Saltar al contenido principal

# 9.2E: Ejercicios para la Sección 9.2

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, usa la notación sigma para escribir cada expresión como una serie infinita.

1)$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$$

2)$$1−1+1−1+⋯$$

3)$$1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}+...$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n−1}}{n}$$

4)$$\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+⋯$$

En los ejercicios 5 a 8, computar las cuatro primeras sumas parciales$$S_1,…,S_4$$ para la serie teniendo$$n^{\text{th}}$$ término$$a_n$$ comenzando con la$$n=1$$ siguiente manera.

5)$$a_n=n$$

Contestar
$$1,3,6,10$$

6)$$a_n=1/n$$

7)$$a_n=\sin \frac{nπ}{2}$$

Contestar
$$1,1,0,0$$

8)$$a_n=(−1)^n$$

En los ejercicios 9 - 12, computar el término general$$a_n$$ de la serie con la suma parcial dada$$S_n$$. Si la secuencia de sumas parciales converge, encuentra su límite$$S$$.

9)$$S_n=1−\frac{1}{n}, \quad n≥2$$

Contestar
$$a_n=S_n−S_{n−1}=\dfrac{1}{n−1}−\dfrac{1}{n}.$$Dado que$$\displaystyle S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left(1−\frac{1}{n}\right) = 1,$$ la serie converge a$$S=1.$$

10)$$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}, \quad n≥1$$

11)$$S_n=\sqrt{n},\quad n≥2$$

Contestar
$$a_n=S_n−S_{n−1}=\sqrt{n}−\sqrt{n−1}=\dfrac{1}{\sqrt{n−1}+\sqrt{n}}.$$
La serie diverge porque las sumas parciales no tienen límites.
Es decir,$$\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} = \infty.$$

12)$$S_n=2−\dfrac{n+2}{2^n},\quad n≥1$$

Para cada serie en los ejercicios 13 - 16, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

13)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{n+2}$$

Contestar
$$S_1=1/3,$$
$$S_2=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$$
$$S_3=1/3+2/4+3/5>3⋅(1/3)=1.$$
En general$$S_k>k/3,$$ así la serie diverge.
Tenga en cuenta que la Prueba de$$n^{\text{th}}$$ Término para Divergencia también podría utilizarse para probar que esta serie diverge.

14)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(1−(−1)^n))$$

15)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$$$\quad\Big($$ Pista: Utilice una descomposición parcial de la fracción así para$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}.\Big)$$

Contestar

$$S_1=1/(2\cdot 3)=1/6=2/3−1/2,$$

$$S_2=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)=2/12+1/12=1/4=3/4−1/2,$$

$$S_3=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)+1/(4\cdot 5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5−1/2,$$

$$S_4=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)+1/(4\cdot 5)+1/(5\cdot 6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6−1/2.$$

El patrón es$$S_k=\dfrac{k+1}{k+2}−\dfrac{1}{2}.$$
Entonces$$\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left( \dfrac{k+1}{k+2}−\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2},$$ así la serie converge a$$1/2.$$

16)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{2n+1}$$$$\quad\Big($$ Pista: Siga el razonamiento para$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}.\Big)$$

Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=1$$, eso$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n=−1$$, aquello$$a_1=2$$, y$$b_1=−3$$. Utiliza esta información para encontrar la suma de las series indicadas en los ejercicios 17 - 20.

17)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) \quad = \quad \sum_{n=1}^∞ a_n + \sum_{n=1}^∞ b_n \quad = \quad 1 + (-1) \quad = \quad 0$$

18)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n−2b_n)$$

19)$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞(a_n−b_n)$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞(a_n−b_n) \quad = \quad \sum_{n=2}^∞ a_n - \sum_{n=2}^∞ b_n \quad = \quad \left(\sum_{n=1}^∞ a_n - a_1\right) - \left(\sum_{n=1}^∞ b_n -b_1\right) \quad = \quad (1 - 2) - (-1 - (-3)) = -1 - 2 \quad = \quad -3$$

20)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(3a_{n+1}−4b_{n+1})$$

En los ejercicios 21 - 26, indicar si la serie dada converge o diverge y explica por qué.

21)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n+1000}$$ (Pista: Reescribir usando un cambio de índice.)

