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# 7.4E: Ejercicios para la Sección 7.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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Utilizar la descomposición parcial de la fracción (o una técnica más simple) para expresar la función racional como una suma o diferencia de dos o más expresiones racionales más simples.

1)$$\dfrac{1}{(x−3)(x−2)}$$

2)$$\dfrac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)}$$

Contestar
$$\dfrac{x^2+1}{x(x+1)(x+2)} \quad = \quad −\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{5}{2(x+2)}+\dfrac{1}{2x}$$

3)$$\dfrac{1}{x^3−x}$$

4)$$\dfrac{3x+1}{x^2}$$

Contestar
$$\dfrac{3x+1}{x^2} \quad = \quad \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x}$$

5)$$\dfrac{3x^2}{x^2+1}$$ (Pista: Utilice primero la división larga.)

6)$$\dfrac{2x^4}{x^2−2x}$$

Contestar
$$\dfrac{2x^4}{x^2−2x} \quad = \quad 2x^2+4x+8+\dfrac{16}{x−2}$$

7)$$\dfrac{1}{(x−1)(x^2+1)}$$

8)$$\dfrac{1}{x^2(x−1)}$$

Contestar
$$\dfrac{1}{x^2(x−1)} \quad = \quad −\dfrac{1}{x^2}−\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x−1}$$

9)$$\dfrac{x}{x^2−4}$$

10)$$\dfrac{1}{x(x−1)(x−2)(x−3)}$$

Contestar
$$\dfrac{1}{x(x−1)(x−2)(x−3)} \quad = \quad −\dfrac{1}{2(x−2)}+\dfrac{1}{2(x−1)}−\dfrac{1}{6x}+\dfrac{1}{6(x−3)}$$

11)$$\dfrac{1}{x^4−1}=\dfrac{1}{(x+1)(x−1)(x^2+1)}$$

12)$$\dfrac{3x^2}{x^3−1}=\dfrac{3x^2}{(x−1)(x^2+x+1)}$$

Contestar
$$\dfrac{3x^2}{x^3−1} \quad = \quad \dfrac{1}{x−1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$$

13)$$\dfrac{2x}{(x+2)^2}$$

14)$$\dfrac{3x^4+x^3+20x^2+3x+31}{(x+1)(x^2+4)^2}$$

Contestar
$$\dfrac{3x^4+x^3+20x^2+3x+31}{(x+1)(x^2+4)^2} \quad = \quad \dfrac{2}{x+1}+\dfrac{x}{x^2+4}−\dfrac{1}{(x^2+4)^2}$$

En los ejercicios 15 - 25, utilice el método de fracciones parciales para evaluar cada una de las siguientes integrales.

15)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x−3)(x−2)}$$

16)$$\displaystyle ∫\frac{3x}{x^2+2x−8}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{3x}{x^2+2x−8}\,dx \quad = \quad 2\ln|x+4|+\ln|x-2|+C = \ln\left| (x+4)^2(x-2) \right| + C$$

17)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^3−x}$$

18)$$\displaystyle ∫\frac{x}{x^2−4}\,dx$$

Contestar
Ten en cuenta que aquí no necesitas Fracciones Parciales. Utilizamos una simple$$u$$ -sustitución.
$$\displaystyle ∫\frac{x}{x^2−4}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}\ln|4−x^2|+C$$

19)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x(x−1)(x−2)(x−3)}$$

20)$$\displaystyle ∫\frac{2x^2+4x+22}{x^2+2x+10}\,dx$$

Contestar
Entonces tenga en cuenta que necesitaremos usar completar el cuadrado para continuar ya que no podemos facturar el trinomio en el denominador.
$$\displaystyle ∫\frac{2x^2+4x+22}{x^2+2x+10}\,dx \quad = \quad 2\left(x+\tfrac{1}{3}\arctan\left(\frac{1+x}{3}\right)\right)+C$$

21)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2−5x+6}$$

22)$$\displaystyle ∫\frac{2−x}{x^2+x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{2−x}{x^2+x}\,dx \quad = \quad 2\ln|x|−3\ln|1+x|+C = \ln\left| \frac{x^2}{(1+x)^3} \right|+C$$

23)$$\displaystyle ∫\frac{2}{x^2−x−6}\,dx$$

24)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^3−2x^2−4x+8}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^3−2x^2−4x+8} \quad = \quad \tfrac{1}{16}\left(−\frac{4}{−2+x}−\ln|−2+x|+\ln|2+x|\right)+C = \tfrac{1}{16}\left(−\frac{4}{−2+x}+\ln\left| \frac{x+2}{x-2} \right|\right)+C$$

25)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^4−10x^2+9}$$

En los ejercicios 26 - 29, evaluar las integrales con factores cuadráticos irreducibles en los denominadores.

