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# 7.6E: Ejercicios para la Sección 7.6

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En los ejercicios 1 a 5, aproxime las siguientes integrales utilizando ya sea la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson como se indica. (Redondear las respuestas a tres decimales.)

1) regla$$\displaystyle ∫^2_1\frac{dx}{x};$$ trapezoidal;$$n=5$$

Contestar
$$0.696$$

2) regla$$\displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;$$ trapezoidal;$$n=6$$

3) La regla de$$\displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;$$ Simpson;$$n=6$$

Contestar
$$9.279$$

4) regla de$$\displaystyle ∫^{12}_0x^2\;dx;$$ punto medio;$$n=6$$

5) regla de$$\displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;$$ punto medio;$$n=3$$

Contestar
$$0.500$$

6) Usar la regla de punto medio con ocho subdivisiones para estimar$$\displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.$$

7) Utilizar la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar$$\displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.$$

Contestar
$$T_4=18.75$$

8) Encuentra el valor exacto de$$\displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.$$ Encuentra el error de aproximación entre el valor exacto y el valor calculado usando la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones. Dibuja una gráfica para ilustrar.

Aproximar la integral a cuatro decimales utilizando la regla indicada.

9) regla$$\displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;$$ trapezoidal;$$n=6$$

Contestar
$$0.5000$$

10) regla$$\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;$$ trapezoidal;$$n=6$$

11) La regla de$$\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;$$ Simpson;$$n=6$$

Contestar
$$1.1614$$

12) regla$$\displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;$$ trapezoidal;$$n=4$$

13) La regla de$$\displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;$$ Simpson;$$n=4$$

Contestar
$$0.6577$$

14) regla$$\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;$$ trapezoidal;$$n=4$$

15) La regla de$$\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;$$ Simpson;$$n=4$$

Contestar
$$0.0213$$

16) regla$$\displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;$$ trapezoidal;$$n=4$$

17) La regla de$$\displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;$$ Simpson;$$n=4$$

Contestar
$$1.5629$$

18) Evaluar$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1+x^2}$$ exactamente y demostrar que el resultado es$$π/4$$. Después, encuentra el valor aproximado de la integral usando la regla trapezoidal con$$n=4$$ subdivisiones. Utilice el resultado para aproximar el valor de$$π$$.

19) Aproximar$$\displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx$$ usando la regla del punto medio con cuatro subdivisiones a cuatro decimales.

Responder
$$1.9133$$

20) Aproximado$$\displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx$$ usando la regla trapezoidal con ocho subdivisiones a cuatro decimales.

21) Utilizar la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar$$\displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx$$ a cuatro decimales.

Responder
$$T(4)=0.1088$$

22) Usa la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar$$\displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx.$$ Compara este valor con el valor exacto y encuentra la estimación del error.

23) Usando la regla de Simpson con cuatro subdivisiones, encuentra$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx.$$

Responder
$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx\approx \quad 1.0$$

24) Demostrar que el valor exacto de$$\displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e}$$. Encuentra el error absoluto si aproximas la integral usando la regla de punto medio con 16 subdivisiones.

25) Dado$$\displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e},$$ utilizar la regla trapezoidal con 16 subdivisiones para aproximar la integral y encontrar el error absoluto.

Responder
El error aproximado es$$0.000325.$$

26) Encontrar un límite superior para el error en la estimación$$\displaystyle ∫^3_0(5x+4)\;dx$$ usando la regla trapezoidal con seis pasos.

27) Encontrar un límite superior para el error en la estimación$$\displaystyle ∫^5_4\frac{1}{(x−1)^2}\;dx$$ usando la regla trapezoidal con siete subdivisiones.

Responder
$$\frac{1}{7938}$$

28) Encuentra un límite superior para el error al estimar$$\displaystyle ∫^3_0(6x^2−1)\;dx$$ usando la regla de Simpson con$$n=10$$ pasos.

29) Encuentra un límite superior para el error al estimar$$\displaystyle ∫^5_2\frac{1}{x−1}\;dx$$ usando la regla de Simpson con$$n=10$$ pasos.