Contestar
La serie diverge,$$\displaystyle \sum_{n=1001}^∞\frac{1}{n}$$

22)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n+10^{80}}$$ (Pista: Reescribir usando un cambio de índice.)

23)$$1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+⋯$$

Contestar
Se trata de una serie geométrica convergente, ya que$$r=\frac{1}{10}<1$$

24)$$1+\frac{e}{π}+\frac{e^2}{π^2}+\frac{e^3}{π^3}+⋯$$

25)$$1+\frac{π}{e^2}+\frac{π^2}{e^4}+\frac{π^3}{e^6}+\frac{π^4}{e^8}+⋯$$

Contestar
Se trata de una serie geométrica convergente, ya que$$r=π/e^2<1$$

26)$$1−\sqrt{\frac{π}{3}}+\sqrt{\frac{π^2}{9}}−\sqrt{\frac{π^3}{27}}+⋯$$

Para cada uno$$a_n$$ en los ejercicios 27 - 30, escribe su suma como una serie geométrica de la forma$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^n$$. Indicar si la serie converge y si lo hace, encuentra el valor exacto de su suma.

27)$$a_1=−1$$ y$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=−5$$ para$$n≥1.$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞5⋅(−1/5)^n$$, converge para$$−5/6$$

28)$$a_1=2$$ y$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1/2$$ para$$n≥1.$$

29)$$a_1=10$$ y$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=10$$ para$$n≥1$$.

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞100⋅(1/10)^n,$$converge para$$\frac{100}{9}$$

30)$$a_1=\frac{1}{10}$$ y$$a_n/a_{n+1}=−10$$ para$$n≥1$$.

En los ejercicios 31 - 34, utilizar la identidad$$\displaystyle \frac{1}{1−y}=\sum_{n=0}^∞y^n$$ (que es cierto para$$|y| < 1$$) para expresar cada función como una serie geométrica en el término indicado.

31)$$\dfrac{x}{1+x}$$ en$$x$$

Contestar
$$\displaystyle x\sum_{n=0}^∞(−x)^n=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}x^n$$

32)$$\dfrac{\sqrt{x}}{1−x^{3/2}}$$ en$$\sqrt{x}$$

33)$$\dfrac{1}{1+\sin^2x}$$ en$$\sin x$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^n\sin^{2n}(x)$$

34)$$\sec^2 x$$ en$$\sin x$$

En los ejercicios 35 - 38, evaluar la serie telescópica o indicar si la serie diverge.

35)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{1/n}−2^{1/(n+1)}$$

Contestar
$$S_k=2−2^{1/(k+1)}→1$$como$$k→∞.$$

36)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^{13}}−\frac{1}{(n+1)^{13}}$$

37)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\sqrt{n}−\sqrt{n+1})$$

Contestar
$$S_k=1−\sqrt{k+1}$$diverge

38)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\sin n−\sin(n+1))$$

Expresa cada serie en los ejercicios 39 - 42 como suma telescópica y evalúa su suma$$n^{\text{th}}$$ parcial.

39)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞[\ln n−\ln(n+1)],$$
$$S_k=−\ln(k+1)$$

40)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2n+1}{(n^2+n)^2}$$ (Pista: Factor denominador y usar fracciones parciales.)

41)$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{(\ln n)\ln(n+1)}$$

Contestar
$$a_n=\frac{1}{\ln n}−\frac{1}{\ln(n+1)}$$y$$S_k=\frac{1}{\ln(2)}−\frac{1}{\ln(k+1)}→\frac{1}{\ln(2)}$$

42)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+2)}{n(n+1)2^{n+1}}$$ (Pista: Mira$$1/(n2^n)$$.

Una serie telescópica general es aquella en la que todos menos los primeros términos se cancelan después de sumar un número dado de términos sucesivos.

43) Dejemos$$a_n=f(n)−2f(n+1)+f(n+2),$$ en que$$f(n)→0$$ como$$n→∞.$$ Find$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$.

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=f(1)−f(2)$$

44)$$a_n=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3),$$ en el que$$f(n)→0$$ como$$n→∞$$. Encuentra$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$.

