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# 7.7E: Ejercicios para la Sección 7.7

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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En los ejercicios 1 a 8, evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, conteste “diverge”.

1)$$\displaystyle ∫^4_2\frac{dx}{(x−3)^2}$$

Contestar
Se diverge.

2)$$\displaystyle ∫^∞_0\frac{1}{4+x^2}\,dx$$

3)$$\displaystyle ∫^2_0\frac{1}{\sqrt{4−x^2}}\,dx$$

Contestar
Converge a$$\frac{π}{2}$$

4)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x\ln x}\,dx$$

5)$$\displaystyle ∫^∞_1xe^{−x}\,dx$$

Contestar
Converge a$$\frac{2}{e}$$

6)$$\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{x^2+1}\,dx$$

7) Sin integrar, determinar si la integral$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\,dx$$ converge o diverge comparando la función$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}$$ con$$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}$$.

Contestar
Converge.

8) Sin integrar, determinar si la integral$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$$ converge o diverge.

En los ejercicios 9 - 25, determinar si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determinar el valor de las integrales que convergen.

9)$$\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\cos x\,dx$$

Contestar
Converge a$$\frac{1}{2}$$.

10)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{\ln x}{x}\,dx$$

11)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$$

Contestar
Converge a$$-4$$.

12)$$\displaystyle ∫^1_0\ln x\,dx$$

13)$$\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{1}{x^2+1}\,dx$$

Contestar
Converge a$$π$$.

14)$$\displaystyle ∫^5_1\frac{dx}{\sqrt{x−1}}$$

15)$$\displaystyle ∫^2_{−2}\frac{dx}{(1+x)^2}$$

Contestar
Se diverge.

16)$$\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx$$

17)$$\displaystyle ∫^∞_0\sin x\,dx$$

Contestar
Se diverge.

18)$$\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$$

19)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$$

Contestar
Converge a$$1.5$$.

20)$$\displaystyle ∫^2_0\frac{dx}{x^3}$$

21)$$\displaystyle ∫^2_{−1}\frac{dx}{x^3}$$

Contestar
Se diverge.

22)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}$$

23)$$\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{x−1}\,dx$$

Contestar
Se diverge.

24)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{5}{x^3}\,dx$$

25)$$\displaystyle ∫^5_3\frac{5}{(x−4)^2}\,dx$$

Contestar
Se diverge.

En los ejercicios 26 y 27, determinar la convergencia de cada una de las siguientes integrales en comparación con la integral dada. Si la integral converge, encuentra el número al que converge.

26)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2+4x};$$ comparar con$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2}$$.

27)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{\sqrt{x}+1};$$ comparar con$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{2\sqrt{x}}$$.

Contestar
Ambas integrales divergen.

En los ejercicios 28 - 38, evaluar las integrales. Si la integral diverge, contesta “diverge”.

28)$$\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^e}$$

29)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{x^π}$$

Contestar
Se diverge.

30)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x}}$$

31)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1−x}$$

Contestar
Se diverge.

32)$$\displaystyle ∫^0_{−∞}\frac{dx}{x^2+1}$$

33)$$\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}$$

Contestar
Converge a$$π$$.

34)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{x}\,dx$$

35)$$\displaystyle ∫^e_0\ln(x)\,dx$$

Contestar
Converge a$$0$$.

36)$$\displaystyle ∫^∞_0xe^{−x}\,dx$$

37)$$\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx$$

Contestar
Converge a$$0$$.

38)$$\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx$$

En los ejercicios 39 - 44, evaluar las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita ya sea en un punto final o en un punto interior del intervalo.

39)$$\displaystyle ∫^9_0\frac{dx}{\sqrt{9−x}}$$

Contestar
Converge a$$6$$.

40)$$\displaystyle ∫^1_{−27}\frac{dx}{x^{2/3}}$$

41)$$\displaystyle ∫^3_0\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}$$

Contestar
Converge a$$\frac{π}{2}$$.

42)$$\displaystyle ∫^{24}_6\frac{dt}{t\sqrt{t^2−36}}$$

43)$$\displaystyle ∫^4_0x\ln(4x)\,dx$$

Contestar
Converge a$$8\ln(16)−4$$.

44)$$\displaystyle ∫^3_0\frac{x}{\sqrt{9−x^2}}\,dx$$

45) Evaluar$$\displaystyle ∫^t_{.5}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}.$$ (¡Ten cuidado!) (Exprese su respuesta usando tres decimales.)

Contestar
Converge a aproximadamente$$1.047$$.

46) Evaluar$$\displaystyle ∫^4_1\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}.$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

47) Evaluar$$\displaystyle ∫^∞_2\frac{dx}{(x^2−1)^{3/2}}.$$

Contestar
Converge a$$−1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$.

48) Encuentra el área de la región en el primer cuadrante entre la curva$$y=e^{−6x}$$ y el$$x$$ eje.

49) Encuentra el área de la región delimitada por la curva$$y=\dfrac{7}{x^2},$$ el$$x$$ eje -y a la izquierda por$$x=1.$$

Contestar
$$A = 7.0$$unidades. 2

50) Encuentra el área bajo la curva$$y=\dfrac{1}{(x+1)^{3/2}},$$ delimitada a la izquierda por$$x=3.$$

51) Encuentra el área debajo$$y=\dfrac{5}{1+x^2}$$ en el primer cuadrante.

Contestar
$$A = \dfrac{5π}{2}$$unidades. 2

52) Encuentra el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$x$$ eje -la región bajo la curva$$y=\dfrac{3}{x}$$ de$$x=1$$ a$$x=∞.$$

53) Encuentra el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$y$$ eje -la región bajo la curva$$y=6e^{−2x}$$ en el primer cuadrante.

Contestar
$$V = 3π\,\text{units}^3$$

54) Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$x$$ eje -el área bajo la curva$$y=3e^{−x}$$ en el primer cuadrante.

La transformación de Laplace de una función continua a lo largo del intervalo$$[0,∞)$$ se define por$$\displaystyle F(s)=∫^∞_0e^{−sx}f(x)\,dx$$ (ver el Proyecto Estudiantil). Esta definición se utiliza para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se discutirá más adelante. El dominio de$$F$$ es el conjunto de todos los números reales s tal que la integral impropia converge. Encuentra la transformación$$F$$ de Laplace de cada una de las siguientes funciones y dale el dominio de$$F$$.

55)$$f(x)=1$$

Contestar
$$\dfrac{1}{s},\quad s>0$$

56)$$f(x)=x$$

57)$$f(x)=\cos(2x)$$

Contestar
$$\dfrac{s}{s^2+4},\quad s>0$$

58)$$f(x)=e^{ax}$$

59) Use la fórmula para la longitud del arco para mostrar que la circunferencia del círculo$$x^2+y^2=1$$ es$$2π$$.

Contestar
Las respuestas variarán.

Una función es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición:$$\displaystyle ∫^∞_{−∞}f(t)\,dt=1$$. La probabilidad de que una variable aleatoria$$x$$ se encuentre entre a y b viene dada por$$\displaystyle P(a≤x≤b)=∫^b_af(t)\,dt.$$

60) Mostrar que$$\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\text{if}\,x<0\\7e^{−7x},&\text{if}\,x≥0\end{cases}$$ es una función de densidad de probabilidad.

61) Encuentra la probabilidad que$$x$$ está entre$$0$$ y$$0.3$$. (Utilice la función definida en el problema anterior.) Utilice precisión decimal de cuatro posiciones.

Contestar
0.8775

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