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11.2: Cálculo de Curvas Paramétricas

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Objetivos de aprendizaje
• Determinar derivadas y ecuaciones de tangentes para curvas paramétricas.
• Encuentra el área bajo una curva paramétrica.
• Utilice la ecuación para la longitud del arco de una curva paramétrica.
• Aplicar la fórmula para el área de superficie a un volumen generado por una curva paramétrica.

Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva dada, ¿es posible calcular la pendiente de una línea tangente a la curva? ¿Qué tal la longitud del arco de la curva? ¿O el área bajo la curva?

Otro escenario: Supongamos que nos gustaría representar la ubicación de una pelota de béisbol después de que la pelota deje la mano de un lanzador. Si la posición del beisbol está representada por la curva del plano$$(x(t),y(t))$$ entonces deberíamos poder usar el cálculo para encontrar la velocidad de la pelota en cualquier momento dado. Además, deberíamos poder calcular hasta dónde ha viajado esa pelota en función del tiempo.

Comenzamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considerar la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

\begin{align} x(t) &=2t+3 \label{eq1} \\ y(t) &=3t−4 \label{eq2} \end{align}

dentro$$−2≤t≤3$$.

La gráfica de esta curva aparece en la Figura$$\PageIndex{1}$$. Es un segmento de línea que comienza en$$(−1,−10)$$ y termina en$$(9,5).$$

Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la Ecuación\ ref {eq1} para$$t$$:

$$x(t)=2t+3$$

$$x−3=2t$$

$$t=\dfrac{x−3}{2}$$.

Sustituyendo esto en$$y(t)$$ (Ecuación\ ref {eq2}), obtenemos

$$y(t)=3t−4$$

$$y=3\left(\dfrac{x−3}{2}\right)−4$$

$$y=\dfrac{3x}{2}−\dfrac{9}{2}−4$$

$$y=\dfrac{3x}{2}−\dfrac{17}{2}$$.

La pendiente de esta línea viene dada por$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}$$. A continuación calculamos$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$. Esto da$$x′(t)=2$$ y$$y′(t)=3$$. Observe que

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{3}{2}. \nonumber$

Esto no es una coincidencia, como se describe en el siguiente teorema.

Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas$$x=x(t)$$ y$$y=y(t)$$. Supongamos eso$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$ existir, y asumir eso$$x′(t)≠0$$. Entonces la derivada$$\dfrac{dy}{dx}$$ viene dada por

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{y′(t)}{x′(t)}. \label{paraD}$

Prueba

Este teorema se puede probar usando la Regla de Cadena. En particular, supongamos que el parámetro$$t$$ puede ser eliminado, dando como resultado una función diferenciable$$y=F(x)$$. Luego$$y(t)=F(x(t)).$$ Diferenciar ambos lados de esta ecuación usando los rendimientos de la Regla de Cadena

$y′(t)=F′\big(x(t)\big)x′(t), \nonumber$

por lo

$F′\big(x(t)\big)=\dfrac{y′(t)}{x′(t)}. \nonumber$

Pero$$F′\big(x(t)\big)=\dfrac{dy}{dx}$$, lo que prueba el teorema.

La ecuación\ ref {parAd} se puede utilizar para calcular derivadas de curvas planas, así como puntos críticos. Recordemos que un punto crítico de una función diferenciable$$y=f(x)$$ es cualquier punto$$x=x_0$$ tal que exista$$f′(x_0)=0$$ o$$f′(x_0)$$ no exista. La ecuación\ ref {parAd} da una fórmula para la pendiente de una línea tangente a una curva definida paramétricamente independientemente de si la curva puede ser descrita por una función$$y=f(x)$$ o no.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Finding the Derivative of a Parametric Curve

Calcule la derivada$$\dfrac{dy}{dx}$$ para cada una de las siguientes curvas planas definidas paramétricamente y ubique cualquier punto crítico en sus respectivas gráficas.

1. $$x(t)=t^2−3, \quad y(t)=2t−1, \quad\text{for }−3≤t≤4$$
2. $$x(t)=2t+1, \quad y(t)=t^3−3t+4, \quad\text{for }−2≤t≤2$$
3. $$x(t)=5\cos t, \quad y(t)=5\sin t, \quad\text{for }0≤t≤2π$$

Solución

a. Para aplicar la Ecuación\ ref {parAd}, primero calcule$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$:

$$x′(t)=2t$$

$$y′(t)=2$$.

