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# 11.4E: Ejercicios para la Sección 11.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En los ejercicios 1-13, determinar una integral definida que represente el área.

1) Región encerrada por$$r=4$$

2) Región encerrada por$$r=3\sin θ$$

Responder
$$\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ$$

3) Región en el primer cuadrante dentro del cardioide$$r=1+\sin θ$$

4) Región encerrada por un pétalo de$$r=8\sin(2θ)$$

Responder
$$\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ$$

5) Región encerrada por un pétalo de$$r=cos(3θ)$$

6) Región debajo del eje polar y encerrada por$$r=1−\sin θ$$

Responder
$$\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ$$

7) Región en el primer cuadrante encerrado por$$r=2−\cos θ$$

8) Región encerrada por el bucle interno de$$r=2−3\sin θ$$

Responder
$$\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ$$

9) Región encerrada por el bucle interno de$$r=3−4\cos θ$$

10) Región encerrada por$$r=1−2\cos θ$$ y fuera del bucle interno

Responder
$$\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ$$

11) Región común a$$r=3\sin θ$$ y$$r=2−\sin θ$$

12) Región común a$$r=2$$ y$$r=4\cos θ$$

Responder
$$\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ$$

13) Región común a$$r=3\cos θ$$ y$$r=3\sin θ$$

En los ejercicios 14 -26, encuentra el área de la región descrita.

14) Encerrado por$$r=6\sin θ$$

Responder
$$9π\text{ units}^2$$

15) Por encima del eje polar encerrado por$$r=2+\sin θ$$

16) Debajo del eje polar y encerrado por$$r=2−\cos θ$$

Responder
$$\frac{9π}{4}\text{ units}^2$$

17) Encerrado por un pétalo de$$r=4\cos(3θ)$$

18) Encerrado por un pétalo de$$r=3\cos(2θ)$$

Responder
$$\frac{9π}{8}\text{ units}^2$$

19) Encerrado por$$r=1+\sin θ$$

20) Encerrado por el lazo interno de$$r=3+6\cos θ$$

Responder
$$\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2$$

21) Encerrado por$$r=2+4\cos θ$$ y fuera del lazo interno

22) Interior común de$$r=4\sin(2θ)$$ y$$r=2$$

Responder
$$\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2$$

23) Interior común de$$r=3−2\sin θ$$ y$$r=−3+2\sin θ$$

24) Interior común de$$r=6\sin θ$$ y$$r=3$$

Responder
$$\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2$$

25) Interior$$r=1+\cos θ$$ y exterior$$r=\cos θ$$

26) Interior común de$$r=2+2\cos θ$$ y$$r=2\sin θ$$

Responder
$$(2π−4)\text{ units}^2$$

En los ejercicios 27 - 30, encuentra una integral definida que represente la longitud del arco.

27)$$r=4\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤\frac{π}{2}$$

28)$$r=1+\sin θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤2π$$

Responder
$$\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ$$

29)$$r=2\sec θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤\frac{π}{3}$$

30)$$r=e^θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤1$$

Responder
$$\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ$$

En los ejercicios 31 - 35, encuentra la longitud de la curva sobre el intervalo dado.

31)$$r=6$$ en el intervalo$$0≤θ≤\frac{π}{2}$$

32)$$r=e^{3θ}$$ en el intervalo$$0≤θ≤2$$

Responder
$$\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)$$unidades

33)$$r=6\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤\frac{π}{2}$$

34)$$r=8+8\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$32$$unidades

35)$$r=1−\sin θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤2π$$

En los ejercicios 36 - 40, utilice las capacidades de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.

36) [T]$$r=3θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤\frac{π}{2}$$

Responder
$$6.238$$unidades

37) [T]$$r=\dfrac{2}{θ}$$ en el intervalo$$π≤θ≤2π$$

38) [T]$$r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$2$$unidades

39) [T]$$r=2θ^2$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

40) [T]$$r=\sin(3\cos θ)$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$4.39$$unidades

En los ejercicios 41 - 43, usa la fórmula familiar a partir de la geometría para encontrar el área de la región descrita y luego confirmar usando la integral definida.

41)$$r=3\sin θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

42)$$r=\sin θ+\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2$$y$$\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2$$

43)$$r=6\sin θ+8\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

En los ejercicios 44 - 46, usa la fórmula familiar de la geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirmar usando la integral definida.

44)$$r=3\sin θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π$$unidades y$$\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π$$ unidades

45)$$r=\sin θ+\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

46)$$r=6\sin θ+8\cos θ$$ en el intervalo$$0≤θ≤π$$

Responder
$$C=2π(5)=10π$$unidades y$$\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π$$ unidades

47) Verificar que si$$y=r\sin θ=f(θ)\sin θ$$ entonces$$\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.$$

En los ejercicios 48 - 56, encuentra la pendiente de una línea tangente a una curva polar$$r=f(θ)$$. Let$$x=r\cos θ=f(θ)\cos θ$$ y$$y=r\sin θ=f(θ)\sin θ$$, así la ecuación polar ahora$$r=f(θ)$$ está escrita en forma paramétrica.

48) Utilizar la definición de la derivada$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}$$ y la regla del producto para derivar la derivada de una ecuación polar.

Responder
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}$$

49)$$r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)$$

50)$$r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)$$

Responder
La pendiente es$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$.

51)$$r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)$$

52)$$r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)$$

Responder
La pendiente es 0.

53)$$r=6+3\cos θ; \; (3,π)$$

54)$$r=4\cos(2θ);$$ puntas de las hojas

Responder
En$$(4,0),$$ la pendiente es indefinido. At$$\left(−4,\frac{π}{2}\right)$$, la pendiente es 0.

55)$$r=2\sin(3θ);$$ puntas de las hojas

56)$$r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)$$

Responder
La pendiente es indefinida en$$θ=\frac{π}{4}$$.

57) Encontrar los puntos en el intervalo$$−π≤θ≤π$$ en el que el cardioide$$r=1−\cos θ$$ tiene una línea tangente vertical u horizontal.

58) Para el cardioide$$r=1+\sin θ,$$ encontrar la pendiente de la línea tangente cuando$$θ=\frac{π}{3}$$.

Responder
Pendiente = −1.

En los ejercicios 59 - 62, encuentra la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de$$θ$$.

59)$$r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}$$

60)$$r=θ, \; θ=\frac{π}{2}$$

Responder
La pendiente es$$\frac{−2}{π}$$.

61)$$r=\ln θ, \; θ=e$$

62) [T] Utilice la tecnología:$$r=2+4\cos θ$$ at$$θ=\frac{π}{6}$$

Responder

En los ejercicios 63 - 66, encuentra los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical.

63)$$r=4\cos θ$$

64)$$r^2=4\cos(2θ)$$

Responder
Tangente horizontal en$$\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)$$.

65)$$r=2\sin(2θ)$$

66) El cardioide$$r=1+\sin θ$$

Responder
Tangentes horizontales en Tangentes$$\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.$$
verticales en$$\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}$$ y también en el polo$$(0,0)$$.

67) Mostrar que la curva$$r=\sin θ\tan θ$$ (llamada cissoide de Diócles) tiene la línea$$x=1$$ como asíntota vertical.

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