11.1E: Ejercicios para la Sección 11.1

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 4, esboza las curvas a continuación eliminando el parámetro$t$. Dar la orientación de la curva.

1)$ x=t^2+2t, \quad y=t+1$

Contestar

Orientación: de abajo a arriba

$Una parábola se abre a la derecha con (−1, 0) siendo el punto más alejado de la izquierda con la flecha que va de abajo a través de (−1, 0) y hacia arriba.$

2)$ x=\cos(t), \quad y=\sin(t), \quad \text{for } (0,2π]$

3)$ x=2t+4, \quad y=t−1$

Contestar

Orientación: de izquierda a derecha

$Una línea recta que pasa por (0, −3) y (6, 0) con una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.$

4)$ x=3−t, \quad y=2t−3, \quad \text{for }1.5≤t≤3$

En el ejercicio 5, eliminar el parámetro y bosquejar la gráfica.

5)$x=2t^2,\quad y=t^4+1$

Contestar

$ y=\dfrac{x^2}{4}+1$

$Media parábola comenzando en el origen y pasando por (2, 2) con flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.$

En los ejercicios 6 - 9, utilice la tecnología (CAS o calculadora) para bosquejar las ecuaciones paramétricas.

6) [T]$x=t^2+t, \quad y=t^2−1$

7) [T]$ x=e^{−t}, \quad y=e^{2t}−1$

Contestar: $Una curva que atraviesa (1, 0) y (0, 3) con flecha apuntando hacia arriba y hacia la izquierda.$

8) [T]$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

9) [T]$ x=\sec t, \quad y=\cos t$

Contestar: $Una gráfica con asíntotas en los ejes x e y. Hay una porción de la gráfica en el tercer cuadrante con la flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha. Hay una porción de la gráfica en el primer cuadrante con la flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha.$

En los ejercicios 10 - 20, esboce las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro. Indicar alguna asíntota de la gráfica.

10)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}+1$

11)$ x=6\sin(2θ), \quad y=-4\cos(2θ)$

Contestar: $Una elipse con eje menor vertical y de longitud 8 y eje mayor horizontal y de longitud 12 que se centra en el origen. Las flechas van en sentido antihorario.$

12)$ x=\cos θ, \quad y=2\sin(2θ)$

13)$ x=3−2\cos θ, \quad y=−5+3\sin θ$

Contestar: $Una elipse en el cuarto cuadrante con eje menor horizontal y de longitud 4 y eje mayor vertical y de longitud 6. Las flechas van en sentido horario.$

14)$ x=4+2\cos θ, \quad y=−1+\sin θ$

15)$ x=\sec t, \quad y=\tan t$

Contestar

Las asíntotas son$ y=x$ y$ y=−x$

$Una gráfica con asíntotas en y = x e y = −x La primera parte de la gráfica se presenta en el segundo y tercer cuadrantes con vértice en (−1, 0). La segunda parte de la gráfica ocurre en el primer y cuarto cuadrantes con vértice como (1, 0).$

16)$ x=\ln(2t), \quad y=t^2$

17)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}$

Contestar: $Una curva que comienza ligeramente por encima del origen y que aumenta hacia la derecha con la flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.$

18)$ x=e^{−2t}, \quad y=e^{3t}$

19)$ x=t^3, \quad y=3\ln t$

Contestar: $Una curva con asíntota siendo el eje y. La curva comienza en el cuarto cuadrante y aumenta rápidamente a través de (1, 0) punto en el que se incrementa mucho más lentamente.$

20)$ x=4\sec θ, \quad y=3\tan θ$

En los ejercicios 21 - 38, convertir las ecuaciones paramétricas de una curva en forma rectangular. No es necesario ningún boceto. Indicar el dominio de la forma rectangular.

21)$ x=t^2−1, \quad y=\dfrac{t}{2}$

Contestar: $ x=4y^2−1;$dominio:$ x∈[1,∞)$.

22)$ x=\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}, \quad y=\dfrac{t}{1+t}, \quad \text{for }t>−1$

23)$ x=4\cos θ, \quad y=3\sin θ, \quad \text{for }t∈(0,2π]$

Contestar: $ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1;$dominio$ x∈[−4,4].$

24)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

25)$ x=2t−3, \quad y=6t−7$

Contestar: $ y=3x+2;$dominio: todos los números reales.

26)$ x=t^2, \quad y=t^3$

27)$ x=1+\cos t, \quad y=3−\sin t$

Contestar: $ (x−1)^2+(y−3)^2=1$; dominio:$ x∈[0,2]$.

28)$ x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4$

29)$ x=\sec t, \quad y=\tan t, \quad \text{for } π≤t<\frac{3π}{2}$

Contestar: $ y=\sqrt{x^2−1}$; dominio:$ x∈(−\infty,-1]$.

30)$ x=2\cosh t, \quad y=4\sinh t$

31)$ x=\cos(2t), \quad y=\sin t$

Contestar: $ y^2=\dfrac{1−x}{2};$dominio:$ x∈[-1,1].$

32)$ x=4t+3, \quad y=16t^2−9$

33)$ x=t^2, \quad y=2\ln t, \quad \text{for }t≥1$

Contestar: $ y=\ln x;$dominio:$ x∈[1,∞).$

34)$ x=t^3, \quad y=3\ln t, \quad \text{for }t≥1$

35)$ x=t^n, \quad y=n\ln t, \quad \text{for } t≥1,$ donde$n$ es un número natural

Contestar: $ y=\ln x;$dominio:$ x∈(0,∞).$

36)$ x=\ln(5t), \quad y=\ln(t^2)$ donde$ 1≤t≤e$

37)$ x=2\sin(8t), \quad y=2\cos(8t)$

Contestar: $ x^2+y^2=4;$dominio:$ x∈[−2,2].$

38)$ x=\tan t, \quad y=\sec^2t−1$

En los ejercicios 39 - 48, los pares de ecuaciones paramétricas representan líneas, parábolas, círculos, elipses o hipérbolas. Nombra el tipo de curva básica que representa cada par de ecuaciones.

