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# 10.1E: Ejercicios para la Sección 10.1

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, indique si cada enunciado es verdadero, o dar un ejemplo para demostrar que es falsa.

1) Si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ converge, entonces$$a_nx^n→0$$ como$$n→∞.$$

Responder
Cierto. Si una serie converge entonces sus términos tienden a cero.

2)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ converge en$$x=0$$ para cualquier número real$$a_n$$.

3) Dada cualquier secuencia$$a_n$$, siempre hay alguna$$R>0$$, posiblemente muy pequeña, tal que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ converge en$$(−R,R)$$.

Responder
Falso. Eso implicaría que$$a_nx^n→0$$ para$$|x|<R$$. Si$$a_n=n^n$$, entonces$$a_nx^n=(nx)^n$$ no tiende a cero para ninguno$$x≠0$$.

4) Si$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ tiene radio de convergencia$$R>0$$ y si$$|b_n|≤|a_n|$$ para todos$$n$$, entonces el radio de convergencia de$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_nx^n$$ es mayor o igual a$$R$$.

5) Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x−3)^n$$ converge en$$x=6$$. ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Usa el hecho de que si$$\displaystyle \sum a_n(x−c)^n$$ converge en$$x$$, entonces converge en cualquier punto más cercano a$$c$$ que$$x$$.

a.$$x=1$$

b.$$x=2$$

c.$$x=3$$

d.$$x=0$$

e.$$x=5.99$$

f.$$x=0.000001$$

Responder
Debe converger sobre$$(0,6]$$ y por lo tanto en: a.$$x=1$$; b.$$x=3$$; c.; d.$$x=0$$; e.$$x=5.99$$; y f$$x=0.000001$$.$$x=2$$

6) Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x+1)^n$$ converge en$$x=−2$$. ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Usa el hecho de que si$$\displaystyle \sum a_n(x−c)^n$$ converge en$$x$$, entonces converge en cualquier punto más cercano a$$c$$ que$$x$$.

a.$$x=2$$

b.$$x=−1$$

c.$$x=−3$$

d.$$x=0$$

e.$$x=0.99$$

f.$$x=0.000001$$

En los siguientes ejercicios, supongamos que$$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→1$$ como$$n→∞.$$ Encuentra el radio de convergencia para cada serie.

7)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n2^nx^n$$

Responder
$$\left|\dfrac{a_{n+1}2^{n+1}x^{n+1}}{a_n2^nx^n}\right| =2|x|\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→2|x|$$entonces$$R=\frac{1}{2}$$

8)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_nx^n}{2^n}$$

9)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_nπ^nx^n}{e^n}$$

Responder
$$\left|\dfrac{a_{n+1}(\dfrac{π}{e})^{n+1}x^{n+1}}{a_n(\dfrac{π}{e})^nx^n}\right| =\dfrac{π|x|}{e}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→\dfrac{π|x|}{e}$$entonces$$R=\frac{e}{π}$$

10)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{a_n(−1)^nx^n}{10^n}$$

11)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(−1)^nx^{2n}$$

Responder
$$\left|\dfrac{a_{n+1}(−1)^{n+1}x^{2n+2}}{a_n(−1)^nx^{2n}}\right| =|x^2|\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|→|x^2|$$entonces$$R=1$$

12)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(−4)^nx^{2n}$$

En los ejercicios 13 - 22, encuentra el radio de convergencia$$R$$ y el intervalo de convergencia para$$\displaystyle \sum a_nx^n$$ con los coeficientes dados$$a_n$$.

13)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2x)^n}{n}$$

Responder
$$a_n=\dfrac{2^n}{n}$$así$$\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}→2x$$. entonces$$R=\frac{1}{2}$$. Cuando$$x=\frac{1}{2}$$ la serie es armónica y diverge. Cuando$$x=−\frac{1}{2}$$ la serie es armónica alterna y converge. El intervalo de convergencia es$$I=\big[−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)$$.

14)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n\frac{x^n}{\sqrt{n}}$$

15)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{nx^n}{2^n}$$

Responder
$$a_n=\dfrac{n}{2^n}$$así$$\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}→\dfrac{x}{2}$$ que así$$R=2$$. Cuando$$x=±2$$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es$$I=(−2,2)$$.

