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# 6.9E: Ejercicios para la Sección 6.9

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

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$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1) [T] Encuentra expresiones para$$\cosh x+\sinh x$$ y$$\cosh x−\sinh x.$$ Usa una calculadora para graficar estas funciones y asegurarte de que tu expresión sea correcta.

Contestar
$$e^x$$y$$e^{−x}$$

2) A partir de las definiciones de$$\cosh(x)$$ y$$\sinh(x)$$, encontrar sus antiderivados.

3) Demostrar eso$$\cosh(x)$$ y$$\sinh(x)$$ satisfacer$$y''=y$$.

Contestar
Las respuestas pueden variar

4) Utilice la regla del cociente para verificar que$$\dfrac{d}{dx}\big(\tanh(x)\big)=\text{sech}^2(x).$$

5) Derivar$$\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\cosh(2x)$$ de la definición.

Contestar
Las respuestas pueden variar

6) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para$$\sinh(2x)$$.

7) Demostrar$$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$$ cambiando la expresión a exponenciales.

Contestar
Las respuestas pueden variar

8) Tomar la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para$$\cosh(x+y).$$

En los ejercicios 9 - 18, encuentra las derivadas de las funciones dadas y grafica junto con la función para asegurar que tu respuesta sea correcta.

9) [T]$$\cosh(3x+1)$$

Contestar
$$3\sinh(3x+1)$$

10) [T]$$\sinh(x^2)$$

11) [T]$$\dfrac{1}{\cosh(x)}$$

Contestar
$$−\tanh(x)\text{sech}(x)$$

12) [T]$$\sinh(\ln(x))$$

13) [T]$$\cosh^2(x)+\sinh^2(x)$$

Contestar
$$4\cosh(x)\sinh(x)$$

14) [T]$$\cosh^2(x)−\sinh^2(x)$$

15) [T]$$\tanh(\sqrt{x^2+1})$$

Contestar
$$\dfrac{x\text{sech}^2(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}$$

16) [T]$$\dfrac{1+\tanh(x)}{1−\tanh(x)}$$

17) [T]$$\sinh^6(x)$$

Contestar
$$6\sinh^5(x)\cosh(x)$$

18) [T]$$\ln(\text{sech}(x)+\tanh(x))$$

En los ejercicios 19 - 28, encuentra los antiderivados para las funciones dadas.

19)$$\cosh(2x+1)$$

Contestar
$$\frac{1}{2}\sinh(2x+1)+C$$

20)$$\tanh(3x+2)$$

21)$$x\cosh(x^2)$$

Contestar
$$\frac{1}{2}\sinh^2(x^2)+C$$

22)$$3x^3\tanh(x^4)$$

23)$$\cosh^2(x)\sinh(x)$$

Contestar
$$\frac{1}{3}\cosh^3(x)+C$$

24)$$\tanh^2(x)\text{sech}^2(x)$$

25)$$\dfrac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)}$$

Contestar
$$\ln(1+\cosh(x))+C$$

26)$$\coth(x)$$

27)$$\cosh(x)+\sinh(x)$$

Contestar
$$\cosh(x)+\sinh(x)+C$$

28)$$(\cosh(x)+\sinh(x))^n$$

En los ejercicios 29 - 35, encuentra las derivadas para las funciones.

29)$$\tanh^{−1}(4x)$$

Contestar
$$\dfrac{4}{1−16x^2}$$

30)$$\sinh^{−1}(x^2)$$

31)$$\sinh^{−1}(\cosh(x))$$

Contestar
$$\dfrac{\sinh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)+1}}$$

32)$$\cosh^{−1}(x^3)$$

33)$$\tanh^{−1}(\cos(x))$$

Contestar
$$−\csc(x)$$

34)$$e^{\sinh^{−1}(x)}$$

35)$$\ln(\tanh^{−1}(x))$$

Contestar
$$−\dfrac{1}{(x^2−1)\tanh^{−1}(x)}$$

En los ejercicios 36 - 42, encuentra los antiderivados para las funciones.