39)$ x=3t+4, \quad y=5t−2$

Contestar: línea

40)$ x−4=5t, \quad y+2=t$

41)$ x=2t+1, \quad y=t^2−3$

Contestar: parábola

42)$ x=3\cos t, \quad y=3\sin t$

43)$ x=2\cos(3t), \quad y=2\sin(3t)$

Contestar: círculo

44)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

45)$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

Contestar: elipse

46)$ x=2\cos(3t), \quad y=5\sin(3t)$

47)$ x=3\cosh(4t) \quad y=4\sinh(4t)$

Contestar: la rama derecha de una hipérbola que se abre horizontalmente

48)$ x=2\cosh t, \quad y=2\sinh t$

49) Mostrar que$ x=h+r\cos θ, \quad y=k+r\sin θ$ representa la ecuación de un círculo.

50) Usa las ecuaciones del problema anterior para encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas para un círculo cuyo radio es$5$ y cuyo centro es$ (−2,3)$.

En los ejercicios 51 - 53, utilice una utilidad gráfica para graficar la curva representada por las ecuaciones paramétricas e identificar la curva a partir de su ecuación.

51) [T]$ x=θ+\sin θ, \quad y=1−\cos θ$

Contestar

Las ecuaciones representan un cicloide.

$Un gráfico que comienza en (−6, 0) aumentando rápidamente a un punto agudo en (−3, 2) y luego disminuyendo rápidamente al origen. La gráfica es simétrica alrededor del eje y, por lo que la gráfica aumenta rápidamente a (3, 2) antes de disminuir rápidamente a (6, 0).$

52) [T]$ x=2t−2\sin t, \quad y=2−2\cos t$

53) [T]$ x=t−0.5\sin t, \quad y=1−1.5\cos t$

Contestar: $Un gráfico que comienza aproximadamente en (−6, 0) aumentando a un punto redondeado y luego disminuyendo a aproximadamente (0, −0.5). La gráfica es simétrica alrededor del eje y, por lo que la gráfica aumenta a un punto redondeado antes de disminuir a aproximadamente (6, 0).$

54) Un avión que viaje horizontalmente a 100 m/s sobre terreno plano a una altura de 4000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete viene dada por$ x=100t, \quad y=−4.9t^2+4000, \quad \text{where }t≥0$ donde el origen es el punto en el suelo directamente debajo del plano en el momento de la liberación. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo se debe liberar el paquete para dar en el blanco?

55) La trayectoria de una bala viene dada por$ x=v_0(\cos α)t, \quad y=v_0(\sin α)t−\frac{1}{2}gt^2$ donde$ v_0=500$ m/s,$g=9.8=9.8\text{ m/s}^2$, y$ α=30$ grados. ¿Cuándo golpeará el suelo la bala? ¿A qué distancia del arma chocará la bala en el suelo?

Contestar: 22,092 metros aproximadamente a 51 segundos.

56) [T] Utilice la tecnología para bosquejar la curva representada por$ x=\sin(4t), \quad y=\sin(3t), \quad \text{for }0≤t≤2π$.

57) [T] Usar tecnología para bosquejar$ x=2\tan(t), \quad y=3\sec(t), \quad \text{for }−π<t<π.$

Contestar: $Una gráfica con asíntotas aproximadamente cerca de y = x e y = −x La primera parte de la gráfica se encuentra en el primer y segundo cuadrantes con vértice cerca (0, 3). La segunda parte de la gráfica se encuentra en el tercer y cuarto cuadrantes con vértice cerca (0, −3).$

58) Esbozar la curva conocida como epitrocoide, que da la trayectoria de un punto en un círculo de radio a$b$ medida que rueda en el exterior de un círculo de radio$a$. Las ecuaciones son

$ x=(a+b)\cos t−c⋅\cos\left[\frac{(a+b)t}{b}\right], \quad y=(a+b)\sin t−c⋅\sin\left[\frac{(a+b)t}{b}\right]$.

Let$ a=1,\;b=2,\;c=1.$

59) [T] Utilice la tecnología para esbozar la curva espiral dada por$ x=t\cos(t), \quad y=t\sin(t)$ for$ −2π≤t≤2π.$

Contestar: $Un gráfico que comienza aproximadamente en (−6, −1) disminuyendo a un mínimo en el tercer cuadrante cerca de (−1, −4.8) aumentando aproximadamente (0, −4.7) y (3, 0) hasta un máximo cercano (1, 1.9) antes de disminuir a través de (0, 1.5) al origen. La gráfica es simétrica alrededor del eje y, por lo que la gráfica aumenta a través de (0, 1.5) hasta un máximo en el segundo cuadrante, vuelve a disminuir a través de (0, −4.7), y luego aumenta a (6, −1).$

60) [T] Utilizar la tecnología para graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas$ x=2\cot(t), \quad y=1−\cos(2t), \quad \text{for }−π/2≤t≤π/2.$ Esta curva es conocida como la bruja de Agnesi.

61) [T] Esbozar la curva dada por ecuaciones paramétricas$ x=\cosh(t), \quad y=\sinh(t),$ para$ −2≤t≤2.$

Contestar: $Una gráfica vagamente parabólica con vértice en el punto (1, 0) que se abre a la derecha.$