Responder
$$\frac{81}{25,000}$$

30) Encuentra un límite superior para el error al estimar$$\displaystyle ∫^π_02x\cos(x)\;dx$$ usando la regla de Simpson con cuatro pasos.

31) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral$$\displaystyle ∫^4_1(5x^2+8)\;dx$$ con una magnitud de error menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

Responder
$$475$$

32) Determinar un valor de n tal que la regla trapezoidal se aproxime$$\displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^2}\;dx$$ con un error de no más de 0.01.

33) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral$$\displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x)\;dx$$ con un error de magnitud menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

Responder
$$174$$

34) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral$$\displaystyle ∫^4_3\frac{1}{(x−1)^2}\;dx$$ con una magnitud de error menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

35) Utilice la regla de Simpson con cuatro subdivisiones para aproximar el área bajo la función de densidad de probabilidad$$y=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}$$ de$$x=0$$ a$$x=0.4$$.

Responder
$$0.1544$$

36) Usa la regla de Simpson con$$n=14$$ para aproximar (a tres decimales) el área de la región delimitada por las gráficas de$$y=0, x=0,$$ y$$x=π/2.$$

37) La longitud de un arco de la curva$$y=3\sin(2x)$$ viene dada por$$L=∫^{π/2}_0\sqrt{1+36\cos^2(2x)}\;dx.$$ Estimación L usando la regla trapezoidal con$$n=6$$.

Responder
$$6.2807$$

38) La longitud de la elipse$$x=a\cos(t),y=b\sin(t),0≤t≤2π$$ viene dada por$$L=4a∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\cos^2(t)}dt$$, donde e es la excentricidad de la elipse. Usa la regla de Simpson con$$n=6$$ subdivisiones para estimar la longitud de la elipse cuando$$a=2$$ y$$e=1/3.$$

39) Estimar el área de la superficie generada al girar la curva$$y=\cos(2x),0≤x≤\frac{π}{4}$$ alrededor del eje x. Usa la regla trapezoidal con seis subdivisiones.

Responder
$$4.606$$

40) Estimar el área de la superficie generada al girar la curva$$y=2x^2, 0≤x≤3$$ alrededor del eje x. Usa la regla de Simpson con$$n=6.$$

41) La tasa de crecimiento de un determinado árbol (en pies) viene dada por$$y=\dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},$$ donde t es tiempo en años. Estimar el crecimiento del árbol hasta el final del segundo año usando la regla de Simpson, usando dos subintervalos. (Redondea la respuesta a la centésima más cercana.)

Responder
$$3.41$$ft

42) [T] Usa una calculadora para aproximar$$\displaystyle ∫^1_0\sin(πx)\;dx$$ usando la regla de punto medio con 25 subdivisiones. Calcular el error relativo de aproximación.

43) [T] Dado$$\displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x)\;dx=100,$$ aproximado el valor de esta integral utilizando la regla de punto medio con 16 subdivisiones y determinar el error absoluto.

Responder
$$T_{16}=100.125;$$error absoluto =$$0.125$$

44) Dado que conocemos el Teorema Fundamental del Cálculo, ¿por qué querríamos desarrollar métodos numéricos para integrales definidas?

45) La tabla representa las coordenadas$$(x,​y)$$ que dan el límite de mucho. Las unidades de medida son metros. Usa la regla trapezoidal para estimar el número de metros cuadrados de terreno que hay en este lote.

 $$x$$ $$y$$ $$x$$ $$y$$ 0 125 600 95 100 125 700 88 200 120 800 75 300 112 900 35 400 90 1000 0 500 90
Responder
unos 89,250 m 2

46) Elija la respuesta correcta. Cuando se usa la regla de Simpson para aproximar la integral definida, es necesario que el número de particiones sea ____

a. un número par

b. número impar

c. un número par o impar

d. un múltiplo de 4

47) La suma de “Simpson” se basa en el área bajo un ____.

Responder
parábola

48) La fórmula de error para la regla de Simpson depende de___.

a.$$f(x)$$

b.$$f′(x)$$

c.$$f^{(4)}(x)$$

d. el número de pasos

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