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# 8.5E: Ejercicios para la Sección 8.5

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 5, ¿declarar si cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales es lineal? Explica tu razonamiento.

1)$$\dfrac{dy}{dx}=x^2y+\sin x$$

2)$$\dfrac{dy}{dt}=ty$$

Contestar
$$Yes$$

3)$$\dfrac{dy}{dt}+y^2=x$$

4)$$y'=x^3+e^x$$

Contestar
$$Yes$$

5)$$y'=y+e^y$$

En los ejercicios 6 - 10, escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar.

6)$$y'=x^3y+\sin x$$

Contestar
$$y'−x^3y=\sin x$$

7)$$y'+3y−\ln x=0$$

8)$$−xy'=(3x+2)y+xe^x$$

Contestar
$$y'+\frac{(3x+2)}{x}y=−e^x$$

9)$$\dfrac{dy}{dt}=4y+ty+\tan t$$

10)$$\dfrac{dy}{dt}=yx(x+1)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dt}−yx(x+1)=0$$

En los ejercicios 11 a 15, se indican los factores integradores para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

11)$$y'=xy+3$$

12)$$y'+e^xy=\sin x$$

Contestar
$$e^x$$

13)$$y'=x\ln(x)y+3x$$

14)$$\dfrac{dy}{dx}=\tanh(x)y+1$$

Contestar
$$−\ln(\cosh x)$$

15)$$\dfrac{dy}{dt}+3ty=e^ty$$

En los ejercicios 16 - 25, resuelve cada ecuación diferencial mediante el uso de factores integradores.

16)$$y'=3y+2$$

Contestar
$$y=Ce^{3x}−\frac{2}{3}$$

17)$$y'=2y−x^2$$

18)$$xy'=3y−6x^2$$

Contestar
$$y=Cx^3+6x^2$$

19)$$(x+2)y'=3x+y$$

20)$$y'=3x+xy$$

Contestar
$$y=Ce^{x^2/2}−3$$

21)$$xy'=x+y$$

22)$$\sin(x)y'=y+2x$$

Contestar
$$y=C\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)−2x+4\tan\left(\dfrac{x}{2})\ln\left(\sin(\dfrac{x}{2}\right)\right)$$

23)$$y'=y+e^x$$

24)$$xy'=3y+x^2$$

Contestar
$$y=Cx^3−x^2$$

25)$$y'+\ln x=\dfrac{y}{x}$$

En los ejercicios 26 - 33, resolver la ecuación diferencial dada. Usa tu calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Existen ciertas condiciones iniciales que cambien el comportamiento de la solución?

26) [T]$$(x+2)y'=2y−1$$

Contestar
$$y=C(x+2)^2+\frac{1}{2}$$

27) [T]$$y'=3e^{t/3}−2y$$

28) [T]$$xy'+\dfrac{y}{2}=\sin(3t)$$

Contestar
$$y=\dfrac{C}{\sqrt{x}}+2\sin(3t)$$

29) [T]$$xy'=2\dfrac{\cos x}{x}−3y$$

30) [T]$$(x+1)y'=3y+x^2+2x+1$$

Contestar
$$y=C(x+1)^3−x^2−2x−1$$

31) [T]$$\sin(x)y'+\cos(x)y=2x$$

32) [T]$$\sqrt{x^2+1}y'=y+2$$

Contestar
$$y=Ce^{\sinh^{−1}x}−2$$

33) [T]$$x^3y'+2x^2y=x+1$$

En los ejercicios 34 - 43, resolver cada problema de valor inicial mediante el uso de factores integradores.

34)$$y'+y=x,\quad y(0)=3$$

Contestar
$$y=x+4e^x−1$$

35)$$y'=y+2x^2,\quad y(0)=0$$

36)$$xy'=y−3x^3,\quad y(1)=0$$

Contestar
$$y=−\dfrac{3x}{2}(x^2−1)$$

37)$$x^2y'=xy−\ln x,\quad y(1)=1$$

38)$$(1+x^2)y'=y−1,\quad y(0)=0$$

Contestar
$$y=1−e^{\tan^{−1}x}$$

39)$$xy'=y+2x\ln x,\quad y(1)=5$$

40)$$(2+x)y'=y+2+x,\quad y(0)=0$$

Contestar
$$y=(x+2)\ln\left(\dfrac{x+2}{2}\right)$$

41)$$y'=xy+2xe^x,\quad y(0)=2$$

42)$$\sqrt{x}y'=y+2x,\quad y(0)=1$$

Contestar
$$y=2e^{2\sqrt{x}}−2x−2\sqrt{x}−1$$

43)$$y'=2y+xe^x,\quad y(0)=−1$$

44) Un objeto de masa que cae$$m$$ puede alcanzar velocidad terminal cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con constante de proporcionalidad$$k.$$ Configurar la ecuación diferencial y resolver para la velocidad dada una velocidad inicial de$$0.$$

Contestar
$$v(t) = \dfrac{gm}{k}\left( 1 - e^{-kt/m} \right)$$

45) Usando su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Pista: Examinar el comportamiento limitante; ¿la velocidad se acerca a un valor?)

46) [T] Usando su ecuación para velocidad terminal, resuelva para la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer$$5000$$ metros si la masa es$$100$$ kilogramos, la aceleración por gravedad es$$9.8$$ m/s 2 y la constante de proporcionalidad es$$4$$?

Contestar
$$40.451$$segundos

47) Una manera más precisa de describir la velocidad terminal es que la fuerza de arrastre sea proporcional al cuadrado de velocidad, con una constante de proporcionalidad$$k$$. Establecer la ecuación diferencial y resolver para la velocidad.

48) Usando su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Pista: Examinar el comportamiento limitante: ¿La velocidad se acerca a un valor?)

Contestar
$$\sqrt{\dfrac{gm}{k}}$$

49) [T] Usando su ecuación para velocidad terminal, resuelva para la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer$$5000$$ metros si la masa es$$100$$ kilogramos, la aceleración por gravedad es$$9.8$$ m/s 2 y la constante de proporcionalidad es$$4$$? ¿Lleva más o menos tiempo que tu estimación inicial?

En los ejercicios 50 - 54, determinar cómo$$a$$ afecta el parámetro a la solución.

50) Resolver la ecuación genérica$$y'=ax+y$$. ¿Cómo$$a$$ cambia la variación el comportamiento?

Contestar
$$y=Ce^x−a(x+1)$$

51) Resolver la ecuación genérica$$y'=ax+y.$$ ¿Cómo$$a$$ cambia la variación el comportamiento?

52) Resolver la ecuación genérica$$y'=ax+xy$$. ¿Cómo$$a$$ cambia la variación el comportamiento?

Contestar
$$y=Ce^{x^2/2}−a$$

53) Resolver la ecuación genérica$$y'=x+axy.$$ ¿Cómo$$a$$ cambia la variación el comportamiento?

54) Resolver$$y'−y=e^{kt}$$ con la condición inicial$$y(0)=0$$. A medida que$$k$$ se aproxima$$1$$, ¿qué pasa con tu fórmula?

Contestar
$$y=\dfrac{e^{kt}−e^t}{k−1}$$

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