10.4E: Ejercicios para la Sección 10.4

En los ejercicios 1 - 4, use sustituciones apropiadas para anotar la serie Maclaurin para el binomio dado.

1)\((1−x)^{1/3}\)

2)\((1+x^2)^{−1/3}\)

Responder

\(\displaystyle (1+x^2)^{−1/3}=\sum_{n=0}^∞\left(n^{−\frac{1}{3}}\right)x^{2n}\)

3)\((1−x)^{1.01}\)

4)\((1−2x)^{2/3}\)

Responder

\(\displaystyle (1−2x)^{2/3}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n2^n\left(n^{\frac{2}{3}}\right)x^n\)

En los ejercicios 5 - 12, utilice la sustitución\((b+x)^r=(b+a)^r\left(1+\dfrac{x−a}{b+a}\right)^r\) en la expansión binomial para encontrar la serie Taylor de cada función con el centro dado.

5)\(\sqrt{x+2}\) en\(a=0\)

6)\(\sqrt{x^2+2}\) en\(a=0\)

Responder

\(\displaystyle \sqrt{2+x^2}=\sum_{n=0}^∞2^{(1/2)−n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)x^{2n};(|x^2|<2)\)

7)\(\sqrt{x+2}\) en\(a=1\)

8)\(\sqrt{2x−x^2}\) en\(a=1\) (Pista:\(2x−x^2=1−(x−1)^2\))

Responder

\(\sqrt{2x−x^2}=\sqrt{1−(x−1)^2}\)entonces\(\displaystyle \sqrt{2x−x^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−1)^{2n}\)

9)\((x−8)^{1/3}\) en\(a=9\)

10)\(\sqrt{x}\) en\(a=4\)

Responder

\(\sqrt{x}=2\sqrt{1+\frac{x−4}{4}}\)entonces\(\displaystyle \sqrt{x}=\sum_{n=0}^∞2^{1−2n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−4)^n\)

11)\(x^{1/3}\) en\(a=27\)

12)\(\sqrt{x}\) en\(x=9\)

Responder

\(\displaystyle \sqrt{x}=\sum_{n=0}^∞3^{1−3n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−9)^n\)

En los ejercicios 13 - 14, utilizar el teorema binomial para estimar cada número, calculando términos suficientes para obtener una estimación exacta a un error de como máximo\(1/1000.\)

13) [T]\((15)^{1/4}\) usando\((16−x)^{1/4}\)

14) [T]\((1001)^{1/3}\) usando\((1000+x)^{1/3}\)

Responder

\(\displaystyle 10(1+\frac{x}{1000})^{1/3}=\sum_{n=0}^∞10^{1−3n}(^{\frac{1}{3}}_n)x^n\). Usando, por ejemplo, una estimación de cuarto grado en\(x=1\) da\((1001)^{1/3}≈10\left(1+\left(1^{\frac{1}{3}}\right)10^{−3}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)10^{−6}+\left(3^{\frac{1}{3}}\right)10^{−9}+\left(3^{\frac{1}{3}}\right)10^{−12}\right)=10\left(1+\frac{1}{3.10^3}−\frac{1}{9.10^6}+\frac{5}{81.10^9}−\frac{10}{243.10^{12}}\right)=10.00333222...\) mientras que\((1001)^{1/3}=10.00332222839093....\) Dos términos serían suficientes para una precisión de tres dígitos.

En los ejercicios 15 - 18, utilice la aproximación binomial\(\sqrt{1−x}≈1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{128}−\frac{7x^5}{256}\) para\(|x|<1\) aproximar cada número. Comparar este valor con el valor dado por una calculadora científica.

15) [T]\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) usando\(x=\frac{1}{2}\) en\((1−x)^{1/2}\)

16) [T]\(\sqrt{5}=5×\frac{1}{\sqrt{5}}\) usando\(x=\frac{4}{5}\) en\((1−x)^{1/2}\)

Responder

La aproximación es\(2.3152\); el valor CAS es\(2.23….\)

17) [T]\(\sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{3}}\) usando\(x=\frac{2}{3}\) en\((1−x)^{1/2}\)

18) [T]\(\sqrt{6}\) usando\(x=\frac{5}{6}\) en\((1−x)^{1/2}\)

Responder

La aproximación es\(2.583…\); el valor CAS es\(2.449….\)

19) Integrar la aproximación binomial de\(\sqrt{1−x}\) para encontrar una aproximación de\(\displaystyle ∫^x_0\sqrt{1−t}\,dt\).

