7.7E: Ejercicios para la Sección 7.7

En los ejercicios 1 a 8, evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, conteste “diverge”.

1)\(\displaystyle ∫^4_2\frac{dx}{(x−3)^2}\)

Contestar

Se diverge.

2)\(\displaystyle ∫^∞_0\frac{1}{4+x^2}\,dx\)

3)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{1}{\sqrt{4−x^2}}\,dx\)

Contestar

Converge a\(\frac{π}{2}\)

4)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x\ln x}\,dx\)

5)\(\displaystyle ∫^∞_1xe^{−x}\,dx\)

Contestar

Converge a\(\frac{2}{e}\)

6)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

7) Sin integrar, determinar si la integral\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\,dx\) converge o diverge comparando la función\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}\) con\(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}\).

Contestar

Converge.

8) Sin integrar, determinar si la integral\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx\) converge o diverge.

En los ejercicios 9 - 25, determinar si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determinar el valor de las integrales que convergen.

9)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\cos x\,dx\)

Contestar

Converge a\(\frac{1}{2}\).

10)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{\ln x}{x}\,dx\)

11)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx\)

Contestar

Converge a\(-4\).

12)\(\displaystyle ∫^1_0\ln x\,dx\)

13)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{1}{x^2+1}\,dx\)

Contestar

Converge a\(π\).

14)\(\displaystyle ∫^5_1\frac{dx}{\sqrt{x−1}}\)

15)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\frac{dx}{(1+x)^2}\)

Contestar

Se diverge.

16)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

17)\(\displaystyle ∫^∞_0\sin x\,dx\)

Contestar

Se diverge.

18)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\)

19)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)

Contestar

Converge a\(1.5\).

20)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{dx}{x^3}\)

21)\(\displaystyle ∫^2_{−1}\frac{dx}{x^3}\)

Contestar

Se diverge.

22)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

23)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{x−1}\,dx\)

Contestar

Se diverge.

24)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{5}{x^3}\,dx\)

25)\(\displaystyle ∫^5_3\frac{5}{(x−4)^2}\,dx\)

Contestar

Se diverge.

En los ejercicios 26 y 27, determinar la convergencia de cada una de las siguientes integrales en comparación con la integral dada. Si la integral converge, encuentra el número al que converge.

26)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2+4x};\) comparar con\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2}\).

27)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{\sqrt{x}+1};\) comparar con\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{2\sqrt{x}}\).

Contestar

Ambas integrales divergen.

En los ejercicios 28 - 38, evaluar las integrales. Si la integral diverge, contesta “diverge”.

28)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^e}\)

29)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{x^π}\)

Contestar

Se diverge.

30)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x}}\)

31)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1−x}\)

Contestar

Se diverge.

32)\(\displaystyle ∫^0_{−∞}\frac{dx}{x^2+1}\)

33)\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

Contestar

Converge a\(π\).

34)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{x}\,dx\)

35)\(\displaystyle ∫^e_0\ln(x)\,dx\)

Contestar

Converge a\(0\).

36)\(\displaystyle ∫^∞_0xe^{−x}\,dx\)

37)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx\)

Contestar

Converge a\(0\).

38)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

En los ejercicios 39 - 44, evaluar las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita ya sea en un punto final o en un punto interior del intervalo.

39)\(\displaystyle ∫^9_0\frac{dx}{\sqrt{9−x}}\)

Contestar

Converge a\(6\).

40)\(\displaystyle ∫^1_{−27}\frac{dx}{x^{2/3}}\)

41)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\)

Contestar

Converge a\(\frac{π}{2}\).

42)\(\displaystyle ∫^{24}_6\frac{dt}{t\sqrt{t^2−36}}\)

43)\(\displaystyle ∫^4_0x\ln(4x)\,dx\)

Contestar

Converge a\(8\ln(16)−4\).

44)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{x}{\sqrt{9−x^2}}\,dx\)

45) Evaluar\(\displaystyle ∫^t_{.5}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}.\) (¡Ten cuidado!) (Exprese su respuesta usando tres decimales.)

Contestar

Converge a aproximadamente\(1.047\).

46) Evaluar\(\displaystyle ∫^4_1\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}.\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

47) Evaluar\(\displaystyle ∫^∞_2\frac{dx}{(x^2−1)^{3/2}}.\)

Contestar

Converge a\(−1+\frac{2}{\sqrt{3}}\).

48) Encuentra el área de la región en el primer cuadrante entre la curva\(y=e^{−6x}\) y el\(x\) eje.

49) Encuentra el área de la región delimitada por la curva\(y=\dfrac{7}{x^2},\) el\(x\) eje -y a la izquierda por\(x=1.\)

Contestar

\(A = 7.0\)unidades. ²

50) Encuentra el área bajo la curva\(y=\dfrac{1}{(x+1)^{3/2}},\) delimitada a la izquierda por\(x=3.\)

51) Encuentra el área debajo\(y=\dfrac{5}{1+x^2}\) en el primer cuadrante.

Contestar

\(A = \dfrac{5π}{2}\)unidades. ²

52) Encuentra el volumen del sólido generado al girar alrededor del\(x\) eje -la región bajo la curva\(y=\dfrac{3}{x}\) de\(x=1\) a\(x=∞.\)

53) Encuentra el volumen del sólido generado al girar alrededor del\(y\) eje -la región bajo la curva\(y=6e^{−2x}\) en el primer cuadrante.

Contestar

\(V = 3π\,\text{units}^3\)

54) Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del\(x\) eje -el área bajo la curva\(y=3e^{−x}\) en el primer cuadrante.

La transformación de Laplace de una función continua a lo largo del intervalo\([0,∞)\) se define por\(\displaystyle F(s)=∫^∞_0e^{−sx}f(x)\,dx\) (ver el Proyecto Estudiantil). Esta definición se utiliza para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se discutirá más adelante. El dominio de\(F\) es el conjunto de todos los números reales s tal que la integral impropia converge. Encuentra la transformación\(F\) de Laplace de cada una de las siguientes funciones y dale el dominio de\(F\).

55)\(f(x)=1\)

Contestar

\(\dfrac{1}{s},\quad s>0\)

56)\(f(x)=x\)

57)\(f(x)=\cos(2x)\)

Contestar

\(\dfrac{s}{s^2+4},\quad s>0\)

58)\(f(x)=e^{ax}\)

59) Use la fórmula para la longitud del arco para mostrar que la circunferencia del círculo\(x^2+y^2=1\) es\(2π\).

Contestar

Las respuestas variarán.

Una función es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición:\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}f(t)\,dt=1\). La probabilidad de que una variable aleatoria\(x\) se encuentre entre a y b viene dada por\(\displaystyle P(a≤x≤b)=∫^b_af(t)\,dt.\)

60) Mostrar que\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\text{if}\,x<0\\7e^{−7x},&\text{if}\,x≥0\end{cases}\) es una función de densidad de probabilidad.

61) Encuentra la probabilidad que\(x\) está entre\(0\) y\(0.3\). (Utilice la función definida en el problema anterior.) Utilice precisión decimal de cuatro posiciones.

Contestar

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