45) Supongamos que$$a_n=c_0f(n)+c_1f(n+1)+c_2f(n+2)+c_3f(n+3)+c_4f(n+4),$$ donde$$f(n)→0$$ como$$n→∞$$. Encuentra una condición sobre los coeficientes$$c_0,…,c_4$$ que hacen de esta una serie telescópica general.

Contestar
$$c_0+c_1+c_2+c_3+c_4=0$$

46) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ (Pista:$$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}−\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)}$$)

47) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{2}{n^3−n}.$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{2}{n^3−1}=\frac{1}{n−1}−\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1},$$
$$S_n=(1−1+1/3)+(1/2−2/3+1/4) +(1/3−2/4+1/5)+(1/4−2/5+1/6)+⋯=1/2$$

48) Encuentra una fórmula para$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+N)}$$ donde$$N$$ es un entero positivo.

49) [T] Definir una secuencia$$\displaystyle t_k=\sum_{n=1}^{k−1}(1/k)−\ln k$$. Usa la gráfica de$$1/x$$ para verificar que$$t_k$$ va en aumento. Trazar$$t_k$$$$k=1…100$$ y declarar si parece que la secuencia converge.

Contestar

$$t_k$$converge a$$0.57721…t_k$$ es una suma de rectángulos de altura$$1/k$$ sobre el intervalo$$[k,k+1]$$ que se encuentran por encima de la gráfica de$$1/x$$.

50) [T] Supongamos que los bloques rectangulares uniformes$$N$$ iguales se apilan uno encima del otro, permitiendo algún voladizo. La ley de Arquímedes de la palanca implica que la pila de$$N$$ bloques es estable siempre y cuando el centro de masa de los$$(N−1)$$ bloques superiores se encuentre en el borde del bloque inferior. Dejar$$x$$ denotar la posición del borde del bloque inferior, y pensar en su posición como relativa al centro del bloque siguiente al fondo. Esto implica que$$(N−1)x=\left(\frac{1}{2}−x\right)$$ o$$x=1/(2N)$$. Utilice esta expresión para calcular el voladizo máximo (la posición del borde del bloque superior sobre el borde del bloque inferior). Consulte la siguiente figura.

Cada una de las siguientes series infinitas converge al múltiplo dado de$$π$$ o$$1/π$$.

En cada caso, encuentre el valor mínimo de$$N$$ tal que la suma$$Nth$$ parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo al número dado de decimales, y dé el valor aproximado deseado. Hasta$$15$$ decimales lugar,$$π=3.141592653589793....$$

51) [T]$$\displaystyle π=−3+\sum_{n=1}^∞\frac{n2^nn!^2}{(2n)!},$$ error$$<0.0001$$

Contestar
$$N=22,$$
$$S_N=6.1415$$

52) [T]$$\displaystyle \frac{π}{2}=\sum_{k=0}^∞\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^∞\frac{2^kk!^2}{(2k+1)!},$$ error$$<10^{−4}$$

53) [T]$$\displaystyle \frac{9801}{2π}=\frac{4}{9801}\sum_{k=0}^∞\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4396^{4k}},$$ error$$<10^{−12}$$

Contestar
$$N=3,$$
$$S_N=1.559877597243667...$$

54) [T]$$\displaystyle \frac{1}{12π}=\sum_{k=0}^∞\frac{(−1)^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^3640320^{3k+3/2}}$$, error$$<10^{−15}$$

55) [T] Una moneda justa es aquella que tiene probabilidad$$1/2$$ de subir de cabeza cuando se voltea.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda justa$$n$$ suene colas veces seguidas?

b. Encuentra la probabilidad de que una moneda aparezca de cabeza por primera vez después de un número par de volteos de monedas.

Contestar
a. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada dada de resultados para volteretas de$$n$$ monedas es$$1/2^n$$.
b. La probabilidad de subir de cabeza por primera vez en el$$n$$ th flip es la probabilidad de la secuencia$$TT…TH$$ que es$$1/2^n$$. La probabilidad de subir de cabeza por primera vez en un giro par es$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/2^{2n}$$ o$$1/3$$.

56) [T] Encuentra la probabilidad de que una moneda justa sea volteada un múltiplo de tres veces antes de llegar a la cabeza.

