Saltar al contenido principal

# 10.2E: Ejercicios para la Sección 10.2

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1) Si$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}$$ y$$\displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^n}{n!}$$, encontrar la serie de poder de$$\frac{1}{2}\big(f(x)+g(x)\big)$$ y de$$\frac{1}{2}\big(f(x)−g(x)\big)$$.

Contestar
$$\displaystyle \frac{1}{2}\big(f(x)+g(x)\big)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$y$$\displaystyle \frac{1}{2}\big(f(x)−g(x)\big)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$.

2) Si$$\displaystyle C(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ y$$\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$, encontrar la serie de poder de$$C(x)+S(x)$$ y de$$C(x)−S(x)$$.

En los ejercicios 3 - 6, usa fracciones parciales para encontrar la serie de potencia de cada función.

3)$$\dfrac{4}{(x−3)(x+1)}$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{4}{(x−3)(x+1)}=\frac{1}{x−3}−\frac{1}{x+1}=−\frac{1}{3(1−\frac{x}{3})}−\frac{1}{1−(−x)}=−\frac{1}{3}\sum_{n=0}^∞\left(\frac{x}{3}\right)^n−\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^n=\sum_{n=0}^∞\left((−1)^{n+1}−\frac{1}{3n+1}\right)x^n$$

4)$$\dfrac{3}{(x+2)(x−1)}$$

5)$$\dfrac{5}{(x^2+4)(x^2−1)}$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{5}{(x^2+4)(x^2−1)}=\frac{1}{x^2−1}−\frac{1}{4}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=−\sum_{n=0}^∞x^{2n}−\frac{1}{4}\sum_{n=0}^∞(−1)^n\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^∞\left((−1)+(−1)^{n+1}\frac{1}{2^{n+2}}\right)x^{2n}$$

6)$$\dfrac{30}{(x^2+1)(x^2−9)}$$

En los ejercicios 7 - 10, expresar cada serie como una función racional.

7)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{x^n}$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{1}{x}\sum_{n=0}^∞\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1−\frac{1}{x}}=\frac{1}{x−1}$$

8)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{x^{2n}}$$

9)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(x−3)^{2n−1}}$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{1}{x−3}\cdot \frac{1}{1−\frac{1}{(x−3)^2}}=\frac{x−3}{(x−3)^2−1}$$

10)$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{(x−3)^{2n−1}}−\frac{1}{(x−2)^{2n−1}}\right)$$

Los ejercicios 11 - 16 exploran las aplicaciones de anualidades.

11) Calcular los valores actuales$$P$$ de una anualidad en la que se pagarán anualmente $10,000 por un periodo de 20 años, asumiendo tasas de interés de$$r=0.03,\, r=0.05$$, y$$r=0.07$$. Contestar $$P=P_1+⋯+P_{20}$$donde$$P_k=10,000\dfrac{1}{(1+r)^k}$$. Entonces$$\displaystyle P=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{(1+r)^k}=10,000\frac{1−(1+r)^{−20}}{r}$$. Cuando$$r=0.03, \,P≈10,000×14.8775=148,775.$$ Cuando$$r=0.05, \,P≈10,000×12.4622=124,622.$$ Cuando$$r=0.07, \, P≈105,940$$. 12) Calcular los valores actuales$$P$$ de anualidades en las cuales$9,000 se va a pagar anualmente perpetuamente, asumiendo tasas de interés de$$r=0.03,\, r=0.05$$ y$$r=0.07$$.

13) Calcular los pagos anuales$$C$$ que se darán por 20 años sobre anualidades que tengan valor presente $100,000 asumiendo las tasas de interés respectivas de$$r=0.03,\, r=0.05,$$ y$$r=0.07.$$ Contestar En general,$$P=\dfrac{C(1−(1+r)^{−N})}{r}$$ por$$N$$ años de pagos, o$$C=\dfrac{Pr}{1−(1+r)^{−N}}$$. Para$$N=20$$ y$$P=100,000$$, uno tiene$$C=6721.57$$$$r=0.03; \, C=8024.26$$ cuando$$r=0.05$$; y$$C≈9439.29$$ cuando$$r=0.07$$. 14) Calcular los pagos anuales$$C$$ a dar perpetuamente sobre anualidades que tengan valor presente$100,000 asumiendo las respectivas tasas de interés de$$r=0.03, \,r=0.05,$$ y$$r=0.07$$.

15) Supongamos que una anualidad tiene un valor presente$$P=1$$ millones de dólares. ¿Qué tasa de interés$$r$$ permitiría pagos anuales perpetuos de $50,000? Contestar En general,$$P=\dfrac{C}{r}.$$ Así,$$r=\dfrac{C}{P}=5×\frac{10^4}{10^6}=0.05.$$ 16) Supongamos que una anualidad tiene un valor presente$$P=10$$ millones de dólares. ¿Qué tasa de interés$$r$$ permitiría pagos anuales perpetuos de$100,000?