20) [T] Recordemos que la gráfica de\(\sqrt{1−x^2}\) es un semicírculo superior de radio\(1\). Integrar la aproximación binomial de\(\sqrt{1−x^2}\) hasta orden\(8\) de\(x=−1\)\(x=1\) a estimación\(\frac{π}{2}\).

Responder

\(\sqrt{1−x^2}=1−\frac{x^2}{2}−\frac{x^4}{8}−\frac{x^6}{16}−\frac{5x^8}{128}+⋯.\)Por lo tanto\(\displaystyle ∫^1_{−1}\sqrt{1−x^2}\,dx=\left[x−\frac{x^3}{6}−\frac{x^5}{40}−\frac{x^7}{7⋅16}−\frac{5x^9}{9⋅128}+⋯\right]\Big|^1_{−1}≈2−\frac{1}{3}−\frac{1}{20}−\frac{1}{56}−\frac{10}{9⋅128}+error=1.590...\), mientras\(\frac{π}{2}=1.570...\)

En los ejercicios 21 - 24, utilice la expansión\((1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯\) para escribir los primeros cinco términos (no necesariamente un polinomio cuártico) de cada expresión.

21)\((1+4x)^{1/3};\;a=0\)

22)\((1+4x)^{4/3};\;a=0\)

Responder

\((1+x)^{4/3}=(1+x)(1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯)=1+\frac{4x}{3}+\frac{2x^2}{9}−\frac{4x^3}{81}+\frac{5x^4}{243}+⋯\)

23)\((3+2x)^{1/3};\;a=−1\)

24)\((x^2+6x+10)^{1/3};\;a=−3\)

Responder

\((1+(x+3)^2)^{1/3}=1+\frac{1}{3}(x+3)^2−\frac{1}{9}(x+3)^4+\frac{5}{81}(x+3)^6−\frac{10}{243}(x+3)^8+⋯\)

25) Usar\((1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯\) con\(x=1\) para aproximar\(2^{1/3}\).

26) Utilizar la aproximación\((1−x)^{2/3}=1−\frac{2x}{3}−\frac{x^2}{9}−\frac{4x^3}{81}−\frac{7x^4}{243}−\frac{14x^5}{729}+⋯\) para\(|x|<1\) aproximar\(2^{1/3}=2.2^{−2/3}\).

Responder

Dos veces la aproximación es\(1.260…\) mientras\(2^{1/3}=1.2599....\)

27) Encuentra la\(25^{\text{th}}\) derivada de\(f(x)=(1+x^2)^{13}\) at\(x=0\).

28) Encuentra la\(99^{\text{th}}\) derivada de\(f(x)=(1+x^4)^{25}\).

Responder

\(f^{(99)}(0)=0\)

En los ejercicios 29 - 36, encuentra la serie Maclaurin de cada función.

29)\(f(x)=xe^{2x}\)

30)\(f(x)=2^x\)

Responder

\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(\ln(2)x)^n}{n!}\)

31)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)

32)\(f(x)=\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}},(x>0),\)

Responder

Para\(\displaystyle x>0,\, \sin(\sqrt{x})=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{(2n+1)/2}}{\sqrt{x}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^n}{(2n+1)!}\).

33)\(f(x)=\sin(x^2)\)

34)\(f(x)=e^{x^3}\)

Responder

\(\displaystyle e^{x^3}=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{3n}}{n!}\)

35)\(f(x)=\cos^2x\) usando la identidad\(\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\)

36)\(f(x)=\sin^2x\) usando la identidad\(\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\)

Responder

\(\displaystyle \sin^2x=−\sum_{k=1}^∞\frac{(−1)^k2^{2k−1}x^{2k}}{(2k)!}\)

En los ejercicios 37 - 44, encuentra la serie Maclaurin de\(\displaystyle F(x)=∫^x_0f(t)\,dt\) integrando la serie Maclaurin de\(f\) término por término. Si no\(f\) se define estrictamente en cero, puede sustituir el valor de la serie Maclaurin en cero.

