8.1E: Ejercicios para la Sección 8.1

En los ejercicios 1 - 7, determinar el orden de cada ecuación diferencial.

1)\(y′+y=3y^2\)

Contestar

1st-orden

2)\((y′)^2=y′+2y\)

3)\(y'''+y''y′=3x^2\)

Contestar

3rd-orden

4)\(y′=y''+3t^2\)

5)\(\dfrac{dy}{dt}=t\)

Contestar

1st-orden

6)\(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d^2y}{dx^2}=3x^4\)

7)\(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+8\dfrac{dy}{dt}+3y=4t\)

Contestar

1st-orden

En los ejercicios 8 - 17, verificar que la función dada es una solución a la ecuación diferencial dada.

8)\(y=\dfrac{x^3}{3}\quad\) resuelve\(\quad y′=x^2\)

9)\(y=2e^{−x}+x−1\quad\) resuelve\(\quad y′=x−y\)

10)\(y=e^{3x}−\dfrac{e^x}{2}\quad\) resuelve\(\quad y′=3y+e^x\)

11)\(y=\dfrac{1}{1−x}\quad\) resuelve\(\quad y′=y^2\)

12)\(y=\dfrac{e^{x^2}}{2}\quad\) resuelve\(\quad y′=xy\)

13)\(y=4+\ln x\quad\) resuelve\(\quad xy′=1\)

14)\(y=3−x+x\ln x\quad\) resuelve\(\quad y′=\ln x\)

15)\(y=2e^x−x−1\quad\) resuelve\(\quad y′=y+x\)

16)\(y=e^x+\dfrac{\sin x}{2}−\dfrac{\cos x}{2}\quad\) resuelve\(\quad y′=\cos x+y\)

17)\(y=πe^{−\cos x}\quad\) resuelve\(\quad y′=y\sin x\)

En los ejercicios 18 - 27, verificar la solución general dada y encontrar la solución particular.

18) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=4x^2\) que atraviesa\((−3,−30)\), dado que\(y=C+\dfrac{4x^3}{3}\) es una solución general.

19) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=3x^3\) que atraviesa\((1,4.75)\), dado que\(y=C+\dfrac{3x^4}{4}\) es una solución general.

Contestar

\(y=4+\dfrac{3x^4}{4}\)

20) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=3x^2y\) que atraviesa\((0,12)\), dado que\(y=Ce^{x^3}\) es una solución general.

21) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=2xy\) que atraviesa\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\), dado que\(y=Ce^{x^2}\) es una solución general.

Contestar

\(y=\frac{1}{2}e^{x^2}\)

22) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′=\big(2xy\big)^2\) que atraviesa\(\left(1,−\frac{1}{2}\right)\), dado que\(y=−\dfrac{3}{C+4x^3}\) es una solución general.

23) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′x^2=y\) que atraviesa\(\left(1,\frac{2}{e}\right)\), dado que\(y=Ce^{−1/x}\) es una solución general.

Contestar

\(y=2e^{−1/x}\)

24) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(8\dfrac{dx}{dt}=−2\cos(2t)−\cos(4t)\) que atraviesa\((π,π)\), dado que\(x=C−\frac{1}{8}\sin(2t)−\frac{1}{32}\sin(4t)\) es una solución general.

25) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(\dfrac{du}{dt}=\tan u\) que atraviesa\(\left(1,\frac{π}{2}\right)\), dado que\(u=\sin^{−1}\big(e^{C+t}\big)\) es una solución general.

Contestar

\(u=\sin^{−1}\big(e^{−1+t}\big)\)

26) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(\dfrac{dy}{dt}=e^{t+y}\) que atraviesa\((1,0)\), dado que\(y=−\ln(C−e^t)\) es una solución general.

27) Encontrar la solución particular a la ecuación diferencial\(y′(1−x^2)=1+y\) que atraviesa\((0,−2),\) dado que\(y=C\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\) es una solución general.

Contestar

\(y=−\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\)

En los ejercicios 28 - 37, encuentra la solución general a la ecuación diferencial.

28)\(y′=3x+e^x\)

29)\(y′=\ln x+\tan x\)

Contestar

\(y=C−x+x\ln x−\ln(\cos x)\)

30)\(y′=\sin x e^{\cos x}\)

31)\(y′=4^x\)

Contestar

\(y=C+\dfrac{4^x}{\ln 4}\)

32)\(y′=\sin^{−1}(2x)\)

33)\(y′=2t\sqrt{t^2+16}\)

Contestar

\(y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\big(t^2+16\big)+C\)

34)\(x′=\coth t+\ln t+3t^2\)

35)\(x′=t\sqrt{4+t}\)

Contestar

\(x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\big(3t^2+4t−32\big)+C\)

36)\(y′=y\)

37)\(y′=\dfrac{y}{x}\)

Contestar

\(y=Cx\)

En los ejercicios 38 - 42, resolver los problemas de valor inicial a partir de\(y(t=0)=1\) y\(y(t=0)=−1.\) Dibujar ambas soluciones en una misma gráfica.

