11.3E: Ejercicios para la Sección 11.3
- Page ID
- 116195
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)En los ejercicios 1 - 7, trazar el punto cuyas coordenadas polares se dan construyendo primero el ángulo\(θ\) y luego marcando la distancia\(r\) a lo largo del rayo.
1)\(\left(3,\frac{π}{6}\right)\)
- Responder
2)\(\left(−2,\frac{5π}{3}\right)\)
3)\(\left(0,\frac{7π}{6}\right)\)
- Responder
4)\(\left(−4,\frac{3π}{4}\right)\)
5)\(\left(1,\frac{π}{4}\right)\)
- Responder
6)\(\left(2,\frac{5π}{6}\right)\)
7)\(\left(1,\frac{π}{2}\right)\)
- Responder
En los ejercicios 8 - 11, considere la gráfica polar a continuación. Da dos conjuntos de coordenadas polares para cada punto.
8) Coordenadas del punto A.
9) Coordenadas del punto B.
- Responder
- \(B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)\)
10) Coordenadas del punto C.
11) Coordenadas del punto D.
- Responder
- \(D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)\)
En los ejercicios 12 - 17, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Encuentra dos conjuntos de coordenadas polares para el punto en\((0,2π]\). Redondear a tres decimales.
12)\((2,2)\)
13)\((3,−4)\)
- Responder
- \((5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)\)
14)\((8,15)\)
15)\((−6,8)\)
- Responder
- \((10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)\)
16)\((4,3)\)
17)\((3,−\sqrt{3})\)
- Responder
- \((2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)\)
En los ejercicios 18 - 24, encuentra coordenadas rectangulares para el punto dado en coordenadas polares.
18)\(\left(2,\frac{5π}{4}\right)\)
19)\(\left(−2,\frac{π}{6}\right)\)
- Responder
- \((−\sqrt{3},−1)\)
20)\(\left(5,\frac{π}{3}\right)\)
21)\(\left(1,\frac{7π}{6}\right)\)
- Responder
- \(\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)\)
22)\(\left(−3,\frac{3π}{4}\right)\)
23)\(\left(0,\frac{π}{2}\right)\)
- Responder
- \((0,0)\)
24)\((−4.5,6.5)\)
En los ejercicios 25 - 29, determinar si las gráficas de la ecuación polar son simétricas con respecto al\(x\) eje -eje, al\(y\) eje -o al origen.
25)\(r=3\sin(2θ)\)
- Responder
- Simetría con respecto al eje x, eje y y origen.
26)\(r^2=9\cos θ\)
27)\(r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)\)
- Responder
- Simétrico con respecto al eje x solamente.
28)\(r=2\sec θ\)
29)\(r=1+\cos θ\)
- Responder
- Simetría con respecto al eje x solamente.
En los ejercicios 30 - 33, describa la gráfica de cada ecuación polar. Confirme cada descripción convirtiéndola en una ecuación rectangular.
30)\(r=3\)
31)\(θ=\frac{π}{4}\)
- Responder
- Línea\(y=x\)
32)\(r=\sec θ\)
33)\(r=\csc θ\)
- Responder
- \(y=1\)
En los ejercicios 34 - 36, convertir la ecuación rectangular a forma polar y esbozar su gráfica.
34)\(x^2+y^2=16\)
35)\(x^2−y^2=16\)
- Responder
-
Hipérbola; forma polar\(r^2\cos(2θ)=16\) o\(r^2=16\sec θ.\)
36)\(x=8\)
En los ejercicios 37 - 38, convertir la ecuación rectangular a forma polar y esbozar su gráfica.
37)\(3x−y=2\)
- Responder
-
\(r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}\)
38)\(y^2=4x\)
En los ejercicios 39 - 43, convertir la ecuación polar a forma rectangular y esbozar su gráfica.
39)\(r=4\sin θ\)
40)\(x^2+y^2=4y\)
- Responder
41)\(r=6\cos θ\)
42)\(r=θ\)
- Responder
-
\(x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y\)
43)\(r=\cot θ\csc θ\)
En los ejercicios 44 - 54, esboza una gráfica de la ecuación polar e identifica cualquier simetría.
44)\(r=1+\sin θ\)
- Responder
-
\(y\)-simetría del eje
45)\(r=3−2\cos θ\)
46)\(r=2−2\sin θ\)
- Responder
-
\(y\)-simetría del eje
47)\(r=5−4\sin θ\)
48)\(r=3\cos(2θ)\)
- Responder
-
\(x\)-y\(y\) -eje simetría y simetría alrededor del polo
49)\(r=3\sin(2θ)\)
50)\(r=2\cos(3θ)\)
- Responder
- \(x\)-simetría del eje
51)\(r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)\)
52)\(r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)\)
- Responder
-
\(x\)-y\(y\) -eje simetría y simetría alrededor del polo
53)\(r^2=4\sin θ\)
54)\(r=2θ\)
- Responder
- sin simetría
55) [T] La gráfica de\(r=2\cos(2θ)\sec(θ).\) se llama estrofoidea. Utilice una utilidad gráfica para esbozar la gráfica y, a partir de la gráfica, determinar la asíntota.
56) [T] Utilizar una utilidad gráfica y bosquejar la gráfica de\(r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}\).
- Responder
- una línea
57) [T] Utilice una utilidad gráfica para graficar\(r=\frac{1}{1−\cos θ}\).
58) [T] Utilice la tecnología para graficar\(r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)\).
- Responder
59) [T] Utilizar la tecnología para trazar\(r=\sin(\frac{3θ}{7})\) (usar el intervalo\(0≤θ≤14π\)).
60) Sin usar tecnología, dibuje la curva polar\(θ=\frac{2π}{3}\).
- Responder
61) [T] Utilice una utilidad gráfica\(r=θ\sin θ\) para trazar\(−π≤θ≤π\).
62) [T] Utilice la tecnología\(r=e^{−0.1θ}\) para trazar\(−10≤θ≤10.\)
- Responder
63) [T] Existe una curva conocida como el “Agujero Negro”. Utilice la tecnología\(r=e^{−0.01θ}\) para trazar\(−100≤θ≤100\).
64) [T] Utilizar los resultados de los dos problemas anteriores para explorar las gráficas de\(r=e^{−0.001θ}\) y\(r=e^{−0.0001θ}\) para\(|θ|>100\).
- Responder
- Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente.