10.1E: Ejercicios para la Sección 10.1

En los ejercicios 1 - 4, indique si cada enunciado es verdadero, o dar un ejemplo para demostrar que es falsa.

1) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) converge, entonces\(a_nx^n→0\) como\(n→∞.\)

Responder

Cierto. Si una serie converge entonces sus términos tienden a cero.

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) converge en\(x=0\) para cualquier número real\(a_n\).

3) Dada cualquier secuencia\(a_n\), siempre hay alguna\(R>0\), posiblemente muy pequeña, tal que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) converge en\((−R,R)\).

Responder

Falso. Eso implicaría que\(a_nx^n→0\) para\(|x|<R\). Si\(a_n=n^n\), entonces\(a_nx^n=(nx)^n\) no tiende a cero para ninguno\(x≠0\).

4) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) tiene radio de convergencia\(R>0\) y si\(|b_n|≤|a_n|\) para todos\(n\), entonces el radio de convergencia de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_nx^n\) es mayor o igual a\(R\).

5) Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x−3)^n\) converge en\(x=6\). ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Usa el hecho de que si\(\displaystyle \sum a_n(x−c)^n\) converge en\(x\), entonces converge en cualquier punto más cercano a\(c\) que\(x\).

a.\(x=1\)

b.\(x=2\)

c.\(x=3\)

d.\(x=0\)

e.\(x=5.99\)

f.\(x=0.000001\)

Responder

Debe converger sobre\((0,6]\) y por lo tanto en: a.\(x=1\); b.\(x=3\); c.; d.\(x=0\); e.\(x=5.99\); y f\(x=0.000001\).\(x=2\)

6) Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x+1)^n\) converge en\(x=−2\). ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Usa el hecho de que si\(\displaystyle \sum a_n(x−c)^n\) converge en\(x\), entonces converge en cualquier punto más cercano a\(c\) que\(x\).

a.\(x=2\)

b.\(x=−1\)

c.\(x=−3\)

d.\(x=0\)

e.\(x=0.99\)

f.\(x=0.000001\)

En los siguientes ejercicios, supongamos que\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→1\) como\(n→∞.\) Encuentra el radio de convergencia para cada serie.

7)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n2^nx^n\)

Responder

\(\left|\dfrac{a_{n+1}2^{n+1}x^{n+1}}{a_n2^nx^n}\right| =2|x|\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→2|x|\)entonces\(R=\frac{1}{2}\)

8)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_nx^n}{2^n}\)

9)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_nπ^nx^n}{e^n}\)

Responder

\(\left|\dfrac{a_{n+1}(\dfrac{π}{e})^{n+1}x^{n+1}}{a_n(\dfrac{π}{e})^nx^n}\right| =\dfrac{π|x|}{e}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→\dfrac{π|x|}{e}\)entonces\(R=\frac{e}{π}\)

10)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_n(−1)^nx^n}{10^n}\)

11)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(−1)^nx^{2n}\)

Responder

\(\left|\dfrac{a_{n+1}(−1)^{n+1}x^{2n+2}}{a_n(−1)^nx^{2n}}\right| =|x^2|\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→|x^2|\)entonces\(R=1\)

12)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(−4)^nx^{2n}\)

En los ejercicios 13 - 22, encuentra el radio de convergencia\(R\) y el intervalo de convergencia para\(\displaystyle \sum a_nx^n\) con los coeficientes dados\(a_n\).

13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2x)^n}{n}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{2^n}{n}\)así\(\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}→2x\). entonces\(R=\frac{1}{2}\). Cuando\(x=\frac{1}{2}\) la serie es armónica y diverge. Cuando\(x=−\frac{1}{2}\) la serie es armónica alterna y converge. El intervalo de convergencia es\(I=\big[−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\).

14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n\frac{x^n}{\sqrt{n}}\)

15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{nx^n}{2^n}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{n}{2^n}\)así\(\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}→\dfrac{x}{2}\) que así\(R=2\). Cuando\(x=±2\) la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es\(I=(−2,2)\).