16)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{nx^n}{e^n}$$

17)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2x^n}{2^n}$$

Responder
$$a_n=\dfrac{n^2}{2^n}$$así$$R=2$$. Cuando$$x=±2$$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es$$I=(−2,2).$$

18)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k^ex^k}{e^k}$$

19)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{π^kx^k}{k^π}$$

Responder
$$a_k=\dfrac{π^k}{k^π}$$así$$R=\frac{1}{π}$$. Cuando$$x=±\frac{1}{π}$$ la serie es una$$p$$ serie absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es$$I=\left[−\frac{1}{π},\frac{1}{π}\right].$$

20)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{n!}$$

21)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{10^nx^n}{n!}$$

Responder
$$a_n=\dfrac{10^n}{n!},\dfrac{a_{n+1}x}{a_n}=\dfrac{10x}{n+1}→0<1$$por lo que la serie converge para todos$$x$$ por la prueba de ratio y$$I=(−∞,∞)$$.

22)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n\frac{x^n}{\ln(2n)}$$

En los ejercicios 23 - 28, encuentra el radio de convergencia de cada serie.

23)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{(k!)^2x^k}{(2k)!}$$

Responder
$$a_k=\dfrac{(k!)^2}{(2k)!}$$tan$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}→\dfrac{1}{4}$$ tan$$R=4$$

24)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!x^n}{n^{2n}}$$

25)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}x^k$$

Responder
$$a_k=\dfrac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}$$tan$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{k+1}{2k+1}→\dfrac{1}{2}$$ tan$$R=2$$

26)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!}x^k$$

27)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{(^{2n}_n)}$$ donde$$(^n_k)=\dfrac{n!}{k!(n−k)!}$$

Responder
$$a_n=\dfrac{1}{(^{2n}_n)}$$tan$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{(2n+2)!}\dfrac{2n!}{(n!)^2}=\dfrac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}→\dfrac{1}{4}$$ tan$$R=4$$

28)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin^2nx^n$$

En los ejercicios 29 - 32, utilice la prueba de ratio para determinar el radio de convergencia de cada serie.

29)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n!)^3}{(3n)!}x^n$$

Responder
$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}→\dfrac{1}{27}$$entonces$$R=27$$

30)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n)!}x^n$$

31)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n!}{n^n}x^n$$

Responder
$$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$$tan$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{n!}\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=(\dfrac{n}{n+1})^n→\dfrac{1}{e}$$ tan$$R=e$$

32)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{n^{2n}}x^n$$

En los siguientes ejercicios, dado que$$\displaystyle \frac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$$ con convergencia en$$(−1,1)$$, encontrar la serie de potencia para cada función con el centro dado$$a,$$ e identificar su intervalo de convergencia.

33)$$f(x)=\dfrac{1}{x};a=1$$ (Pista:$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1−(1−x)})$$

Responder
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞(1−x)^n$$en$$I=(0,2)$$

34)$$f(x)=\dfrac{1}{1−x^2};a=0$$

35)$$f(x)=\dfrac{x}{1−x^2};a=0$$

Responder
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞x^{2n+1}$$en$$I=(−1,1)$$

36)$$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2};a=0$$

37)$$f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2};a=0$$

Responder
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n+2}$$en$$I=(−1,1)$$

38)$$f(x)=\dfrac{1}{2−x};a=1$$

39)$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x};a=0.$$

Responder
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n$$en$$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

40)$$f(x)=\dfrac{1}{1−4x^2};a=0$$

41)$$f(x)=\dfrac{x^2}{1−4x^2};a=0$$

Responder
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞4^nx^{2n+2}$$en$$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

42)$$f(x)=\dfrac{x^2}{5−4x+x^2};a=2$$

Utilizar el resultado del ejercicio 43 para encontrar el radio de convergencia de la serie dada en los ejercicios posteriores (44 - 47).

43) Explicar por qué, si$$|a_n|^{1/n}→r>0,$$ entonces$$|a_nx^n|^{1/n}→|x|r<1$$ cuando$$|x|<\frac{1}{r}$$ y, por lo tanto, el radio de convergencia de$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ es$$R=\frac{1}{r}$$.

Responder
$$|a_nx^n|^{1/n}=|a_n|^{1/n}|x|→|x|r$$como$$n→∞$$ y$$|x|r<1$$ cuando$$|x|<\frac{1}{r}$$. Por lo tanto,$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n$$ converge cuando$$|x|<\frac{1}{r}$$ por la prueba$$n^{\text{th}}$$ raíz.

