Saltar al contenido principal

# 10.4E: Ejercicios para la Sección 10.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, use sustituciones apropiadas para anotar la serie Maclaurin para el binomio dado.

1)$$(1−x)^{1/3}$$

2)$$(1+x^2)^{−1/3}$$

Responder
$$\displaystyle (1+x^2)^{−1/3}=\sum_{n=0}^∞\left(n^{−\frac{1}{3}}\right)x^{2n}$$

3)$$(1−x)^{1.01}$$

4)$$(1−2x)^{2/3}$$

Responder
$$\displaystyle (1−2x)^{2/3}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n2^n\left(n^{\frac{2}{3}}\right)x^n$$

En los ejercicios 5 - 12, utilice la sustitución$$(b+x)^r=(b+a)^r\left(1+\dfrac{x−a}{b+a}\right)^r$$ en la expansión binomial para encontrar la serie Taylor de cada función con el centro dado.

5)$$\sqrt{x+2}$$ en$$a=0$$

6)$$\sqrt{x^2+2}$$ en$$a=0$$

Responder
$$\displaystyle \sqrt{2+x^2}=\sum_{n=0}^∞2^{(1/2)−n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)x^{2n};(|x^2|<2)$$

7)$$\sqrt{x+2}$$ en$$a=1$$

8)$$\sqrt{2x−x^2}$$ en$$a=1$$ (Pista:$$2x−x^2=1−(x−1)^2$$)

Responder
$$\sqrt{2x−x^2}=\sqrt{1−(x−1)^2}$$entonces$$\displaystyle \sqrt{2x−x^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−1)^{2n}$$

9)$$(x−8)^{1/3}$$ en$$a=9$$

10)$$\sqrt{x}$$ en$$a=4$$

Responder
$$\sqrt{x}=2\sqrt{1+\frac{x−4}{4}}$$entonces$$\displaystyle \sqrt{x}=\sum_{n=0}^∞2^{1−2n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−4)^n$$

11)$$x^{1/3}$$ en$$a=27$$

12)$$\sqrt{x}$$ en$$x=9$$

Responder
$$\displaystyle \sqrt{x}=\sum_{n=0}^∞3^{1−3n}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)(x−9)^n$$

En los ejercicios 13 - 14, utilizar el teorema binomial para estimar cada número, calculando términos suficientes para obtener una estimación exacta a un error de como máximo$$1/1000.$$

13) [T]$$(15)^{1/4}$$ usando$$(16−x)^{1/4}$$

14) [T]$$(1001)^{1/3}$$ usando$$(1000+x)^{1/3}$$

Responder
$$\displaystyle 10(1+\frac{x}{1000})^{1/3}=\sum_{n=0}^∞10^{1−3n}(^{\frac{1}{3}}_n)x^n$$. Usando, por ejemplo, una estimación de cuarto grado en$$x=1$$ da$$(1001)^{1/3}≈10\left(1+\left(1^{\frac{1}{3}}\right)10^{−3}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)10^{−6}+\left(3^{\frac{1}{3}}\right)10^{−9}+\left(3^{\frac{1}{3}}\right)10^{−12}\right)=10\left(1+\frac{1}{3.10^3}−\frac{1}{9.10^6}+\frac{5}{81.10^9}−\frac{10}{243.10^{12}}\right)=10.00333222...$$ mientras que$$(1001)^{1/3}=10.00332222839093....$$ Dos términos serían suficientes para una precisión de tres dígitos.

En los ejercicios 15 - 18, utilice la aproximación binomial$$\sqrt{1−x}≈1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{128}−\frac{7x^5}{256}$$ para$$|x|<1$$ aproximar cada número. Comparar este valor con el valor dado por una calculadora científica.

15) [T]$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ usando$$x=\frac{1}{2}$$ en$$(1−x)^{1/2}$$

16) [T]$$\sqrt{5}=5×\frac{1}{\sqrt{5}}$$ usando$$x=\frac{4}{5}$$ en$$(1−x)^{1/2}$$

Responder
La aproximación es$$2.3152$$; el valor CAS es$$2.23….$$

17) [T]$$\sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$ usando$$x=\frac{2}{3}$$ en$$(1−x)^{1/2}$$

18) [T]$$\sqrt{6}$$ usando$$x=\frac{5}{6}$$ en$$(1−x)^{1/2}$$

Responder
La aproximación es$$2.583…$$; el valor CAS es$$2.449….$$

19) Integrar la aproximación binomial de$$\sqrt{1−x}$$ para encontrar una aproximación de$$\displaystyle ∫^x_0\sqrt{1−t}\,dt$$.

