9.6E: Ejercicios para la Sección 9.6

En los ejercicios 1 - 11, utilice la prueba de ratio para determinar si cada serie\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge o diverge. Afirma si la prueba de ratio no es concluyente.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n!}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.\)Converge por la Prueba de Ratio.

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{10^n}{n!}\)

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}<1.\)Converge por la Prueba de Ratio.

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^{10}}{2^n}\)

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n!)^3}{(3n)!}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{27}<1.\)Converge por la Prueba de Ratio.

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n)!}\)

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{n^{2n}}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{e^2}<1.\)Converge por la Prueba de Ratio.

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(2n)^n}\)

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n!}{(n/e)^n}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1.\)La prueba de relación no es concluyente.

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(n/e)^{2n}}\)

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2^nn!)^2}{(2n)^{2n}}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{e^2}<1.\)Converge por la Prueba de Ratio.

En los ejercicios 12 - 21, utilice la prueba raíz para determinar si\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge, donde\(a_n\) es como sigue.

12)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k−1}{2k+3}\right)^k\)

13)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{2k^2−1}{k^2+3}\right)^k\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=2>1.\)Diverge por la Prueba Raíz.

14)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln n)^{2n}}{n^n}\)

15)\(\displaystyle a_n=n/2^n\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/2<1.\)Converge por la Prueba Raíz.

16)\(\displaystyle a_n=n/e^n\)

17)\(\displaystyle a_k=\frac{k^e}{e^k}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=1/e<1.\)Converge por la Prueba Raíz.

18)\(\displaystyle a_k=\frac{π^k}{k^π}\)

19)\(\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{n}\right)^n\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{e}+\frac{1}{n}=\frac{1}{e}<1.\)Converge por la Prueba Raíz.

20)\(\displaystyle a_k=\frac{1}{(1+\ln k)^k}\)

21)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln(1+\ln n))^n}{(\ln n)^n}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n= \lim_{n\to \infty} \frac{(\ln(1+\ln n))}{(\ln n)}=0\)por regla de L'Hôpital. Converge por la Prueba Raíz.

En los ejercicios 22 - 28, utilice ya sea la prueba de ratio o la prueba raíz según corresponda para determinar si la serie\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞a_k\) con términos dados\(a_k\) converge, o indicar si la prueba no es concluyente.

22)\(\displaystyle a_k=\frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}\)

23)\(\displaystyle a_k=\frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}= \lim_{k\to \infty} \frac{1}{2k+1}=0.\)Converge por la Prueba de Ratio.

24)\(\displaystyle a_k=\frac{1⋅4⋅7⋯(3k−2)}{3^kk!}\)

25)\(\displaystyle a_n=\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n^2}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/e.\)Converge por la Prueba Raíz.

26)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{2k}\right)^k\quad \Big(\) Pista: Comparar\(a^{1/k}_k\) con\(\displaystyle ∫^{2k}_k\frac{dt}{t}.\Big)\)

27)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{3k}\right)^k\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a^{1/k}_k=\ln(3)>1.\)Diverge por la Prueba Raíz.

28)\(\displaystyle a_n=\left(n^{1/n}−1\right)^n\)

En los ejercicios 29 - 30, usa la prueba de ratio para determinar si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge, o indica si la prueba de ratio no es concluyente.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3^{n^2}}{2^{n^3}}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim_{n\to \infty} \frac{3^{2n+1}}{2^{3n^2+3n+1}}=0.\)Converge por la Prueba de Ratio.

30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n^2}}{n^nn!}\)

En los ejercicios 31, utilice las pruebas de comparación de raíz y límite para determinar si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{x^n_n}\) donde\(x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+\dfrac{1}{x_n}, x_1=1\) (Pista: Encontrar límite de\({x_n}\).)

Responder

Converge por la Prueba Raíz y Prueba de Comparación de Límite desde\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n=\sqrt{2}\).

En los ejercicios 32 - 43, utilice una prueba apropiada para determinar si la serie converge.

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n+1}{n^3+n^2+n+1}\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}(n+1)}{n^3+3n^2+3n+1}\)

Responder

Converge absolutamente por comparación límite con \(p\)−series,\(p=2.\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{n^3+(1.1)^n}\)

35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n−1)^n}{(n+1)^n}\)

Responder

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2≠0\). Las series divergen por la Prueba de Divergencia.

36)\(\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(\Big(\) Pista:\(\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}≈e.\Big)\)

37)\(\displaystyle a_k=1/2^{\sin^2k}\)

Responder

Los términos no tienden a cero:\(a_k≥1/2,\) ya que\(\sin^2x≤1.\)

38)\(\displaystyle a_k=2^{−\sin(1/k)}\)

39)\(\displaystyle a_n=1/(^{n+2}_n)\) donde\( (^n_k)=\frac{n!}{k!(n−k)!}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)},\)que converge en comparación con \(p\)−series para\(p=2\).

40)\(\displaystyle a_k=1/(^{2k}_k)\)

41)\(\displaystyle a_k=2^k/(^{3k}_k)\)

Responder

\(a_k=\dfrac{2^k1⋅2⋯k}{(2k+1)(2k+2)⋯3k}≤(2/3)^k\)converge en comparación con series geométricas.

42)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^k\quad\Big(\) Pista:\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k}≈e^{−\ln k}.\Big)\)

43)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^{2k}\quad\Big(\) Pista:\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k^2}.\Big)\)

Responder

\(a_k≈e^{−\ln k^2}=1/k^2.\)La serie converge por comparación límite con \(p\)−series,\(p=2.\)

Las series en los ejercicios 44 - 47 convergen por la prueba de ratio. Utilice la suma por partes,\(\displaystyle \sum_{k=1}^na_k(b_{k+1}−b_k)=[a_{n+1}b_{n+1}−a_1b_1]−\sum_{k=1}^nb_{k+1}(a_{k+1}−a_k),\) para encontrar la suma de las series dadas.

