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# 9.4E: Ejercicios para la Sección 9.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Utilice la Prueba de Comparación para determinar si cada serie en los ejercicios 1 - 13 converge o diverge.

1)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ donde$$a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}$$

2)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ donde$$a_n=\dfrac{1}{n(n+1/2)}$$

Contestar
Converge en comparación con$$\dfrac{1}{n^2}$$.

3)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2(n+1)}$$

4)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1}$$

Contestar
Diverge en comparación con series armónicas, ya que$$2n−1≥n.$$

5)$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(n\ln n)^2}$$

6)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n!}{(n+2)!}$$

Contestar
$$a_n=1/(n+1)(n+2)<1/n^2.$$Converge en comparación con$$p$$ -series,$$p=2>1$$.

7)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n!}$$

8)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin(1/n)}{n}$$

Contestar
$$\sin(1/n)≤1/n,$$así converge en comparación con$$p$$ -series,$$p=2>1$$.

9)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin^2n}{n^2}$$

10)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}}$$

Contestar
$$\sin(1/n)≤1,$$así converge en comparación con$$p$$ -series,$$p=3/2>1.$$

11)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^{1.2}−1}{n^{2.3}+1}$$

12)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt{n+1}−\sqrt{n}}{n}$$

Contestar
Dado que la$$\sqrt{n+1}−\sqrt{n}=1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})≤2/\sqrt{n},$$ serie converge en comparación con$$p$$ -series para$$p=1.5>1$$.

13)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^4+n^2}}$$

Utilice la Prueba de Comparación de Límite para determinar si cada serie en los ejercicios 14 - 28 converge o diverge.

14)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$p$$ -series para$$p>1$$.

15)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n^{0.6}}\right)^2$$

16)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$p$$ -series,$$p=2>1.$$

17)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$$

18)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{4^n−3^n}$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$4^{−n}$$.

19)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2−n\sin n}$$

20)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.1)n}−3^n}$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$1/e^{1.1n}$$.

21)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.01)n}−3^n}$$

22)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^{1+1/n}}$$

Contestar
Diverge por comparación límite con series armónicas.

23)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2^{1+1/n}}{n^{1+1/n}}$$

24)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{n}−\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$p$$ -series,$$p=3>1$$.

25)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)$$

26)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}\left(\tan^{−1}n−\frac{π}{2}\right)$$

Contestar
Converge por comparación límite con$$p$$ -series,$$p=3>1$$.

27)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n.n}$$ (Pista:$$\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^n→1/e.$$)

28)$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−e^{−1/n}\right)$$ (Pista:$$1/e≈(1−1/n)^n,$$ so$$1−e^{−1/n}≈1/n.$$)

Contestar
Diverge por comparación límite con$$1/n$$.

29) ¿$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(\ln n)^p}$$Converge si$$p$$ es lo suficientemente grande? Si es así, para lo cual$$p?$$

30) ¿$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^p$$Converge si$$p$$ es lo suficientemente grande? Si es así, para lo cual$$p?$$

Contestar
Converge para$$p>1$$ compararlo con una$$p$$ serie para un poco más pequeños$$p$$.

31) ¿Para$$p$$ qué$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}2^{pn}/3^n$$ converge la serie?

32) ¿Para$$p>0$$ qué$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{2^n}$$ converge la serie?

Contestar
Converge para todos$$p>0$$.

33) ¿Para$$r>0$$ qué$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{r^{n^2}}{2^n}$$ converge la serie?

34) ¿Para$$r>0$$ qué$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{r^{n^2}}$$ converge la serie?

Contestar
Converge para todos$$r>1$$. Si$$r>1$$ entonces$$r^n>4$$, digamos, de una vez$$n>\ln(2)/\ln(r)$$ y entonces la serie converge por comparación límite con una serie geométrica con relación$$1/2$$.

35) Encontrar todos los valores de$$p$$ y$$q$$ tal que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{(n!)^q}$$ converja.

36) ¿$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin^2(nr/2)}{n}$$Converge o diverge? Explique.

Contestar
El numerador es igual a$$1$$ cuando$$n$$ es impar y$$0$$ cuando$$n$$ es par, por lo que la serie puede ser reescrita la$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n+1},$$ cual diverge por comparación límite con la serie armónica.

37) Explicar por qué, para cada uno$$n$$, al menos uno de$${|\sin n|,|\sin(n+1)|,...,|\sin(n+6)|}$$ es mayor que$$1/2$$. Utilice esta relación para probar la convergencia de$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}$$.

38) Supongamos que$$a_n≥0$$$$b_n≥0$$ y y eso$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n$$ y$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b^2_n$$ convergen. Demostrar que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n$$ converge y$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n≤\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^∞a^2_n+\sum_{n=1}^∞b^2_n\right)$$.