20) [T] Recordemos que la gráfica de$$\sqrt{1−x^2}$$ es un semicírculo superior de radio$$1$$. Integrar la aproximación binomial de$$\sqrt{1−x^2}$$ hasta orden$$8$$ de$$x=−1$$$$x=1$$ a estimación$$\frac{π}{2}$$.

Responder
$$\sqrt{1−x^2}=1−\frac{x^2}{2}−\frac{x^4}{8}−\frac{x^6}{16}−\frac{5x^8}{128}+⋯.$$Por lo tanto$$\displaystyle ∫^1_{−1}\sqrt{1−x^2}\,dx=\left[x−\frac{x^3}{6}−\frac{x^5}{40}−\frac{x^7}{7⋅16}−\frac{5x^9}{9⋅128}+⋯\right]\Big|^1_{−1}≈2−\frac{1}{3}−\frac{1}{20}−\frac{1}{56}−\frac{10}{9⋅128}+error=1.590...$$, mientras$$\frac{π}{2}=1.570...$$

En los ejercicios 21 - 24, utilice la expansión$$(1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯$$ para escribir los primeros cinco términos (no necesariamente un polinomio cuártico) de cada expresión.

21)$$(1+4x)^{1/3};\;a=0$$

22)$$(1+4x)^{4/3};\;a=0$$

Responder
$$(1+x)^{4/3}=(1+x)(1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯)=1+\frac{4x}{3}+\frac{2x^2}{9}−\frac{4x^3}{81}+\frac{5x^4}{243}+⋯$$

23)$$(3+2x)^{1/3};\;a=−1$$

24)$$(x^2+6x+10)^{1/3};\;a=−3$$

Responder
$$(1+(x+3)^2)^{1/3}=1+\frac{1}{3}(x+3)^2−\frac{1}{9}(x+3)^4+\frac{5}{81}(x+3)^6−\frac{10}{243}(x+3)^8+⋯$$

25) Usar$$(1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x−\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3−\frac{10}{243}x^4+⋯$$ con$$x=1$$ para aproximar$$2^{1/3}$$.

26) Utilizar la aproximación$$(1−x)^{2/3}=1−\frac{2x}{3}−\frac{x^2}{9}−\frac{4x^3}{81}−\frac{7x^4}{243}−\frac{14x^5}{729}+⋯$$ para$$|x|<1$$ aproximar$$2^{1/3}=2.2^{−2/3}$$.

Responder
Dos veces la aproximación es$$1.260…$$ mientras$$2^{1/3}=1.2599....$$

27) Encuentra la$$25^{\text{th}}$$ derivada de$$f(x)=(1+x^2)^{13}$$ at$$x=0$$.

28) Encuentra la$$99^{\text{th}}$$ derivada de$$f(x)=(1+x^4)^{25}$$.

Responder
$$f^{(99)}(0)=0$$

En los ejercicios 29 - 36, encuentra la serie Maclaurin de cada función.

29)$$f(x)=xe^{2x}$$

30)$$f(x)=2^x$$

Responder
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(\ln(2)x)^n}{n!}$$

31)$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$$

32)$$f(x)=\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}},(x>0),$$

Responder
Para$$\displaystyle x>0,\, \sin(\sqrt{x})=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{(2n+1)/2}}{\sqrt{x}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^n}{(2n+1)!}$$.

33)$$f(x)=\sin(x^2)$$

34)$$f(x)=e^{x^3}$$

Responder
$$\displaystyle e^{x^3}=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{3n}}{n!}$$

35)$$f(x)=\cos^2x$$ usando la identidad$$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$$

36)$$f(x)=\sin^2x$$ usando la identidad$$\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)$$

Responder
$$\displaystyle \sin^2x=−\sum_{k=1}^∞\frac{(−1)^k2^{2k−1}x^{2k}}{(2k)!}$$

En los ejercicios 37 - 44, encuentra la serie Maclaurin de$$\displaystyle F(x)=∫^x_0f(t)\,dt$$ integrando la serie Maclaurin de$$f$$ término por término. Si no$$f$$ se define estrictamente en cero, puede sustituir el valor de la serie Maclaurin en cero.

