8.1: Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales

Objetivos de aprendizaje

• Identificar el orden de una ecuación diferencial.
• Explicar lo que se entiende por una solución a una ecuación diferencial.
• Distinguir entre la solución general y una solución particular de una ecuación diferencial.
• Identificar un problema de valor inicial.
• Identificar si una función dada es una solución a una ecuación diferencial o a un problema de valor inicial.

El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida\(y=f(x)\) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.

Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluyendo solución directa, uso de gráficos o cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas, y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.

Ecuaciones diferenciales generales

Consideremos la ecuación\(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de una ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables\(x\) y\(y:y\) es una función desconocida de\(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de\(y\). Por lo tanto podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: Empezar con alguna función\(y=f(x)\) y tomar su derivada. La respuesta debe ser igual a\(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a\(3x^2\)? Una de esas funciones es\(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución a una ecuación diferencial.

Definición: ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida\(y=f(x)\) y una o más de sus derivadas. Una solución a una ecuación diferencial es una función\(y=f(x)\) que satisface la ecuación diferencial cuando\(f\) y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.

Vaya a este sitio web para conocer más sobre este tema.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones aparecen en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones

Ecuación	Solución
\(y'=2x\)	\(y=x^2\)
\(y'+3y=6x+11\)	\(y=e^{−3x}+2x+3\)
\(y''−3y'+2y=24e^{−2x}\)	\(y=3e^x−4e^{2x}+2e^{−2x}\)

Tenga en cuenta que una solución a una ecuación diferencial no es necesariamente única, principalmente porque la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, también\(y=x^2+4\) es una solución a la primera ecuación diferencial en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Volveremos a esta idea un poco más adelante en esta sección. Por ahora, centrémonos en lo que significa para una función ser una solución a una ecuación diferencial.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Verifying Solutions of Differential Equations

Verificar que la función\(y=e^{−3x}+2x+3\) sea una solución a la ecuación diferencial\(y′+3y=6x+11\).

Solución

Para verificar la solución, primero calculamos\(y′\) usando la regla de cadena para derivados. Esto da\(y′=−3e^{−3x}+2\). A continuación sustituimos\(y\) y\(y′\) en el lado izquierdo de la ecuación diferencial:

\((−3e^{−2x}+2)+3(e^{−2x}+2x+3).\)

La expresión resultante se puede simplificar distribuyendo primero para eliminar los paréntesis, dando

\(−3e^{−2x}+2+3e^{−2x}+6x+9.\)

Combinar términos similares conduce a la expresión\(6x+11\), que es igual al lado derecho de la ecuación diferencial. Este resultado verifica que\(y=e^{−3x}+2x+3\) sea una solución de la ecuación diferencial.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Verificar que\(y=2e^{3x}−2x−2\) sea una solución a la ecuación diferencial\(y′−3y=6x+4.\)

Pista

Primero calcule\(y′\) luego sustituya ambos\(y′\) y\(y\) en el lado izquierdo.

Es conveniente definir características de ecuaciones diferenciales que faciliten hablar de ellas y categorizarlas. La característica más básica de una ecuación diferencial es su orden.

Definición: orden de una ecuación diferencial

El orden de una ecuación diferencial es el orden más alto de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Identifying the Order of a Differential Equation

La derivada más alta en la ecuación es\(y′\),

¿Cuál es el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales?

1. \(y′−4y=x^2−3x+4\)
2. \(x^2y'''−3xy''+xy′−3y=\sin x\)
3. \(\frac{4}{x}y^{(4)}−\frac{6}{x^2}y''+\frac{12}{x^4}y=x^3−3x^2+4x−12\)

Solución

1. La derivada más alta en la ecuación es\(y′\), entonces el orden es\(1\).
2. La derivada más alta en la ecuación es\(y'''\), entonces el orden es\(3\).
3. La derivada más alta en la ecuación es\(y^{(4)}\), entonces el orden es\(4\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál es el orden de la siguiente ecuación diferencial?

\((x^4−3x)y^{(5)}−(3x^2+1)y′+3y=\sin x\cos x\)

Pista

¿Cuál es la derivada más alta en la ecuación?