Contestar
$$(a−b)^2=a^2−2ab+b^2$$o$$a^2+b^2≥2ab$$, así la convergencia se desprende de la comparación de$$2a_nb_n$$ con$$a^2_n+b^2_n.$$ Dado que las sumas parciales de la izquierda están delimitadas por las de la derecha, la desigualdad se mantiene para la serie infinita.

39) ¿$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln\ln n}$$Converge? (Pista: Escribir$$2^{\ln\ln n}$$ como un poder de$$\ln n$$.)

40) ¿$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\ln n)^{−\ln n}$$Converge? (Pista: Se usa$$t=e^{\ln(t)}$$ para comparar con una$$p$$ serie −.)

Contestar
$$(\ln n)^{−\ln n}=e^{−\ln(n)\ln\ln(n)}.$$Si$$n$$ es suficientemente grande, entonces$$\ln\ln n>2,$$ así$$(\ln n)^{−\ln n}<1/n^2$$, y la serie converge en comparación con una$$p$$ serie −.

41) ¿$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞(\ln n)^{−\ln\ln n}$$Converge? (Pista: Comparar$$a_n$$ con$$1/n$$.)

42) Demostrar que si$$a_n≥0$$ y$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n$$ converge. Si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n$$ converge, ¿converge$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ necesariamente?

Contestar
$$a_n→0,$$así que$$a^2_n≤|a_n|$$ para grandes$$n$$. La convergencia se desprende de la comparación de límites. $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$$converge, pero no lo$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$$ hace, por lo que el hecho de que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n$$ converja no implica que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converja.

43) Supongamos que$$a_n>0$$ para todos$$n$$ y eso$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converge. Supongamos que$$b_n$$ es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿Converge$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n$$ necesariamente?

44) Supongamos que$$a_n>0$$ para todos$$n$$ y eso$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ diverge. Supongamos que$$b_n$$ es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitamente muchos términos iguales a uno. ¿$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n$$necesariamente diverge?

Contestar

No. $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n$$diverge. Dejemos$$b_k=0$$ a menos que$$k=n^2$$ para algunos$$n$$. Entonces$$\displaystyle \sum_kb_k/k=\sum1/k^2$$ converge.

45) Completar los detalles del siguiente argumento: Si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$$ converge a una suma finita$$s$$, entonces$$\dfrac{1}{2}s=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+⋯$$ y$$s−\dfrac{1}{2}s=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯.$$ ¿Por qué esto lleva a una contradicción?

46) Demostrar que si$$a_n≥0$$ y$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin^2(a_n)$$ converge.

Contestar
$$|\sin t|≤|t|,$$por lo que el resultado se desprende de la prueba de comparación.

47) Supongamos que$$a_n/b_n→0$$ en la prueba de comparación, dónde$$a_n≥0$$ y$$b_n≥0$$. Demostrar que si$$\displaystyle \sum b_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum a_n$$ converge.

48) Dejar$$b_n$$ ser una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de$$\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n$$?

Contestar
Por la prueba de comparación,$$\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n≤\sum_{n=1}^∞1/2^n=1.$$

49) Dejar$$d_n$$ ser una secuencia infinita de dígitos, significado$$d_n$$ toma valores en$$\{0,1,…,9\}$$. ¿Cuál es el mayor valor posible de$$\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞d_n/10^n$$ que converja?

50) Explique por qué, si$$x>1/2,$$ entonces$$x$$ no se puede escribir$$\displaystyle x=\sum_{n=2}^∞\frac{b_n}{2^n}\quad (b_n=0\;\text{or}\;1,\;b_1=0).$$

Contestar
Si$$b_1=0,$$ entonces, por comparación,$$\displaystyle x≤\sum_{n=2}^∞1/2^n=1/2.$$

51) [T] Evelyn tiene una báscula de equilibrio perfecta, un número ilimitado de pesos$$1$$ -kg, y uno de cada uno de$$1/2$$ -kg,$$1/4$$ -kg,$$1/8$$ -kg, y así sucesivamente pesos. Ella desea pesar un meteorito de origen no especificado con precisión arbitraria. Asumiendo que la escala es lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

52) [T] Robert quiere conocer su masa corporal con precisión arbitraria. Tiene una gran balanza que funciona perfectamente, una colección ilimitada de pesos$$1$$ -kg, y nueve pesos cada uno de$$0.1$$ -kg,$$0.01$$ -kg,$$0.001$$ -kg, y así sucesivamente pesos. Asumiendo que la escala es lo suficientemente grande, ¿puede hacer esto? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

