11.4: Área y Longitud del Arco en Coordenadas Polares

Objetivos de aprendizaje

• Aplicar la fórmula para el área de una región en coordenadas polares.
• Determinar la longitud del arco de una curva polar.

En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función\(y=f(x)\) definida desde\(x=a\) hasta\(x=b\) donde\(f(x)>0\) en este intervalo, el área entre la curva y el eje x viene dada por

\[A=\int ^b_af(x)dx. \nonumber \]

Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el Teorema Fundamental del Cálculo. Del mismo modo, la longitud del arco de esta curva viene dada por

\[L=\int ^b_a\sqrt{1+(f′(x))^2}dx. \nonumber \]

En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para área y longitud de arco en el sistema de coordenadas polares.

Áreas de regiones delimitadas por curvas polares

Se han estudiado las fórmulas para el área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y curvas definidas paramétricamente. Ahora volvemos nuestra atención a derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que la prueba del Teorema Fundamental del Cálculo utilizó el concepto de una suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva mediante el uso de rectángulos. Para las curvas polares utilizamos de nuevo la suma de Riemann, pero los rectángulos son reemplazados por sectores de un círculo.

Considera una curva definida por la función\(r=f(θ),\) donde\(α≤θ≤β.\) Nuestro primer paso es dividir el intervalo\([α,β]\) en n subintervalos de igual anchura. El ancho de cada subintervalo viene dado por la fórmula\(Δθ=(β−α)/n\), y el punto de partición i-ésimo\(θ_i\) viene dado por la fórmula\(θ_i=α+iΔθ\). Cada punto de partición\(θ=θ_i\) define una línea con pendiente\(\tan θ_i\) que pasa por el poste como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura\(\PageIndex{1}\): Partición de una curva típica en coordenadas polares.

Los segmentos de línea están conectados por arcos de radio constante. Esto define sectores cuyas áreas se pueden calcular usando una fórmula geométrica. El área de cada sector se utiliza entonces para aproximar el área entre segmentos de línea sucesivos. Luego sumamos las áreas de los sectores para aproximar la superficie total. Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula para el área de un sector de un círculo se ilustra en la siguiente figura.

Figura\(\PageIndex{2}\): El área de un sector de un círculo viene dada por\(A=\dfrac{1}{2}θr^2\).

Recordemos que el área de un círculo es\(A=πr^2\). Al medir ángulos en radianes, 360 grados es igual a\(2π\) radianes. Por lo tanto, una fracción de un círculo se puede medir por el ángulo central\(θ\). La fracción del círculo viene dada por\(\dfrac{θ}{2π}\), por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total:

\[A=(\dfrac{θ}{2π})πr^2=\dfrac{1}{2}θr^2. \nonumber \]

Dado que el radio de un sector típico en la Figura\(\PageIndex{1}\) viene dado por\(r_i=f(θ_i)\), el área del sector i-ésimo viene dada por

\[A_i=\dfrac{1}{2}(Δθ)(f(θ_i))^2. \nonumber \]

Por lo tanto, una suma de Riemann que se aproxima al área viene dada por

\[A_n=\sum_{i=1}^nA_i≈\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2}(Δθ)(f(θ_i))^2. \nonumber \]

Tomamos el límite como\(n→∞\) para obtener el área exacta:

\[A=\lim_{n→∞}A_n=\dfrac{1}{2}\int ^β_α(f(θ))^2dθ. \nonumber \]

Esto da el siguiente teorema.

Área de una región delimitada por una curva polar

Supongamos que\(f\) es continuo y no negativo en el intervalo\(α≤θ≤β\) con\(0<β−α≤2π\). El área de la región delimitada por la gráfica de\(r=f(θ)\) entre las líneas radiales\(θ=α\) y\(θ=β\) es

\[\begin{align} A =\dfrac{1}{2}\int ^β_α[f(θ)]^2 dθ \\[4pt] =\dfrac{1}{2}\int ^β_αr^2 dθ. \label{areapolar}\end{align} \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding an Area of a Polar Region

Encuentra el área de un pétalo de la rosa definida por la ecuación\(r=3\sin(2θ).\)

Solución

La gráfica de\(r=3\sin (2θ)\) sigue.