Contestar

\(5\)

Soluciones Generales y Particulares

Ya señalamos que la ecuación diferencial\(y′=2x\) tiene al menos dos soluciones:\(y=x^2\) y\(y=x^2+4\). La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Y si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución a la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma\(y=x^2+C\), donde\(C\) representa cualquier constante, también es una solución. La razón es que la derivada de\(x^2+C\) es\(2x\), independientemente del valor de\(C\). Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe ser de la forma\(y=x^2+C\). Este es un ejemplo de una solución general a una ecuación diferencial. Una gráfica de algunas de estas soluciones se da en la Figura\(\PageIndex{1}\). (Nota: en esta gráfica usamos valores enteros pares para C que van entre\(−4\) y\(4\). De hecho, no hay restricción en el valor de\(C\); puede ser un entero o no).

Figura\(\PageIndex{1}\): Familia de soluciones a la ecuación diferencial\(y′=2x.\)

En este ejemplo, somos libres de elegir cualquier solución que queramos; por ejemplo,\(y=x^2−3\) es miembro de la familia de soluciones a esta ecuación diferencial. A esto se le llama una solución particular a la ecuación diferencial. Una solución particular a menudo se puede identificar de manera única si se nos da información adicional sobre el problema.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a Particular Solution

Encuentra la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=2x\) que pasa por el punto\((2,7)\).

Solución

Cualquier función de la forma\(y=x^2+C\) es una solución a esta ecuación diferencial. Para determinar el valor de\(C\), sustituimos los valores\(x=2\) y\(y=7\) en esta ecuación y resolvemos por\(C\):

\[ \begin{align*} y =x^2+C \\[4pt] 7 =2^2+C \\[4pt] =4+C \\[4pt] C =3. \end{align*}\]

Por lo tanto la solución particular que pasa por el punto\((2,7)\) es\(y=x^2+3\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial

\[ y′=4x+3 \nonumber \]

pasando por el punto\((1,7),\) dado que\(y=2x^2+3x+C\) es una solución general a la ecuación diferencial.

Pista

Primero sustituya\(x=1\) y\(y=7\) dentro de la ecuación, luego resuelva para\(C\).

Contestar

\[ y=2x^2+3x+2 \nonumber \]

Problemas de Valor Inicial

Por lo general, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntar cuál queremos usar. Para elegir una solución, se necesita más información. Alguna información específica que puede ser útil es un valor inicial, que es un par ordenado que se utiliza para encontrar una solución en particular.

Una ecuación diferencial junto con uno o más valores iniciales se denomina problema de valor inicial. La regla general es que el número de valores iniciales necesarios para un problema de valor inicial es igual al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial\(y′=2x\), entonces\(y(3)=7\) es un valor inicial, y cuando se toman juntas, estas ecuaciones forman un problema de valor inicial. La ecuación diferencial\(y''−3y′+2y=4e^x\) es de segundo orden, por lo que necesitamos dos valores iniciales. Con problemas de valor inicial de orden mayor a uno, se debe usar el mismo valor para la variable independiente. Un ejemplo de valores iniciales para esta ecuación de segundo orden sería\(y(0)=2\) y\(y′(0)=−1.\) Estos dos valores iniciales junto con la ecuación diferencial forman un problema de valor inicial. Estos problemas se llaman así porque a menudo la variable independiente en la función desconocida es\(t\), que representa el tiempo. Así, un valor de\(t=0\) representa el inicio del problema.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Verifying a Solution to an Initial-Value Problem

Verificar que la función\(y=2e^{−2t}+e^t\) es una solución al problema del valor inicial

\[ y′+2y=3e^t, \quad y(0)=3.\nonumber \]

Solución

Para que una función satisfaga un problema de valor inicial, debe satisfacer tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Para mostrar que\(y\) satisface la ecuación diferencial, comenzamos por calcular\(y′\). Esto da\(y′=−4e^{−2t}+e^t\). A continuación sustituimos ambos\(y\) y\(y′\) en el lado izquierdo de la ecuación diferencial y simplificamos:

\[ \begin{align*} y′+2y &=(−4e^{−2t}+e^t)+2(2e^{−2t}+e^t) \\[4pt] &=−4e^{−2t}+e^t+4e^{−2t}+2e^t =3e^t. \end{align*}\]

Esto es igual al lado derecho de la ecuación diferencial, así\(y=2e^{−2t}+e^t\) resuelve la ecuación diferencial. A continuación calculamos\(y(0)\):

\[ y(0)=2e^{−2(0)}+e^0=2+1=3. \nonumber \]

Este resultado verifica el valor inicial. Por lo tanto, la función dada satisface el problema del valor inicial.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verificar que\(y=3e^{2t}+4\sin t\) sea una solución al problema del valor inicial

\[ y′−2y=4\cos t−8\sin t,y(0)=3. \nonumber \]

Pista

Primero verificar que\(y\) resuelva la ecuación diferencial. Después revisa el valor inicial.

