11.2E: Ejercicios para la Sección 11.2

En los ejercicios 1 - 4, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una línea. Sin eliminar el parámetro, encuentra la pendiente de cada línea.

1)\(x=3+t,\quad y=1−t\)

2)\( x=8+2t, \quad y=1\)

Contestar

\(m=0\)

3)\( x=4−3t, \quad y=−2+6t\)

4)\( x=−5t+7, \quad y=3t−1\)

Contestar

\(m= -\frac{3}{5}\)

En los ejercicios 5 - 9, determinar la pendiente de la línea tangente, luego encontrar la ecuación de la línea tangente en el valor dado del parámetro.

5)\( x=3\sin t,\quad y=3\cos t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

6)\( x=\cos t, \quad y=8\sin t, \quad \text{for }t=\frac{π}{2}\)

Contestar

Talud\(=0; y=8.\)

7)\( x=2t, \quad y=t^3, \quad \text{for } t=−1\)

8)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t}, \quad \text{for }t=1\)

Contestar

La pendiente es indefinida;\( x=2\).

9)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t, \quad \text{for }t=4\)

En los ejercicios 10 - 13, encuentra todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada.

10)\( x=4\cos t, \quad y=4\sin t,\) pendiente =\(0.5\)

Solución

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{4\cos t}{-4\sin t} = - \cot t.\)
Estableciendo esta derivada igual a\(0.5,\) obtenemos la ecuación,\(\tan t = -2.\)
\( \tan t = -2 \implies \dfrac{y}{x} = -2 \implies y = -2x.\)
Obsérvese también que este par de ecuaciones paramétricas representa el círculo\(x^2 + y^2 = 16.\)
Por sustitución, encontramos que esta curva tiene un pendiente de\(0.5\) en los puntos:
\(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{−8\sqrt{5}}{5}\right)\) y\(\left(\frac{-4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5}\right).\)

11)\( x=2\cos t, \quad y=8\sin t,\) pendiente=\(−1\)

12)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t},\) pendiente=\(1\)

Contestar

No hay puntos posibles; expresión indefinida.

13)\( x=2+\sqrt{t}, \quad y=2−4t,\) pendiente=\(0\)

En los ejercicios 14 - 16, escriba la ecuación de la línea tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro dado\(t\).

14)\( x=e^{\sqrt{t}}, \quad y=1−\ln t^2, \quad \text{for }t=1\)

Contestar

\( y=−\left(\frac{4}{e}\right)x+5\)

15)\( x=t\ln t, \quad y=\sin^2t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

16)\( x=e^t, \quad y=(t−1)^2,\) en\((1,1)\)

Contestar

\( y=-2x+3\)

17) Para\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) donde\( 0≤t<2π.\) Buscar todos los valores\(t\) en los que existe una línea tangente horizontal.

18) Para\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) donde\( 0≤t<2π\). Encuentra todos los valores\(t\) en los que existe una línea tangente vertical.

Contestar

Existe una línea tangente vertical en\(t = \frac{π}{4},\frac{5π}{4},\frac{3π}{4},\frac{7π}{4}\)

19) Encuentra todos los puntos de la curva\( x=4\cos(t), \quad y=4\sin(t)\) que tengan la pendiente de\( \frac{1}{2}\).

20) Encontrar\( \dfrac{dy}{dx}\) para\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\).

Contestar

\( \dfrac{dy}{dx}=−\tan(t)\)

21) Encuentra la ecuación de la línea tangente a\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\) at\( t=\frac{π}{4}\).

22) Para la curva\( x=4t, \quad y=3t−2,\) encontrar la pendiente y concavidad de la curva en\( t=3\).

Contestar

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{4}\)y\( \dfrac{d^2y}{dx^2}=0\), así la curva no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en\( t=3\). Por lo tanto, la gráfica es lineal y tiene una pendiente constante pero no concavidad.

23) Para la curva paramétrica cuya ecuación es\( x=4\cos θ, \quad y=4\sin θ\), encontrar la pendiente y concavidad de la curva en\( θ=\frac{π}{4}\).

24) Encontrar la pendiente y concavidad para la curva cuya ecuación está\( x=2+\sec θ, \quad y=1+2\tan θ\) en\( θ=\frac{π}{6}\).

Contestar

\( \dfrac{dy}{dx}=4, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}=−4\sqrt{3};\)la curva es cóncava hacia abajo en\( θ=\frac{π}{6}\).

25) Encuentra todos los puntos de la curva\( x=t+4, \quad y=t^3−3t\) en los que hay tangentes verticales y horizontales.

26) Encuentra todos los puntos de la curva\( x=\sec θ, \quad y=\tan θ\) en los que existen tangentes horizontales y verticales.

Contestar

Sin tangentes horizontales. Tangentes verticales en\( (1,0)\) y\((−1,0)\).

En los ejercicios 27 - 29, encuentra\( d^2y/dx^2\).

27)\( x=t^4−1, \quad y=t−t^2\)

28)\( x=\sin(πt), \quad y=\cos(πt)\)

Contestar

\( d^2y/dx^2 = −\sec^3(πt)\)

29)\( x=e^{−t}, \quad y=te^{2t}\)

En los ejercicios 30 - 31, encuentra puntos en la curva en los que la línea tangente es horizontal o vertical.

30)\( x=t(t^2−3), \quad y=3(t^2−3)\)

Contestar

Horizontal\( (0,−9)\);
Vertical\( (±2,−6).\)

31)\( x=\dfrac{3t}{1+t^3}, \quad y=\dfrac{3t^2}{1+t^3}\)

En los ejercicios 32 - 34, encuentra\( dy/dx\) en el valor del parámetro.