37)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0e^{−t^2}\,dt;\; f(t)=e^{−t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{n!}$$

38)$$\displaystyle F(x)=\tan^{−1}x;\; f(t)=\frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nt^{2n}$$

Responder
$$\displaystyle \tan^{−1}x=\sum_{k=0}^∞\frac{(−1)^kx^{2k+1}}{2k+1}$$

39)$$\displaystyle F(x)=\tanh^{−1}x; \; f(t)=\frac{1}{1−t^2}=\sum_{n=0}^∞t^{2n}$$

40)$$\displaystyle F(x)=\sin^{−1}x; \; f(t)=\frac{1}{\sqrt{1−t^2}}=\sum_{k=0}^∞\left(k^{\frac{1}{2}}\right)\frac{t^{2k}}{k!}$$

Responder
$$\displaystyle \sin^{−1}x=\sum_{n=0}^∞\left(n^{\frac{1}{2}}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}$$

41)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{\sin t}{t}\,dt; \; f(t)=\frac{\sin t}{t}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}$$

42)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0\cos\left(\sqrt{t}\right)\,dt; \; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^n}{(2n)!}$$

Responder
$$\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(2n)!}$$

43)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{1−\cos t}{t^2}\,dt; \; f(t)=\frac{1−\cos t}{t^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{2n}}{(2n+2)!}$$

44)$$\displaystyle F(x)=∫^x_0\frac{\ln(1+t)}{t}\,dt; \; f(t)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^n}{n+1}$$

Responder
$$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\frac{x^n}{n^2}$$

En los ejercicios 45 - 52, computar al menos los tres primeros términos distintos de cero (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie Maclaurin de$$f$$.

45)$$f(x)=\sin\left(x+\frac{π}{4}\right)=\sin x\cos\left(\frac{π}{4}\right)+\cos x\sin\left(\frac{π}{4}\right)$$

46)$$f(x)=\tan x$$

Responder
$$x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+⋯$$

47)$$f(x)=\ln(\cos x)$$

48)$$f(x)=e^x\cos x$$

Responder
$$1+x−\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{6}+⋯$$

49)$$f(x)=e^{\sin x}$$

50)$$f(x)=\sec^2x$$

Responder
$$1+x^2+\dfrac{2x^4}{3}+\dfrac{17x^6}{45}+⋯$$

51)$$f(x)=\tanh x$$

52)$$f(x)=\dfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$ (ver expansión para$$\tan x$$)

Responder
Usando la expansión para$$\tan x$$ da$$1+\dfrac{x}{3}+\dfrac{2x^2}{15}$$.

En los ejercicios 53 - 56, encuentra el radio de convergencia de la serie Maclaurin de cada función.

53)$$\ln(1+x)$$

54)$$\dfrac{1}{1+x^2}$$

Responder
$$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^∞(−1)^nx^{2n}$$así$$R=1$$ por la prueba de relación.

55)$$\tan^{−1}x$$

56)$$\ln(1+x^2)$$

Responder
$$\displaystyle \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n−1}}{n}x^{2n}$$así$$R=1$$ por la prueba de relación.

57) Encuentra la serie Maclaurin de$$\sinh x=\dfrac{e^x−e^{−x}}{2}$$.

58) Encuentra la serie Maclaurin de$$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{−x}}{2}$$.

Responder
Agregar series de$$e^x$$ y$$e^{−x}$$ término por término. Términos impares cancelan y$$\displaystyle \cosh x=\sum_{n=0}^∞\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$.

59) Diferenciar término por término la serie Maclaurin$$\sinh x$$ y comparar el resultado con la serie Maclaurin de$$\cosh x$$.

60) [T] Dejar$$\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=0}^n(−1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ y$$\displaystyle C_n(x)=\sum_{n=0}^n(−1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ denotar los polinomios Maclaurin respectivos de grado$$2n+1$$ de$$\sin x$$ y grado$$2n$$ de$$\cos x$$. Trazar los errores$$\dfrac{S_n(x)}{C_n(x)}−\tan x$$ para$$n=1,..,5$$ y compararlos con$$x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}−\tan x$$ on$$\left(−\frac{π}{4},\frac{π}{4}\right)$$.

