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# 11.1E: Ejercicios para la Sección 11.1

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, esboza las curvas a continuación eliminando el parámetro$$t$$. Dar la orientación de la curva.

1)$$x=t^2+2t, \quad y=t+1$$

Contestar

Orientación: de abajo a arriba

2)$$x=\cos(t), \quad y=\sin(t), \quad \text{for } (0,2π]$$

3)$$x=2t+4, \quad y=t−1$$

Contestar

Orientación: de izquierda a derecha

4)$$x=3−t, \quad y=2t−3, \quad \text{for }1.5≤t≤3$$

En el ejercicio 5, eliminar el parámetro y bosquejar la gráfica.

5)$$x=2t^2,\quad y=t^4+1$$

Contestar

$$y=\dfrac{x^2}{4}+1$$

En los ejercicios 6 - 9, utilice la tecnología (CAS o calculadora) para bosquejar las ecuaciones paramétricas.

6) [T]$$x=t^2+t, \quad y=t^2−1$$

7) [T]$$x=e^{−t}, \quad y=e^{2t}−1$$

Contestar

8) [T]$$x=3\cos t, \quad y=4\sin t$$

9) [T]$$x=\sec t, \quad y=\cos t$$

Contestar

En los ejercicios 10 - 20, esboce las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro. Indicar alguna asíntota de la gráfica.

10)$$x=e^t, \quad y=e^{2t}+1$$

11)$$x=6\sin(2θ), \quad y=-4\cos(2θ)$$

Contestar

12)$$x=\cos θ, \quad y=2\sin(2θ)$$

13)$$x=3−2\cos θ, \quad y=−5+3\sin θ$$

Contestar

14)$$x=4+2\cos θ, \quad y=−1+\sin θ$$

15)$$x=\sec t, \quad y=\tan t$$

Contestar

Las asíntotas son$$y=x$$ y$$y=−x$$

16)$$x=\ln(2t), \quad y=t^2$$

17)$$x=e^t, \quad y=e^{2t}$$

Contestar

18)$$x=e^{−2t}, \quad y=e^{3t}$$

19)$$x=t^3, \quad y=3\ln t$$

Contestar

20)$$x=4\sec θ, \quad y=3\tan θ$$

En los ejercicios 21 - 38, convertir las ecuaciones paramétricas de una curva en forma rectangular. No es necesario ningún boceto. Indicar el dominio de la forma rectangular.

21)$$x=t^2−1, \quad y=\dfrac{t}{2}$$

Contestar
$$x=4y^2−1;$$dominio:$$x∈[1,∞)$$.

22)$$x=\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}, \quad y=\dfrac{t}{1+t}, \quad \text{for }t>−1$$

23)$$x=4\cos θ, \quad y=3\sin θ, \quad \text{for }t∈(0,2π]$$

Contestar
$$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1;$$dominio$$x∈[−4,4].$$

24)$$x=\cosh t, \quad y=\sinh t$$

25)$$x=2t−3, \quad y=6t−7$$

Contestar
$$y=3x+2;$$dominio: todos los números reales.

26)$$x=t^2, \quad y=t^3$$

27)$$x=1+\cos t, \quad y=3−\sin t$$

Contestar
$$(x−1)^2+(y−3)^2=1$$; dominio:$$x∈[0,2]$$.

28)$$x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4$$

29)$$x=\sec t, \quad y=\tan t, \quad \text{for } π≤t<\frac{3π}{2}$$

Contestar
$$y=\sqrt{x^2−1}$$; dominio:$$x∈(−\infty,-1]$$.

30)$$x=2\cosh t, \quad y=4\sinh t$$

31)$$x=\cos(2t), \quad y=\sin t$$

Contestar
$$y^2=\dfrac{1−x}{2};$$dominio:$$x∈[-1,1].$$

32)$$x=4t+3, \quad y=16t^2−9$$

33)$$x=t^2, \quad y=2\ln t, \quad \text{for }t≥1$$

Contestar
$$y=\ln x;$$dominio:$$x∈[1,∞).$$

34)$$x=t^3, \quad y=3\ln t, \quad \text{for }t≥1$$

35)$$x=t^n, \quad y=n\ln t, \quad \text{for } t≥1,$$ donde$$n$$ es un número natural

Contestar
$$y=\ln x;$$dominio:$$x∈(0,∞).$$

36)$$x=\ln(5t), \quad y=\ln(t^2)$$ donde$$1≤t≤e$$

37)$$x=2\sin(8t), \quad y=2\cos(8t)$$

Contestar
$$x^2+y^2=4;$$dominio:$$x∈[−2,2].$$

38)$$x=\tan t, \quad y=\sec^2t−1$$

En los ejercicios 39 - 48, los pares de ecuaciones paramétricas representan líneas, parábolas, círculos, elipses o hipérbolas. Nombra el tipo de curva básica que representa cada par de ecuaciones.