Contestar
Sí. Sigue agregando pesos de$$1$$ -kg hasta que la balanza se inclina hacia un lado con los pesos. Si se equilibra perfectamente, con Robert parado del otro lado, detente. De lo contrario, retire uno de los pesos$$1$$ -kg y agregue pesos$$0.1$$ -kg uno a la vez. Si se equilibra después de agregar algunos de estos, deténgase. De lo contrario si se inclina a los pesos, retire el último$$0.1$$ -kg de peso. Comienza a agregar pesos de$$0.01$$ -kg. Si se equilibra, detente. Si se inclina hacia un lado con los pesos, retire el último$$0.01$$ -kg de peso que se agregó. Continuar de esta manera para los pesos$$0.001$$ -kg, y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, uno tiene una serie finita de la forma$$\displaystyle A+\sum_{n=1}^Ns_n/10^n$$ donde$$A$$ está el número de pesos de kg completos y$$d_n$$ es el número de pesos$$1/10^n$$ -kg que se agregaron. Si en algún estado esta serie es el peso exacto de Robert, el proceso se detendrá. De lo contrario representa la suma$$N^{\text{th}}$$ parcial de una serie infinita que da el peso exacto de Robert, y el error de esta suma es como mucho$$1/10^N$$.

53) La serie$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{2n}$$ es la mitad de la serie armónica y por lo tanto diverge. Se obtiene de la serie armónica eliminando todos los términos en los que$$n$$ es impar. Dejar que$$m>1$$ se arregle. Mostrar, de manera más general, que eliminar todos los términos$$1/n$$ donde$$n=mk$$ para algún número entero$$k$$ también da como resultado una serie divergente.

54) En vista del ejercicio anterior, puede resultar sorprendente que pueda converger una subserie de la serie armónica en la que se suprime aproximadamente uno de cada cinco términos. Una serie armónica agotada es una serie obtenida de$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$$ eliminando cualquier término$$1/n$$ si un dígito dado, digamos$$9$$, aparece en la expansión decimal de$$n$$. Argumentan que esta serie armónica agotada converge respondiendo a las siguientes preguntas.

a. ¿Cuántos números enteros$$n$$ tienen$$d$$ dígitos?

b. ¿Cuántos números enteros de$$d$$ -dígitos$$h(d)$$. no contienen$$9$$ como uno o más de sus dígitos?

c. ¿Cuál es el número más pequeño$$d$$ de dígitos$$m(d)$$?

d. Explique por qué la serie armónica eliminada está delimitada por$$\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}$$.

e. Demostrar que$$\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}$$ converge.

Contestar
a.$$10^d−10^{d−1}<10^d$$
b.$$h(d)<9^d$$
c.$$m(d)=10^{d−1}+1$$
d. Agrupe los términos de la serie armónica eliminada por número de dígitos. $$h(d)$$limita el número de términos, y cada término es como mucho$$\frac{1}{m(d)}.$$
Entonces$$\displaystyle \sum_{d=1}^∞h(d)/m(d)≤\sum_{d=1}^∞9^d/(10)^{d−1}≤90$$. En realidad, se puede usar la comparación para estimar el valor a menor que$$80$$. El valor real es menor que$$23$$.

55) Supongamos que una secuencia de números$$a_n>0$$ tiene la propiedad que$$a_1=1$$ y$$a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}S_n$$, dónde$$S_n=a_1+⋯+a_n$$. ¿Se puede determinar si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converge? (Pista:$$S_n$$ es monótona.)

56) Supongamos que una secuencia de números$$a_n>0$$ tiene la propiedad que$$a_1=1$$ y$$a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}S_n$$, dónde$$S_n=a_1+⋯+a_n$$. ¿Se puede determinar si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converge? (Pista:$$S_2=a_2+a_1=a_2+S_1=a_2+1=1+1/4=(1+1/4)S_1, S_3=\dfrac{1}{3^2}S_2+S_2=(1+1/9)S_2=(1+1/9)(1+1/4)S_1$$, etc. Mira$$\ln(S_n)$$, y usa$$\ln(1+t)≤t, t>0.$$)

Contestar
Continuando con la pista da$$S_N=(1+1/N^2)(1+1/(N−1)^2…(1+1/4)).$$ Entonces$$\ln(S_N)=\ln(1+1/N^2)+\ln(1+1/(N−1)^2)+⋯+\ln(1+1/4).$$ Desde$$\ln(1+t)$$ está delimitada por tiempos constantes$$t$$, cuando$$0<t<1$$ se tiene$$\displaystyle \ln(S_N)≤C\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}$$, que converge en comparación con la$$p$$ -serie para$$p=2$$.

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