En los ejercicios 17 - 20, expresar la suma de cada serie de poder en términos de series geométricas, y luego expresar la suma como una función racional.

17)$$x+x^2−x^3+x^4+x^5−x^6+⋯$$ (Pista: Poderes de grupo$$x^{3k}, \, x^{3k−1},$$ y$$x^{3k−2}$$.)

Contestar
$$(x+x^2−x^3)(1+x^3+x^6+⋯)=\dfrac{x+x^2−x^3}{1−x^3}$$

18)$$x+x^2−x^3−x^4+x^5+x^6−x^7−x^8+⋯$$ (Pista: Poderes de grupo$$x^{4k}, \, x^{4k−1},$$, etc.)

19)$$x−x^2−x^3+x^4−x^5−x^6+x^7−⋯$$ (Pista: Poderes de grupo$$x^{3k}, \, x^{3k−1}$$, y$$x^{3k−2}$$.)

Contestar
$$(x−x^2−x^3)(1+x^3+x^6+⋯)=\dfrac{x−x^2−x^3}{1−x^3}$$

20)$$\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}−\frac{x^3}{8}+\frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{32}−\frac{x^6}{64}+⋯$$ (Pista: Poderes de grupo$$\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3k}, \, \left(\dfrac{x}{2}\right)^{3k−1},$$ y$$\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3k−2}$$.)

En los ejercicios 21 - 24, encuentra la serie de poder de$$f(x)g(x)$$ dado$$f$$ y$$g$$ como se define.

21)$$\displaystyle f(x)=2\sum_{n=0}^∞x^n,g(x)=\sum_{n=0}^∞nx^n$$

Contestar
$$a_n=2, \, b_n=n$$así$$\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^nb_ka_{n−k}=2\sum_{k=0}^nk=(n)(n+1)$$ y$$\displaystyle f(x)g(x)=\sum_{n=1}^∞n(n+1)x^n$$

22)$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^∞x^n,\; g(x)=\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}x^n$$. Expresar los coeficientes de$$f(x)g(x)$$ en términos de$$\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$.

23)$$\displaystyle f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^∞\left(\frac{x}{2}\right)^n$$

Contestar
$$a_n=b_n=2^{−n}$$así$$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^nb_ka_{n−k}=2^{−n}\sum_{k=1}^n1=\frac{n}{2^n}$$ y$$\displaystyle f(x)g(x)=\sum_{n=1}^∞n\left(\frac{x}{2}\right)^n$$

24)$$\displaystyle f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^∞nx^n$$

En los ejercicios 25 - 26, diferenciar la expansión de serie dada de$$f$$ término por término para obtener la expansión de serie correspondiente para la derivada de$$f.$$

25)$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^n$$

Contestar
El derivado de$$f$$ es$$\displaystyle −\frac{1}{(1+x)^2}=−\sum_{n=0}^∞(−1)^n(n+1)x^n$$.

26)$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞x^{2n}$$

En los ejercicios 27 - 28, integrar la expansión de serie dada$$f$$ de término por término de cero$$x$$ para obtener la expansión de serie correspondiente para la integral indefinida de$$f$$.

27)$$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}=\sum_{n=1}^∞(−1)^n(2n)x^{2n−1}$$

Contestar
La integral indefinida de$$f$$ es$$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n}$$.

28)$$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{1+x^2}=2\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n+1}$$

En los ejercicios 29 - 32, evaluar cada serie infinita identificándola como el valor de una derivada o integral de series geométricas.

29) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{2^n}$$ como$$f′\left(\frac{1}{2}\right)$$ dónde$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞x^n$$.

Contestar
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞x^n=\frac{1}{1−x}; \; f′(\frac{1}{2})=\sum_{n=1}^∞\frac{n}{2^{n−1}}=\frac{d}{dx}(1−x)^{−1}\Big|_{x=1/2}=\frac{1}{(1−x)^2}\Big|_{x=1/2}=4$$por lo$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{2^n}=2.$$

30) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{3^n}$$ como$$f′\left(\frac{1}{3}\right)$$ dónde$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞x^{6n}$$.

31) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{n(n−1)}{2^n}$$ como$$f''\left(\frac{1}{2}\right)$$ dónde$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞x^n$$.