Responder

La relación$$\dfrac{S_n(x)}{C_n(x)}$$ se aproxima$$\tan x$$ mejor que$$p_7(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}$$ para$$N≥3$$. Las curvas discontinuas son$$\dfrac{S_n}{C_n}−\tan x$$ para$$n=1,\, 2$$. La curva punteada corresponde a$$n=3$$, y la curva punteada corresponde a$$n=4$$. La curva sólida es$$p_7−\tan x$$.

61) Utilice la identidad$$2\sin x\cos x=\sin(2x)$$ para encontrar la expansión de la serie de potencia de$$\sin^2x$$ at$$x=0$$. (Pista: Integrar la serie Maclaurin de$$\sin(2x)$$ término por término.)

62) Si$$\displaystyle y=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$$, encuentre las expansiones de la serie de potencia de$$xy′$$ y$$x^2y''$$.

Responder
Por el teorema de diferenciación término por término,$$\displaystyle y′=\sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}$$ así$$\displaystyle y′=\sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}xy′=\sum_{n=1}^∞na_nx^n$$, mientras que$$\displaystyle y′=\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^{n−2}$$ así$$\displaystyle xy''=\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^n$$.

63) [T] Supongamos que$$\displaystyle y=\sum_{k=0}^∞a^kx^k$$ satisface$$y′=−2xy$$ y$$y(0)=0$$. Demuéstralo$$a_{2k+1}=0$$ para todos$$k$$ y eso$$a_{2k+2}=\dfrac{−a_{2k}}{k+1}$$. Trazar la suma parcial$$S_{20}$$ de$$y$$ en el intervalo$$[−4,4]$$.

64) [T] Supongamos que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media$$μ=100$$ y desviación estándar$$σ=10$$. Establecer una integral que represente la probabilidad de que una puntuación de prueba esté entre$$90$$$$110$$ y y usar la integral del grado polinomio de$$10$$ Maclaurin$$\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}$$ para estimar esta probabilidad.

Responder
La probabilidad es$$\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^{(b−μ)/σ}_{(a−μ)/σ}e^{−x^2/2}\,dx$$ dónde$$a=90$$ y$$b=100$$, es decir,$$\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^1_{−1}e^{−x^2/2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2π}}∫^1_{−1}\sum_{n=0}^5(−1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}\,dx=\frac{2}{\sqrt{2π}}\sum_{n=0}^5(−1)^n\frac{1}{(2n+1)2^nn!}≈0.6827.$$

65) [T] Supongamos que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media$$μ=100$$ y desviación estándar$$σ=10$$. Establecer una integral que represente la probabilidad de que una puntuación de prueba esté entre$$70$$$$130$$ y y usar la integral del grado polinomio de$$50$$ Maclaurin$$\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}$$ para estimar esta probabilidad.

66) [T] Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge a una función$$f(x)$$ tal que$$f(0)=1,\, f′(0)=0$$, y$$f''(x)=−f(x)$$. Encuentre una fórmula para$$a_n$$ y trazar la suma parcial$$S_N$$ para$$N=20$$ on$$[−5,5].$$

Responder

Al igual que en el problema anterior se obtiene$$a_n=0$$ si$$n$$ es impar y$$a_n=−(n+2)(n+1)a_{n+2}$$ si$$n$$ es par, así$$a_0=1$$ lleva a$$a_{2n}=\dfrac{(−1)^n}{(2n)!}$$.

67) [T] Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge a una función$$f(x)$$ tal que$$f(0)=0,\; f′(0)=1$$, y$$f''(x)=−f(x)$$. Encuentra una fórmula para an y traza la suma parcial$$S_N$$ para$$N=10$$ on$$[−5,5]$$.

68) Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge a una función$$y$$ tal que$$y''−y′+y=0$$ donde$$y(0)=1$$ y$$y'(0)=0.$$ Encuentra una fórmula que se relaciona$$a_{n+2},\;a_{n+1},$$ y una y computa$$a_0,...,a_5$$.