En Ejemplo\(\PageIndex{4}\), el problema del valor inicial consistió en dos partes. La primera parte fue la ecuación diferencial\(y′+2y=3e^x\), y la segunda parte fue el valor inicial\(y(0)=3.\) Estas dos ecuaciones juntas formaron el problema del valor inicial.

Lo mismo es cierto en general. Un problema de valor inicial constará de dos partes: la ecuación diferencial y la condición inicial. La ecuación diferencial tiene una familia de soluciones, y la condición inicial determina el valor de\(C\). La familia de soluciones a la ecuación diferencial en Ejemplo\(\PageIndex{4}\) viene dada por\(y=2e^{−2t}+Ce^t.\) Esta familia de soluciones se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), con la solución particular\(y=2e^{−2t}+e^t\) etiquetada.

0, la función cambia de dirección y aumenta en una curva suave a medida que t va al infinito. Los valores mayores de C tienen una curva más estrecha más cercana al eje y y a un valor y más alto. Para C = 0, la función va a 0 ya que t va al infinito. Para C < 0, la función continúa disminuyendo a medida que t va al infinito." style="width: 325px; height: 332px;" width="325px" height="332px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...08_01_002.jpeg">

Figura\(\PageIndex{2}\): Familia de soluciones a la ecuación diferencial\(y′+2y=3e^t\). La solución particular\(y=2e^{−2t}+e^t\) está etiquetada.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Solving an Initial-value Problem

Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

\[ y′=3e^x+x^2−4,y(0)=5. \nonumber \]

Solución

El primer paso para resolver este problema de valor inicial es encontrar una familia general de soluciones. Para ello, encontramos una antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial

\[∫y′\,dx=∫(3e^x+x^2−4)\,dx, \nonumber \]

a saber,

\(y+C_1=3e^x+\frac{1}{3}x^3−4x+C_2\).

Somos capaces de integrar ambos lados porque el término y aparece por sí mismo. Observe que existen dos constantes de integración:\(C_1\) y\(C_2\). Resolviendo esta ecuación para\(y\) da

\(y=3e^x+\frac{1}{3}x^3−4x+C_2−C_1.\)

Porque\(C_1\) y\(C_2\) son ambas constantes, también\(C_2−C_1\) es una constante. Por lo tanto, podemos definir\(C=C_2−C_1,\) cuál conduce a la ecuación

\(y=3e^x+\frac{1}{3}x^3−4x+C.\)

A continuación determinamos el valor de\(C\). Para ello, sustituimos\(x=0\) y\(y=5\) en esta ecuación y resolvemos por\(C\):

\[ \begin{align*} 5 &=3e^0+\frac{1}{3}0^3−4(0)+C \\[4pt] 5 &=3+C \\[4pt] C&=2 \end{align*}. \nonumber \]

Ahora sustituimos el valor\(C=2\) en la ecuación general. La solución al problema del valor inicial es\(y=3e^x+\frac{1}{3}x^3−4x+2.\)

Análisis

La diferencia entre una solución general y una solución particular es que una solución general implica una familia de funciones, ya sea explícita o implícitamente definidas, de la variable independiente. El valor o valores iniciales determinan qué solución particular de la familia de soluciones satisface las condiciones deseadas.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resolver el problema del valor inicial

\[ y′=x^2−4x+3−6e^x,y(0)=8. \nonumber \]

Pista

Primero toma la antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial. Luego sustituya\(x=0\) y\(y=8\) en la ecuación resultante y resuelva para\(C\).