Siguiente sustituirlos en la ecuación:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{t}$$.

Esta derivada es indefinida cuando$$t=0$$. Calculando$$x(0)$$$$x(0)=(0)^2−3=−3$$ y$$y(0)$$ da y$$y(0)=2(0)−1=−1$$, que corresponde al punto$$(−3,−1)$$ en la gráfica. El gráfico de esta curva es una parábola que se abre a la derecha, y el punto$$(−3,−1)$$ es su vértice como se muestra.

b. Para aplicar la Ecuación\ ref {parAd}, primero calcule$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$:

$$x′(t)=2$$

$$y′(t)=3t^2−3$$.

Siguiente sustituirlos en la ecuación:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2−3}{2}$$.

Esta derivada es cero cuando$$t=±1$$. Cuando$$t=−1$$ tenemos

$$x(−1)=2(−1)+1=−1$$y$$y(−1)=(−1)^3−3(−1)+4=−1+3+4=6$$,

que corresponde al punto$$(−1,6)$$ de la gráfica. Cuando$$t=1$$ tenemos

$$x(1)=2(1)+1=3$$y$$y(1)=(1)^3−3(1)+4=1−3+4=2,$$

que corresponde al punto$$(3,2)$$ de la gráfica. El punto$$(3,2)$$ es un mínimo relativo y el punto$$(−1,6)$$ es un máximo relativo, como se ve en la siguiente gráfica.

c. Para aplicar la Ecuación\ ref {parAd}, primero calcule$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$:

$$x′(t)=−5\sin t$$

$$y′(t)=5\cos t.$$

Siguiente sustituirlos en la ecuación:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{5\cos t}{−5\sin t}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=−\cot t.$$

Esta derivada es cero cuando$$\cos t=0$$ y es indefinida cuando$$\sin t=0.$$ Esto da$$t=0,\dfrac{π}{2},π,\dfrac{3π}{2},$$ y$$2π$$ como puntos críticos para t. Sustituyendo cada uno de estos en$$x(t)$$ y$$y(t)$$, obtenemos

$$t$$ $$x(t)$$ $$y(t)$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (x (t)\)” style="vertical-align:middle; ">5 \ (y (t)\)” style="vertical-align:middle; ">0
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{π}{2}$$ \ (x (t)\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (y (t)\)” style="vertical-align:middle; ">5
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$π$$ \ (x (t)\)” style="vertical-align:middle; ">−5 \ (y (t)\)” style="vertical-align:middle; ">0
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{3π}{2}$$ \ (x (t)\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (y (t)\)” style="vertical-align:middle; ">−5
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$2π$$ \ (x (t)\)” style="vertical-align:middle; ">5 \ (y (t)\)” style="vertical-align:middle; ">0

Estos puntos corresponden a los lados, la parte superior y la parte inferior del círculo que se representa mediante las ecuaciones paramétricas (Figura$$\PageIndex{4}$$). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada es indefinida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Calcular la derivada$$dy/dx$$ para la curva plana definida por las ecuaciones

$x(t)=t^2−4t, \quad y(t)=2t^3−6t, \quad\text{for }−2≤t≤3 \nonumber$

y localizar cualquier punto crítico en su gráfica.

Pista

Calcular$$x′(t)$$$$y′(t)$$ y usar Ecuación\ ref {parAd}.

Contestar

$$x′(t)=2t−4$$y$$y′(t)=6t^2−6$$, entonces$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6t^2−6}{2t−4}=\dfrac{3t^2−3}{t−2}$$.

Esta expresión no está definida cuando$$t=2$$ e igual a cero cuando$$t=±1$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Finding a Tangent Line

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones

$x(t)=t^2−3, \quad y(t)=2t−1, \quad\text{for }−3≤t≤4 \nonumber$

cuando$$t=2$$.

Solución

Primero encuentra la pendiente de la línea tangente usando la ecuación\ ref {parAd}, lo que significa calcular$$x′(t)$$ y$$y′(t)$$:

$$x′(t)=2t$$

$$y′(t)=2$$.