Responder
$$\displaystyle y''=\sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$$y$$\displaystyle y′=\sum_{n=0}^∞(n+1)a_{n+1}x^n$$ así$$y''−y′+y=0$$ implica eso$$(n+2)(n+1)a_{n+2}−(n+1)a_{n+1}+a_n=0$$ o$$a_n=\dfrac{a_{n−1}}{n}−\dfrac{a_{n−2}}{n(n−1)}$$ para todos$$n⋅y(0)=a_0=1$$ y$$y′(0)=a_1=0,$$ así$$a_2=\frac{1}{2},\;a_3=\frac{1}{6}\;,a_4=0$$, y$$a_5=−\frac{1}{120}$$.

69) Supongamos que$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ converge a una función$$y$$ tal que$$y''−y′+y=0$$ donde$$y(0)=0$$ y$$y′(0)=1$$. Encuentre una fórmula que se$$a_{n+2},\;a_{n+1}$$ relacione, y un y compute$$a_1,...,a_5$$.

El error al aproximar la integral$$\displaystyle ∫^b_af(t)\, dt$$ por la de una aproximación de Taylor$$\displaystyle ∫^b_aPn(t) \,dt$$ es como mucho$$\displaystyle ∫^b_aR_n(t) \,dt$$. En los ejercicios 70 - 71, la estimación del resto de Taylor$$R_n≤\frac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}$$ garantiza que la integral del polinomio Taylor del orden dado se aproxima a la integral de$$f$$ con un error menor que$$\frac{1}{10}$$.

a. Evaluar la integral del polinomio Taylor apropiado y verificar que se aproxime al valor CAS con un error menor que$$\frac{1}{100}$$.

b. Comparar la precisión de la estimación integral polinomial con la estimación del resto.

70) [T]$$\displaystyle ∫^π_0\frac{\sin t}{t}\, dt;\quad P_s=1−\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}−\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}$$ (Se puede suponer que el valor absoluto de la novena derivada de$$\frac{\sin t}{t}$$ está delimitado por$$0.1$$.)

Responder
a. (Prueba)
b. Tenemos$$R_s≤\frac{0.1}{(9)!}π^9≈0.0082<0.01.$$ Tenemos$$\displaystyle ∫^π_0\left(1−\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}−\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}\right)\,dx=π−\frac{π^3}{3⋅3!}+\frac{π^5}{5⋅5!}−\frac{π^7}{7⋅7!}+\frac{π^9}{9⋅9!}=1.852...,$$ mientras que$$\displaystyle ∫^π_0\frac{\sin t}{t}\,dt=1.85194...$$, por lo que el error real es aproximadamente$$0.00006.$$

71) [T]$$\displaystyle ∫^2_0e^{−x^2}\,dx;\; p_{11}=1−x^2+\frac{x^4}{2}−\frac{x^6}{3!}+⋯−\frac{x^{22}}{11!}$$ (Se puede suponer que el valor absoluto de la$$23^{\text{rd}}$$ derivada de$$e^{−x^2}$$ es menor que$$2×10^{14}$$.)

Los siguientes ejercicios (72-73) tratan sobre integrales de Fresnel.

72) Las integrales de Fresnel se definen por$$\displaystyle C(x)=∫^x_0\cos(t^2)\,dt$$ y$$\displaystyle S(x)=∫^x_0\sin(t^2)\,dt$$. Calcular la serie de potencia de$$C(x)$$$$S(x)$$ y y trazar las sumas$$C_N(x)$$ y$$S_N(x)$$ de los primeros términos$$N=50$$ distintos de cero en$$[0,2π]$$.

Responder

Desde$$\displaystyle \cos(t^2)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{4n}}{(2n)!}$$ y$$\displaystyle \sin(t^2)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{t^{4n+2}}{(2n+1)!}$$, uno tiene$$\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$$ y$$\displaystyle C(x)=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$$. Las sumas de los primeros términos$$50$$ distintos de cero se trazan a continuación con$$C_{50}(x)$$ la curva sólida y$$S_{50}(x)$$ la curva discontinua.

73) [T] Las integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño para carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas$$(C(t),S(t))$$. Trazar la curva$$(C_{50},S_{50})$$ para$$0≤t≤2π$$, cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior.

74) Estimar$$\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x−x^2}\,dx$$ aproximando$$\sqrt{1−x}$$ usando la aproximación binomial$$\displaystyle 1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{2128}−\frac{7x^5}{256}$$.