Contestar

\(y=\frac{1}{3}x^3−2x^2+3x−6e^x+14\)

En aplicaciones de física e ingeniería, a menudo consideramos las fuerzas que actúan sobre un objeto, y usamos esta información para comprender el movimiento resultante que puede ocurrir. Por ejemplo, si comenzamos con un objeto en la superficie de la Tierra, la fuerza primaria que actúa sobre ese objeto es la gravedad. Los físicos e ingenieros pueden usar esta información, junto con la segunda ley del movimiento de Newton (en forma de ecuación\(F=ma\), donde\(F\) representa la fuerza,\(m\) representa la masa y\(a\) representa la aceleración), para derivar una ecuación que pueda resolverse.

Figura\(\PageIndex{3}\): Para una pelota de béisbol que cae en el aire, la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (descuidando la resistencia del aire).

En Figura\(\PageIndex{3}\) asumimos que la única fuerza que actúa sobre una pelota de béisbol es la fuerza de gravedad. Esta suposición ignora la resistencia del aire. (La fuerza debida a la resistencia del aire se considera en una discusión posterior.) La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, g, es aproximadamente\(9.8\,\text{m/s}^2\). Introducimos un marco de referencia, donde la superficie de la Tierra se encuentra a una altura de 0 metros. Dejar\(v(t)\) representar la velocidad del objeto en metros por segundo. Si\(v(t)>0\), la pelota está subiendo, y si\(v(t)<0\), la pelota está cayendo (Figura).

0, y la flecha que apunta hacia abajo se etiqueta v (t) < 0." style="width: 325px; height: 352px;" width="325px" height="352px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...08_01_004.jpeg">

Figura\(\PageIndex{4}\): Posibles velocidades para el beisbol de ascenso/caída.

Nuestro objetivo es resolver la velocidad\(v(t)\) en cualquier momento\(t\). Para ello, configuramos un problema de valor inicial. Supongamos que la masa de la pelota es\(m\), donde\(m\) se mide en kilogramos. Utilizamos la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración\((F=ma)\). La aceleración es la derivada de la velocidad, entonces\(a(t)=v′(t)\). Por lo tanto la fuerza que actúa sobre el beisbol viene dada por\(F=mv′(t)\). No obstante, esta fuerza debe ser igual a la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto, que (nuevamente usando la segunda ley de Newton) viene dada por\(F_g=−mg\), ya que esta fuerza actúa en dirección descendente. Por lo tanto obtenemos la ecuación\(F=F_g\), que se convierte en\(mv′(t)=−mg\). Dividir ambos lados de la ecuación por\(m\) da la ecuación

\[ v′(t)=−g. \nonumber \]

Observe que esta ecuación diferencial sigue siendo la misma independientemente de la masa del objeto.

Ahora necesitamos un valor inicial. Debido a que estamos resolviendo para la velocidad, tiene sentido en el contexto del problema asumir que conocemos la velocidad inicial, o la velocidad en el momento\(t=0.\) Esto se denota por\(v(0)=v_0.\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Velocity of a Moving Baseball

Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de\(3\) metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de\(10\) m/s, y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. El balón tiene una masa de\(0.15\) kg en la superficie de la Tierra.

1. Encuentra la velocidad\(v(t)\) de la capa base a la vez\(t\).
2. ¿Cuál es su velocidad después de\(2\) segundos?

Solución

a. de la discusión anterior, la ecuación diferencial que aplica en esta situación es

\(v′(t)=−g,\)

donde\(g=9.8\, \text{m/s}^2\). La condición inicial es\(v(0)=v_0\), donde\(v_0=10\) m/s. Por lo tanto, el problema del valor inicial es\(v′(t)=−9.8\,\text{m/s}^2,\,v(0)=10\) m/s.

El primer paso para resolver este problema de valor inicial es tomar la antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial. Esto da

\[\int v′(t)\,dt=∫−9.8\,dt \nonumber \]

\(v(t)=−9.8t+C.\)

El siguiente paso es resolver para\(C\). Para ello, sustituya\(t=0\) y\(v(0)=10\):

\[ \begin{align*} v(t) &=−9.8t+C \\[4pt] v(0) &=−9.8(0)+C \\[4pt] 10 &=C. \end{align*}\]

Por lo tanto\(C=10\) y la función de velocidad viene dada por\(v(t)=−9.8t+10.\)

b. para encontrar la velocidad después de\(2\) segundos, sustituya\(t=2\) en\(v(t)\).

\[ \begin{align*} v(t)&=−9.8t+10 \\[4pt] v(2)&=−9.8(2)+10 \\[4pt] v(2) &=−9.6\end{align*}\]

Las unidades de velocidad son metros por segundo. Dado que la respuesta es negativa, el objeto está cayendo a una velocidad de\(9.6\) m/s.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que una roca cae del reposo desde una altura de\(100\) metros y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. Encuentra una ecuación para la velocidad\(v(t)\) en función del tiempo, medida en metros por segundo.