16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{nx^n}{e^n}\)

17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2x^n}{2^n}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{n^2}{2^n}\)así\(R=2\). Cuando\(x=±2\) la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es\(I=(−2,2).\)

18)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k^ex^k}{e^k}\)

19)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{π^kx^k}{k^π}\)

Responder

\(a_k=\dfrac{π^k}{k^π}\)así\(R=\frac{1}{π}\). Cuando\(x=±\frac{1}{π}\) la serie es una\(p\) serie absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es\(I=\left[−\frac{1}{π},\frac{1}{π}\right].\)

20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{n!}\)

21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{10^nx^n}{n!}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{10^n}{n!},\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}=\dfrac{10x}{n+1}→0<1\)por lo que la serie converge para todos\(x\) por la prueba de ratio y\(I=(−∞,∞)\).

22)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n\frac{x^n}{\ln(2n)}\)

En los ejercicios 23 - 28, encuentra el radio de convergencia de cada serie.

23)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{(k!)^2x^k}{(2k)!}\)

Responder

\(a_k=\dfrac{(k!)^2}{(2k)!}\)tan\(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}→\dfrac{1}{4}\) tan\(R=4\)

24)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!x^n}{n^{2n}}\)

25)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}x^k\)

Responder

\(a_k=\dfrac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}\)tan\(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{k+1}{2k+1}→\dfrac{1}{2}\) tan\(R=2\)

26)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!}x^k\)

27)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{(^{2n}_n)}\) donde\((^n_k)=\dfrac{n!}{k!(n−k)!}\)

Responder

\(a_n=\dfrac{1}{(^{2n}_n)}\)tan\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{(2n+2)!}\dfrac{2n!}{(n!)^2}=\dfrac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}→\dfrac{1}{4}\) tan\(R=4\)

28)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin^2nx^n\)

En los ejercicios 29 - 32, utilice la prueba de ratio para determinar el radio de convergencia de cada serie.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n!)^3}{(3n)!}x^n\)

Responder

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}→\dfrac{1}{27}\)entonces\(R=27\)

30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n)!}x^n\)

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n!}{n^n}x^n\)

Responder

\(a_n=\dfrac{n!}{n^n}\)tan\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{n!}\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=(\dfrac{n}{n+1})^n→\dfrac{1}{e}\) tan\(R=e\)

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{n^{2n}}x^n\)

En los siguientes ejercicios, dado que\(\displaystyle \frac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n\) con convergencia en\((−1,1)\), encontrar la serie de potencia para cada función con el centro dado\(a,\) e identificar su intervalo de convergencia.

33)\(f(x)=\dfrac{1}{x};a=1\) (Pista:\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1−(1−x)})\)

Responder

\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞(1−x)^n\)en\(I=(0,2)\)

34)\(f(x)=\dfrac{1}{1−x^2};a=0\)

35)\(f(x)=\dfrac{x}{1−x^2};a=0\)

Responder

\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞x^{2n+1}\)en\(I=(−1,1)\)

36)\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2};a=0\)

37)\(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2};a=0\)

Responder

\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n+2}\)en\(I=(−1,1)\)

38)\(f(x)=\dfrac{1}{2−x};a=1\)

39)\(f(x)=\dfrac{1}{1−2x};a=0.\)

Responder

\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n\)en\(\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

40)\(f(x)=\dfrac{1}{1−4x^2};a=0\)

41)\(f(x)=\dfrac{x^2}{1−4x^2};a=0\)

Responder

\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞4^nx^{2n+2}\)en\(\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

42)\(f(x)=\dfrac{x^2}{5−4x+x^2};a=2\)

Utilizar el resultado del ejercicio 43 para encontrar el radio de convergencia de la serie dada en los ejercicios posteriores (44 - 47).

43) Explicar por qué, si\(|a_n|^{1/n}→r>0,\) entonces\(|a_nx^n|^{1/n}→|x|r<1\) cuando\(|x|<\frac{1}{r}\) y, por lo tanto, el radio de convergencia de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) es\(R=\frac{1}{r}\).

Responder

\(|a_nx^n|^{1/n}=|a_n|^{1/n}|x|→|x|r\)como\(n→∞\) y\(|x|r<1\) cuando\(|x|<\frac{1}{r}\). Por lo tanto,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) converge cuando\(|x|<\frac{1}{r}\) por la prueba\(n^{\text{th}}\) raíz.