Responder
$$\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x}\left(1−\frac{x}{2}−\frac{x^2}{8}−\frac{x^3}{16}−\frac{5x^4}{128}−\frac{7x^5}{256}\right)\,dx =\frac{2}{3}2^{−3}−\frac{1}{2}\frac{2}{5}2^{−5}−\frac{1}{8}\frac{2}{7}2^{−7}−\frac{1}{16}\frac{2}{9}2^{−9}−\frac{5}{128}\frac{2}{11}2^{−11}−\frac{7}{256}\frac{2}{13}2^{−13}=0.0767732...$$mientras que$$\displaystyle ∫^{1/4}_0\sqrt{x−x^2}\, dx=0.076773.$$

75) [T] Utilice la aproximación de Newton del binomio$$\sqrt{1−x^2}$$ para aproximarse de la$$π$$ siguiente manera. El círculo centrado en$$(\frac{1}{2},0)$$ con radio$$\frac{1}{2}$$ tiene semicírculo superior$$y=\sqrt{x}\sqrt{1−x}$$. El sector de este círculo delimitado por el$$x$$ -eje entre$$x=0$$ y$$x=\frac{1}{2}$$ y por la línea que une$$(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$$ corresponde a$$\frac{1}{6}$$ del círculo y tiene área$$\frac{π}{24}$$. Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ y base$$\frac{1}{4}$$ y la región debajo de la gráfica entre$$x=0$$ y$$x=\frac{1}{4}$$. Para encontrar el área de esta región se puede escribir$$y=\sqrt{x}\sqrt{1−x}=\sqrt{x}×(\text{binomial expansion of} \sqrt{1−x})$$ e integrar término por término. Utilice este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar$$π$$.

76) Utilizar la aproximación$$T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{k^2}{4})$$ para aproximar el periodo de un péndulo que tiene$$10$$ metros de longitud y ángulo máximo$$θ_{max}=\frac{π}{6}$$ donde$$k=\sin\left(\frac{θ_{max}}{2}\right)$$. Compare esto con la estimación de ángulo pequeño$$T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}$$.

Responder
$$T≈2π\sqrt{\frac{10}{9.8}}\left(1+\frac{\sin^2(θ/12)}{4}\right)≈6.453$$segundos. La estimación de ángulo pequeño es$$T≈2π\sqrt{\frac{10}{9.8}≈6.347}$$. El error relativo es de alrededor$$2$$ por ciento.

77) Supongamos que un péndulo es tener un periodo de$$2$$ segundos y un ángulo máximo de$$θ_{max}=\frac{π}{6}$$. Se usa$$T≈2π\sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\dfrac{k^2}{4}\right)$$ para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud predice la estimación de ángulo pequeño$$T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}$$?

78) Evaluar$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin^4θ\,dθ$$ en la aproximación$$\displaystyle T=4\sqrt{\frac{L}{g}}∫^{π/2}_0\left(1+\frac{1}{2}k^2\sin^2θ+\frac{3}{8}k^4\sin^4θ+⋯\right)\,dθ$$ para obtener una estimación mejorada para$$T$$.

Responder
$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin^4θ\, dθ=\frac{3π}{16}.$$De ahí$$T≈2π\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{k^2}{4}+\frac{9}{256}k^4\right).$$

79) [T] Una fórmula equivalente para el periodo de un péndulo con amplitud$$\displaystyle θ_{max}$$ es$$T(θ_{max})=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{L}{g}}∫^{θ_{max}}_0\frac{dθ}{\sqrt{\cos θ}−\cos(θ_{max})}$$ donde$$L$$ está la longitud del péndulo y$$g$$ es la constante de aceleración gravitacional. Cuando$$θ_{max}=\frac{π}{3}$$ lleguemos$$\dfrac{1}{\sqrt{\cos t−1/2}}≈\sqrt{2}\left(1+\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{3}+\frac{181t^6}{720}\right)$$. Integrar esta aproximación para estimar$$T(\frac{π}{3})$$ en términos de$$L$$ y$$g$$. Suponiendo$$g=9.806$$ metros por segundo al cuadrado, encuentra una longitud aproximada$$L$$ tal que$$T(\frac{π}{3})=2$$ segundos.