39)$$x=3t+4, \quad y=5t−2$$

Contestar
línea

40)$$x−4=5t, \quad y+2=t$$

41)$$x=2t+1, \quad y=t^2−3$$

Contestar
parábola

42)$$x=3\cos t, \quad y=3\sin t$$

43)$$x=2\cos(3t), \quad y=2\sin(3t)$$

Contestar
círculo

44)$$x=\cosh t, \quad y=\sinh t$$

45)$$x=3\cos t, \quad y=4\sin t$$

Contestar
elipse

46)$$x=2\cos(3t), \quad y=5\sin(3t)$$

47)$$x=3\cosh(4t) \quad y=4\sinh(4t)$$

Contestar
la rama derecha de una hipérbola que se abre horizontalmente

48)$$x=2\cosh t, \quad y=2\sinh t$$

49) Mostrar que$$x=h+r\cos θ, \quad y=k+r\sin θ$$ representa la ecuación de un círculo.

50) Usa las ecuaciones del problema anterior para encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas para un círculo cuyo radio es$$5$$ y cuyo centro es$$(−2,3)$$.

En los ejercicios 51 - 53, utilice una utilidad gráfica para graficar la curva representada por las ecuaciones paramétricas e identificar la curva a partir de su ecuación.

51) [T]$$x=θ+\sin θ, \quad y=1−\cos θ$$

Contestar

Las ecuaciones representan un cicloide.

52) [T]$$x=2t−2\sin t, \quad y=2−2\cos t$$

53) [T]$$x=t−0.5\sin t, \quad y=1−1.5\cos t$$

Contestar

54) Un avión que viaje horizontalmente a 100 m/s sobre terreno plano a una altura de 4000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete viene dada por$$x=100t, \quad y=−4.9t^2+4000, \quad \text{where }t≥0$$ donde el origen es el punto en el suelo directamente debajo del plano en el momento de la liberación. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo se debe liberar el paquete para dar en el blanco?

55) La trayectoria de una bala viene dada por$$x=v_0(\cos α)t, \quad y=v_0(\sin α)t−\frac{1}{2}gt^2$$ donde$$v_0=500$$ m/s,$$g=9.8=9.8\text{ m/s}^2$$, y$$α=30$$ grados. ¿Cuándo golpeará el suelo la bala? ¿A qué distancia del arma chocará la bala en el suelo?

Contestar
22,092 metros aproximadamente a 51 segundos.

56) [T] Utilice la tecnología para bosquejar la curva representada por$$x=\sin(4t), \quad y=\sin(3t), \quad \text{for }0≤t≤2π$$.

57) [T] Usar tecnología para bosquejar$$x=2\tan(t), \quad y=3\sec(t), \quad \text{for }−π<t<π.$$

Contestar

58) Esbozar la curva conocida como epitrocoide, que da la trayectoria de un punto en un círculo de radio a$$b$$ medida que rueda en el exterior de un círculo de radio$$a$$. Las ecuaciones son

$$x=(a+b)\cos t−c⋅\cos\left[\frac{(a+b)t}{b}\right], \quad y=(a+b)\sin t−c⋅\sin\left[\frac{(a+b)t}{b}\right]$$.

Let$$a=1,\;b=2,\;c=1.$$

59) [T] Utilice la tecnología para esbozar la curva espiral dada por$$x=t\cos(t), \quad y=t\sin(t)$$ for$$−2π≤t≤2π.$$

Contestar

60) [T] Utilizar la tecnología para graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas$$x=2\cot(t), \quad y=1−\cos(2t), \quad \text{for }−π/2≤t≤π/2.$$ Esta curva es conocida como la bruja de Agnesi.

61) [T] Esbozar la curva dada por ecuaciones paramétricas$$x=\cosh(t), \quad y=\sinh(t),$$ para$$−2≤t≤2.$$

Contestar

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