Figura\(\PageIndex{3}\): La gráfica de\(r=3\sin (2θ).\)

Cuando\(θ=0\) tenemos\(r=3\sin(2(0))=0\). El siguiente valor para el cual\(r=0\) es\(θ=π/2\). Esto se puede ver resolviendo la ecuación\(3\sin (2θ)=0\) para\(θ\). Por lo tanto los valores\(θ=0\) para\(θ=π/2\) trazar el primer pétalo de la rosa. Para encontrar el área dentro de este pétalo, usa la Ecuación\ ref {areapolar} con\(f(θ)=3\sin (2θ), α=0,\) y\(β=π/2\):

\[\begin{align*} A &=\dfrac{1}{2}\int ^β_α[f(θ)]^2dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}\int ^{π/2}_0[3\sin (2θ)]^2dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}\int ^{π/2}_09\sin^2(2θ)dθ. \end{align*}\]

Para evaluar esta integral, utilice la fórmula\(\sin^2α=(1−\cos (2α))/2\) con\(α=2θ:\)

\[\begin{align*} A &=\dfrac{1}{2}\int ^{π/2}_09\sin^2(2θ)dθ \\[4pt] &=\dfrac{9}{2}\int ^{π/2}_0\dfrac{(1−\cos(4θ))}{2}dθ \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(\int ^{π/2}_01−\cos(4θ)dθ) \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(θ−\dfrac{\sin(4θ)}{4}∣^{π/2}_0 \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(\dfrac{π}{2}−\dfrac{\sin 2π}{4})−\dfrac{9}{4}(0−\dfrac{\sin 4(0)}{4}) \\[4pt] &=\dfrac{9π}{8}\end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el área dentro del cardioide definida por la ecuación\(r=1−\cos θ\).

Pista

Usa la ecuación\ ref {areapolar}. Asegúrese de determinar los límites correctos de integración antes de evaluar.

Responder

\(A=3π/2\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) consistió en encontrar el área dentro de una curva. También podemos usar la Ecuación\ ref {areapolar} para encontrar el área entre dos curvas polares. Sin embargo, a menudo necesitamos encontrar los puntos de intersección de las curvas y determinar qué función define la curva exterior o la curva interna entre estos dos puntos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Area between Two Polar Curves

Encuentra el área fuera del cardioide\(r=2+2\sin θ\) y dentro del círculo\(r=6\sin θ\).

Solución

Primero dibuja una gráfica que contenga ambas curvas como se muestra.

Figura\(\PageIndex{4}\): La región entre las curvas\(r=2+2\sin θ\) y\(r=6\sin θ.\)

Para determinar los límites de integración, primero encuentre los puntos de intersección estableciendo las dos funciones iguales entre sí y resolviendo para\(θ\):

\[\begin{align*} 6 \sin θ &=2+2\sin θ \\[4pt] 4\sin θ &=2 \\[4pt] \sin θ &=\dfrac{1}{2} \end{align*}. \nonumber \]

Esto da las soluciones\(θ=\dfrac{π}{6}\) y\(θ=\dfrac{5π}{6}\), cuáles son los límites de la integración. El círculo\(r=3\sin θ\) es el gráfico rojo, que es la función externa, y el cardioide\(r=2+2\sin θ\) es el gráfico azul, que es la función interna. Para calcular el área entre las curvas, comience con el área dentro del círculo entre\(θ=\dfrac{π}{6}\) y\(θ=\dfrac{5π}{6}\), luego reste el área dentro del cardioide entre\(θ=\dfrac{π}{6}\) y\(θ=\dfrac{5π}{6}\):

\(A=\text{circle}−\text{cardioid}\)

\(=\dfrac{1}{2}\int ^{5π/6}_{π/6}[6\sin θ]^2dθ−\dfrac{1}{2}\int ^{5π/6}_{π/6}[2+2\sin θ]^2dθ\)

\(=\dfrac{1}{2}\int ^{5π/6}_{π/6}36\sin^2θ\,dθ−\dfrac{1}{2}\int ^{5π/6}_{π/6}4+8\sin θ+4\sin^2θ\,dθ\)

