11.4E: Ejercicios para la Sección 11.4
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1) Región encerrada por\(r=4\)
2) Región encerrada por\(r=3\sin θ\)
- Responder
- \(\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ\)
3) Región en el primer cuadrante dentro del cardioide\(r=1+\sin θ\)
4) Región encerrada por un pétalo de\(r=8\sin(2θ)\)
- Responder
- \(\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ\)
5) Región encerrada por un pétalo de\(r=cos(3θ)\)
6) Región debajo del eje polar y encerrada por\(r=1−\sin θ\)
- Responder
- \(\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ\)
7) Región en el primer cuadrante encerrado por\(r=2−\cos θ\)
8) Región encerrada por el bucle interno de\(r=2−3\sin θ\)
- Responder
- \(\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ\)
9) Región encerrada por el bucle interno de\(r=3−4\cos θ\)
10) Región encerrada por\(r=1−2\cos θ\) y fuera del bucle interno
- Responder
- \(\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ\)
11) Región común a\(r=3\sin θ\) y\(r=2−\sin θ\)
12) Región común a\(r=2\) y\(r=4\cos θ\)
- Responder
- \(\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ\)
13) Región común a\(r=3\cos θ\) y\(r=3\sin θ\)
En los ejercicios 14 -26, encuentra el área de la región descrita.
14) Encerrado por\(r=6\sin θ\)
- Responder
- \(9π\text{ units}^2\)
15) Por encima del eje polar encerrado por\(r=2+\sin θ\)
16) Debajo del eje polar y encerrado por\(r=2−\cos θ\)
- Responder
- \(\frac{9π}{4}\text{ units}^2\)
17) Encerrado por un pétalo de\(r=4\cos(3θ)\)
18) Encerrado por un pétalo de\(r=3\cos(2θ)\)
- Responder
- \(\frac{9π}{8}\text{ units}^2\)
19) Encerrado por\(r=1+\sin θ\)
20) Encerrado por el lazo interno de\(r=3+6\cos θ\)
- Responder
- \(\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2\)
21) Encerrado por\(r=2+4\cos θ\) y fuera del lazo interno
22) Interior común de\(r=4\sin(2θ)\) y\(r=2\)
- Responder
- \(\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)
23) Interior común de\(r=3−2\sin θ\) y\(r=−3+2\sin θ\)
24) Interior común de\(r=6\sin θ\) y\(r=3\)
- Responder
- \(\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)
25) Interior\(r=1+\cos θ\) y exterior\(r=\cos θ\)
26) Interior común de\(r=2+2\cos θ\) y\(r=2\sin θ\)
- Responder
- \((2π−4)\text{ units}^2\)
En los ejercicios 27 - 30, encuentra una integral definida que represente la longitud del arco.
27)\(r=4\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)
28)\(r=1+\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤2π\)
- Responder
- \(\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ\)
29)\(r=2\sec θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{3}\)
30)\(r=e^θ\) en el intervalo\(0≤θ≤1\)
- Responder
- \(\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ\)
En los ejercicios 31 - 35, encuentra la longitud de la curva sobre el intervalo dado.
31)\(r=6\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)
32)\(r=e^{3θ}\) en el intervalo\(0≤θ≤2\)
- Responder
- \(\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)\)unidades
33)\(r=6\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)
34)\(r=8+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(32\)unidades
35)\(r=1−\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤2π\)
En los ejercicios 36 - 40, utilice las capacidades de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.
36) [T]\(r=3θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)
- Responder
- \(6.238\)unidades
37) [T]\(r=\dfrac{2}{θ}\) en el intervalo\(π≤θ≤2π\)
38) [T]\(r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(2\)unidades
39) [T]\(r=2θ^2\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
40) [T]\(r=\sin(3\cos θ)\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(4.39\)unidades
En los ejercicios 41 - 43, usa la fórmula familiar a partir de la geometría para encontrar el área de la región descrita y luego confirmar usando la integral definida.
41)\(r=3\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
42)\(r=\sin θ+\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2\)y\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2\)
43)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
En los ejercicios 44 - 46, usa la fórmula familiar de la geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirmar usando la integral definida.
44)\(r=3\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π\)unidades y\(\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π\) unidades
45)\(r=\sin θ+\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
46)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)
- Responder
- \(C=2π(5)=10π\)unidades y\(\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π\) unidades
47) Verificar que si\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\) entonces\(\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.\)
En los ejercicios 48 - 56, encuentra la pendiente de una línea tangente a una curva polar\(r=f(θ)\). Let\(x=r\cos θ=f(θ)\cos θ\) y\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), así la ecuación polar ahora\(r=f(θ)\) está escrita en forma paramétrica.
48) Utilizar la definición de la derivada\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}\) y la regla del producto para derivar la derivada de una ecuación polar.
- Responder
- \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}\)
49)\(r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)\)
50)\(r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)\)
- Responder
- La pendiente es\(\frac{1}{\sqrt{3}}\).
51)\(r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)\)
52)\(r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)\)
- Responder
- La pendiente es 0.
53)\(r=6+3\cos θ; \; (3,π)\)
54)\(r=4\cos(2θ);\) puntas de las hojas
- Responder
- En\((4,0),\) la pendiente es indefinido. At\(\left(−4,\frac{π}{2}\right)\), la pendiente es 0.
55)\(r=2\sin(3θ);\) puntas de las hojas
56)\(r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)\)
- Responder
- La pendiente es indefinida en\(θ=\frac{π}{4}\).
57) Encontrar los puntos en el intervalo\(−π≤θ≤π\) en el que el cardioide\(r=1−\cos θ\) tiene una línea tangente vertical u horizontal.
58) Para el cardioide\(r=1+\sin θ,\) encontrar la pendiente de la línea tangente cuando\(θ=\frac{π}{3}\).
- Responder
- Pendiente = −1.
En los ejercicios 59 - 62, encuentra la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de\(θ\).
59)\(r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}\)
60)\(r=θ, \; θ=\frac{π}{2}\)
- Responder
- La pendiente es\(\frac{−2}{π}\).
61)\(r=\ln θ, \; θ=e\)
62) [T] Utilice la tecnología:\(r=2+4\cos θ\) at\(θ=\frac{π}{6}\)
- Responder
- Respuesta de la calculadora: −0.836.
En los ejercicios 63 - 66, encuentra los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical.
63)\(r=4\cos θ\)
64)\(r^2=4\cos(2θ)\)
- Responder
- Tangente horizontal en\(\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)\).
65)\(r=2\sin(2θ)\)
66) El cardioide\(r=1+\sin θ\)
- Responder
- Tangentes horizontales en Tangentes\(\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.\)
verticales en\(\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}\) y también en el polo\((0,0)\).
67) Mostrar que la curva\(r=\sin θ\tan θ\) (llamada cissoide de Diócles) tiene la línea\(x=1\) como asíntota vertical.