36)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{4−x^2}$$

37)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{a^2−x^2}$$

Contestar
$$\dfrac{1}{a}\tanh^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)+C$$

38)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

39)$$\displaystyle ∫\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}$$

Contestar
$$\sqrt{x^2+1}+C$$

40)$$\displaystyle ∫−\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}$$

41)$$\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−1}}$$

Contestar
$$\cosh^{−1}(e^x)+C$$

42)$$\displaystyle ∫−\frac{2x}{x^4−1}$$

En los ejercicios 43 - 45, usa el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a velocidad al cuadrado obedece a la ecuación$$\dfrac{dv}{dt}=g−v^2$$.

43) Demostrar que$$v(t)=\sqrt{g}\tanh(\sqrt{g}t)$$ satisface esta ecuación.

Contestar
Las respuestas pueden variar

44) Derivar la expresión anterior para$$v(t)$$ integrando$$\dfrac{dv}{g−v^2}=dt$$.

45) [T] Estimar hasta dónde ha caído un cuerpo en$$12$$ segundos encontrando el área debajo de la curva de$$v(t)$$.

Contestar
$$37.30$$

En los ejercicios 46 - 48, usa este escenario: Un cable que cuelga bajo su propio peso tiene una pendiente$$S=\dfrac{dy}{dx}$$ que satisface$$\dfrac{dS}{dx}=c\sqrt{1+S^2}$$. La constante$$c$$ es la relación entre la densidad del cable y la tensión.

46) Demostrar que$$S=\sinh(cx)$$ satisface esta ecuación.

47) Integrar$$\dfrac{dy}{dx}=\sinh(cx)$$ para encontrar la altura del cable$$y(x)$$ si$$y(0)=1/c$$.

Contestar
$$y=\frac{1}{c}\cosh(cx)$$

48) Esbozar el cable y determinar qué tan abajo se agachó$$x=0$$.

En los ejercicios 49 - 52, resuelve cada problema.

49) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados a$$2$$ m para formar una catenaria descrita por la ecuación$$y=2\cosh(x/2)−1$$. Encuentra la pendiente de la catenaria en el poste izquierdo del cerco.

Contestar
$$−0.521095$$

50) [T] Una cadena cuelga de dos postes separados cuatro metros para formar una catenaria descrita por la ecuación$$y=4\cosh(x/4)−3.$$ Encuentra la longitud total de la catenaria (longitud del arco).

51) [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por$$y=10\cosh(x/10)$$. Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Qué notas?

Contestar
$$10$$

52) Una línea telefónica es una catenaria descrita por$$y=a\cosh(x/a).$$ Encuentra la relación del área bajo la catenaria a su longitud de arco. ¿Esto confirma tu respuesta a la pregunta anterior?

53) Demostrar la fórmula para el derivado de$$y=\sinh^{−1}(x)$$ diferenciando$$x=\sinh(y).$$

54) Demostrar la fórmula para el derivado de$$y=\cosh^{−1}(x)$$ diferenciando$$x=\cosh(y).$$

55) Demostrar la fórmula para el derivado de$$y=\text{sech}^{−1}(x)$$ diferenciando$$x=\text{sech}(y).$$

56) Demostrar que$$\cosh(x)+\sinh(x))^n=\cosh(nx)+\sinh(nx).$$
57) Demostrar la expresión de$$\sinh^{−1}(x).$$ Multiplicar$$x=\sinh(y)=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}$$ por$$2e^y$$ y resolver para$$y$$. ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?
58) Demostrar la expresión de$$\cosh^{−1}(x).$$ Multiplicar$$x=\cosh(y)=\dfrac{e^y+e^{−y}}{2}$$ por$$2e^y$$ y resolver para$$y$$. ¿Tu expresión coincide con el libro de texto?