37)\(\displaystyle F(x)=∫^x_0e^{−t^2}\,dt;\; f(t)=e^{−t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{n!}\)

38)\(\displaystyle F(x)=\tan^{−1}x;\; f(t)=\frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nt^{2n}\)

Responder

\(\displaystyle \tan^{−1}x=\sum_{k=0}^∞\frac{(−1)^kx^{2k+1}}{2k+1}\)

39)\(\displaystyle F(x)=\tanh^{−1}x; \; f(t)=\frac{1}{1−t^2}=\sum_{n=0}^∞t^{2n}\)

40)\(\displaystyle F(x)=\sin^{−1}x; \; f(t)=\frac{1}{\sqrt{1−t^2}}=\sum_{k=0}^∞\left(k^{\frac{1}{2}}\right)\frac{t^{2k}}{k!}\)

Responder

\(\displaystyle \sin^{−1}x=\sum_{n=0}^∞\left(n^{\frac{1}{2}}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}\)

41)\(\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{\sin t}{t}\,dt; \; f(t)=\frac{\sin t}{t}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}\)

42)\(\displaystyle F(x)=∫^x_0\cos\left(\sqrt{t}\right)\,dt; \; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^n}{(2n)!}\)

Responder

\(\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(2n)!}\)

43)\(\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{1−\cos t}{t^2}\,dt; \; f(t)=\frac{1−\cos t}{t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{(2n+2)!}\)

44)\(\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{\ln(1+t)}{t}\,dt; \; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^n}{n+1}\)

Responder

\(\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\frac{x^n}{n^2}\)

En los ejercicios 45 - 52, computar al menos los tres primeros términos distintos de cero (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie Maclaurin de\(f\).

45)\(f(x)=\sin\left(x+\frac{π}{4}\right)=\sin x\cos\left(\frac{π}{4}\right)+\cos x\sin\left(\frac{π}{4}\right)\)

46)\(f(x)=\tan x\)

Responder

\(x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+⋯\)

47)\(f(x)=\ln(\cos x)\)

48)\(f(x)=e^x\cos x\)

Responder

\(1+x−\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{6}+⋯\)

49)\(f(x)=e^{\sin x}\)

50)\(f(x)=\sec^2x\)

Responder

\(1+x^2+\dfrac{2x^4}{3}+\dfrac{17x^6}{45}+⋯\)

51)\(f(x)=\tanh x\)

52)\(f(x)=\dfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) (ver expansión para\(\tan x\))

Responder

Usando la expansión para\(\tan x\) da\(1+\dfrac{x}{3}+\dfrac{2x^2}{15}\).

En los ejercicios 53 - 56, encuentra el radio de convergencia de la serie Maclaurin de cada función.

53)\(\ln(1+x)\)

54)\(\dfrac{1}{1+x^2}\)

Responder

\(\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n}\)así\(R=1\) por la prueba de relación.

55)\(\tan^{−1}x\)

56)\(\ln(1+x^2)\)

Responder

\(\displaystyle \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n−1}}{n}x^{2n}\)así\(R=1\) por la prueba de relación.

57) Encuentra la serie Maclaurin de\(\sinh x=\dfrac{e^x−e^{−x}}{2}\).

58) Encuentra la serie Maclaurin de\(\cosh x=\dfrac{e^x+e^{−x}}{2}\).

Responder

Agregar series de\(e^x\) y\(e^{−x}\) término por término. Términos impares cancelan y\(\displaystyle \cosh x=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n}}{(2n)!}\).

59) Diferenciar término por término la serie Maclaurin\(\sinh x\) y comparar el resultado con la serie Maclaurin de\(\cosh x\).