26)$$\displaystyle ∫\frac{2}{(x−4)(x^2+2x+6)}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{2}{(x−4)(x^2+2x+6)}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{30}(−2\sqrt{5}\arctan\left[\frac{1+x}{\sqrt{5}}\right]+2\ln|−4+x|−\ln|6+2x+x^2|)+C$$

27)$$\displaystyle ∫\frac{x^2}{x^3−x^2+4x−4}\,dx$$

28)$$\displaystyle ∫\frac{x^3+6x^2+3x+6}{x^3+2x^2}\,dx$$

Contestar
Tenga en cuenta que necesitamos usar primero la división larga, ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
$$\displaystyle ∫\frac{x^3+6x^2+3x+6}{x^3+2x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{3}{x}+4\ln|x+2|+x+C$$

29)$$\displaystyle ∫\frac{x}{(x−1)(x^2+2x+2)^2}\,dx$$

En los ejercicios 30 - 32, utilice el método de fracciones parciales para evaluar las integrales.

30)$$\displaystyle ∫\frac{3x+4}{(x^2+4)(3−x)}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{3x+4}{(x^2+4)(3−x)}\,dx \quad = \quad −\ln|3−x|+\tfrac{1}{2}\ln|x^2+4|+C$$

31)$$\displaystyle ∫\frac{2}{(x+2)^2(2−x)}\,dx$$

32)$$\displaystyle ∫\frac{3x+4}{x^3−2x−4}\,dx$$ (Pista: Utilizar el teorema de raíz racional.)

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{3x+4}{x^3−2x−4}\,dx \quad = \quad \ln|x−2|−\tfrac{1}{2}\ln|x^2+2x+2|+C$$

En los ejercicios 33 - 46, utilice la sustitución para convertir las integrales en integrales de funciones racionales. Luego usa fracciones parciales para evaluar las integrales.

33)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{e^x}{36−e^{2x}}\,dx$$ (Dar la respuesta exacta y el equivalente decimal. Redondear a cinco decimales.)

34)$$\displaystyle ∫\frac{e^x\,dx}{e^{2x}−e^x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{e^x\,dx}{e^{2x}−e^x}\,dx \quad = \quad −x+\ln|1−e^x|+C$$

35)$$\displaystyle ∫\frac{\sin x\,dx}{1−\cos^2x}$$

36)$$\displaystyle ∫\frac{\sin x}{\cos^2 x+\cos x−6}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sin x}{\cos^2 x+\cos x−6}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{5}\ln\left|\frac{\cos x+3}{\cos x−2}\right|+C$$

37)$$\displaystyle ∫\frac{1−\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx$$

38)$$\displaystyle ∫\frac{dt}{(e^t−e^{−t})^2}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dt}{(e^t−e^{−t})^2} \quad = \quad \frac{1}{2−2e^{2t}}+C$$

39)$$\displaystyle ∫\frac{1+e^x}{1−e^x}\,dx$$

40)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}} \quad = \quad 2\sqrt{1+x}−2\ln|1+\sqrt{1+x}|+C$$

41)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$$

42)$$\displaystyle ∫\frac{\cos x}{\sin x(1−\sin x)}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\cos x}{\sin x(1−\sin x)}\,dx \quad = \quad \ln\left|\frac{\sin x}{1−\sin x}\right|+C$$

43)$$\displaystyle ∫\frac{e^x}{(e^{2x}−4)^2}\,dx$$

44)$$\displaystyle ∫_1^2\frac{1}{x^2\sqrt{4−x^2}}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫_1^2\frac{1}{x^2\sqrt{4−x^2}}\,dx \quad = \quad \frac{\sqrt{3}}{4}$$

45)$$\displaystyle ∫\frac{1}{2+e^{−x}}\,dx$$

46)$$\displaystyle ∫\frac{1}{1+e^x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{1}{1+e^x}\,dx \quad = \quad x−\ln(1+e^x)+C$$

En los ejercicios 47 - 48, utilizar la sustitución dada para convertir la integral en una integral de una función racional, luego evaluar.

