6.9E: Ejercicios para la Sección 6.9
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1) [T] Encuentra expresiones para\(\cosh x+\sinh x\) y\(\cosh x−\sinh x.\) Usa una calculadora para graficar estas funciones y asegurarte de que tu expresión sea correcta.
- Contestar
- \(e^x\)y\(e^{−x}\)
2) A partir de las definiciones de\(\cosh(x)\) y\(\sinh(x)\), encontrar sus antiderivados.
3) Demostrar eso\(\cosh(x)\) y\(\sinh(x)\) satisfacer\( y''=y\).
- Contestar
- Las respuestas pueden variar
4) Utilice la regla del cociente para verificar que\(\dfrac{d}{dx}\big(\tanh(x)\big)=\text{sech}^2(x).\)
5) Derivar\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\cosh(2x)\) de la definición.
- Contestar
- Las respuestas pueden variar
6) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para\(\sinh(2x)\).
7) Demostrar\(\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\) cambiando la expresión a exponenciales.
- Contestar
- Las respuestas pueden variar
8) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para\(\cosh(x+y).\)
En los ejercicios 9 - 18, encuentra las derivadas de las funciones dadas y grafica junto con la función para asegurar que tu respuesta sea correcta.
9) [T]\(\cosh(3x+1)\)
- Contestar
- \(3\sinh(3x+1)\)
10) [T]\(\sinh(x^2)\)
11) [T]\(\dfrac{1}{\cosh(x)}\)
- Contestar
- \(−\tanh(x)\text{sech}(x)\)
12) [T]\(\sinh(\ln(x))\)
13) [T]\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)\)
- Contestar
- \(4\cosh(x)\sinh(x)\)
14) [T]\(\cosh^2(x)−\sinh^2(x)\)
15) [T]\(\tanh(\sqrt{x^2+1})\)
- Contestar
- \(\dfrac{x\text{sech}^2(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\)
16) [T]\(\dfrac{1+\tanh(x)}{1−\tanh(x)}\)
17) [T]\(\sinh^6(x)\)
- Contestar
- \(6\sinh^5(x)\cosh(x)\)
18) [T]\(\ln(\text{sech}(x)+\tanh(x))\)
En los ejercicios 19 - 28, encuentra los antiderivados para las funciones dadas.
19)\(\cosh(2x+1)\)
- Contestar
- \(\frac{1}{2}\sinh(2x+1)+C\)
20)\(\tanh(3x+2)\)
21)\(x\cosh(x^2)\)
- Contestar
- \(\frac{1}{2}\sinh^2(x^2)+C\)
22)\(3x^3\tanh(x^4)\)
23)\(\cosh^2(x)\sinh(x)\)
- Contestar
- \(\frac{1}{3}\cosh^3(x)+C\)
24)\(\tanh^2(x)\text{sech}^2(x)\)
25)\(\dfrac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)}\)
- Contestar
- \(\ln(1+\cosh(x))+C\)
26)\(\coth(x)\)
27)\(\cosh(x)+\sinh(x)\)
- Contestar
- \(\cosh(x)+\sinh(x)+C\)
28)\((\cosh(x)+\sinh(x))^n\)
En los ejercicios 29 - 35, encuentra las derivadas para las funciones.
29)\(\tanh^{−1}(4x)\)
- Contestar
- \(\dfrac{4}{1−16x^2}\)
30)\(\sinh^{−1}(x^2)\)
31)\(\sinh^{−1}(\cosh(x))\)
- Contestar
- \(\dfrac{\sinh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)+1}}\)
32)\(\cosh^{−1}(x^3)\)
33)\(\tanh^{−1}(\cos(x))\)
- Contestar
- \(−\csc(x)\)
34)\(e^{\sinh^{−1}(x)}\)
35)\(\ln(\tanh^{−1}(x))\)
- Contestar
- \(−\dfrac{1}{(x^2−1)\tanh^{−1}(x)}\)
En los ejercicios 36 - 42, encuentra los antiderivados para las funciones.
36)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{4−x^2}\)
37)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{a^2−x^2}\)
- Contestar
- \(\dfrac{1}{a}\tanh^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)
38)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)
39)\(\displaystyle ∫\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\)
- Contestar
- \(\sqrt{x^2+1}+C\)
40)\(\displaystyle ∫−\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)
41)\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−1}}\)
- Contestar
- \(\cosh^{−1}(e^x)+C\)
42)\(\displaystyle ∫−\frac{2x}{x^4−1}\)
En los ejercicios 43 - 45, usa el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a velocidad al cuadrado obedece a la ecuación\(\dfrac{dv}{dt}=g−v^2\).
43) Demostrar que\(v(t)=\sqrt{g}\tanh(\sqrt{g}t)\) satisface esta ecuación.
- Contestar
- Las respuestas pueden variar
44) Derivar la expresión anterior para\(v(t)\) integrando\(\dfrac{dv}{g−v^2}=dt\).
45) [T] Estimar hasta dónde ha caído un cuerpo en\(12\) segundos encontrando el área debajo de la curva de\(v(t)\).
- Contestar
- \(37.30\)
En los ejercicios 46 - 48, usa este escenario: Un cable que cuelga bajo su propio peso tiene una pendiente\(S=\dfrac{dy}{dx}\) que satisface\(\dfrac{dS}{dx}=c\sqrt{1+S^2}\). La constante\(c\) es la relación entre la densidad del cable y la tensión.
46) Demostrar que\(S=\sinh(cx)\) satisface esta ecuación.
47) Integrar\(\dfrac{dy}{dx}=\sinh(cx)\) para encontrar la altura del cable\(y(x)\) si\(y(0)=1/c\).
- Contestar
- \(y=\frac{1}{c}\cosh(cx)\)
48) Esbozar el cable y determinar qué tan abajo se agachó\(x=0\).
En los ejercicios 49 - 52, resuelve cada problema.
49) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados a\(2\) m para formar una catenaria descrita por la ecuación\(y=2\cosh(x/2)−1\). Encuentra la pendiente de la catenaria en el poste izquierdo del cerco.
- Contestar
- \(−0.521095\)
50) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados cuatro metros para formar una catenaria descrita por la ecuación\(y=4\cosh(x/4)−3.\) Encuentra la longitud total de la catenaria (longitud del arco).
51) [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por\(y=10\cosh(x/10)\). Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Qué notas?
- Contestar
- \(10\)
52) Una línea telefónica es una catenaria descrita por\(y=a\cosh(x/a).\) Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Esto confirma tu respuesta a la pregunta anterior?
53) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\sinh^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\sinh(y).\)
(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)
54) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\cosh^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\cosh(y).\)
(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)
55) Demostrar la fórmula para el derivado de\(y=\text{sech}^{−1}(x)\) diferenciando\(x=\text{sech}(y).\)
(Pista: Usar identidades trigonométricas hiperbólicas.)
56) Demostrar que\(\cosh(x)+\sinh(x))^n=\cosh(nx)+\sinh(nx).\)
57) Demostrar la expresión de\(\sinh^{−1}(x).\) Multiplicar\(x=\sinh(y)=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) y resolver para\(y\). ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?
58) Demostrar la expresión de\(\cosh^{−1}(x).\) Multiplicar\(x=\cosh(y)=\dfrac{e^y+e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) y resolver para\(y\). ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?