60) [T] Dejar\(\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=0}^n(−1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\) y\(\displaystyle C_n(x)=\sum_{n=0}^n(−1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\) denotar los polinomios Maclaurin respectivos de grado\(2n+1\) de\(\sin x\) y grado\(2n\) de\(\cos x\). Trazar los errores\(\dfrac{S_n(x)}{C_n(x)}−\tan x\) para\(n=1,..,5\) y compararlos con\(x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}−\tan x\) on\(\left(−\frac{π}{4},\frac{π}{4}\right)\).

Responder

La relación\(\dfrac{S_n(x)}{C_n(x)}\) se aproxima\(\tan x\) mejor que\(p_7(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}\) para\(N≥3\). Las curvas discontinuas son\(\dfrac{S_n}{C_n}−\tan x\) para\(n=1,\, 2\). La curva punteada corresponde a\(n=3\), y la curva punteada corresponde a\(n=4\). La curva sólida es\(p_7−\tan x\).

61) Utilice la identidad\(2\sin x\cos x=\sin(2x)\) para encontrar la expansión de la serie de potencia de\(\sin^2x\) at\(x=0\). (Pista: Integrar la serie Maclaurin de\(\sin(2x)\) término por término.)

62) Si\(\displaystyle y=\sum_{n=0}^∞a_nx^n\), encuentre las expansiones de la serie de potencia de\(xy′\) y\(x^2y''\).

Responder

Por el teorema de diferenciación término por término,\(\displaystyle y′=\sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}\) así\(\displaystyle y′=\sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}xy′=\sum_{n=1}^∞na_nx^n\), mientras que\(\displaystyle y′=\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^{n−2}\) así\(\displaystyle xy''=\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^n\).

63) [T] Supongamos que\(\displaystyle y=\sum_{k=0}^∞a^kx^k\) satisface\(y′=−2xy\) y\(y(0)=0\). Demuéstralo\(a_{2k+1}=0\) para todos\(k\) y eso\(a_{2k+2}=\dfrac{−a_{2k}}{k+1}\). Trazar la suma parcial\(S_{20}\) de\(y\) en el intervalo\([−4,4]\).

64) [T] Supongamos que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media\(μ=100\) y desviación estándar\(σ=10\). Establecer una integral que represente la probabilidad de que una puntuación de prueba esté entre\(90\)\(110\) y y usar la integral del grado polinomio de\(10\) Maclaurin\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) para estimar esta probabilidad.

Responder

La probabilidad es\(\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^{(b−μ)/σ}_{(a−μ)/σ}e^{−x^2/2}\,dx\) dónde\(a=90\) y\(b=100\), es decir,\(\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^1_{−1}e^{−x^2/2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^1_{−1}\sum_{n=0}^5(−1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}\,dx=\frac{2}{\sqrt{2π}}\sum_{n=0}^5(−1)^n\frac{1}{(2n+1)2^nn!}≈0.6827.\)

65) [T] Supongamos que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media\(μ=100\) y desviación estándar\(σ=10\). Establecer una integral que represente la probabilidad de que una puntuación de prueba esté entre\(70\)\(130\) y y usar la integral del grado polinomio de\(50\) Maclaurin\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) para estimar esta probabilidad.

66) [T] Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge a una función\(f(x)\) tal que\(f(0)=1,\, f′(0)=0\), y\(f''(x)=−f(x)\). Encuentre una fórmula para\(a_n\) y trazar la suma parcial\(S_N\) para\(N=20\) on\([−5,5].\)

Responder

Al igual que en el problema anterior se obtiene\(a_n=0\) si\(n\) es impar y\(a_n=−(n+2)(n+1)a_{n+2}\) si\(n\) es par, así\(a_0=1\) lleva a\(a_{2n}=\dfrac{(−1)^n}{(2n)!}\).

67) [T] Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge a una función\(f(x)\) tal que\(f(0)=0,\; f′(0)=1\), y\(f''(x)=−f(x)\). Encuentra una fórmula para an y traza la suma parcial\(S_N\) para\(N=10\) on\([−5,5]\).

68) Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge a una función\(y\) tal que\(y''−y′+y=0\) donde\(y(0)=1\) y\(y'(0)=0.\) Encuentra una fórmula que se relaciona\(a_{n+2},\;a_{n+1},\) y una y computa\(a_0,...,a_5\).

