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# 7.3E: Ejercicios para la Sección 7.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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Simplifica las expresiones en los ejercicios 1 - 5 escribiendo cada uno usando una sola función trigonométrica.

1)$$4−4\sin^2θ$$

2)$$9\sec^2θ−9$$

Responder
$$9\sec^2θ−9 \quad = \quad 9\tan^2θ$$

3)$$a^2+a^2\tan^2θ$$

4)$$a^2+a^2\sinh^2θ$$

Responder
$$a^2+a^2\sinh^2θ \quad = \quad a^2\cosh^2θ$$

5)$$16\cosh^2θ−16$$

6)$$4x^2−4x+1$$

Responder
$$4(x−\frac{1}{2})^2$$

7)$$2x^2−8x+3$$

8)$$−x^2−2x+4$$

Responder
$$−(x+1)^2+5$$

En los ejercicios 9 - 28, integrar utilizando el método de sustitución trigonométrica. Expresar la respuesta final en términos de la variable original.

9)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{4−x^2}}$$

10)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}} \quad = \quad \ln∣x+\sqrt{−a^2+x^2}∣+C$$

11)$$\displaystyle ∫\sqrt{4−x^2}\,dx$$

12)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{3}\ln∣\sqrt{9x^2+1}+3x∣+C$$

13)$$\displaystyle ∫\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1−x^2}}$$

14)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1−x^2}}{x}+C$$

15)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^2}$$

16)$$\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx \quad = \quad 9\left[\frac{x\sqrt{x^2+9}}{18}+\tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}\right|\right]+C$$

17)$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−25}}{x}\,dx$$

18)$$\displaystyle ∫\frac{θ^3}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{θ^3dθ}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ \quad = \quad −\tfrac{1}{3}\sqrt{9−θ^2}(18+θ^2)+C$$

19)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^6−x^2}}$$

20)$$\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx \quad = \quad \frac{(−1+x^2)(2+3x^2)\sqrt{x^6−x^8}}{15x^3}+C$$

21)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$$

22)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}} \quad = \quad −\frac{x}{9\sqrt{x^2-9}}+C$$

23)$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx$$

24)$$\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\ln∣x+\sqrt{x^2−1}∣+x\sqrt{x^2−1})+C$$

25)$$\displaystyle ∫\frac{x^2}{x^2+4}\,dx$$

26)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C$$

27)$$\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$$

28)$$\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{8}\left(x(5−2x^2)\sqrt{1−x^2}+3\arcsin x\right)+C$$

En los ejercicios 29 - 34, utilizar las sustituciones$$x=\sinh θ, \, \cosh θ,$$ o$$\tanh θ.$$ Expresar las respuestas finales en términos de la variable$$x$$.

29)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}$$

30)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \ln x−\ln∣1+\sqrt{1−x^2}∣+C$$

31)$$\displaystyle ∫\sqrt{x^2−1}\,dx$$

32)$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{−1+x^2}}{x}+\ln\left|x+\sqrt{−1+x^2}\right|+C$$

33)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1−x^2}$$

34)$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+\text{arcsinh}\, x+C$$

Utiliza la técnica de completar el cuadrado para evaluar las integrales en los ejercicios 35 - 39.

35)$$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2−6x}\,dx$$

36)$$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{1+x}+C$$

37)$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+2x+8}}\,dx$$

38)$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx$$

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx \quad = \quad \arcsin\left( \frac{x-5}{5}\right)+C$$

39)$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+4x−12}}\,dx$$

40) Evaluar la integral sin usar cálculo:$$\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx.$$

Responder
$$\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx \quad = \quad \frac{9π}{2}$$; área de un semicírculo con radio 3

41) Encuentra el área encerrada por la elipse$$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1.$$

42) Evaluar la integral$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}$$ usando dos sustituciones diferentes. Primero, dejar$$x=\cos θ$$ y evaluar mediante sustitución trigonométrica. Segundo, dejar$$x=\sin θ$$ y usar la sustitución trigonométrica. ¿Las respuestas son las mismas?

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \arcsin(x)+C$$es la respuesta común.

43) Evaluar la integral$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−1}}$$ usando la sustitución$$x=\sec θ$$. A continuación, evaluar la misma integral usando la sustitución$$x=\csc θ.$$ Mostrar que los resultados son equivalentes.

44) Evaluar la integral$$\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx$$ utilizando el formulario$$\displaystyle ∫\frac{1}{u}\,du$$. A continuación, evaluar la misma integral usando$$x=\tan θ.$$ ¿Son los resultados los mismos?

Responder
$$\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$es el resultado usando cualquiera de los dos métodos.

45) Indicar el método de integración que utilizarías para evaluar la integral$$\displaystyle ∫x\sqrt{x^2+1}\,dx.$$ ¿Por qué elegiste este método?

46) Indicar el método de integración que utilizarías para evaluar la integral$$\displaystyle ∫x^2\sqrt{x^2−1}\,dx.$$ ¿Por qué elegiste este método?

Responder
Usar sustitución trigonométrica. Vamos$$x=\sec(θ).$$

47) Evaluar$$\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{x}{x^2+1}\,dx$$

48) Encuentra la longitud del arco de la curva en el intervalo especificado:$$y=\ln x,\quad [1,5].$$ Redondear la respuesta a tres decimales.

Responder
$$s = 4.367$$unidades

49) Encontrar el área de superficie del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de$$y=x^2,\, y=0,\, x=0$$, y$$x=\sqrt{2}$$ alrededor del$$x$$ eje -eje. (Redondear la respuesta a tres decimales).

50) La región delimitada por la gráfica de$$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$$ y el$$x$$ eje -entre$$x=0$$ y$$x=1$$ gira alrededor del$$x$$ eje -eje. Encuentra el volumen del sólido que se genera.

Responder
$$V = \left(\frac{π^2}{8}+\frac{π}{4}\right) \, \text{units}^3$$

En los ejercicios 51 - 52, resolver el problema del valor inicial para$$y$$ en función de$$x$$.

51)$$(x^2+36)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(6)=0$$

52)$$(64−x^2)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(0)=3$$

Responder
$$y=\tfrac{1}{16}\ln\left|\dfrac{x+8}{x−8}\right|+3$$

53) Encontrar el área delimitada por$$y=\dfrac{2}{\sqrt{64−4x^2}},\, x=0,\, y=0$$, y$$x=2$$.

54) Un tanque de almacenamiento de petróleo puede describirse como el volumen generado al girar el área delimitada por$$y=\dfrac{16}{\sqrt{64+x^2}},\, x=0,\, y=0,\, x=2$$ alrededor del$$x$$ eje. Encuentra el volumen del tanque (en metros cúbicos).

Responder
$$V = 24.6$$m 3

55) Durante cada ciclo, la velocidad$$v$$ (en pies por segundo) de un dispositivo robótico de soldadura viene dada por$$v=2t−\dfrac{14}{4+t^2}$$, donde$$t$$ es el tiempo en segundos. Encuentra la expresión para el desplazamiento$$s$$ (en pies) en función de$$t$$ si$$s=0$$ cuando$$t=0$$.

56) Encuentra la longitud de la curva$$y=\sqrt{16−x^2}$$ entre$$x=0$$ y$$x=2$$.

Responder
$$s = \frac{2π}{3}$$unidades

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