Siguiente sustituirlos en la ecuación:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{t}$$.

Cuando$$t=2, \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}$$, entonces esta es la pendiente de la línea tangente. Cálculo$$x(2)$$ y$$y(2)$$ da

$$x(2)=(2)^2−3=1$$y$$y(2)=2(2)−1=3$$,

que corresponde al punto de$$(1,3)$$ la gráfica (Figura$$\PageIndex{5}$$). Ahora usa la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea para encontrar la ecuación de la línea tangente:

$$y−y_0=m(x−x_0)$$

$$y−3=\dfrac{1}{2}(x−1)$$

$$y−3=\dfrac{1}{2}x−\dfrac{1}{2}$$

$$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones

$$x(t)=t^2−4t, \quad y(t)=2t^3−6t, \quad\text{for }−2≤t≤6$$cuando$$t=5$$.

Pista

Calcular$$x′(t)$$$$y′(t)$$ y usar Ecuación\ ref {parAd}.

Contestar

La ecuación de la línea tangente es$$y=24x+100.$$

Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función$$y=f(x)$$ se define como la derivada de la primera derivada; es decir,

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{dy}{dx}\right]. \label{eqD2}$

Desde

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}, \nonumber$

podemos reemplazar el$$y$$ en ambos lados de la Ecuación\ ref {EqD2} con$$\dfrac{dy}{dx}$$. Esto nos da

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)=\dfrac{(d/dt)(dy/dx)}{dx/dt}.\label{paraD2}$

Si conocemos$$dy/dx$$ como una función de$$t$$, entonces esta fórmula es sencilla de aplicar

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Finding a Second Derivative

Calcular la segunda derivada$$d^2y/dx^2$$ para la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas$$x(t)=t^2−3, \quad y(t)=2t−1, \quad\text{for }−3≤t≤4.$$

Solución

De Ejemplo lo$$\PageIndex{1}$$ sabemos$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{t}$$. Usando la ecuación\ ref {ParAD2}, obtenemos

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{(d/dt)(dy/dx)}{dx/dt}=\dfrac{(d/dt)(1/t)}{2t}=\dfrac{−t^{−2}}{2t}=−\dfrac{1}{2t^3}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Calcular la segunda derivada$$d^2y/dx^2$$ para la curva plana definida por las ecuaciones

$$x(t)=t^2−4t, \quad y(t)=2t^3−6t, \quad\text{for }−2≤t≤3$$

y localizar cualquier punto crítico en su gráfica.

Pista

Comienza con la solución del ejercicio anterior, y usa Ecuación\ ref {ParAD2}.

Contestar

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3t^2−12t+3}{2(t−2)^3}$$. Puntos críticos$$(5,4),\, (−3,−4)$$, y$$(−4,6).$$

Integrales que implican ecuaciones paramétricas

Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es esta: ¿Cómo encontramos el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos el cicloide definido por estas ecuaciones paramétricas

\begin{align*} x(t) &=t−\sin t \\[4pt] y(t) &=1−\cos t. \end{align*}

Supongamos que queremos encontrar el área de la región sombreada en la siguiente gráfica.

Para derivar una fórmula para el área bajo la curva definida por las funciones

\begin{align*} x &=x(t) \\[4pt] y &=y(t) \end{align*}

donde$$a≤t≤b$$.

Suponemos que$$x(t)$$ es diferenciable y comenzamos con una partición igual del intervalo$$a≤t≤b$$. Supongamos$$t_0=a<t_1<t_2<⋯<t_n=b$$ y consideremos la siguiente gráfica.

Utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo la curva. La altura de un rectángulo típico en esta parametrización es$$y(x(\bar{t_i}))$$ para algún valor$$\bar{t_i}$$ en el$$i^\text{th}$$ subintervalo, y el ancho se puede calcular como$$x(t_i)−x(t_{i−1})$$. Así, el área del$$i^\text{th}$$ rectángulo viene dada por

$A_i=y(x(\bar{t_i}))(x(t_i)−x(t_{i−1})). \nonumber$

Entonces una suma de Riemann para el área es

$A_n=\sum_{i=1}^ny(x(\bar{t_i}))(x(t_i)−x(t_{i−1})).\nonumber$

Multiplicar y dividir cada área por$$t_i−t_{i−1}$$ da

\begin{align*} A_n &=\sum_{i=1}^ny(x(\bar{t_i})) \left(\dfrac{x(t_i)−x(t_{i−1})}{t_i−t_{i−1}}\right)(t_i−t_{i−1}) \\[4pt] &=\sum_{i=1}^ny(x(\bar{t_i})) \left(\dfrac{x(t_i)−x(t_{i−1})}{Δt}\right)Δt. \end{align*} \nonumber

Tomando el límite a medida que$$n$$ se acerca al infinito da

$A=\lim_{n→∞}A_n=∫^b_ay(t)x′(t)\,dt. \nonumber$

Esto lleva al siguiente teorema.

Área bajo una curva paramétrica

Considere la curva plana no autointersecante definida por las ecuaciones paramétricas

$x=x(t),\quad y=y(t),\quad \text{for }a≤t≤b \nonumber$

y asumir que$$x(t)$$ es diferenciable. El área bajo esta curva viene dada por

$A=∫^b_ay(t)x′(t)\,dt.\label{ParaArea}$

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Finding the Area under a Parametric Curve

Encuentra el área bajo la curva del cicloide definido por las ecuaciones

$x(t)=t−\sin t, \quad y(t)=1−\cos t, \quad \text{for }0≤t≤2π. \nonumber$

Solución

Usando la ecuación\ ref {paraArea}, tenemos

\ [\ begin {align*} A &=^b_ay (t) x′ (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {2π} _0 (1−\ cos t) (1−\ cos t)\, dt\ [4pt]
&=^ {2π} _0 (1−2\ cos t+\ cos^2t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {2π} _0\ izquierda (1−2\ cos t+\ dfrac {1+\ cos (2t)} {2}\ derecha)\, dt\\ [4pt]
&=^ {2π} _0\ izquierda (\ dfrac {3} {2} −2\ cos t+ \ dfrac {\ cos (2t)} {2}\ derecha)\, dt\\ [4pt]
&=\ dfrac {3t} {2} −2\ sin t+\ dfrac {\ sin (2t)} {4} ^ {2π} _0\\ [4pt]
&=3π\ end {align*}\]

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encontrar el área bajo la curva del hipocicloide definida por las ecuaciones

$x(t)=3\cos t+\cos(3t), \quad y(t)=3\sin t−\sin(3t), \quad \text{for }0≤t≤π. \nonumber$

Pista

Utilice la ecuación\ ref {paraArea}, junto con las identidades$$\sin α\sin β=\dfrac{1}{2}[\cos(α−β)−\cos(α+β)]$$ y$$\sin^2t=\dfrac{1−\cos (2t)}{2}$$.

Contestar

$$A=3π$$(Tenga en cuenta que la fórmula integral en realidad arroja una respuesta negativa. Esto se debe a que$$x(t)$$ es una función decreciente sobre el intervalo es$$[0,π];$$ decir, la curva se traza de derecha a izquierda.)

Longitud de arco de una curva paramétrica

Además de encontrar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos encontrar la longitud del arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud del arco es la misma que la distancia entre los puntos finales. Si una partícula viaja de un punto$$A$$ a otro a$$B$$ lo largo de una curva, entonces la distancia que recorre la partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud del arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en la siguiente gráfica.

Dada una curva plana definida por las funciones$$x=x(t),\quad y=y(t),\quad \text{for }a≤t≤b$$, comenzamos particionando el intervalo$$[a,b]$$ en subintervalos$$n$$ iguales:$$t_0=a<t_1<t_2<⋯<t_n=b$$. El ancho de cada subintervalo viene dado por$$Δt=(b−a)/n$$. Podemos calcular la longitud de cada segmento de línea:

$d_1=\sqrt{(x(t_1)−x(t_0))^2+(y(t_1)−y(t_0))^2} \nonumber$

$d_2=\sqrt{(x(t_2)−x(t_1))^2+(y(t_2)−y(t_1))^2} \nonumber$

etc.