57) [T] Encuentra la probabilidad de que una moneda justa salga de cabeza por segunda vez después de un número par de volteretas.

Contestar
$$5/9$$

58) [T] Encuentra una serie que exprese la probabilidad de que una moneda justa salga de cabeza por segunda vez en un múltiplo de tres volteretas.

59) [T] El número esperado de veces que una moneda justa va a subir de cabeza se define como la suma$$n=1,2,…$$ de$$n$$ veces la probabilidad de que la moneda va a subir de cabeza exactamente$$n$$ veces en una fila, o$$\dfrac{n}{2^{n+1}}$$. Calcular el número esperado de veces consecutivas que una moneda justa va a subir de cabeza.

Contestar
$$\displaystyle E=\sum_{n=1}^∞\frac{n}{2^{n+1}}=1,$$como se puede mostrar usando la suma por partes

60) [T] Una persona deposita$$10$$ al inicio de cada trimestre en una cuenta bancaria que gana intereses$$4%$$ anuales compuestos trimestralmente (cuatro veces al año).

a. Demostrar que el interés acumulado después de$$n$$ trimestres es$$10(\frac{1.01^{n+1}−1}{0.01}−n).$$

b. Encuentra los primeros ocho términos de la secuencia.

c. ¿Cuánto interés se ha acumulado después de$$2$$ años?

61) [T] Supongamos que la cantidad de un medicamento en el sistema de un paciente disminuye en un factor multiplicativo$$r<1$$ cada hora. Supongamos que cada$$N$$ hora se administra una nueva dosis. Encontrar una expresión que dé la cantidad$$A(n)$$ en el sistema del paciente después de$$n$$ horas para cada uno$$n$$ en términos de la dosis$$d$$ y la relación$$r$$. (Pista: Escribe$$n=mN+k$$$$0≤k<N$$, dónde y suma los valores de las diferentes dosis administradas.)

Contestar
La parte de la primera dosis después de$$n$$ horas es$$dr^n$$, la parte de la segunda dosis es$$dr^{n−N}$$, y, en general, la parte restante de la$$m^{\text{th}}$$ dosis es$$dr^{n−mN}$$, entonces$$\displaystyle A(n)=\sum_{l=0}^mdr^{n−lN}=\sum_{l=0}^mdr^{k+(m−l)N}=\sum_{q=0}^mdr^{k+qN}=dr^k\sum_{q=0}^mr^{Nq}=dr^k\frac{1−r^{(m+1)N}}{1−r^N},\;\text{where}\,n=k+mN.$$

62) [T] Un determinado medicamento es efectivo para un paciente promedio solo si hay al menos$$1$$ mg por kg en el sistema del paciente, mientras que es seguro solo si hay como máximo$$2$$ mg por kg en el sistema de un paciente promedio. Supongamos que la cantidad en el sistema de un paciente disminuye por un factor multiplicativo de$$0.9$$ cada hora después de que se administra una dosis. Encontrar el intervalo máximo$$N$$ de horas entre dosis, y el rango de dosis correspondiente$$d$$ (en mg/kg) para esto$$N$$ que permita que el uso del medicamento sea seguro y efectivo a largo plazo.

63) Supongamos que$$a_n≥0$$ es una secuencia de números. Explicar por qué la secuencia de sumas parciales de$$a_n$$ está aumentando.

Contestar
$$S_{N+1}=a_{N+1}+S_N≥S_N$$

64) [T] Supongamos que$$a_n$$ es una secuencia de números positivos y la secuencia$$S_n$$ de sumas parciales de$$a_n$$ está delimitada arriba. Explique por qué$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converge. ¿La conclusión sigue siendo cierta si eliminamos la hipótesis$$a_n≥0$$?

65) [T] Supongamos que$$a_1=S_1=1$$ y aquello, para números dados$$S>1$$ y$$0<k<1$$, uno define$$a_{n+1}=k(S−S_n)$$ y$$S_{n+1}=a_{n+1}+S_n$$. ¿$$S_n$$Converge? Si es así, ¿a qué? (Pista: Primero argumentan que$$S_n<S$$ para todos$$n$$ y$$S_n$$ va en aumento.)