Responder

\(\displaystyle y''=\sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\)y\(\displaystyle y′=\sum_{n=0}^∞(n+1)a_{n+1}x^n\) así\(y''−y′+y=0\) implica eso\((n+2)(n+1)a_{n+2}−(n+1)a_{n+1}+a_n=0\) o\(a_n=\dfrac{a_{n−1}}{n}−\dfrac{a_{n−2}}{n(n−1)}\) para todos\(n⋅y(0)=a_0=1\) y\(y′(0)=a_1=0,\) así\(a_2=\frac{1}{2},\;a_3=\frac{1}{6}\;,a_4=0\), y\(a_5=−\frac{1}{120}\).

69) Supongamos que\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) converge a una función\(y\) tal que\(y''−y′+y=0\) donde\(y(0)=0\) y\(y′(0)=1\). Encuentre una fórmula que se\(a_{n+2},\;a_{n+1}\) relacione, y un y compute\(a_1,...,a_5\).

El error al aproximar la integral\(\displaystyle ∫^b_af(t)\, dt\) por la de una aproximación de Taylor\(\displaystyle ∫^b_aPn(t) \,dt\) es como mucho\(\displaystyle ∫^b_aR_n(t) \,dt\). En los ejercicios 70 - 71, la estimación del resto de Taylor\(R_n≤\frac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}\) garantiza que la integral del polinomio Taylor del orden dado se aproxima a la integral de\(f\) con un error menor que\(\frac{1}{10}\).

a. Evaluar la integral del polinomio Taylor apropiado y verificar que se aproxime al valor CAS con un error menor que\(\frac{1}{100}\).

b. Comparar la precisión de la estimación integral polinomial con la estimación del resto.

70) [T]\(\displaystyle ∫^π_0\frac{\sin t}{t}\, dt;\quad P_s=1−\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}−\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}\) (Se puede suponer que el valor absoluto de la novena derivada de\(\frac{\sin t}{t}\) está delimitado por\(0.1\).)

Responder

a. (Prueba)
b. Tenemos\(R_s≤\frac{0.1}{(9)!}π^9≈0.0082<0.01.\) Tenemos\(\displaystyle ∫^π_0\left(1−\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}−\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}\right)\,dx=π−\frac{π^3}{3⋅3!}+\frac{π^5}{5⋅5!}−\frac{π^7}{7⋅7!}+\frac{π^9}{9⋅9!}=1.852...,\) mientras que\(\displaystyle ∫^π_0\frac{\sin t}{t}\,dt=1.85194...\), por lo que el error real es aproximadamente\(0.00006.\)

71) [T]\(\displaystyle ∫^2_0e^{−x^2}\,dx;\; p_{11}=1−x^2+\frac{x^4}{2}−\frac{x^6}{3!}+⋯−\frac{x^{22}}{11!}\) (Se puede suponer que el valor absoluto de la\(23^{\text{rd}}\) derivada de\(e^{−x^2}\) es menor que\(2×10^{14}\).)

Los siguientes ejercicios (72-73) tratan sobre integrales de Fresnel.

72) Las integrales de Fresnel se definen por\(\displaystyle C(x)=∫^x_0\cos(t^2)\,dt\) y\(\displaystyle S(x)=∫^x_0\sin(t^2)\,dt\). Calcular la serie de potencia de\(C(x)\)\(S(x)\) y y trazar las sumas\(C_N(x)\) y\(S_N(x)\) de los primeros términos\(N=50\) distintos de cero en\([0,2π]\).

Responder

Desde\(\displaystyle \cos(t^2)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{4n}}{(2n)!}\) y\(\displaystyle \sin(t^2)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{4n+2}}{(2n+1)!}\), uno tiene\(\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}\) y\(\displaystyle C(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}\). Las sumas de los primeros términos\(50\) distintos de cero se trazan a continuación con\(C_{50}(x)\) la curva sólida y\(S_{50}(x)\) la curva discontinua.

73) [T] Las integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño para carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas\((C(t),S(t))\). Trazar la curva\((C_{50},S_{50})\) para\(0≤t≤2π\), cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior.