Entonces sume estos. Dejamos$$s$$ denotar la longitud exacta del arco y$$s_n$$ denotar la aproximación por segmentos$$n$$ de línea:

$s≈\sum_{k=1}^ns_k=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x(t_k)−x(t_{k−1}))^2+(y(t_k)−y(t_{k−1}))^2}. \label{arc5}$

Si asumimos que$$x(t)$$ y$$y(t)$$ son funciones diferenciables de$$t$$, entonces se aplica el Teorema del Valor Medio, así que en cada subintervalo$$[t_{k−1},t_k]$$ existen$$\hat{t_k}$$ y$$\tilde{t_k}$$ tal que

$x(t_k)−x(t_{k−1})=x′(\hat{t_k})(t_k−t_{k−1})=x′(\hat{t_k})\,Δt \nonumber$

$y(t_k)−y(t_{k−1})=y′(\tilde{t_k})(t_k−t_{k−1})=y′(\tilde{t_k})\,Δt. \nonumber$

Por lo tanto, la ecuación\ ref {arc5} se convierte

\ [\ begin {align*} s ≈\ suma_ {k=1} ^ns_k &=\ suma_ {k=1} ^n\ sqrt {(x′ (\ hat {t_k}) Δt) ^2+ (y′ (\ tilde {t_k}) Δt) ^2}\\ [4pt]
&=\ sum_ {k=1} ^n\ sqrt {(x′ (\ hat {t_k})) ^2 (Δt) ^2+ (y′ (\ tilde {t_k})) ^2 (Δt) ^2}\\ [4pt]
&=\ sum_ {k=1} ^n\ sqrt {(x′ (\ hat {t_k})) ^2+ (y′ (\ tilde {t_k})) ^2} Δt. \ end {alinear*}\]

Esta es una suma de Riemann que se aproxima a la longitud del arco sobre una partición del intervalo$$[a,b]$$. Si además asumimos que las derivadas son continuas y dejamos que el número de puntos en la partición aumente sin límite, la aproximación se aproxima a la longitud exacta del arco. Esto da

\ [\ begin {align*} s &=\ lim_ {n→∞}\ suma_ {k=1} ^ns_k\\ [4pt]
&=\ lim_ {n→∞}\ suma_ {k=1} ^n\ sqrt {(x′ (\ hat {t_k})) ^2+ (y′ (\ tilde {t_k})) ^2} Δt\ [4pt]
&=^b_a\ sqrt {(x′ (t)) ^2+ (y′ (t)) ^2}\, dt. \ end {alinear*}\]

Al tomar el límite, los valores de$$\hat{t_k}$$ y$$\tilde{t_k}$$ están contenidos dentro del mismo intervalo de ancho cada vez menor$$Δt$$, por lo que deben converger al mismo valor.

Podemos resumir este método en el siguiente teorema.

Longitud de Arco de una Curva Paramétrica

Considerar la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

$x=x(t), \quad y=y(t), \quad \text{for }t_1≤t≤t_2 \nonumber$

y asumir que$$x(t)$$ y$$y(t)$$ son funciones diferenciables de$$t$$. Entonces la longitud del arco de esta curva viene dada por

$s=∫^{t_2}_{t_1}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt. \label{arcP}$

En este punto, una derivación lateral conduce a una fórmula previa para la longitud del arco. En particular, supongamos que el parámetro puede ser eliminado, dando lugar a una función$$y=F(x)$$. Entonces$$y(t)=F(x(t))$$ y la Regla de la Cadena da

$y′(t)=F′\big(x(t)\big)x′(t). \nonumber$

Sustituyendo esto en la Ecuación\ ref {ArcP} da

\ [\ begin {align*} s &=^ {t_2} _ {t_1}\ sqrt {\ izquierda (\ dfrac {dx} {dt}\ derecha) ^2+\ izquierda (F′ (x)\ dfrac {dx} {dt}\ derecha) ^2}\, dt\ [4pt]
&=^ {t_2} _ {t_1}\ sqrt\ izquierda (\ dfrac {dx} {dt}\ derecha) ^2 (1+\ izquierda (F′ (x)\ derecha) ^2)}\, dt\\ [4pt]
&=^ {t_2} _ {t_1} x′ (t)\ sqrt {1+\ left (\ dfrac {dy} {dx}\ derecha) ^2}\, dt. \ end {alinear*}\]

