7.6E: Ejercicios para la Sección 7.6

En los ejercicios 1 a 5, aproxime las siguientes integrales utilizando ya sea la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson como se indica. (Redondear las respuestas a tres decimales.)

1) regla\( \displaystyle ∫^2_1\frac{dx}{x};\) trapezoidal;\( n=5\)

Contestar

\( 0.696\)

2) regla\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)

3) La regla de\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)

Contestar

\( 9.279\)

4) regla de\( \displaystyle ∫^{12}_0x^2\;dx;\) punto medio;\( n=6\)

5) regla de\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) punto medio;\( n=3\)

Contestar

\( 0.500\)

6) Usar la regla de punto medio con ocho subdivisiones para estimar\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)

7) Utilizar la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)

Contestar

\( T_4=18.75\)

8) Encuentra el valor exacto de\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\) Encuentra el error de aproximación entre el valor exacto y el valor calculado usando la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones. Dibuja una gráfica para ilustrar.

Aproximar la integral a cuatro decimales utilizando la regla indicada.

9) regla\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)

Contestar

\( 0.5000\)

10) regla\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)

11) La regla de\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)

Contestar

\( 1.1614\)

12) regla\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)

13) La regla de\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) Simpson;\( n=4\)

Contestar

\(0.6577\)

14) regla\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)

15) La regla de\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) Simpson;\( n=4\)

Contestar

\(0.0213\)

16) regla\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) trapezoidal;\(n=4\)

17) La regla de\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) Simpson;\(n=4\)

Contestar

\(1.5629\)

18) Evaluar\( \displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1+x^2}\) exactamente y demostrar que el resultado es\( π/4\). Después, encuentra el valor aproximado de la integral usando la regla trapezoidal con\( n=4\) subdivisiones. Utilice el resultado para aproximar el valor de\( π\).

19) Aproximar\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) usando la regla del punto medio con cuatro subdivisiones a cuatro decimales.

Responder

\( 1.9133\)

20) Aproximado\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) usando la regla trapezoidal con ocho subdivisiones a cuatro decimales.

21) Utilizar la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx\) a cuatro decimales.

Responder

\( T(4)=0.1088\)

22) Usa la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx.\) Compara este valor con el valor exacto y encuentra la estimación del error.

23) Usando la regla de Simpson con cuatro subdivisiones, encuentra\( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx.\)

Responder

\( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx\approx \quad 1.0\)

24) Demostrar que el valor exacto de\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e}\). Encuentra el error absoluto si aproximas la integral usando la regla de punto medio con 16 subdivisiones.

25) Dado\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e},\) utilizar la regla trapezoidal con 16 subdivisiones para aproximar la integral y encontrar el error absoluto.

Responder

El error aproximado es\( 0.000325.\)

26) Encontrar un límite superior para el error en la estimación\( \displaystyle ∫^3_0(5x+4)\;dx\) usando la regla trapezoidal con seis pasos.

27) Encontrar un límite superior para el error en la estimación\( \displaystyle ∫^5_4\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) usando la regla trapezoidal con siete subdivisiones.

Responder

\( \frac{1}{7938}\)

28) Encuentra un límite superior para el error al estimar\( \displaystyle ∫^3_0(6x^2−1)\;dx\) usando la regla de Simpson con\( n=10\) pasos.

29) Encuentra un límite superior para el error al estimar\( \displaystyle ∫^5_2\frac{1}{x−1}\;dx\) usando la regla de Simpson con\( n=10\) pasos.

Responder

\( \frac{81}{25,000}\)

30) Encuentra un límite superior para el error al estimar\( \displaystyle ∫^π_02x\cos(x)\;dx\) usando la regla de Simpson con cuatro pasos.

31) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral\( \displaystyle ∫^4_1(5x^2+8)\;dx\) con una magnitud de error menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

Responder

\( 475\)

32) Determinar un valor de n tal que la regla trapezoidal se aproxime\( \displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^2}\;dx\) con un error de no más de 0.01.

33) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral\( \displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x)\;dx\) con un error de magnitud menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

Responder

\( 174\)

34) Estimar el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral\( \displaystyle ∫^4_3\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) con una magnitud de error menor a 0.0001 utilizando la regla trapezoidal.

35) Utilice la regla de Simpson con cuatro subdivisiones para aproximar el área bajo la función de densidad de probabilidad\( y=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) de\( x=0\) a\( x=0.4\).

Responder

\( 0.1544\)

36) Usa la regla de Simpson con\( n=14\) para aproximar (a tres decimales) el área de la región delimitada por las gráficas de\( y=0, x=0,\) y\( x=π/2.\)

37) La longitud de un arco de la curva\( y=3\sin(2x)\) viene dada por\( L=∫^{π/2}_0\sqrt{1+36\cos^2(2x)}\;dx.\) Estimación L usando la regla trapezoidal con\( n=6\).

Responder

\( 6.2807\)

38) La longitud de la elipse\( x=a\cos(t),y=b\sin(t),0≤t≤2π\) viene dada por\( L=4a∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\cos^2(t)}dt\), donde e es la excentricidad de la elipse. Usa la regla de Simpson con\( n=6\) subdivisiones para estimar la longitud de la elipse cuando\( a=2\) y\( e=1/3.\)

39) Estimar el área de la superficie generada al girar la curva\( y=\cos(2x),0≤x≤\frac{π}{4}\) alrededor del eje x. Usa la regla trapezoidal con seis subdivisiones.

Responder

\( 4.606\)

40) Estimar el área de la superficie generada al girar la curva\( y=2x^2, 0≤x≤3\) alrededor del eje x. Usa la regla de Simpson con\( n=6.\)

41) La tasa de crecimiento de un determinado árbol (en pies) viene dada por\( y=\dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},\) donde t es tiempo en años. Estimar el crecimiento del árbol hasta el final del segundo año usando la regla de Simpson, usando dos subintervalos. (Redondea la respuesta a la centésima más cercana.)

Responder

\( 3.41\)ft

42) [T] Usa una calculadora para aproximar\( \displaystyle ∫^1_0\sin(πx)\;dx\) usando la regla de punto medio con 25 subdivisiones. Calcular el error relativo de aproximación.

43) [T] Dado\( \displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x)\;dx=100,\) aproximado el valor de esta integral utilizando la regla de punto medio con 16 subdivisiones y determinar el error absoluto.

Responder

\( T_{16}=100.125;\)error absoluto =\( 0.125\)

44) Dado que conocemos el Teorema Fundamental del Cálculo, ¿por qué querríamos desarrollar métodos numéricos para integrales definidas?

45) La tabla representa las coordenadas\( (x,​y)\) que dan el límite de mucho. Las unidades de medida son metros. Usa la regla trapezoidal para estimar el número de metros cuadrados de terreno que hay en este lote.

\( x\)	\( y\)	\( x\)	\( y\)
0	125	600	95
100	125	700	88
200	120	800	75
300	112	900	35
400	90	1000	0
500	90

Responder

unos 89,250 m ²

46) Elija la respuesta correcta. Cuando se usa la regla de Simpson para aproximar la integral definida, es necesario que el número de particiones sea ____

a. un número par

b. número impar

c. un número par o impar

d. un múltiplo de 4

47) La suma de “Simpson” se basa en el área bajo un ____.

Responder

parábola

48) La fórmula de error para la regla de Simpson depende de___.

a.\( f(x)\)

b.\( f′(x)\)

c.\( f^{(4)}(x)\)

d. el número de pasos