7.5E: Ejercicios para la Sección 7.5

Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales.

1)\(\displaystyle ∫_0^4\frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx\)

2)\(\displaystyle ∫\frac{x+3}{x^2+2x+2}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{x+3}{x^2+2x+2}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln |x^2+2x+2|+2\arctan(x+1)+C\)

3)\(\displaystyle ∫x^3\sqrt{1+2x^2}\,dx\)

4)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+6x}}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+6x}}\,dx = \cosh^{−1}\left(\frac{x+3}{3}\right)+C\)

5)\(\displaystyle ∫\frac{x}{x+1}\,dx\)

6)\(\displaystyle ∫x⋅2^{x^2}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫x⋅2^{x^2}\,dx = \frac{2^{x^2−1}}{\ln 2}+C\)

7)\(\displaystyle ∫\frac{1}{4x^2+25}\,dx\)

8)\(\displaystyle ∫\frac{dy}{\sqrt{4−y^2}}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dy}{\sqrt{4−y^2}} = \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)+C\)

9)\(\displaystyle ∫\sin^3(2x)\cos(2x)\,dx\)

10)\(\displaystyle ∫\csc(2w)\cot(2w)\,dw\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\csc(2w)\cot(2w)\,dw = −\tfrac{1}{2}\csc(2w)+C\)

11)\(\displaystyle ∫2^y\,dy\)

12)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{3x}{\sqrt{x^2+8}}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^1_0\frac{3x}{\sqrt{x^2+8}}\,dx = 9−6\sqrt{2}\)

13)\(\displaystyle ∫^{1/4}_{−1/4}\sec^2(πx)\tan(πx)\,dx\)

14)\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2−\frac{π}{2}\)

15)\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx\)

16)\(\displaystyle ∫\tan^5(3x)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan^5(3x)\,dx = \tfrac{1}{12}\tan^4(3x)−\tfrac{1}{6}\tan^2(3x)+\tfrac{1}{3}\ln|\sec 3x|+C\)

17)\(\displaystyle ∫\sin^2y\cos^3y\,dy\)

Utilice un CAS para evaluar las siguientes integrales. También se pueden usar tablas para verificar las respuestas.

18) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dw}{1+\sec\left(\frac{w}{2}\right)}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dw}{1+\sec\left(\frac{w}{2}\right)} = 2\cot\left(\tfrac{w}{2}\right)−2\csc\left(\tfrac{w}{2}\right)+w+C\)

19) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dw}{1−\cos(7w)}\)

20) [T]\(\displaystyle ∫^t_0\frac{dt}{4\cos t+3\sin t}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^t_0\frac{dt}{4\cos t+3\sin t} = \tfrac{1}{5}\ln\Big|\frac{2(5+4\sin t−3\cos t)}{4\cos t+3\sin t}\Big|\)

21) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−9}}{3x}\,dx\)

22) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^{1/2}+x^{1/3}}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^{1/2}+x^{1/3}} = 6x^{1/6}−3x^{1/3}+2\sqrt{x}−6\ln[1+x^{1/6}]+C\)

23) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x−1}}\)

24) [T]\(\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx = −x^3\cos x+3x^2\sin x+6x\cos x−6\sin x+C\)

25) [T]\(\displaystyle ∫x\sqrt{x^4−9}\,dx\)

26) [T]\(\displaystyle ∫\frac{x}{1+e^{−x^2}}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{x}{1+e^{−x^2}}\,dx = \tfrac{1}{2}\left(x^2+\ln|1+e^{−x^2}|\right)+C\)

27) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{3−5x}}{2x}\,dx\)

28) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x−1}}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x−1}} = 2\arctan\big(\sqrt{x−1}\big)+C\)

29) [T]\(\displaystyle ∫e^x\cos^{−1}(e^x)\,dx\)

Utilice una calculadora o CAS para evaluar las siguientes integrales.