Contestar
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞x^n=\frac{1}{1−x}; \; f''\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^∞\frac{n(n−1)}{2^{n−2}}=\frac{d^2}{dx^2}(1−x)^{−1}\Big|_{x=1/2}=\frac{2}{(1−x)^3}\Big|_{x=1/2}=16$$por lo$$\displaystyle \sum_{n=2}^∞n\frac{(n−1)}{2^n}=4.$$

32) Evaluar$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{n+1}$$ como$$\displaystyle ∫^1_0f(t) \, dt$$ dónde$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}$$.

En los ejercicios 33 - 39, dado que$$\displaystyle \frac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$$, utilizar la diferenciación o integración término por término para encontrar series de potencia para cada función centrada en el punto dado.

33)$$f(x)=\ln x$$ centrado en$$x=1$$ (Pista:$$x=1−(1−x)$$)

Contestar
$$\displaystyle ∫\sum(1−x)^n\,dx=∫\sum(−1)^n(x−1)^n\,dx=\sum \frac{(−1)^n(x−1)^{n+1}}{n+1}$$

34)$$\ln(1−x)$$ en$$x=0$$

35)$$\ln(1−x^2)$$ en$$x=0$$

Contestar
$$\displaystyle −∫^{x^2}_{t=0}\frac{1}{1−t}dt=−\sum_{n=0}^∞∫^{x^2}_0t^ndx−\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2(n+1)}}{n+1}=−\sum_{n=1}^∞\frac{x^{2n}}{n}$$

36)$$f(x)=\dfrac{2x}{(1−x^2)^2}$$ en$$x=0$$

37)$$f(x)=\tan^{−1}(x^2)$$ en$$x=0$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{x^2}_0\frac{dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n∫^{x^2}_0t^{2n}dt=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n+1}}{2n+1}∣^{x^2}_{t=0}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{4n+2}}{2n+1}$$

38)$$f(x)=\ln(1+x^2)$$ en$$x=0$$

39)$$\displaystyle f(x)=∫^x_0\ln t\,dt$$ donde$$\displaystyle \ln(x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\frac{(x−1)^n}{n}$$

Contestar
La integración término por término da$$\displaystyle ∫^x_0\ln t\,dt=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\frac{(x−1)^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\left(\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}\right)(x−1)^{n+1}=(x−1)\ln x+\sum_{n=2}^∞(−1)^n\frac{(x−1)^n}{n}=x\ln x−x.$$

40) [T] Evaluar la expansión de la serie de potencia$$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\frac{x^n}{n}$$ en$$x=1$$ para mostrar que$$\ln(2)$$ es la suma de la serie armónica alterna. Utilice la prueba de series alternas para determinar cuántos términos de la suma se necesitan para estimar con$$\ln(2)$$ precisión dentro$$0.001,$$ y encontrar tal aproximación.

41) [T] Restar la serie infinita de$$\ln(1−x)$$ de$$\ln(1+x)$$ para obtener una serie de potencia para$$\ln\left(\dfrac{1+x}{1−x}\right)$$. Evaluar en$$x=\frac{1}{3}$$. ¿Cuál es el menor de$$N$$ tal manera que la suma$$N^{\text{th}}$$ parcial de esta serie se aproxima$$\ln(2)$$ con un error menor que$$0.001$$?

Contestar
$$\displaystyle \ln(1−x)=−\sum_{n=1}^∞\frac{x^n}{n}$$Así lo tenemos$$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\frac{x^n}{n}$$. Así,$$\displaystyle \ln\left(\frac{1+x}{1−x}\right)=\sum_{n=1}^∞\big(1+(−1)^{n−1}\big)\frac{x^n}{n}=2\sum_{n=1}^∞\frac{x^{2n−1}}{2n−1}$$. Cuando$$x=\frac{1}{3}$$ obtengamos$$\displaystyle \ln(2)=2\sum_{n=1}^∞\frac{1}{3^{2n−1}(2n−1)}$$. Tenemos$$\displaystyle 2\sum_{n=1}^3\frac{1}{3^{2n−1}(2n−1)}=0.69300…$$, mientras$$\displaystyle 2\sum_{n=1}^4\frac{1}{3^{2n−1}(2n−1)}=0.69313…$$ y$$\ln(2)=0.69314…;$$ por lo tanto,$$N=4$$.

En los ejercicios 42 - 45, utilizando una sustitución si se indica, expresar cada serie en términos de funciones elementales y encontrar el radio de convergencia de la suma.

42)$$\displaystyle \sum_{k=0}^∞(x^k−x^{2k+1})$$

43)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{3k}}{6k}$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k}=−\ln(1−x)$$así$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{3k}}{6k}=−\frac{1}{6}\ln(1−x^3)$$. El radio de convergencia es igual a$$1$$ por la prueba de relación.