44)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{2^k}\) (Pista: Tomar\(a_k=k\) y\(b_k=2^{1−k}\).)

45)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{c^k},\) donde\(c>1\) (Pista: Tomar\(a_k=k\) y\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\).)

Responder

Si\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\) y\(a_k=k\), entonces\(b_{k+1}−b_k=−c^{−k}\) y\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{k}{c^k}=a_1b_1+\frac{1}{c−1}\sum_{k=1}^∞c^{−k}=\frac{c}{(c−1)^2}.\)

46)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

47)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{2^n}\)

Responder

\(\displaystyle 6+4+1=11\)

El\(k^{\text{th}}\) término de cada una de las siguientes series tiene un factor\(x^k\). Encuentra el rango\(x\) para el cual la prueba de ratio implica que la serie converge.

48)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k^2}\)

49)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{k^2}\)

Responder

\( |x|≤1\)

50)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{3^k}\)

51)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k!}\)

Responder

\( |x|<∞\)

52) ¿Existe un número\(p\) tal que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^p}\) converja?

53) Que ¿\( 0<r<1.\)Para\(p\) qué números reales\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^pr^n\) convergen?

Responder

Todos los números reales\(p\) por la Prueba de Ratio.

54) Supongamos que ¿\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\)Para qué valores de\(p\) deben\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) converger?

55) Supongamos que ¿\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\)Para qué valores de\(r>0\) se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^na_n\) garantiza que converjan?

Responder

\( r<1/p\)

56) Supongamos que\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| ≤(n+1)^p\) para todos\(n=1,2,…\) donde\(p\) está un número real fijo. ¿Para qué valores de\(p\) se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n!a_n\) garantiza que converjan?

57) ¿Para qué valores de\(r>0\), en su caso,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}\) convergen? \(\Big(\)Pista:\(\displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}a_n.\Big)\)

Responder

\(0<r<1.\)Tenga en cuenta que la relación y las pruebas de raíz no son concluyentes. Usando la pista, hay\(2k\) términos\(r^\sqrt{n}\) para\( k^2≤n<(k+1)^2\), y para\(r<1\) cada término es al menos\(r^k\). Así,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}r^{\sqrt{n}} ≥\sum_{k=1}^∞2kr^k,\) que converge por la prueba de relación para\(r<1\). Para\(r≥1\) la serie diverge por la prueba de divergencia.

58) Supongamos que\( \left|\dfrac{a_{n+2}}{a_n}\right| ≤r<1\) para todos\(n\). ¿Se puede concluir que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge?

59) Let\(a_n=2^{−[n/2]}\) donde\( [x]\) es el mayor entero menor o igual a\(x\). Determina si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge y justifica tu respuesta.

Responder

Uno tiene\(\displaystyle a_1=1, a_2=a_3=1/2,…a_{2n}=a_{2n+1}=1/2^n\). La prueba de relación no aplica porque\(\displaystyle a_{n+1}/a_n=1\) si\(\displaystyle n\) es par. No obstante,\(\displaystyle a_{n+2}/a_n=1/2,\) por lo que la serie converge de acuerdo con el ejercicio anterior. Por supuesto, la serie es solo una serie geométrica duplicada.

Los siguientes ejercicios avanzados utilizan una prueba de ratio generalizada para determinar la convergencia de algunas series que surgen en aplicaciones particulares cuando las pruebas de este capítulo, incluyendo la prueba de ratio y raíz, no son lo suficientemente potentes como para determinar su convergencia. La prueba establece que si\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}<1/2\), entonces\(\displaystyle \sum a_n\) converge, mientras que si\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n+1}}{a_n}>1/2\), entonces\(\displaystyle \sum a_n\) diverge.

60) Vamos\(\displaystyle a_n=\frac{1}{4}\frac{3}{6}\frac{5}{8}⋯\frac{2n−1}{2n+2}=\frac{1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n(n+1)!}\). Explicar por qué la prueba de ratio no puede determinar la convergencia de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). Utilizar el hecho de que\(\displaystyle 1−1/(4k)\) va en aumento\(\displaystyle k\) para estimar\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}\).

61) Vamos a\(\displaystyle a_n=\frac{1}{1+x}\frac{2}{2+x}⋯\frac{n}{n+x}\frac{1}{n}=\frac{(n−1)!}{(1+x)(2+x)⋯(n+x).}\) mostrar eso\(a_{2n}/a_n≤e^{−x/2}/2\). ¿Para qué\(x>0\) implica la prueba de ratio generalizada la convergencia de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)? (Pista: Escribir\(2a_{2n}/a_n\) como producto de\(n\) factores cada uno más pequeños que\(1/(1+x/(2n)).)\)

Responder

\(\displaystyle a_{2n}/a_n=\frac{1}{2}⋅\frac{n+1}{n+1+x}\frac{n+2}{n+2+x}⋯\frac{2n}{2n+x}.\)La inversa del\(\displaystyle kth\) factor es\(\displaystyle (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)\) así que el producto es menor que\(\displaystyle (1+x/(2n))^{−n}≈e^{−x/2}.\) Así para\(\displaystyle x>0, \frac{a_{2n}}{a_n}≤\frac{1}{2}e^{−x/2}\). La serie converge para\(\displaystyle x>0\).

62) Vamos a\(a_n=\dfrac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}.\) mostrar que\( \dfrac{a_{2n}}{a_n}→0\) como\(n→∞.\)