32)\( x=\cos t,y=\sin t, \quad \text{for }t=\frac{3π}{4}\)

Contestar

\(dy/dx = 1\)

33)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4,t=9\)

34)\( x=4\cos(2πs), \quad y=3\sin(2πs), \quad \text{for }s=−\frac{1}{4}\)

Contestar

\(dy/dx = 0\)

En los ejercicios 35 - 36, encuentra\( d^2y/dx^2\) en el punto dado sin eliminar el parámetro.

35)\( x=\frac{1}{2}t^2, \quad y=\frac{1}{3}t^3, \quad \text{for }t=2\)

36)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4, \quad \text{for }t=1\)

Contestar

\(d^2y/dx^2 = 4\)

37) Encuentra intervalos\(t\) en los que la curva\( x=3t^2, \quad y=t^3−t\) es cóncava hacia arriba así como cóncava hacia abajo.

38) Determinar la concavidad de la curva\( x=2t+\ln t, \quad y=2t−\ln t\).

Contestar

Cóncavo hacia arriba\( t>0\).

39) Esbozar y encontrar el área bajo un arco del cicloide\( x=r(θ−\sin θ), \quad y=r(1−\cos θ)\).

40) Encuentra el área delimitada por la curva\( x=\cos t, \quad y=e^t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) y las líneas\( y=1\) y\( x=0\).

Contestar

\(1\text{ unit}^2\)

41) Encuentra el área encerrada por la elipse\( x=a\cos θ, \quad y=b\sin θ, \quad \text{for }0≤θ<2π.\)

42) Encontrar el área de la región delimitada por\( x=2\sin^2θ, \quad y=2\sin^2θ\tan θ\), para\( 0≤θ≤\frac{π}{2}\).

Contestar

\( \frac{3π}{2}\text{ units}^2\)

En los ejercicios 43 - 46, encuentra el área de las regiones delimitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro.

43)\( x=2\cot θ, \quad y=2\sin^2θ, \quad \text{for }0≤θ≤π\)

44) [T]\( x=2a\cos t−a\cos(2t), \quad y=2a\sin t−a\sin(2t), \quad \text{for }0≤t<2π\)

Contestar

\( 6πa^2\text{ units}^2\)

45) [T]\( x=a\sin(2t), \quad y=b\sin(t), \quad \text{for }0≤t<2π\) (el “reloj de arena”)

46) [T]\( x=2a\cos t−a\sin(2t), \quad y=b\sin t, \quad \text{for }0≤t<2π\) (la “lágrima”)

Contestar

\( 2πab\text{ units}^2\)

En los ejercicios 47 - 52, encuentra la longitud del arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro.

47)\( x=4t+3, \quad y=3t−2, \quad \text{for }0≤t≤2\)

48)\( x=\frac{1}{3}t^3, \quad y=\frac{1}{2}t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Contestar

\( s = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)unidades

49)\( x=\cos(2t), \quad y=\sin(2t), \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\)

50)\( x=1+t^2, \quad y=(1+t)^3, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Contestar

\(s = 7.075\)unidades

51)\( x=e^t\cos t, \quad y=e^t\sin t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) (respuesta expresa como decimal redondeado a tres lugares)

52)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ\) en el intervalo\( [0,2π)\) (el hipocicloide)

Contestar

\( s = 6a\)unidades

53) Encuentra la longitud de un arco del cicloide\( x=4(t−\sin t), \quad y=4(1−\cos t).\)

54) Encontrar la distancia recorrida por una partícula con posición\( (x,y)\) como\(t\) varía en el intervalo de tiempo dado:\( x=\sin^2t, \quad y=\cos^2t, \quad \text{for }0≤t≤3π\).

Contestar

\( 6\sqrt{2}\)unidades

55) Encuentra la longitud de un arco del cicloide\( x=θ−\sin θ, \quad y=1−\cos θ\).

56) Mostrar que la longitud total de la elipse\( x=4\sin θ, \quad y=3\cos θ\) es\( \displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\sin^2θ}\,dθ\), dónde\( e=\frac{c}{a}\) y\( c=\sqrt{a^2−b^2}\).

57) Encuentra la longitud de la curva\( x=e^t−t, \quad y=4e^{t/2}, \quad \text{for }−8≤t≤3.\)

En los ejercicios 58 - 59, encuentra el área de la superficie obtenida girando la curva dada alrededor del\(x\) eje -eje.

58)\( x=t^3, \quad y=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Contestar

\( \dfrac{2π(247\sqrt{13}+64)}{1215}\text{ units}^2\)

59)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ, \quad \text{for }0≤θ≤\frac{π}{2}\)

60) [T] Utilice un CAS para encontrar el área de la superficie generada al girar\( x=t+t^3, \quad y=t−\frac{1}{t^2}, \quad \text{for }1≤t≤2\) alrededor del\(x\) eje. (Respuesta a tres decimales.)

Contestar

\(59.101\text{ units}^2\)

61) Encuentra el área de superficie obtenida girando\( x=3t^2, \quad y=2t^3, \quad \text{for }0≤t≤5\) alrededor del\(y\) eje.

62) Encuentra el área de la superficie generada al girar\( x=t^2, \quad y=2t, \quad \text{for }0≤t≤4\) alrededor del\(x\) eje.

Contestar

\( \frac{8π}{3}(17\sqrt{17}−1) \text{ units}^2\)

63) Encuentra el área de superficie generada al girar\( x=t^2, \quad y=2t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\) alrededor del\(y\) eje.