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LibreTexts Español

8.5E: Ejercicios para la Sección 8.5

  • Page ID
    116267
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En los ejercicios 1 - 5, ¿declarar si cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales es lineal? Explica tu razonamiento.

    1)\(\dfrac{dy}{dx}=x^2y+\sin x\)

    2)\(\dfrac{dy}{dt}=ty\)

    Contestar
    \(Yes\)

    3)\(\dfrac{dy}{dt}+y^2=x\)

    4)\(y'=x^3+e^x\)

    Contestar
    \(Yes\)

    5)\(y'=y+e^y\)

    En los ejercicios 6 - 10, escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar.

    6)\(y'=x^3y+\sin x\)

    Contestar
    \(y'−x^3y=\sin x\)

    7)\(y'+3y−\ln x=0\)

    8)\(−xy'=(3x+2)y+xe^x\)

    Contestar
    \(y'+\frac{(3x+2)}{x}y=−e^x\)

    9)\(\dfrac{dy}{dt}=4y+ty+\tan t\)

    10)\(\dfrac{dy}{dt}=yx(x+1)\)

    Contestar
    \(\dfrac{dy}{dt}−yx(x+1)=0\)

    En los ejercicios 11 a 15, se indican los factores integradores para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

    11)\(y'=xy+3\)

    12)\(y'+e^xy=\sin x\)

    Contestar
    \(e^x\)

    13)\(y'=x\ln(x)y+3x\)

    14)\(\dfrac{dy}{dx}=\tanh(x)y+1\)

    Contestar
    \(−\ln(\cosh x)\)

    15)\(\dfrac{dy}{dt}+3ty=e^ty\)

    En los ejercicios 16 - 25, resuelve cada ecuación diferencial mediante el uso de factores integradores.

    16)\(y'=3y+2\)

    Contestar
    \(y=Ce^{3x}−\frac{2}{3}\)

    17)\(y'=2y−x^2\)

    18)\(xy'=3y−6x^2\)

    Contestar
    \(y=Cx^3+6x^2\)

    19)\((x+2)y'=3x+y\)

    20)\(y'=3x+xy\)

    Contestar
    \(y=Ce^{x^2/2}−3\)

    21)\(xy'=x+y\)

    22)\(\sin(x)y'=y+2x\)

    Contestar
    \(y=C\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)−2x+4\tan\left(\dfrac{x}{2})\ln\left(\sin(\dfrac{x}{2}\right)\right)\)

    23)\(y'=y+e^x\)

    24)\(xy'=3y+x^2\)

    Contestar
    \(y=Cx^3−x^2\)

    25)\(y'+\ln x=\dfrac{y}{x}\)

    En los ejercicios 26 - 33, resolver la ecuación diferencial dada. Usa tu calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Existen ciertas condiciones iniciales que cambien el comportamiento de la solución?

    26) [T]\((x+2)y'=2y−1\)

    Contestar
    \(y=C(x+2)^2+\frac{1}{2}\)

    27) [T]\(y'=3e^{t/3}−2y\)

    28) [T]\(xy'+\dfrac{y}{2}=\sin(3t)\)

    Contestar
    \(y=\dfrac{C}{\sqrt{x}}+2\sin(3t)\)

    29) [T]\(xy'=2\dfrac{\cos x}{x}−3y\)

    30) [T]\((x+1)y'=3y+x^2+2x+1\)

    Contestar
    \(y=C(x+1)^3−x^2−2x−1\)

    31) [T]\(\sin(x)y'+\cos(x)y=2x\)

    32) [T]\(\sqrt{x^2+1}y'=y+2\)

    Contestar
    \(y=Ce^{\sinh^{−1}x}−2\)

    33) [T]\(x^3y'+2x^2y=x+1\)

    En los ejercicios 34 - 43, resolver cada problema de valor inicial mediante el uso de factores integradores.

    34)\(y'+y=x,\quad y(0)=3\)

    Contestar
    \(y=x+4e^x−1\)

    35)\(y'=y+2x^2,\quad y(0)=0\)

    36)\(xy'=y−3x^3,\quad y(1)=0\)

    Contestar
    \(y=−\dfrac{3x}{2}(x^2−1)\)

    37)\(x^2y'=xy−\ln x,\quad y(1)=1\)

    38)\((1+x^2)y'=y−1,\quad y(0)=0\)

    Contestar
    \(y=1−e^{\tan^{−1}x}\)

    39)\(xy'=y+2x\ln x,\quad y(1)=5\)

    40)\((2+x)y'=y+2+x,\quad y(0)=0\)

    Contestar
    \(y=(x+2)\ln\left(\dfrac{x+2}{2}\right)\)

    41)\(y'=xy+2xe^x,\quad y(0)=2\)

    42)\(\sqrt{x}y'=y+2x,\quad y(0)=1\)

    Contestar
    \(y=2e^{2\sqrt{x}}−2x−2\sqrt{x}−1\)

    43)\(y'=2y+xe^x,\quad y(0)=−1\)

    44) Un objeto de masa que cae\(m\) puede alcanzar velocidad terminal cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con constante de proporcionalidad\(k.\) Configurar la ecuación diferencial y resolver para la velocidad dada una velocidad inicial de\(0.\)

    Contestar
    \(v(t) = \dfrac{gm}{k}\left( 1 - e^{-kt/m} \right)\)

    45) Usando su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Pista: Examinar el comportamiento limitante; ¿la velocidad se acerca a un valor?)

    46) [T] Usando su ecuación para velocidad terminal, resuelva para la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer\(5000\) metros si la masa es\(100\) kilogramos, la aceleración por gravedad es\(9.8\) m/s 2 y la constante de proporcionalidad es\(4\)?

    Contestar
    \(40.451\)segundos

    47) Una manera más precisa de describir la velocidad terminal es que la fuerza de arrastre sea proporcional al cuadrado de velocidad, con una constante de proporcionalidad\(k\). Establecer la ecuación diferencial y resolver para la velocidad.

    48) Usando su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Pista: Examinar el comportamiento limitante: ¿La velocidad se acerca a un valor?)

    Contestar
    \(\sqrt{\dfrac{gm}{k}}\)

    49) [T] Usando su ecuación para velocidad terminal, resuelva para la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer\(5000\) metros si la masa es\(100\) kilogramos, la aceleración por gravedad es\(9.8\) m/s 2 y la constante de proporcionalidad es\(4\)? ¿Lleva más o menos tiempo que tu estimación inicial?

    En los ejercicios 50 - 54, determinar cómo\(a\) afecta el parámetro a la solución.

    50) Resolver la ecuación genérica\(y'=ax+y\). ¿Cómo\(a\) cambia la variación el comportamiento?

    Contestar
    \(y=Ce^x−a(x+1)\)

    51) Resolver la ecuación genérica\(y'=ax+y.\) ¿Cómo\(a\) cambia la variación el comportamiento?

    52) Resolver la ecuación genérica\(y'=ax+xy\). ¿Cómo\(a\) cambia la variación el comportamiento?

    Contestar
    \(y=Ce^{x^2/2}−a\)

    53) Resolver la ecuación genérica\(y'=x+axy.\) ¿Cómo\(a\) cambia la variación el comportamiento?

    54) Resolver\(y'−y=e^{kt}\) con la condición inicial\(y(0)=0\). A medida que\(k\) se aproxima\(1\), ¿qué pasa con tu fórmula?

    Contestar
    \(y=\dfrac{e^{kt}−e^t}{k−1}\)

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