Aquí lo hemos asumido$$x′(t)>0$$, lo cual es una suposición razonable. La regla de la cadena da$$dx=x′(t)\,dt,$$$$a=x(t_1)$$ y deja y$$b=x(t_2)$$ obtenemos la fórmula

$s=∫^b_a\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx, \nonumber$

que es la fórmula para la longitud del arco obtenida en la Introducción a las Aplicaciones de la Integración.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Finding the Arc Length of a Parametric Curve

Encuentra la longitud del arco del semicírculo definido por las ecuaciones

$x(t)=3\cos t, \quad y(t)=3\sin t, \quad \text{for }0≤t≤π. \nonumber$

Solución

Los valores$$t=0$$ para$$t=π$$ trazar la curva azul en la Figura$$\PageIndex{8}$$. Para determinar su longitud, utilice la ecuación\ ref {ArcP}:

\ [\ begin {align*} s &=\ int^ {t_2} _ {t_1}\ sqrt {\ izquierda (\ dfrac {dx} {dt}\ derecha) ^2+\ izquierda (\ dfrac {dy} {dt}\ derecha) ^2}\, dt\\ [4pt]
&=^π_0\ sqrt {(−3\ sin t) ^2+ (3\ cos t) ^2}\, dt\\ [4pt]
&=^π_0\ sqrt {9\ sin^2t+9\ cos^2t}\, dt\\ [4pt]
&=^π_0\ sqrt {9 (\ sin^2t+\ cos^2t)}\, dt\\ [4pt]
&=^π_03\, dt=3t\ big|^π_0\\ [4pt]
&=3π\ text {unidades}. \ end {alinear*}\]

Tenga en cuenta que la fórmula para la longitud del arco de un semicírculo es$$πr$$ y el radio de este círculo es$$3$$. Este es un gran ejemplo del uso del cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra la longitud del arco de la curva definida por las ecuaciones

$x(t)=3t^2, \quad y(t)=2t^3, \quad \text{for }1≤t≤3. \nonumber$

Pista

Utilice la ecuación\ ref {arcP}.

Contestar

$$s=2(10^{3/2}−2^{3/2})≈57.589$$unidades

Ahora volvemos al problema planteado al inicio de la sección sobre una pelota de béisbol dejando la mano de un lanzador. Ignorando el efecto de la resistencia al aire (¡a menos que sea una bola curva!) , la pelota recorre un camino parabólico. Suponiendo que la mano del lanzador está en el origen y la pelota viaja de izquierda a derecha en la dirección del$$x$$ eje positivo, las ecuaciones paramétricas para esta curva se pueden escribir como

$x(t)=140t, \quad y(t)=−16t^2+2t \nonumber$

donde$$t$$ representa el tiempo. Primero calculamos la distancia que recorre la pelota en función del tiempo. Esta distancia está representada por la longitud del arco. Podemos modificar ligeramente la fórmula de longitud de arco. Primero reescribe las funciones$$x(t)$$ y$$y(t)$$ usa v como variable independiente, para eliminar cualquier confusión con el parámetro$$t$$:

$x(v)=140v, \quad y(v)=−16v^2+2v. \nonumber$

Luego escribimos la fórmula de longitud de arco de la siguiente manera:

\ [\ begin {align*} s (t) &=^t_0\ sqrt {(\ dfrac {dx} {dv}) ^2+ (\ dfrac {dy} {dv}) ^2}\, dv\\ [4pt]
&=^t_0\ sqrt {140^2+ (−32v+2) ^2}\, dv\ end {align*}\]

La variable$$v$$ actúa como una variable ficticia que desaparece después de la integración, dejando la longitud del arco en función del tiempo$$t$$. Para integrar esta expresión podemos usar una fórmula del Apéndice A,

$∫\sqrt{a^2+u^2}\,du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln ∣u+\sqrt{a^2+u^2}∣+C. \nonumber$

