Saltar al contenido principal

# 8.3E: Ejercicios para la Sección 8.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, resuelve los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial$$y_0=0$$ y grafica la solución.

1)$$\dfrac{dy}{dt}=y+1$$

Contestar
$$y=e^t−1$$

2)$$\dfrac{dy}{dt}=y−1$$

3)$$\dfrac{dy}{dt}=-y+1$$

Contestar
$$y=1−e^{−t}$$

4)$$\dfrac{dy}{dt}=−y−1$$

En los ejercicios 5 - 14, encuentra la solución general a la ecuación diferencial.

5)$$x^2y'=(x+1)y$$

Contestar
$$y=Cxe^{−1/x}$$

6)$$y'=\tan(y)x$$

7)$$y'=2xy^2$$

Contestar
$$y=\dfrac{1}{C−x^2}$$

8)$$\dfrac{dy}{dt}=y\cos(3t+2)$$

9)$$2x\dfrac{dy}{dx}=y^2$$

Contestar
$$y=−\dfrac{2}{C+\ln|x|}$$

10)$$y'=e^yx^2$$

11)$$(1+x)y'=(x+2)(y−1)$$

Contestar
$$y=Ce^x(x+1)+1$$

12)$$\dfrac{dx}{dt}=3t^2(x^2+4)$$

13)$$t\dfrac{dy}{dt}=\sqrt{1−y^2}$$

Contestar
$$y=\sin(\ln|t|+C)$$

14)$$y'=e^xe^y$$

En los ejercicios 15 - 24, encuentra la solución al problema del valor inicial.

15)$$y'=e^{y−x}, \quad y(0)=0$$

Contestar
$$y=−\ln(e^{−x})$$lo que simplifica$$y = x$$

16)$$y'=y^2(x+1), \quad y(0)=2$$

17)$$\dfrac{dy}{dx}=y^3xe^{x^2}, \quad y(0)=1$$

Contestar
$$y=\dfrac{1}{\sqrt{2−e^{x^2}}}$$

18)$$\dfrac{dy}{dt}=y^2e^x\sin(3x), \quad y(0)=1$$

19)$$y'=\dfrac{x}{\text{sech}^2y}, \quad y(0)=0$$

Contestar
$$y=\tanh^{−1}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$$

20)$$y'=2xy(1+2y), \quad y(0)=−1$$

21)$$\dfrac{dx}{dt}=\ln(t)\sqrt{1−x^2}, \quad x(1)=0$$

Contestar
$$x=\sin(1 - t + t\ln t)$$

22)$$y'=3x^2(y^2+4),\quad y(0)=0$$

23)$$y'=e^y5^x, \quad y(0)=\ln(\ln(5))$$

Contestar
$$y=\ln(\ln(5))−\ln(2−5^x)$$

24)$$y'=−2x\tan(y), \quad y(0)=\dfrac{π}{2}$$

Para problemas 25 - 29, utilice un programa de software o su calculadora para generar los campos direccionales. Resuelva explícitamente y dibuje curvas de solución para varias condiciones iniciales. ¿Existen algunas condiciones iniciales críticas que cambien el comportamiento de la solución?

25) [T]$$y'=1−2y$$

Contestar

$$y=Ce^{−2}x+\dfrac{1}{2}$$

26) [T]$$y'=y^2x^3$$

27) [T]$$y'=y^3e^x$$

Contestar

$$y=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{C−e^x}}$$

28) [T]$$y'=e^y$$

29) [T]$$y'=y\ln(x)$$

Contestar

$$y=Ce^{−x}x^x$$

30) La mayoría de los fármacos en el torrente sanguíneo se descomponen según la ecuación$$y'=cy$$, donde$$y$$ está la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo. Si la vida media de un medicamento es de$$2$$ horas, ¿qué fracción de la dosis inicial queda después de$$6$$ horas?

31) Un fármaco se administra por vía intravenosa a un paciente a una tasa$$r$$ mg/h y se limpia del cuerpo a una velocidad proporcional a la cantidad de fármaco aún presente en el cuerpo,$$d$$ Configurar y resolver la ecuación diferencial, suponiendo que no haya fármaco inicialmente presente en el cuerpo.

Contestar
$$y=\frac{r}{d}(1−e^{−dt})$$

32) [T] ¿Con qué frecuencia se debe tomar un medicamento si su dosis es de$$3$$ mg, se aclara a una tasa$$c=0.1$$ mg/h, y se requiere que$$1$$ mg esté en el torrente sanguíneo en todo momento?

33) Un tanque contiene$$1$$ kilogramo de sal disuelta en$$100$$ litros de agua. Una solución salina de$$0.1$$ kg sal/L se bombea al tanque a una velocidad de$$2$$ L/min y se drena a la misma velocidad. Resolver la concentración de sal en el momento$$t$$. Supongamos que el tanque está bien mezclado.

Contestar
$$y(t)=10−9e^{−t/50}$$

34) Un tanque que contiene$$10$$ kilogramos de sal disueltos en$$1000$$ litros de agua tiene dos soluciones salinas bombeadas. La primera solución de$$0.2$$ kg sal/l se bombea a una velocidad de$$20$$ L/min y la segunda solución de$$0.05$$ kg sal/l se bombea a una velocidad de$$5$$ L/min. El tanque drena a$$25$$ L/min. Supongamos que el tanque está bien mezclado. Resolver la concentración de sal en el momento$$t$$.

