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# 8.1E: Ejercicios para la Sección 8.1

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En los ejercicios 1 - 7, determinar el orden de cada ecuación diferencial.

1)$$y′+y=3y^2$$

Contestar
1st-orden

2)$$(y′)^2=y′+2y$$

3)$$y'''+y''y′=3x^2$$

Contestar
3rd-orden

4)$$y′=y''+3t^2$$

5)$$\dfrac{dy}{dt}=t$$

Contestar
1st-orden

6)$$\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d^2y}{dx^2}=3x^4$$

7)$$\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+8\dfrac{dy}{dt}+3y=4t$$

Contestar
1st-orden

En los ejercicios 8 - 17, verificar que la función dada es una solución a la ecuación diferencial dada.

8)$$y=\dfrac{x^3}{3}\quad$$ resuelve$$\quad y′=x^2$$

9)$$y=2e^{−x}+x−1\quad$$ resuelve$$\quad y′=x−y$$

10)$$y=e^{3x}−\dfrac{e^x}{2}\quad$$ resuelve$$\quad y′=3y+e^x$$

11)$$y=\dfrac{1}{1−x}\quad$$ resuelve$$\quad y′=y^2$$

12)$$y=\dfrac{e^{x^2}}{2}\quad$$ resuelve$$\quad y′=xy$$

13)$$y=4+\ln x\quad$$ resuelve$$\quad xy′=1$$

14)$$y=3−x+x\ln x\quad$$ resuelve$$\quad y′=\ln x$$

15)$$y=2e^x−x−1\quad$$ resuelve$$\quad y′=y+x$$

16)$$y=e^x+\dfrac{\sin x}{2}−\dfrac{\cos x}{2}\quad$$ resuelve$$\quad y′=\cos x+y$$

17)$$y=πe^{−\cos x}\quad$$ resuelve$$\quad y′=y\sin x$$

En los ejercicios 18 - 27, verificar la solución general dada y encontrar la solución particular.

18) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′=4x^2$$ que atraviesa$$(−3,−30)$$, dado que$$y=C+\dfrac{4x^3}{3}$$ es una solución general.

19) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′=3x^3$$ que atraviesa$$(1,4.75)$$, dado que$$y=C+\dfrac{3x^4}{4}$$ es una solución general.

Contestar
$$y=4+\dfrac{3x^4}{4}$$

20) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′=3x^2y$$ que atraviesa$$(0,12)$$, dado que$$y=Ce^{x^3}$$ es una solución general.

21) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′=2xy$$ que atraviesa$$\left(0,\frac{1}{2}\right)$$, dado que$$y=Ce^{x^2}$$ es una solución general.

Contestar
$$y=\frac{1}{2}e^{x^2}$$

22) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′=\big(2xy\big)^2$$ que atraviesa$$\left(1,−\frac{1}{2}\right)$$, dado que$$y=−\dfrac{3}{C+4x^3}$$ es una solución general.

23) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′x^2=y$$ que atraviesa$$\left(1,\frac{2}{e}\right)$$, dado que$$y=Ce^{−1/x}$$ es una solución general.

Contestar
$$y=2e^{−1/x}$$

24) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$8\dfrac{dx}{dt}=−2\cos(2t)−\cos(4t)$$ que atraviesa$$(π,π)$$, dado que$$x=C−\frac{1}{8}\sin(2t)−\frac{1}{32}\sin(4t)$$ es una solución general.

25) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$\dfrac{du}{dt}=\tan u$$ que atraviesa$$\left(1,\frac{π}{2}\right)$$, dado que$$u=\sin^{−1}\big(e^{C+t}\big)$$ es una solución general.

Contestar
$$u=\sin^{−1}\big(e^{−1+t}\big)$$

26) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$\dfrac{dy}{dt}=e^{t+y}$$ que atraviesa$$(1,0)$$, dado que$$y=−\ln(C−e^t)$$ es una solución general.

27) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial$$y′(1−x^2)=1+y$$ que atraviesa$$(0,−2),$$ dado que$$y=C\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1$$ es una solución general.

Contestar
$$y=−\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1$$

En los ejercicios 28 - 37, encuentra la solución general a la ecuación diferencial.

28)$$y′=3x+e^x$$

29)$$y′=\ln x+\tan x$$

Contestar
$$y=C−x+x\ln x−\ln(\cos x)$$

30)$$y′=\sin x e^{\cos x}$$

31)$$y′=4^x$$

Contestar
$$y=C+\dfrac{4^x}{\ln 4}$$

32)$$y′=\sin^{−1}(2x)$$

33)$$y′=2t\sqrt{t^2+16}$$

Contestar
$$y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\big(t^2+16\big)+C$$

34)$$x′=\coth t+\ln t+3t^2$$

35)$$x′=t\sqrt{4+t}$$

Contestar
$$x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\big(3t^2+4t−32\big)+C$$

36)$$y′=y$$

37)$$y′=\dfrac{y}{x}$$

Contestar
$$y=Cx$$

En los ejercicios 38 - 42, resolver los problemas de valor inicial a partir de$$y(t=0)=1$$ y$$y(t=0)=−1.$$ Dibujar ambas soluciones en una misma gráfica.