\(=18\int ^{5π/6}_{π/6}\dfrac{1−\cos(2θ)}{2}dθ−2\int ^{5π/6}_{π/6}1+2\sin θ+\dfrac{1−\cos(2θ)}{2}dθ\)

\(=9[θ−\dfrac{\sin(2θ)}{2}]^{5π/6}_{π/6}−2[\dfrac{3θ}{2}−2\cos θ−\dfrac{\sin(2θ)}{4}]^{5π/6}_{π/6}\)

\(=9(\dfrac{5π}{6}−\dfrac{\sin(10π/6)}{2})−9(\dfrac{π}{6}−\dfrac{\sin(2π/6)}{2})−(3(\dfrac{5π}{6})−4\cos\dfrac{5π}{6}−\dfrac{\sin(10π/6)}{2})+(3(\dfrac{π}{6})−4\cos\dfrac{π}{6}−\dfrac{\sin(2π/6)}{2})\)

\(=4π\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el área dentro del círculo\(r=4\cos θ\) y fuera del círculo\(r=2\).

Pista

Usa la Ecuación\ ref {areapolar} y aprovechar la simetría.

Responder

\(A=\dfrac{4π}{3}+2\sqrt{3}\)

En Ejemplo\(\PageIndex{2}\) encontramos el área dentro del círculo y fuera del cardioide al encontrar primero sus puntos de intersección. Observe que resolviendo la ecuación directamente para\(θ\) arrojó dos soluciones:\(θ=\dfrac{π}{6}\) y\(θ=\dfrac{5π}{6}\). No obstante, en la gráfica hay tres puntos de intersección. El tercer punto de intersección es el origen. La razón por la que este punto no se presentó como solución es porque el origen está en ambas gráficas pero para diferentes valores de\(θ\). Por ejemplo, para el cardioide obtenemos

\[\begin{align*} 2+2\sin θ =0 \\[4pt] \sin θ =−1 ,\end{align*}. \nonumber \]

así que los valores para\(θ\) que resuelvan esta ecuación son\(θ=\dfrac{3π}{2}+2nπ\), donde\(n\) está cualquier entero. Para el círculo obtenemos

\[6\sin θ=0. \nonumber \]

Las soluciones a esta ecuación son de la forma\(θ=nπ\) para cualquier valor entero de\(n\). Estos dos conjuntos de soluciones no tienen puntos en común. Independientemente de este hecho, las curvas se cruzan en el origen. Este caso siempre debe ser tomado en consideración.

Longitud de Arco en Curvas Polares

Aquí derivamos una fórmula para la longitud del arco de una curva definida en coordenadas polares. En coordenadas rectangulares, la longitud del arco de una curva\((x(t),y(t))\) parametrizada\(a≤t≤b\) viene dada por

\[L=\int ^b_a\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt. \nonumber \]

En coordenadas polares definimos la curva por la ecuación\(r=f(θ)\), donde\(α≤θ≤β.\) Para adaptar la fórmula de longitud de arco para una curva polar, usamos las ecuaciones

\[x=r\cos θ=f(θ)\cos θ \nonumber \]

y

\[y=r\sin θ=f(θ)\sin θ, \nonumber \]

y reemplazamos el parámetro\(t\) por\(θ\). Entonces

\[\dfrac{dx}{dθ}=f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ \nonumber \]

\[\dfrac{dy}{dθ}=f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ. \nonumber \]

Sustituimos\(dt\) por\(dθ\), y los límites inferior y superior de integración son\(α\) y\(β\), respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud del arco se convierte

\[ \begin{align*} L &=\int ^b_a\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dθ}\right)^2}\,dθ \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{(f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ)^2+(f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ)^2}\,dθ \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{(f′(θ))^2(\cos^2 θ+\sin^2 θ)+(f(θ))^2(\cos^2 θ+\sin^2θ)}\,dθ \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{(f′(θ))^2+(f(θ))^2}\,dθ \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{dθ}\right)^2}\,dθ \end{align*}\]

Esto nos da el siguiente teorema.