Contestar
Desde$$S>1, a_2>0,$$ y desde$$k<1, S_2=1+a_2<1+(S−1)=S$$. Si$$S_n>S$$ para algunos$$n$$, entonces hay un más pequeño$$n$$. Por esto$$n, S>S_{n−1}$$, entonces$$S_n=S_{n−1}+k(S−S_{n−1})=kS+(1−k)S_{n−1}<S$$, una contradicción. Así$$S_n<S$$ y$$a_{n+1}>0$$ para todos$$n$$, así$$S_n$$ es cada vez mayor y acotado por$$S$$. Vamos$$\displaystyle S_∗=\lim S_n$$. Si$$S_∗<S$$, entonces$$δ=k(S−S_∗)>0$$, pero podemos encontrar n tal que$$S_∗−S_n<δ/2$$, lo que implica eso$$S_{n+1}=S_n+k(S−S_n) >S_∗+δ/2$$, contradiciendo que Sn va aumentando a$$S_∗$$. Por lo tanto$$S_n→S.$$

66) [T] Se puede utilizar una versión del crecimiento de von Bertalanffy para estimar la edad de un individuo en una especie homogénea a partir de su longitud si el incremento anual en el año$$n+1$$ satisface$$a_{n+1}=k(S−S_n)$$, con$$S_n$$ como longitud al año$$n, S$$ como longitud limitante, y$$k$$ como constante de crecimiento relativo. Si$$S_1=3, S=9,$$ y estimar$$k=1/2,$$ numéricamente el valor más pequeño de n tal que$$S_n≥8$$. Tenga en cuenta que$$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}.$$ Encuentre el correspondiente$$n$$ cuando$$k=1/4.$$

67) [T] Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ se trata de una serie convergente de términos positivos. Explicar por qué$$\displaystyle \lim_{N→∞}\sum_{n=N+1}^∞a_n=0.$$

Contestar
Dejar$$\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n$$ y$$S_k→L$$. Luego$$S_k$$ eventualmente se vuelve arbitrariamente cerca de$$L$$, lo que significa que$$\displaystyle L−S_N=\sum_{n=N+1}^∞a_n$$ se vuelve arbitrariamente pequeño como$$N→∞.$$

68) [T] Encuentra la longitud de la trayectoria en zig-zag discontinua en la siguiente figura.

69) [T] Encuentra la longitud total de la ruta discontinua en la siguiente figura.

Contestar
$$\displaystyle L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^∞\frac{1}{2^n}=\frac{3}{2}$$.

70) [T] El triángulo Sierpinski se obtiene a partir de un triángulo eliminando el cuarto medio como se indica en el primer paso, eliminando los cuartos medios de los tres triángulos congruentes restantes en el segundo paso, y en general eliminando los cuartos medios de los triángulos restantes en cada paso sucesivo. Suponiendo que el triángulo original se muestra en la figura, encuentra las áreas de las partes restantes del triángulo original después de$$N$$ los pasos y encuentra la longitud total de todos los triángulos límite después de$$N$$ los pasos.

71) [T] La junta Sierpinski se obtiene dividiendo el cuadrado unitario en nueve subcuadrados iguales, quitando el cuadrado medio, luego haciendo lo mismo en cada etapa a los subcuadrados restantes. La figura muestra el conjunto restante después de cuatro iteraciones. Calcule el área total eliminada después de$$N$$ las etapas y calcule la longitud del perímetro total del conjunto restante después de$$N$$ las etapas.

Contestar
En la etapa uno se elimina un cuadrado de área$$1/9$$, en la etapa$$2$$ uno se eliminan$$8$$ cuadrados de área$$1/9^2$$, en la etapa tres se eliminan los$$8^2$$ cuadrados de área$$1/9^3$$, y así sucesivamente. El área total eliminada después de$$N$$ etapas es$$\displaystyle \sum_{n=0}^{N−1}\frac{8^N}{9^{N+1}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1−(8/9)^N}{1−8/9}→1$$ como$$N→∞.$$ El perímetro total es$$\displaystyle 4+4\sum_{n=0}^∞\frac{8^N}{3^{N+1}}→∞.$$

This page titled 9.2E: Ejercicios para la Sección 9.2 is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang (OpenStax) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.