Nos fijamos$$a=140$$ y$$u=−32v+2.$$ Esto da$$du=−32\,dv,$$ así$$dv=−\dfrac{1}{32}\,du.$$ Por lo tanto

\ [\ begin {align*} ∫\ sqrt {140^2+ (−32v+2) ^2}\, dv &=−\ dfrac {1} {32} ∫\ sqrt {a^2+u^2}\, du\\ [4pt]
&=−\ dfrac {1} {32}\ izquierda [\ dfrac {(−32v+2)} {2}\ sqrt {140^2+ (−32v+2) ^2} +\ dfrac {140^2} {2}\ ln (−32v+2) +\ sqrt {140^2+ (−32v+2) ^2} |+C\ derecha]\ end {align*}\]

y

\ [\ begin {align*} s (t) &=-\ dfrac {1} {32}\ left [\ dfrac {(-32t+2)} {2}\ sqrt {140^2+ (-32t+2) ^2} +\ dfrac {140^2} {2}\ ln\ left | (-32t+2) +\ sqrt {140^2+ (-32t+2) +\ sqrt {140^2+ (-32t+2) t+2) ^2}\ derecha |\ derecha] +\ dfrac {1} {32}\ izquierda [\ sqrt {140^2+2^2} +\ dfrac {140^2} {2}\ ln\ izquierda |2+\ sqrt {140^2+2^2}\ derecha |\ derecha]\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ dfrac {t} {2} -\ dfrac {1} {32}\ derecha)\ sqrt {1024t^2-128t+19604} -\ dfrac {1225} {4}\ ln\ izquierda | (-32t+2) +\ sqrt {1024t^2-128t+19604}\ derecha |+\ dfrac {\ sqrt {19604}} {32} +\ dfrac {1225} 4}\ ln (2+\ sqrt {19604})\ end {align*}. \ nonumber\]

Esta función representa la distancia recorrida por la pelota en función del tiempo. Para calcular la velocidad, tomar la derivada de esta función con respecto a$$t$$. Si bien esto puede parecer una tarea desalentadora, es posible obtener la respuesta directamente del Teorema Fundamental del Cálculo:

$\dfrac{d}{dx}∫^x_af(u)\,du=f(x). \nonumber$

Por lo tanto

\ [\ begin {align*} s′ (t) &=\ dfrac {d} {dt}\ Grande [s (t)\ Grande]\\ [4pt]
&=\ dfrac {d} {dt}\ izquierda [^t_0\ sqrt {140^2+ (−32v+2) ^2}\, dv\ derecha]\\ [4pt]
&=\ sqrt {140^2+ (−32t+2) ^2}\\ [4pt]
&=\ sqrt {1024t^2−128t+19604}\\ [4pt]
&=2\ sqrt {256t^2−32t+4901}. \ end {align*}\ nonumber\]

Un tercio de segundo después de que el balón sale de la mano del lanzador, la distancia que recorre es igual a

\ [\ begin {align*} s\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) &=\ izquierda (\ frac {1/3} {2} −\ frac {1} {32}\ derecha)\ sqrt {1024\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^2−128\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) +19604}\\
&−\ frac {1225} {4}\ ln\ Bigg|\ izquierda (−32\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) +2\ derecha) +\ sqrt {1024\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^2−128\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) +19604}\ Bigg|\\
&+\ frac {\ sqrt {19604}} {32} +\ frac {1225} {4}\ ln (2+\ sqrt {19604})\\ [4pt]
&≈46.69\ text {pies}. \ end {alinear*}\]

Este valor es poco más de tres cuartas partes del camino a la placa de inicio. La velocidad de la pelota es

$$s′\left(\frac{1}{3}\right)=2\sqrt{256\left(\frac{1}{3}\right)^2−32\left(\frac{1}{3}\right)+4901}≈140.27$$pies/s.

Esta velocidad se traduce en aproximadamente$$95$$ mph, una bola rápida de las Grandes Ligas.