Longitud de arco de una curva definida por una función polar

Dejar\(f\) ser una función cuya derivada es continua en un intervalo\(α≤θ≤β\). La longitud de la gráfica de\(r=f(θ)\) de\(θ=α\) a\(θ=β\) es

\[ \begin{align} L &=\int ^β_α\sqrt{[f(θ)]^2+[f′(θ)]^2}\,dθ \label{arcpolar1} \\[4pt] &=\int ^β_α\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{dθ}\right)^2}\,dθ. \label{arcpolar2} \end{align} \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding the Arc Length of a cardioid

Encuentra la longitud del arco del cardioide\(r=2+2\cos θ\).

Solución

Cuando\(θ=0,r=2+2\cos 0 =4.\) además, como\(θ\) va de\(0\) a\(2π\), el cardioide se traza exactamente una vez. Por lo tanto, estos son los límites de la integración. Usando\(f(θ)=2+2\cos θ, α=0,\) y\(β=2π,\) Ecuación\ ref {arcpolar1} se convierte

\[\begin{align*} L &=\int ^β_α\sqrt{[f(θ)]^2+[f′(θ)]^2}\,dθ \\[4pt] &=\int ^{2π}_0\sqrt{[2+2\cos θ]^2+[−2\sin θ]^2}\,dθ \\[4pt] &=\int ^{2π}_0\sqrt{4+8\cos θ+4\cos^2θ+4\sin^2θ}\,dθ \\[4pt] &=\int ^{2π}_0\sqrt{4+8\cos θ+4(\cos^2θ+\sin^2θ)}\,dθ \\[4pt] &=\int ^{2π}_0\sqrt{8+8\cos θ}\,dθ \\[4pt] &=2\int ^{2π}_0\sqrt{2+2\cos θ}\,dθ. \end{align*}\]

A continuación, usando la identidad\(\cos(2α)=2\cos^2α−1,\) sumar 1 a ambos lados y multiplicar por 2. Esto da\(2+2\cos(2α)=4\cos^2α.\) Sustitución\(α=θ/2\) da\(2+2\cos θ=4\cos^2(θ/2)\), por lo que la integral se convierte

\[\begin{align*} L &= 2\int ^{2π}_0\sqrt{2+2\cos θ}\,dθ \\[4pt] &=2\int ^{2π}_0\sqrt{4\cos^2(\dfrac{θ}{2})}\,dθ \\[4pt] &=4\int ^{2π}_0∣\cos(\dfrac{θ}{2})∣\,dθ.\end{align*}\]

El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambie los límites de\(0\) a\(π\) y duplique la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre\(0\) y\(\dfrac{π}{2}\). Así,

\[\begin{align*} L &=4\int ^{2π}_0∣\cos(\dfrac{θ}{2})∣\,dθ \\[4pt] &=8\int ^π_0 \cos(\dfrac{θ}{2})\,dθ \\[4pt] &=8(2\sin(\dfrac{θ}{2})∣^π_0 \\[4pt] &=16\end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la longitud total del arco de\(r=3\sin θ\).

Pista

Utilice la ecuación\ ref {arcpolar1}. Para determinar los límites correctos, haga una tabla de valores.

Responder

\(s=3π\)

Conceptos clave

• El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación\(r=f(θ)\) con\(α≤θ≤β\) viene dada por la integral\(A=\dfrac{1}{2}\int ^β_α[f(θ)]^2dθ\).
• Para encontrar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero busque los puntos de intersección, luego reste las áreas correspondientes.
• La longitud del arco de una curva polar definida por la ecuación\(r=f(θ)\) con\(α≤θ≤β\) viene dada por la integral\(L=\int ^β_α\sqrt{[f(θ)]^2+[f′(θ)]^2}dθ=\int ^β_α\sqrt{r^2+(\dfrac{dr}{dθ})^2}dθ\).

Ecuaciones Clave

• Área de una región delimitada por una curva polar\[A=\dfrac{1}{2}\int ^β_α[f(θ)]^2dθ=\dfrac{1}{2}\int ^β_αr^2dθ \nonumber \]
• Longitud de arco de una curva polar\[L=\int ^β_α\sqrt{[f(θ)]^2+[f′(θ)]^2}dθ=\int ^β_α\sqrt{r^2+(\dfrac{dr}{dθ})^2}dθ \nonumber \]