44)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{n^n}\)

45)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\left(\frac{k−1}{2k+3}\right)^kx^k\)

Responder

\(a_k=\left(\dfrac{k−1}{2k+3}\right)^k\)tan\((a_k)^{1/k}→\frac{1}{2}<1\) tan\(R=2\)

46)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞(\frac{2k^2−1}{k^2+3})^kx^k\)

47)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=(n^{1/n}−1)^nx^n\)

Responder

\(a_n=(n^{1/n}−1)^n\)tan\((a_n)^{1/n}→0\) tan\(R=∞\)

48) Supongamos que\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\) tal que\(a_n=0\) si\(n\) es par. Explicar por qué\(p(x)=p(−x).\)

49) Supongamos que\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\) tal que\(a_n=0\) si\(n\) es impar. Explicar por qué\(p(x)=−p(−x).\)

Responder

Podemos reescribir\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_{2n+1}x^{2n+1}\) y\(p(x)=p(−x)\) desde entonces\(x^{2n+1}=−(−x)^{2n+1}\).

50) Supongamos que\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge en\((−1,1]\). Encuentra el intervalo de convergencia de\(p(Ax)\).

51) Supongamos que\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge en\((−1,1]\). Encuentra el intervalo de convergencia de\(p(2x−1)\).

Responder

Si\(x∈[0,1],\) entonces\(y=2x−1∈[−1,1]\) así\(\displaystyle p(2x−1)=p(y)=\sum_{n=0}^∞a_ny^n\) converge.

En los siguientes ejercicios, supongamos que\(\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\) satisface\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\) donde\(a_n≥0\) para cada uno\(n\). Declarar si cada serie converge en el intervalo completo\((−1,1)\), o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea apropiado.

52)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^{2n}\)

53)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{2n}x^{2n}\)

Responder

Converge\((−1,1)\) por la prueba de ratio

54)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{2n}x^n\) (Pista:\(x=±\sqrt{x^2}\))

55)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{n^2}x^{n^2}\) (Pista: Que\(b_k=a_k\) si\(k=n^2\) para algunos\(n\), de lo contrario\(b_k=0\).)

Responder

Considera la serie\(\displaystyle \sum b_kx^k\) donde\(b_k=a_k\) si\(k=n^2\) y de\(b_k=0\) otra manera. Entonces\(b_k≤a_k\) y así la serie converge\((−1,1)\) por la prueba de comparación.

56) Supongamos que\(p(x)\) es un polinomio de grado\(N\). Encuentra el radio e intervalo de convergencia de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞p(n)x^n\).

57) [T] Trazar las gráficas de\(\dfrac{1}{1−x}\) y de las sumas parciales\(\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^Nx^n\) para\(n=10,20,30\) en el intervalo\([−0.99,0.99]\). Comentar sobre la aproximación de\(\dfrac{1}{1−x}\) por\(S_N\) cerca\(x=−1\) y cerca a\(x=1\) medida que\(N\) aumenta.

Responder

La aproximación es más precisa cerca\(x=−1\). Las sumas parciales siguen\(\dfrac{1}{1−x}\) más de cerca como\(N\) aumentos pero nunca son acertadas\(x=1\) ya que la serie diverge allí.

58) [T] Trazar las gráficas de\(−\ln(1−x)\) y de las sumas parciales\(\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N\frac{x^n}{n}\) para\(n=10,50,100\) en el intervalo\([−0.99,0.99]\). Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas\(x=−1\) y cercanas a\(x=1\) medida que\(N\) aumenta.

59) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales\(\displaystyle S_n=\sum_{n=1}^N\frac{x^n}{n^2}\) para\(n=10,50,100\) en el intervalo\([−0.99,0.99]\). Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas\(x=−1\) y cercanas a\(x=1\) medida que\(N\) aumenta.

Responder

La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos\(x=±1\).

60) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales\(\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N(\sin n) x^n\) para\(n=10,50,100\) en el intervalo\([−0.99,0.99]\). Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas\(x=−1\) y cercanas a\(x=1\) medida que\(N\) aumenta.

61) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales\(\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N(−1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) para\(n=3,5,10\) en el intervalo\([−2π,2π]\). Comenta cómo estas parcelas se aproximan a\(\sin x\) medida que\(N\) aumenta.

Responder

Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de\(\sin x\) hasta su grado y luego los polinomios divergen de\(\sin x\).

62) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales\(\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N(−1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) para\(n=3,5,10\) en el intervalo\([−2π,2π]\). Comenta cómo estas parcelas se aproximan a\(\cos x\) medida que\(N\) aumenta.

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