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# 8.6: Capítulo 8 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) La ecuación diferencial$$y'=3x^2y−\cos(x)y''$$ es lineal.

2) La ecuación diferencial$$y'=x−y$$ es separable.

Contestar
$$F$$

3) Se pueden resolver explícitamente todas las ecuaciones diferenciales de primer orden por separación o por el método de integración de factores.

4) Se puede determinar el comportamiento de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando campos direccionales o el método de Euler.

Contestar
$$T$$

Para los siguientes problemas, encuentre la solución general a las ecuaciones diferenciales.

5)$$y′=x^2+3e^x−2x$$

6)$$y'=2^x+\cos^{−1}x$$

Contestar
$$y(x)=\frac{2^x}{ln(2)}+xcos^{−1}x−\sqrt{1−x^2}+C$$

7)$$y'=y(x^2+1)$$

8)$$y'=e^{−y}\sin x$$

Contestar
$$y(x)=\ln(C−\cos x)$$

9)$$y'=3x−2y$$

10)$$y'=y\ln y$$

Contestar
$$y(x)=e^{e^{C+x}}$$

Para los siguientes problemas, encuentre la solución al problema de valor inicial.

11)$$y'=8x−\ln x−3x^4, \quad y(1)=5$$

12)$$y'=3x−\cos x+2, \quad y(0)=4$$

Contestar
$$y(x)=4+\frac{3}{2}x^2+2x−\sin x$$

13)$$xy'=y(x−2), \quad y(1)=3$$

14)$$y'=3y^2(x+\cos x), \quad y(0)=−2$$

Contestar
$$y(x)=−\dfrac{2}{1+3(x^2+2\sin x)}$$

15)$$(x−1)y'=y−2, \quad y(0)=0$$

16)$$y'=3y−x+6x^2, \quad y(0)=−1$$

Contestar
$$y(x)=−2x^2−2x−\frac{1}{3}−\frac{2}{3}e^{3x}$$

Para los siguientes problemas, dibuje el campo direccional asociado a la ecuación diferencial, luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuje una solución de muestra en el campo direccional.

17)$$y'=2y−y^2$$

18)$$y'=\dfrac{1}{x}+\ln x−y,$$ para$$x>0$$

Contestar

$$y(x)=Ce^{−x}+\ln x$$

Para los siguientes problemas, use el Método de Euler con$$n=5$$ pasos sobre el intervalo$$t=[0,1].$$ Luego resuelva exactamente el problema del valor inicial. ¿Qué tan cerca está tu estimación del Método de Euler?

19)$$y'=−4yx, \quad y(0)=1$$

20)$$y'=3^x−2y, \quad y(0)=0$$

Contestar
Euler:$$0.6939$$, Solución
exacta:$$y(x)=\dfrac{3^x−e^{−2x}}{2+\ln(3)}$$

Para los siguientes problemas, configurar y resolver las ecuaciones diferenciales.

21) Un automóvil circula por una autopista, acelerando según$$a=5\sin(πt),$$ donde$$t$$ representa el tiempo en minutos. Encuentra la velocidad en cualquier momento$$t$$, asumiendo que el auto arranca con una velocidad inicial de$$60$$ mph.

22) Lanza una bola de$$2$$ kilogramos de masa al aire con una velocidad ascendente de$$8$$ m/s Encuentra exactamente el tiempo en que la pelota permanecerá en el aire, asumiendo que la gravedad viene dada por$$g=9.8\,\text{m/s}^2$$.

Contestar
$$\frac{40}{49}$$segundo

23) Se cae una pelota con una masa de$$5$$ kilogramos por la ventana de un avión a una altura de$$5000$$ m. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

24) Se cae la misma bola de$$5$$ kilogramos de masa fuera de la misma ventana del avión a la misma altura, excepto que esta vez asumes una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad de la pelota, utilizando una constante de proporcionalidad de$$3$$ y la bola alcanza la velocidad terminal. Resuelve por la distancia caída en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

Contestar
$$x(t)=5000+\frac{245}{9}−\frac{49}{3}t−\frac{245}{9}e^{−5/3t}, \quad t=307.8$$segundos

25) Un medicamento se administra a un paciente cada$$24$$ hora y se limpia a una velocidad proporcional a la cantidad de fármaco que queda en el cuerpo, con proporcionalidad constante$$0.2$$. Si el paciente necesita un nivel basal de$$5$$ mg para estar en el torrente sanguíneo en todo momento, ¿qué tan grande debe ser la dosis?

26) Un tanque$$1000$$ de litro contiene agua pura y una solución de$$0.2$$ kg de sal/L se bombea al tanque a una velocidad de$$1$$ L/min y se drena a la misma velocidad. Resuelve la cantidad total de sal en el tanque a la vez$$t$$.

Contestar
$$T(t)=200\left(1−e^{−t/1000}\right)$$

27) Hervir agua para hacer el té. Cuando viertes el agua en tu tetera, la temperatura es$$100°C.$$ Después de$$5$$ minutos en tu$$15°C$$ habitación, la temperatura del té es$$85°C$$. Resolver la ecuación para determinar las temperaturas del té a la vez$$t$$. ¿Cuánto tiempo debes esperar hasta que el té esté a una temperatura bebible ($$72°C$$)?

28) La población humana (en miles) de Nevada en$$1950$$ era aproximadamente$$160$$. Si la capacidad de carga se estima en$$10$$ millones de individuos, y asumiendo una$$2\%$$ tasa de crecimiento anual, desarrollar un modelo de crecimiento logístico y resolver para la población de Nevada en cualquier momento (usar$$1950$$ como tiempo = 0). ¿Para qué población predice tu modelo$$2000$$? ¿Qué tan cerca está su predicción del verdadero valor de$$1,998,257$$?

Contestar
$$P(t)=\dfrac{1600000e^{0.02t}}{9840+160e^{0.02t}}$$

29) Repetir el problema anterior pero utilizar el modelo de crecimiento Gompertz. ¿Cuál es más exacto?

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