44)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{n^n}$$

45)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\left(\frac{k−1}{2k+3}\right)^kx^k$$

Responder
$$a_k=\left(\dfrac{k−1}{2k+3}\right)^k$$tan$$(a_k)^{1/k}→\frac{1}{2}<1$$ tan$$R=2$$

46)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞(\frac{2k^2−1}{k^2+3})^kx^k$$

47)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=(n^{1/n}−1)^nx^n$$

Responder
$$a_n=(n^{1/n}−1)^n$$tan$$(a_n)^{1/n}→0$$ tan$$R=∞$$

48) Supongamos que$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ tal que$$a_n=0$$ si$$n$$ es par. Explicar por qué$$p(x)=p(−x).$$

49) Supongamos que$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ tal que$$a_n=0$$ si$$n$$ es impar. Explicar por qué$$p(x)=−p(−x).$$

Responder
Podemos reescribir$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_{2n+1}x^{2n+1}$$ y$$p(x)=p(−x)$$ desde entonces$$x^{2n+1}=−(−x)^{2n+1}$$.

50) Supongamos que$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge en$$(−1,1]$$. Encuentra el intervalo de convergencia de$$p(Ax)$$.

51) Supongamos que$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge en$$(−1,1]$$. Encuentra el intervalo de convergencia de$$p(2x−1)$$.

Responder
Si$$x∈[0,1],$$ entonces$$y=2x−1∈[−1,1]$$ así$$\displaystyle p(2x−1)=p(y)=\sum_{n=0}^∞a_ny^n$$ converge.

En los siguientes ejercicios, supongamos que$$\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ satisface$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$$ donde$$a_n≥0$$ para cada uno$$n$$. Declarar si cada serie converge en el intervalo completo$$(−1,1)$$, o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea apropiado.

52)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^{2n}$$

53)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{2n}x^{2n}$$

Responder
Converge$$(−1,1)$$ por la prueba de ratio

54)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{2n}x^n$$ (Pista:$$x=±\sqrt{x^2}$$)

55)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_{n^2}x^{n^2}$$ (Pista: Que$$b_k=a_k$$ si$$k=n^2$$ para algunos$$n$$, de lo contrario$$b_k=0$$.)

Responder
Considera la serie$$\displaystyle \sum b_kx^k$$ donde$$b_k=a_k$$ si$$k=n^2$$ y de$$b_k=0$$ otra manera. Entonces$$b_k≤a_k$$ y así la serie converge$$(−1,1)$$ por la prueba de comparación.

56) Supongamos que$$p(x)$$ es un polinomio de grado$$N$$. Encuentra el radio e intervalo de convergencia de$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞p(n)x^n$$.

57) [T] Trazar las gráficas de$$\dfrac{1}{1−x}$$ y de las sumas parciales$$\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^Nx^n$$ para$$n=10,20,30$$ en el intervalo$$[−0.99,0.99]$$. Comentar sobre la aproximación de$$\dfrac{1}{1−x}$$ por$$S_N$$ cerca$$x=−1$$ y cerca a$$x=1$$ medida que$$N$$ aumenta.

Responder

La aproximación es más precisa cerca$$x=−1$$. Las sumas parciales siguen$$\dfrac{1}{1−x}$$ más de cerca como$$N$$ aumentos pero nunca son acertadas$$x=1$$ ya que la serie diverge allí.

58) [T] Trazar las gráficas de$$−\ln(1−x)$$ y de las sumas parciales$$\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N\frac{x^n}{n}$$ para$$n=10,50,100$$ en el intervalo$$[−0.99,0.99]$$. Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas$$x=−1$$ y cercanas a$$x=1$$ medida que$$N$$ aumenta.

59) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales$$\displaystyle S_n=\sum_{n=1}^N\frac{x^n}{n^2}$$ para$$n=10,50,100$$ en el intervalo$$[−0.99,0.99]$$. Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas$$x=−1$$ y cercanas a$$x=1$$ medida que$$N$$ aumenta.

Responder

La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos$$x=±1$$.

60) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales$$\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N(\sin n) x^n$$ para$$n=10,50,100$$ en el intervalo$$[−0.99,0.99]$$. Comentar sobre el comportamiento de las sumas cercanas$$x=−1$$ y cercanas a$$x=1$$ medida que$$N$$ aumenta.

61) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales$$\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N(−1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ para$$n=3,5,10$$ en el intervalo$$[−2π,2π]$$. Comenta cómo estas parcelas se aproximan a$$\sin x$$ medida que$$N$$ aumenta.

Responder

Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de$$\sin x$$ hasta su grado y luego los polinomios divergen de$$\sin x$$.

62) [T] Trazar las gráficas de las sumas parciales$$\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^N(−1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ para$$n=3,5,10$$ en el intervalo$$[−2π,2π]$$. Comenta cómo estas parcelas se aproximan a$$\cos x$$ medida que$$N$$ aumenta.