Pista

¿Cuál es la velocidad inicial de la roca? Use esto con la ecuación diferencial en Ejemplo\(\PageIndex{6}\) para formar un problema de valor inicial, luego resuelva para\(v(t)\).

Contestar

\(v(t)=−9.8t\)

Una pregunta natural que hacer después de resolver este tipo de problemas es qué tan alto estará el objeto por encima de la superficie de la Tierra en un momento dado. Dejar\(s(t)\) denotar la altura sobre la superficie terrestre del objeto, medida en metros. Debido a que la velocidad es la derivada de la posición (en este caso la altura), esta suposición da la ecuación\(s′(t)=v(t)\). Es necesario un valor inicial; en este caso la altura inicial del objeto funciona bien. Que la altura inicial sea dada por la ecuación\(s(0)=s_0\). Juntos estos supuestos dan el problema del valor inicial

\[ s′(t)=v(t),s(0)=s_0. \nonumber \]

Si se conoce la función de velocidad, entonces también es posible resolver la función de posición.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Height of a Moving Baseball

Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de\(3\) metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de\(10m/s\), y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. El balón tiene una masa de\(0.15\) kilogramo en la superficie de la Tierra.

1. Encuentra la posición\(s(t)\) del beisbol en el momento\(t\).
2. ¿Cuál es su altura después de\(2\) segundos?

Solución

Ya sabemos que la función de velocidad para este problema es\(v(t)=−9.8t+10\). La altura inicial del beisbol es de\(3\) metros, entonces\(s_0=3\). Por lo tanto, el problema del valor inicial para este ejemplo es

Para resolver el problema del valor inicial, primero encontramos los antiderivados:

\[∫s′(t)\,dt=∫(−9.8t+10)\,dt \nonumber \]

\(s(t)=−4.9t^2+10t+C.\)

A continuación sustituimos\(t=0\) y resolvemos\(C\):

\(s(t)=−4.9t^2+10t+C\)

\(s(0)=−4.9(0)^2+10(0)+C\)

\(3=C\).

Por lo tanto, la función de posición es\(s(t)=−4.9t^2+10t+3.\)

b. La altura del beisbol después de la\(2\) sec viene dada por\(s(2):\)

\(s(2)=−4.9(2)^2+10(2)+3=−4.9(4)+23=3.4.\)

Por lo tanto, el beisbol se\(3.4\) encuentra a metros sobre la superficie de\(2\) la Tierra después Vale la pena señalar que la masa de la pelota canceló por completo en el proceso de resolver el problema.

Conceptos clave

• Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función\(y=f(x)\) y una o más de sus derivadas. Una solución es una función\(y=f(x)\) que satisface la ecuación diferencial cuando\(f\) y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.
• El orden de una ecuación diferencial es el orden más alto de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.
• Una ecuación diferencial acoplada con un valor inicial se denomina problema de valor inicial. Para resolver un problema de valor inicial, primero encuentre la solución general a la ecuación diferencial, luego determine el valor de la constante. Los problemas de valor inicial tienen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería.

Glosario

ecuación diferencial

una ecuación que implica una función\(y=y(x)\) y una o más de sus derivadas

solución general (o familia de soluciones)

el conjunto completo de soluciones a una ecuación diferencial dada

valor (es) inicial (es)

un valor o conjunto de valores que una solución de una ecuación diferencial satisface para un valor fijo de la variable independiente

velocidad inicial

la velocidad en el tiempo\(t=0\)

problema de valor inicial

una ecuación diferencial junto con un valor o valores iniciales

orden de una ecuación diferencial

el orden más alto de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación

solución particular

miembro de una familia de soluciones a una ecuación diferencial que satisface una condición inicial particular

solución a una ecuación diferencial

una función\(y=f(x)\) que satisface una ecuación diferencial dada