44)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞(1+x^2)^{−k}$$ usando$$y=\dfrac{1}{1+x^2}$$

45)$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞2^{−kx}$$ usando$$y=2^{−x}$$

Contestar
Si$$y=2^{−x}$$, entonces$$\displaystyle \sum_{k=1}^∞y^k=\frac{y}{1−y}=\frac{2^{−x}}{1−2^{−x}}=\frac{1}{2^x−1}$$. Si$$a_k=2^{−kx}$$, entonces$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=2^{−x}<1$$ cuando$$x>0$$. Entonces la serie converge para todos$$x>0$$.

46) Demostrar eso, hasta poderes$$x^3$$ y$$y^3$$,$$\displaystyle E(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}$$ satisface$$E(x+y)=E(x)E(y)$$.

47) Diferenciar la$$\displaystyle E(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n!}$$ serie término por término para mostrar que$$E(x)$$ es igual a su derivada.

Contestar
Las respuestas variarán.

48) Demostrar que si$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ es una suma de potencias pares, es decir,$$a_n=0$$ si$$n$$ es impar, entonces$$\displaystyle F=∫^x_0f(t)\, dt$$ es una suma de potencias impares, mientras que si$$I$$ es una suma de potencias impares, entonces$$F$$ es una suma de potencias pares.

49) [T] Supongamos que los coeficientes a de la serie$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ están definidos por la relación de recurrencia$$a_n=\dfrac{a_{n−1}}{n}+\dfrac{a_{n−2}}{n(n−1)}$$. Para$$a_0=0$$ y$$a_1=1$$, computar y trazar las sumas$$\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^Na_nx^n$$ para$$N=2,3,4,5$$ on$$[−1,1].$$

Contestar

La curva sólida es$$S_5$$. La curva discontinua es$$S_2$$, punteada es$$S_3$$ y punteada es$$S_4$$

50) [T] Supongamos que los coeficientes a de la serie$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ están definidos por la relación de recurrencia$$a_n=\dfrac{a_{n−1}}{\sqrt{n}}−\dfrac{a_{n−2}}{\sqrt{n(n−1)}}$$. Para$$a_0=1$$ y$$a_1=0$$, computar y trazar las sumas$$\displaystyle S_N=\sum_{n=0}^Na_nx^n$$ para$$N=2,3,4,5$$ on$$[−1,1]$$.

51) [T] Dada la expansión de la serie de potencia$$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}\frac{x^n}{n}$$, determinar cuántos términos$$N$$ de la suma evaluada en$$x=−1/2$$ son necesarios para aproximar con$$\ln(2)$$ precisión dentro de$$1/1000.$$ Evaluar la suma parcial correspondiente$$\displaystyle \sum_{n=1}^N(−1)^{n−1}\frac{x^n}{n}$$.

Contestar
Cuando$$\displaystyle x=−\frac{1}{2}, \;−\ln(2)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)=−\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n2^n}$$. Dado$$\displaystyle \sum^∞_{n=11}\frac{1}{n2^n}<\sum_{n=11}^∞\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{10}},$$ que,$$\ln(2)=0.69314…;$$ por lo$$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n2^n}=0.69306…$$ tanto,$$N=10.$$

52) [T] Dada la expansión de la serie de potencia$$\displaystyle \tan^{−1}(x)=\sum_{k=0}^∞(−1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$, utilice la prueba de series alternas para determinar cuántos términos$$N$$ de la suma evaluada en$$x=1$$ son necesarios para aproximar con$$\tan^{−1}(1)=\frac{π}{4}$$ precisión dentro de$$1/1000.$$ Evaluar la suma parcial correspondiente$$\displaystyle \sum_{k=0}^N(−1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$.

53) [T] Recordemos que$$\tan^{−1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{π}{6}.$$ Asumiendo un valor exacto de$$\frac{1}{\sqrt{3}})$$, estimar$$\frac{π}{6}$$ evaluando sumas parciales de la expansión$$S_N\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ de la serie de potencia$$\displaystyle \tan^{−1}(x)=\sum_{k=0}^∞(−1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$ en$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$. ¿Cuál es el número más pequeño$$N$$ tal que$$6S_N\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ se aproxima$$π$$ con precisión al interior$$0.001$$? ¿Cuántos términos se necesitan para que la precisión sea dentro$$0.00001$$?

Contestar
$$\displaystyle 6S_N\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^N(−1)^n\frac{1}{3^n(2n+1).}$$Uno tiene$$π−6S_4\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101…$$ y$$π−6S_5\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028…$$ así$$N=5$$ es la suma parcial más pequeña con precisión a dentro$$0.001.$$ También,$$π−6S_7\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002…$$ mientras$$π−6S_8\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=−0.000007…$$ que también$$N=8$$ es la más pequeña$$N$$ para dar precisión a dentro$$0.00001.$$