47)$$\displaystyle ∫\frac{1}{t−\sqrt[3]{t}}\,dt; \quad t=x^3$$

48)$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\,dx; \quad x=u^6$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\,dx \quad = \quad 6x^{1/6}−3x^{1/3}+2\sqrt{x}−6\ln(1+x^{1/6})+C$$

49) Graficar la curva$$y=\dfrac{x}{1+x}$$ a lo largo del intervalo$$[0,5]$$. Luego, busque el área de la región delimitada por la curva, el$$x$$ eje -y la línea$$x=4$$.

50) Encuentra el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por$$y=\dfrac{1}{\sqrt{x(3−x)}}, \,y=0, \,x=1,$$ y$$x=2$$ gira alrededor del$$x$$ eje -eje.

Contestar
$$V = \frac{4}{3}π\text{arctanh}\,\left[\frac{1}{3}\right]=\frac{1}{3}π\ln 4 \, \text{units}^3$$

51) La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea es una función del tiempo dada por$$v(t)=\dfrac{88t^2}{t^2+1}.$$ Encontrar la distancia que la partícula ha recorrido después del$$t=5$$ sec.

En los ejercicios 52 - 54, resolver el problema del valor inicial para$$x$$ en función de$$t$$.

52)$$(t^2−7t+12)\dfrac{dx}{dt}=1,\quad t>4,\, x(5)=0$$

Contestar
$$x=−\ln|t−3|+\ln|t−4|+\ln 2 = \ln\left| \dfrac{2(t-4)}{t-3}\right|$$

53)$$(t+5)\dfrac{dx}{dt}=x^2+1, \quad t>−5,\,x(1)=\tan 1$$

54)$$(2t^3−2t^2+t−1)\dfrac{dx}{dt}=3,\quad x(2)=0$$

Contestar
$$x=\ln|t−1|−\sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}t)−\frac{1}{2}\ln(t^2+\frac{1}{2})+\sqrt{2}\arctan(2\sqrt{2})+\frac{1}{2}\ln 4.5$$

55) Encuentra la$$x$$ coordenada -del centroide del área delimitada por$$y(x^2−9)=1, \, y=0, \,x=4,$$ y$$x=5.$$ (Redondear la respuesta a dos decimales.)

56) Encuentra el volumen generado al girar el área delimitada por$$y=\dfrac{1}{x^3+7x^2+6x},\, x=1,\, x=7$$, y$$y=0$$ alrededor del$$y$$ eje.

Contestar
$$V = \frac{2}{5}π\ln\frac{28}{13} \, \text{units}^3$$

57) Encuentra el área delimitada por$$y=\dfrac{x−12}{x^2−8x−20}, \,y=0, \,x=2,$$ y$$x=4$$. (Redondear la respuesta a la centésima más cercana.)

58) Evaluar la integral$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^3+1}.$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x^3+1} \quad = \quad \frac{\arctan[\frac{−1+2x}{\sqrt{3}}]}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\ln|1+x|−\frac{1}{6}\ln∣1−x+x^2∣+C$$

Para problemas 59 - 62, use las sustituciones$$\tan(\frac{x}{2})=t, \,dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt, \, \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},$$ y$$\cos x=\dfrac{1−t^2}{1+t^2}.$$

59)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{3−5\sin x}$$

60) Encuentra el área bajo la curva$$y=\dfrac{1}{1+\sin x}$$ entre$$x=0$$ y$$x=π.$$ (Supongamos que las dimensiones están en pulgadas.)

Contestar
2.0 in. 2

61) Dado$$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=t,$$ derivar las fórmulas$$dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt, \,\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$$, y$$\cos x=\dfrac{1−t^2}{1+t^2}.$$

62) Evaluar$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt[3]{x−8}}{x}\,dx.$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{\sqrt[3]{x−8}}{x}\,dx \quad = \quad 3(−8+x)^{1/3}−2\sqrt{3}\arctan\left[\frac{−1+(−8+x)^{1/3}}{\sqrt{3}}\right]−2\ln\left[2+(−8+x)^{1/3}\right]+\ln\left[4−2(−8+x)^{1/3}+(−8+x)^{2/3}\right]+C$$

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