7.3E: Ejercicios para la Sección 7.3

Simplifica las expresiones en los ejercicios 1 - 5 escribiendo cada uno usando una sola función trigonométrica.

1)\(4−4\sin^2θ\)

2)\(9\sec^2θ−9\)

Responder

\(9\sec^2θ−9 \quad = \quad 9\tan^2θ\)

3)\(a^2+a^2\tan^2θ\)

4)\(a^2+a^2\sinh^2θ\)

Responder

\(a^2+a^2\sinh^2θ \quad = \quad a^2\cosh^2θ\)

5)\(16\cosh^2θ−16\)

Utilizar la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio en los ejercicios 6 - 8 como el cuadrado de un binomio.

6)\(4x^2−4x+1\)

Responder

\( 4(x−\frac{1}{2})^2\)

7)\(2x^2−8x+3\)

8)\(−x^2−2x+4\)

Responder

\( −(x+1)^2+5\)

En los ejercicios 9 - 28, integrar utilizando el método de sustitución trigonométrica. Expresar la respuesta final en términos de la variable original.

9)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{4−x^2}}\)

10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}} \quad = \quad \ln∣x+\sqrt{−a^2+x^2}∣+C\)

11)\(\displaystyle ∫\sqrt{4−x^2}\,dx\)

12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{3}\ln∣\sqrt{9x^2+1}+3x∣+C\)

13)\(\displaystyle ∫\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

14)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1−x^2}}{x}+C\)

15)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^2}\)

16)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx \quad = \quad 9\left[\frac{x\sqrt{x^2+9}}{18}+\tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}\right|\right]+C\)

17)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−25}}{x}\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫\frac{θ^3}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{θ^3dθ}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ \quad = \quad −\tfrac{1}{3}\sqrt{9−θ^2}(18+θ^2)+C\)

19)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^6−x^2}}\)

20)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx \quad = \quad \frac{(−1+x^2)(2+3x^2)\sqrt{x^6−x^8}}{15x^3}+C\)

21)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}\)

22)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}} \quad = \quad −\frac{x}{9\sqrt{x^2-9}}+C\)

23)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx\)

24)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\ln∣x+\sqrt{x^2−1}∣+x\sqrt{x^2−1})+C\)

25)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{x^2+4}\,dx\)

26)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)

27)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)

28)\(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{8}\left(x(5−2x^2)\sqrt{1−x^2}+3\arcsin x\right)+C\)

En los ejercicios 29 - 34, utilizar las sustituciones\(x=\sinh θ, \, \cosh θ,\) o\(\tanh θ.\) Expresar las respuestas finales en términos de la variable\(x\).

29)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}\)

30)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \ln x−\ln∣1+\sqrt{1−x^2}∣+C\)

31)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2−1}\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{−1+x^2}}{x}+\ln\left|x+\sqrt{−1+x^2}\right|+C\)

33)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1−x^2}\)

34)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+\text{arcsinh}\, x+C\)

Utiliza la técnica de completar el cuadrado para evaluar las integrales en los ejercicios 35 - 39.

35)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2−6x}\,dx\)

36)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{1+x}+C\)

37)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+2x+8}}\,dx\)

38)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx\)

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx \quad = \quad \arcsin\left( \frac{x-5}{5}\right)+C\)

39)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+4x−12}}\,dx\)

40) Evaluar la integral sin usar cálculo:\(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx.\)

Responder

\(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx \quad = \quad \frac{9π}{2}\); área de un semicírculo con radio 3

41) Encuentra el área encerrada por la elipse\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1.\)

42) Evaluar la integral\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\) usando dos sustituciones diferentes. Primero, dejar\(x=\cos θ\) y evaluar mediante sustitución trigonométrica. Segundo, dejar\(x=\sin θ\) y usar la sustitución trigonométrica. ¿Las respuestas son las mismas?

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \arcsin(x)+C\)es la respuesta común.

43) Evaluar la integral\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−1}}\) usando la sustitución\(x=\sec θ\). A continuación, evaluar la misma integral usando la sustitución\(x=\csc θ.\) Mostrar que los resultados son equivalentes.

44) Evaluar la integral\(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx\) utilizando el formulario\(\displaystyle ∫\frac{1}{u}\,du\). A continuación, evaluar la misma integral usando\(x=\tan θ.\) ¿Son los resultados los mismos?

Responder

\(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\)es el resultado usando cualquiera de los dos métodos.

45) Indicar el método de integración que utilizarías para evaluar la integral\(\displaystyle ∫x\sqrt{x^2+1}\,dx.\) ¿Por qué elegiste este método?

46) Indicar el método de integración que utilizarías para evaluar la integral\(\displaystyle ∫x^2\sqrt{x^2−1}\,dx.\) ¿Por qué elegiste este método?

Responder

Usar sustitución trigonométrica. Vamos\(x=\sec(θ).\)

47) Evaluar\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

48) Encuentra la longitud del arco de la curva en el intervalo especificado:\(y=\ln x,\quad [1,5].\) Redondear la respuesta a tres decimales.

Responder

\( s = 4.367\)unidades

49) Encontrar el área de superficie del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de\(y=x^2,\, y=0,\, x=0\), y\(x=\sqrt{2}\) alrededor del\(x\) eje -eje. (Redondear la respuesta a tres decimales).

50) La región delimitada por la gráfica de\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) y el\(x\) eje -entre\(x=0\) y\(x=1\) gira alrededor del\(x\) eje -eje. Encuentra el volumen del sólido que se genera.

Responder

\( V = \left(\frac{π^2}{8}+\frac{π}{4}\right) \, \text{units}^3\)

En los ejercicios 51 - 52, resolver el problema del valor inicial para\(y\) en función de\(x\).

51)\((x^2+36)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(6)=0\)

52)\((64−x^2)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(0)=3\)

Responder

\( y=\tfrac{1}{16}\ln\left|\dfrac{x+8}{x−8}\right|+3\)

53) Encontrar el área delimitada por\(y=\dfrac{2}{\sqrt{64−4x^2}},\, x=0,\, y=0\), y\(x=2\).

54) Un tanque de almacenamiento de petróleo puede describirse como el volumen generado al girar el área delimitada por\(y=\dfrac{16}{\sqrt{64+x^2}},\, x=0,\, y=0,\, x=2\) alrededor del\(x\) eje. Encuentra el volumen del tanque (en metros cúbicos).

Responder

\(V = 24.6\)m ³

55) Durante cada ciclo, la velocidad\(v\) (en pies por segundo) de un dispositivo robótico de soldadura viene dada por\(v=2t−\dfrac{14}{4+t^2}\), donde\(t\) es el tiempo en segundos. Encuentra la expresión para el desplazamiento\(s\) (en pies) en función de\(t\) si\(s=0\) cuando\(t=0\).

56) Encuentra la longitud de la curva\(y=\sqrt{16−x^2}\) entre\(x=0\) y\(x=2\).

Responder

\( s = \frac{2π}{3}\)unidades