30) [T]\(\displaystyle ∫^{π/4}_0\cos 2x \, dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{π/4}_0\cos 2x \, dx = 0.5=\frac{1}{2}\)

31) [T]\(\displaystyle ∫^1_0x⋅e^{−x^2}\,dx\)

32) [T]\(\displaystyle ∫^8_0\frac{2x}{\sqrt{x^2+36}}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^8_0\frac{2x}{\sqrt{x^2+36}}\,dx = 8.0\)

33) [T]\(\displaystyle ∫^{2/\sqrt{3}}_0\frac{1}{4+9x^2}\,dx\)

34) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2+4x+13}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2+4x+13} = \tfrac{1}{3}\arctan\left(\tfrac{1}{3}(x+2)\right)+C\)

35) [T]\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1+\sin x}\)

Usa tablas para evaluar las integrales. Es posible que deba completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en una forma dada en la tabla.

36)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2+2x+10}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2+2x+10} = \tfrac{1}{3}\arctan\left(\frac{x+1}{3}\right)+C\)

37)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−6x}}\)

38)\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−4}}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−4}}\,dx = \ln\left(e^x+\sqrt{4+e^{2x}}\right)+C\)

39)\(\displaystyle ∫\frac{\cos x}{\sin^2x+2\sin x}\,dx\)

40)\(\displaystyle ∫\frac{\arctan(x^3)}{x^4}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{\arctan(x^3)}{x^4}\,dx = \ln x−\tfrac{1}{6}\ln(x^6+1)−\frac{\arctan(x^3)}{3x^3}+C\)

41)\(\displaystyle ∫\frac{\ln|x|\arcsin\left(\ln|x|\right)}{x}\,dx\)

Usar tablas para realizar la integración.

42)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}} = \ln |x|+\sqrt{16+x^2}∣+C\)

43)\(\displaystyle ∫\frac{3x}{2x+7}\,dx\)

44)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1−\cos 4x}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1−\cos 4x} = −\frac{1}{4}\cot 2x+C\)

45)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{4x+1}}\)

46) Encuentra el área delimitada por\(y(4+25x^2)=5,\;x=0,\;y=0,\) y\(x=4.\) Usa una tabla de integrales o un CAS.

Contestar

\(\frac{1}{2}\arctan 10\)unidades²

47) La región delimitada entre la curva\(y=\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}, \; 0.3≤x≤1.1,\) y el\(x\) eje -gira alrededor del\(x\) eje para generar un sólido. Utilice una tabla de integrales para encontrar el volumen del sólido generado. (Redondear la respuesta a dos decimales.)

48) Utilice la sustitución y una tabla de integrales para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva\(y=e^x,\; 0≤x≤3,\) alrededor del\(x\) eje -eje. (Redondear la respuesta a dos decimales.)

Contestar

\(1276.14\)unidades²

49) [T] Utilice una tabla integral y una calculadora para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva\(y=\dfrac{x^2}{2},\; 0≤x≤1,\) alrededor del\(x\) eje -eje. (Redondear la respuesta a dos decimales.)

50) [T] Utilice un CAS o tablas para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva\(y=\cos x,\; 0≤x≤\frac{π}{2},\) alrededor del\(x\) eje. (Redondear la respuesta a dos decimales.)

Contestar

\(7.21\)unidades²

51) Encuentra la longitud de la curva\(y=\dfrac{x^2}{4}\) sobre\([0,8]\).

52) Encuentra la longitud de la curva\(y=e^x\) sobre\([0,\,\ln(2)].\)

Contestar

\(\left(\sqrt{5}−\sqrt{2}+\ln\Big|\frac{2+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{5}}\Big|\right)\)unidades

53) Encontrar el área de la superficie formada girando la gráfica de\(y=2\sqrt{x}\) sobre el intervalo\([0,9]\) alrededor del\(x\) eje -eje.

54) Encuentra el valor promedio de la función\(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) a lo largo del intervalo\([−3,3].\)

Contestar

\(\frac{1}{3}\arctan(3)≈0.416\)

55) Aproximar la longitud del arco de la curva\(y=\tan πx\) a lo largo del intervalo\(\left[0,\frac{1}{4}\right]\). (Redondear la respuesta a tres decimales.)

Colaboradores

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