38)$$\dfrac{dy}{dt}=2t$$

39)$$\dfrac{dy}{dt}=−t$$

Contestar
$$y=1−\dfrac{t^2}{2},$$y$$y=−\dfrac{t^2}{2}−1$$

40)$$\dfrac{dy}{dt}=2y$$

41)$$\dfrac{dy}{dt}=−y$$

Contestar
$$y=e^{−t}$$y$$y=−e^{−t}$$

42)$$\dfrac{dy}{dt}=2$$

En los ejercicios 43 - 47, resolver los problemas de valor inicial a partir de$$y_0=10$$. ¿A qué hora$$y$$ aumenta$$100$$ o baja a$$1$$?

43)$$\dfrac{dy}{dt}=4t$$

Contestar
$$y=2(t^2+5),$$Cuando$$t=3\sqrt{5},$$$$y$$ se incrementará a$$100$$.

44)$$\dfrac{dy}{dt}=4y$$

45)$$\dfrac{dy}{dt}=−2y$$

Contestar
$$y=10e^{−2t},$$Cuando$$t=−\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{10}\right),$$$$y$$ disminuirá a$$1$$.

46)$$\dfrac{dy}{dt}=e^{4t}$$

47)$$\dfrac{dy}{dt}=e^{−4t}$$

Contestar
$$y=\frac{1}{4}(41−e^{−4t}),$$Ninguna condición sucederá jamás.

Recordemos que una familia de soluciones incluye soluciones a una ecuación diferencial que difieren por una constante. Para los ejercicios 48 - 52, use su calculadora para graficar una familia de soluciones a la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales desde$$y(t=0)=−10$$ hasta$$y(t=0)=10$$ aumentar por$$2$$. ¿Hay algún punto crítico donde el comportamiento de la solución comience a cambiar?

48) [T]$$y′=y(x)$$

49) [T]$$xy′=y$$

Contestar
La solución cambia de aumentar a disminuir en$$y(0)=0$$.

50) [T]$$y′=t^3$$

51) [T]$$y′=x+y$$ (Pista:$$y=Ce^x−x−1$$ es la solución general)

Contestar
La solución cambia de aumentar a disminuir en$$y(0)=0$$.

52) [T]$$y′=x\ln x+\sin x$$

53) Encuentra la solución general para describir la velocidad de una bola de masa$$1$$ lb que se lanza hacia arriba a una velocidad de$$a$$ pies/seg.

Contestar
$$v(t)=−32t+a$$

54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es$$a=25$$ pies/s, escribe la solución particular a la velocidad de la pelota. Resuelve para encontrar el momento en que la pelota golpea el suelo.

55) Tiras al aire dos objetos con diferentes masas$$m_1$$ y$$m_2$$ ascendentes al aire con la misma velocidad inicial de$$a$$ pies/s ¿Cuál es la diferencia en su velocidad tras$$1$$ segundo?

Contestar
$$0$$pies/s

56) [T] Lanza una bola de masa$$1$$ kilogramo hacia arriba con una velocidad de$$a=25$$ m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es$$g=−3.711$$ m/s 2. Usa tu calculadora para aproximar cuánto más tiempo está la pelota en el aire en Marte.

57) [T] Para el problema anterior, usa tu calculadora para aproximar cuánto más alto fue el balón en Marte.

Contestar
$$4.86$$metros

58) [T] Un automóvil en la autopista acelera según$$a=15\cos(πt),$$ donde$$t$$ se mide en horas. Configura y resuelve la ecuación diferencial para determinar la velocidad del carro si tiene una velocidad inicial de$$51$$ mph. Después de$$40$$ minutos de conducción, ¿cuál es la velocidad del conductor?

59) [T] Para el auto en el problema anterior, encuentra la expresión de la distancia que el auto ha recorrido en el tiempo$$t$$, asumiendo una distancia inicial de$$0$$. ¿Cuánto tiempo tarda el auto en recorrer$$100$$ millas? Redondee su respuesta a horas y minutos.

Contestar
$$x=50t−\frac{15}{π^2}\cos(πt)+\frac{3}{π^2},2$$horas$$1$$ minuto

60) [T] Para el problema anterior, encuentra la distancia total recorrida en la primera hora.

61) Sustituir$$y=Be^{3t}$$ en$$y′−y=8e^{3t}$$ para encontrar una solución particular.

Contestar
$$y=4e^{3t}$$

62) Sustituir$$y=a\cos(2t)+b\sin(2t)$$ en$$y′+y=4\sin(2t)$$ para encontrar una solución particular.

63) Sustituir$$y=a+bt+ct^2$$ en$$y′+y=1+t^2$$ para encontrar una solución particular.

Contestar
$$y=1−2t+t^2$$

64) Sustituir$$y=ae^t\cos t+be^t\sin t$$ en$$y′=2e^t\cos t$$ para encontrar una solución particular.

65) Resolver$$y′=e^{kt}$$ con la condición inicial$$y(0)=0$$ y resolver$$y′=1$$ con la misma condición inicial. A medida que$$k$$ se aproxima$$0$$, ¿qué notas?

Contestar
$$y=\frac{1}{k}(e^{kt}−1)$$y$$y=t$$

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