dfrac{dy}{dx}=\sinh(cx)\) para encontrar la altura del cable\(y(x)\) si\(y(0)=1/c\).

Contestar

\(y=\frac{1}{c}\cosh(cx)\)

48) Esbozar el cable y determinar qué tan abajo se agachó\(x=0\).

En los ejercicios 49 - 52, resuelve cada problema.

49) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados a\(2\) m para formar una catenaria descrita por la ecuación\(y=2\cosh(x/2)−1\). Encuentra la pendiente de la catenaria en el poste izquierdo del cerco.

Contestar

\(−0.521095\)

50) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados cuatro metros para formar una catenaria descrita por la ecuación\(y=4\cosh(x/4)−3.\) Encuentra la longitud total de la catenaria (longitud del arco).

51) [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por\(y=10\cosh(x/10)\). Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Qué notas?

Contestar

\(10\)

52) Una línea telefónica es una catenaria descrita por\(y=a\cosh(x/a).\) Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Esto confirma tu respuesta a la pregunta anterior?

53) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\sinh^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\sinh(y).\)

(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)

54) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\cosh^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\cosh(y).\)

(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)

55) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\text{sech}^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\text{sech}(y).\)

(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)

56) Demostrar que\(\cosh(x)+\sinh(x))^n=\cosh(nx)+\sinh(nx).\)

57) Demostrar la expresión de\(\sinh^{−1}(x).\) Multiplicar\(x=\sinh(y)=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) y resolver para\(y\). ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?

58) Demostrar la expresión de\(\cosh^{−1}(x).\) Multiplicar\(x=\cosh(y)=\dfrac{e^y+e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) y resolver para\(y\). ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?

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