Área de superficie generada por una curva paramétrica

Recordemos el problema de encontrar la superficie de un volumen de revolución. En Longitud de curva y área de superficie, derivamos una fórmula para encontrar el área de superficie de un volumen generado por una función$$y=f(x)$$ de$$x=a$$ a$$x=b,$$ girado alrededor del$$x$$ eje -eje:

$S=2π∫^b_af(x)\sqrt{1+(f′(x))^2}\,dx. \nonumber$

Consideramos ahora un volumen de revolución generado al girar una curva definida paramétricamente$$x=x(t), \quad y=y(t), \quad \text{for }a≤t≤b$$ alrededor del$$x$$ eje -como se muestra en la Figura$$\PageIndex{9}$$.

La fórmula análoga para una curva definida paramétricamente es

$S=2π∫^b_ay(t)\sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}\,dt \label{ParSurface}$

siempre que no$$y(t)$$ sea negativo en$$[a,b]$$.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Finding Surface Area

Encuentra el área de superficie de una esfera de radio$$r$$ centrada en el origen.

Solución

Comenzamos con la curva definida por las ecuaciones

$x(t)=r\cos t, \quad y(t)=r\sin t, \quad \text{for }0≤t≤π. \nonumber$

Esto genera un semicírculo superior de radio$$r$$ centrado en el origen como se muestra en la siguiente gráfica.

Cuando esta curva gira alrededor del$$x$$ eje, genera una esfera de radio$$r$$. Para calcular el área de superficie de la esfera, utilizamos la ecuación\ ref {parSurface}:

\ [\ begin {align*} S &= 2π^b_ay (t)\ sqrt {(x′ (t)) ^2+ (y′ (t)) ^2}\, dt\ [4pt]
&=2π^π_0r\ sin t\ sqrt {(−r\ sin t) ^2+ (r\ cos t) ^2}\, dt\ [4pt]
&=2π^π_0r\ sin t\ sqrt {r^2\ sin^2t+r^2\ cos^2t}\, dt\\ [4pt]
&=2π^π_0r\ sin t\ sqrt {r^2 (\ sin^2t+\ cos^2t)}\, dt\\ [4pt]
&=2π^π_0r^2\ sin t\, dt\\ [4pt]
&=2πr^2\ left (−\ cos t\ big|^π_0\ derecha)\\ [4pt]
&=2πr^2 (−\ cos π+\ cos 0)\\ [4pt]
&=4πr^2\ text {unidades} ^2. \ end {align*}\ nonumber\]

Esta es, de hecho, la fórmula para la superficie de una esfera.

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Encontrar el área de superficie generada cuando la curva plana definida por las ecuaciones

$x(t)=t^3, \quad y(t)=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1 \nonumber$

gira alrededor del$$x$$ eje.

Pista

Utilice la ecuación\ ref {parSurface}. Al evaluar la integral, utilice una$$u$$ -sustitución.

Responder

$$A=\dfrac{π(494\sqrt{13}+128)}{1215} \text{ units}^2$$

Conceptos clave

• La derivada de la curva definida paramétricamente$$x=x(t)$$ y se$$y=y(t)$$ puede calcular usando la fórmula$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y′(t)}{x′(t)}$$. Usando la derivada, podemos encontrar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica.
• El área entre una curva paramétrica y el$$x$$ eje se puede determinar usando la fórmula$$\displaystyle A=∫^{t_2}_{t_1}y(t)x′(t)\,dt.$$
• La longitud del arco de una curva paramétrica se puede calcular usando la fórmula$s=∫^{t_2}_{t_1}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt. \nonumber$
• El área superficial de un volumen de revolución girado alrededor del$$x$$ eje está dada por$S=2π∫^b_ay(t)\sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}\,dt. \nonumber$
• Si la curva gira alrededor del$$y$$ eje, entonces la fórmula es$S=2π∫^b_a x(t)\sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}\,dt. \nonumber$

Ecuaciones Clave

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{y′(t)}{x′(t)} \nonumber$

• Derivada de segundo orden de ecuaciones paramétricas

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{(d/dt)(dy/dx)}{dx/dt} \nonumber$

• Área bajo una curva paramétrica

$A=∫^b_ay(t)x′(t)\,dt \nonumber$

• Longitud de arco de una curva paramétrica

$s=∫^{t_2}_{t_1}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \nonumber$

• Área de superficie generada por una curva paramétrica

$S=2π∫^b_ay(t)\sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}\,dt \nonumber$

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