38)\(\dfrac{dy}{dt}=2t\)

39)\(\dfrac{dy}{dt}=−t\)

Contestar

\(y=1−\dfrac{t^2}{2},\)y\(y=−\dfrac{t^2}{2}−1\)

40)\(\dfrac{dy}{dt}=2y\)

41)\(\dfrac{dy}{dt}=−y\)

Contestar

\(y=e^{−t}\)y\(y=−e^{−t}\)

42)\(\dfrac{dy}{dt}=2\)

En los ejercicios 43 - 47, resolver los problemas de valor inicial a partir de\(y_0=10\). ¿A qué hora\(y\) aumenta\(100\) o baja a\(1\)?

43)\(\dfrac{dy}{dt}=4t\)

Contestar

\(y=2(t^2+5),\)Cuando\(t=3\sqrt{5},\)\(y\) se incrementará a\(100\).

44)\(\dfrac{dy}{dt}=4y\)

45)\(\dfrac{dy}{dt}=−2y\)

Contestar

\(y=10e^{−2t},\)Cuando\(t=−\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{10}\right),\)\(y\) disminuirá a\(1\).

46)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{4t}\)

47)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{−4t}\)

Contestar

\(y=\frac{1}{4}(41−e^{−4t}),\)Ninguna condición sucederá jamás.

Recordemos que una familia de soluciones incluye soluciones a una ecuación diferencial que difieren por una constante. Para los ejercicios 48 - 52, use su calculadora para graficar una familia de soluciones a la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales desde\(y(t=0)=−10\) hasta\(y(t=0)=10\) aumentar por\(2\). ¿Hay algún punto crítico donde el comportamiento de la solución comience a cambiar?

48) [T]\(y′=y(x)\)

49) [T]\(xy′=y\)

Contestar

La solución cambia de aumentar a disminuir en\(y(0)=0\).

50) [T]\(y′=t^3\)

51) [T]\(y′=x+y\) (Pista:\(y=Ce^x−x−1\) es la solución general)

Contestar

La solución cambia de aumentar a disminuir en\(y(0)=0\).

52) [T]\(y′=x\ln x+\sin x\)

53) Encuentra la solución general para describir la velocidad de una bola de masa\(1\) lb que se lanza hacia arriba a una velocidad de\(a\) pies/seg.

Contestar

\(v(t)=−32t+a\)

54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es\(a=25\) pies/s, escribe la solución particular a la velocidad de la pelota. Resuelve para encontrar el momento en que la pelota golpea el suelo.

55) Tiras al aire dos objetos con diferentes masas\(m_1\) y\(m_2\) ascendentes al aire con la misma velocidad inicial de\(a\) pies/s ¿Cuál es la diferencia en su velocidad tras\(1\) segundo?

Contestar

\(0\)pies/s

56) [T] Lanza una bola de masa\(1\) kilogramo hacia arriba con una velocidad de\(a=25\) m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es\(g=−3.711\) m/s ². Usa tu calculadora para aproximar cuánto más tiempo está la pelota en el aire en Marte.

57) [T] Para el problema anterior, usa tu calculadora para aproximar cuánto más alto fue el balón en Marte.

Contestar

\(4.86\)metros

58) [T] Un automóvil en la autopista acelera según\(a=15\cos(πt),\) donde\(t\) se mide en horas. Configura y resuelve la ecuación diferencial para determinar la velocidad del carro si tiene una velocidad inicial de\(51\) mph. Después de\(40\) minutos de conducción, ¿cuál es la velocidad del conductor?

59) [T] Para el auto en el problema anterior, encuentra la expresión de la distancia que el auto ha recorrido en el tiempo\(t\), asumiendo una distancia inicial de\(0\). ¿Cuánto tiempo tarda el auto en recorrer\(100\) millas? Redondee su respuesta a horas y minutos.

Contestar

\(x=50t−\frac{15}{π^2}\cos(πt)+\frac{3}{π^2},2\)horas\(1\) minuto

60) [T] Para el problema anterior, encuentra la distancia total recorrida en la primera hora.

61) Sustituir\(y=Be^{3t}\) en\(y′−y=8e^{3t}\) para encontrar una solución particular.

Contestar

\(y=4e^{3t}\)

62) Sustituir\(y=a\cos(2t)+b\sin(2t)\) en\(y′+y=4\sin(2t)\) para encontrar una solución particular.

63) Sustituir\(y=a+bt+ct^2\) en\(y′+y=1+t^2\) para encontrar una solución particular.

Contestar

\(y=1−2t+t^2\)

64) Sustituir\(y=ae^t\cos t+be^t\sin t\) en\(y′=2e^t\cos t\) para encontrar una solución particular.

65) Resolver\(y′=e^{kt}\) con la condición inicial\(y(0)=0\) y resolver\(y′=1\) con la misma condición inicial. A medida que\(k\) se aproxima\(0\), ¿qué notas?

Contestar

\(y=\frac{1}{k}(e^{kt}−1)\)y\(y=t\)