35) [T] Para el problema anterior, encuentra cuánta sal hay en el tanque$$1$$ hora después de que comience el proceso.

Contestar
$$134.3$$kilogramos

36) La ley de Torricelli establece que para un tanque de agua con un agujero en el fondo que tiene una sección transversal de$$A$$ y con una altura de agua$$h$$ por encima del fondo del tanque, la tasa de cambio de volumen de agua que fluye desde el tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua, según a$$\dfrac{dV}{dt}=−A\sqrt{2gh}$$, donde$$g$$ esta la aceleracion debida a la gravedad. Tenga en cuenta que$$\dfrac{dV}{dt}=A\dfrac{dh}{dt}$$. Resolver el problema de valor inicial resultante para la altura del agua, asumiendo un tanque con un agujero de radio$$2$$ ft. La altura inicial del agua es$$100$$ ft.

37) Para el problema anterior, determine cuánto tiempo tarda el tanque en drenar.

Contestar
$$720$$segundos

Para problemas 38 - 44, use la ley de enfriamiento de Newton.

38) La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de$$200°F$$ antes de colocarlo en un congelador con una temperatura constante de$$0°F$$. Después de$$1$$ hora, la temperatura de la base de helado ha disminuido a$$140°F$$. Formular y resolver el problema del valor inicial para determinar la temperatura del helado.

39) [T] La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de$$210°F$$ antes de colocarlo en un congelador con una temperatura constante de$$20°F$$. Después de$$2$$ horas, la temperatura de la base de helado ha disminuido a$$170°F$$. ¿A qué hora estará listo para comer el helado? (Supongamos que$$30°F$$ es la temperatura óptima para comer.)

Contestar
$$24$$horas$$55$$ minutos

40) [T] Estás organizando un helado social. La temperatura exterior es$$80°F$$ y el helado está en$$10°F$$. Después de$$10$$ minutos, la temperatura del helado ha subido por$$10°F$$. ¿Cuánto tiempo más puedes esperar antes de que se derrita el helado$$40°F$$?

41) Tienes una taza de café a temperatura$$70°C$$ y la temperatura ambiente en la habitación es$$20°C$$. Suponiendo una velocidad$$k$$ de enfriamiento de$$0.125,$$ escritura y resolver la ecuación diferencial para describir la temperatura del café con respecto al tiempo.

Contestar
$$T(t)=20+50e^{−0.125t}$$

42) [T] Tienes una taza de café a temperatura$$70°C$$ que pones afuera, donde está la temperatura ambiente$$0°C.$$ Después de$$5$$ minutos, ¿cuánto más frío es el café?

43) Tienes una taza de café a temperatura$$70°C$$ e inmediatamente viertes en$$1$$ parte leche a$$5$$ partes de café. La leche está inicialmente a temperatura$$1°C.$$ Escribe y resuelve la ecuación diferencial que gobierna la temperatura de este café.

Contestar
$$T(t)=20+38.5e^{−0.125t}$$

44) Tienes una taza de café a temperatura$$70°C,$$ que dejas enfriar$$10$$ minutos antes de verter la misma cantidad de leche a la$$1°C$$ que en el problema anterior. ¿Cómo se compara la temperatura con la copa anterior después de$$10$$ minutos?

45) Resolver el problema genérico$$y'=ay+b$$ con condición inicial$$y(0)=c.$$

Contestar
$$y=(c+ba)e^{ax}−\frac{b}{a}$$

46) Demostrar la ecuación básica de interés compuesto continuo. Asumiendo un depósito inicial$$P_0$$ y una tasa de interés de$$r$$, establecer y resolver una ecuación para intereses continuamente compuestos.

47) Asumir una cantidad inicial nutritiva de$$I$$ kilogramos en un tanque con$$L$$ litros. Supongamos que se bombea una concentración de$$c$$ Kg/L a una velocidad de$$r$$ L/min. El tanque está bien mezclado y se drena a una velocidad de$$r$$ L/min. Encuentra la ecuación que describe la cantidad de nutriente en el tanque.

Contestar
$$y(t)=cL+(I−cL)e^{−rt/L}$$

48) Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a razón de$$2$$ g/cm 2 /año y también se descomponen a una$$90%$$ tasa anual. Escribir una ecuación diferencial que rija el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal, suponiendo que en el momento no$$0$$ haya hojarasca en el suelo. ¿Esta cantidad se aproxima a un valor constante? ¿Cuál es ese valor?

49) Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a razón de$$4$$ g/cm 2 /año. Estas hojas se descomponen a razón de$$10%$$ por año. Escribir una ecuación diferencial que rija el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal. ¿Esta cantidad se aproxima a un valor constante? ¿Cuál es ese valor?

Contestar
Ecuación Diferencial:$$\dfrac{dy}{dt} = 4 - 0.1y$$
Solución, el modelo para esta situación:$$y=40(1−e^{−0.1t})$$,
La cantidad se aproxima a un valor constante de 40 g/cm 2

This page titled 8.3E: Ejercicios para la Sección 8.3 is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang (OpenStax) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.