74) Estimar\(\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x−x^2}\,dx\) aproximando\(\sqrt{1−x}\) usando la aproximación binomial\(\displaystyle 1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{2128}−\frac{7x^5}{256}\).

Responder

\(\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x}\left(1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{128}−\frac{7x^5}{256}\right)\,dx =\frac{2}{3}2^{−3}−\frac{1}{2}\frac{2}{5}2^{−5}−\frac{1}{8}\frac{2}{7}2^{−7}−\frac{1}{16}\frac{2}{9}2^{−9}−\frac{5}{128}\frac{2}{11}2^{−11}−\frac{7}{256}\frac{2}{13}2^{−13}=0.0767732...\)mientras que\(\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x−x^2}\, dx=0.076773.\)

75) [T] Utilice la aproximación de Newton del binomio\(\sqrt{1−x^2}\) para aproximarse de la\(π\) siguiente manera. El círculo centrado en\((\frac{1}{2},0)\) con radio\(\frac{1}{2}\) tiene semicírculo superior\(y=\sqrt{x}\sqrt{1−x}\). El sector de este círculo delimitado por el\(x\) -eje entre\(x=0\) y\(x=\frac{1}{2}\) y por la línea que une\((\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\) corresponde a\(\frac{1}{6}\) del círculo y tiene área\(\frac{π}{24}\). Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) y base\(\frac{1}{4}\) y la región debajo de la gráfica entre\(x=0\) y\(x=\frac{1}{4}\). Para encontrar el área de esta región se puede escribir\(y=\sqrt{x}\sqrt{1−x}=\sqrt{x}×(\text{binomial expansion of} \sqrt{1−x})\) e integrar término por término. Utilice este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar\(π\).

76) Utilizar la aproximación\(T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{k^2}{4})\) para aproximar el periodo de un péndulo que tiene\(10\) metros de longitud y ángulo máximo\(θ_{max}=\frac{π}{6}\) donde\(k=\sin\left(\frac{θ_{max}}{2}\right)\). Compare esto con la estimación de ángulo pequeño\(T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}\).

Responder

\(T≈2π\sqrt{\frac{10}{9.8}}\left(1+\frac{\sin^2(θ/12)}{4}\right)≈6.453\)segundos. La estimación de ángulo pequeño es\(T≈2π\sqrt{\frac{10}{9.8}≈6.347}\). El error relativo es de alrededor\(2\) por ciento.

77) Supongamos que un péndulo es tener un periodo de\(2\) segundos y un ángulo máximo de\(θ_{max}=\frac{π}{6}\). Se usa\(T≈2π\sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\dfrac{k^2}{4}\right)\) para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud predice la estimación de ángulo pequeño\(T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}\)?

78) Evaluar\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin^4θ\,dθ\) en la aproximación\(\displaystyle T=4\sqrt{\frac{L}{g}}∫^{π/2}_0\left(1+\frac{1}{2}k^2\sin^2θ+\frac{3}{8}k^4\sin^4θ+⋯\right)\,dθ\) para obtener una estimación mejorada para\(T\).

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\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin^4θ\, dθ=\frac{3π}{16}.\)De ahí\(T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{k^2}{4}+\frac{9}{256}k^4\right).\)

79) [T] Una fórmula equivalente para el periodo de un péndulo con amplitud\(\displaystyle θ_{max}\) es\(T(θ_{max})=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{L}{g}}∫^{θ_{max}}_0\frac{dθ}{\sqrt{\cos θ}−\cos(θ_{max})}\) donde\(L\) está la longitud del péndulo y\(g\) es la constante de aceleración gravitacional. Cuando\(θ_{max}=\frac{π}{3}\) lleguemos\(\dfrac{1}{\sqrt{\cos t−1/2}}≈\sqrt{2}\left(1+\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{3}+\frac{181t^6}{720}\right)\). Integrar esta aproximación para estimar\(T(\frac{π}{3})\) en términos de\(L\) y\(g\). Suponiendo\(g=9.806\) metros por segundo al cuadrado, encuentra una longitud aproximada\(L\) tal que\(T(\frac{π}{3})=2\) segundos.

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