11.4E: Ejercicios para la Sección 11.4

En los ejercicios 1-13, determinar una integral definida que represente el área.

1) Región encerrada por\(r=4\)

2) Región encerrada por\(r=3\sin θ\)

Responder

\(\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ\)

3) Región en el primer cuadrante dentro del cardioide\(r=1+\sin θ\)

4) Región encerrada por un pétalo de\(r=8\sin(2θ)\)

Responder

\(\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ\)

5) Región encerrada por un pétalo de\(r=cos(3θ)\)

6) Región debajo del eje polar y encerrada por\(r=1−\sin θ\)

Responder

\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ\)

7) Región en el primer cuadrante encerrado por\(r=2−\cos θ\)

8) Región encerrada por el bucle interno de\(r=2−3\sin θ\)

Responder

\(\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ\)

9) Región encerrada por el bucle interno de\(r=3−4\cos θ\)

10) Región encerrada por\(r=1−2\cos θ\) y fuera del bucle interno

Responder

\(\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ\)

11) Región común a\(r=3\sin θ\) y\(r=2−\sin θ\)

12) Región común a\(r=2\) y\(r=4\cos θ\)

Responder

\(\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ\)

13) Región común a\(r=3\cos θ\) y\(r=3\sin θ\)

En los ejercicios 14 -26, encuentra el área de la región descrita.

14) Encerrado por\(r=6\sin θ\)

Responder

\(9π\text{ units}^2\)

15) Por encima del eje polar encerrado por\(r=2+\sin θ\)

16) Debajo del eje polar y encerrado por\(r=2−\cos θ\)

Responder

\(\frac{9π}{4}\text{ units}^2\)

17) Encerrado por un pétalo de\(r=4\cos(3θ)\)

18) Encerrado por un pétalo de\(r=3\cos(2θ)\)

Responder

\(\frac{9π}{8}\text{ units}^2\)

19) Encerrado por\(r=1+\sin θ\)

20) Encerrado por el lazo interno de\(r=3+6\cos θ\)

Responder

\(\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2\)

21) Encerrado por\(r=2+4\cos θ\) y fuera del lazo interno

22) Interior común de\(r=4\sin(2θ)\) y\(r=2\)

Responder

\(\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

23) Interior común de\(r=3−2\sin θ\) y\(r=−3+2\sin θ\)

24) Interior común de\(r=6\sin θ\) y\(r=3\)

Responder

\(\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

25) Interior\(r=1+\cos θ\) y exterior\(r=\cos θ\)

26) Interior común de\(r=2+2\cos θ\) y\(r=2\sin θ\)

Responder

\((2π−4)\text{ units}^2\)

En los ejercicios 27 - 30, encuentra una integral definida que represente la longitud del arco.

27)\(r=4\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

28)\(r=1+\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤2π\)

Responder

\(\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ\)

29)\(r=2\sec θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{3}\)

30)\(r=e^θ\) en el intervalo\(0≤θ≤1\)

Responder

\(\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ\)

En los ejercicios 31 - 35, encuentra la longitud de la curva sobre el intervalo dado.

31)\(r=6\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

32)\(r=e^{3θ}\) en el intervalo\(0≤θ≤2\)

Responder

\(\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)\)unidades

33)\(r=6\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

34)\(r=8+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(32\)unidades

35)\(r=1−\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤2π\)

En los ejercicios 36 - 40, utilice las capacidades de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.

36) [T]\(r=3θ\) en el intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

Responder

\(6.238\)unidades

37) [T]\(r=\dfrac{2}{θ}\) en el intervalo\(π≤θ≤2π\)

38) [T]\(r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(2\)unidades

39) [T]\(r=2θ^2\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

40) [T]\(r=\sin(3\cos θ)\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(4.39\)unidades

En los ejercicios 41 - 43, usa la fórmula familiar a partir de la geometría para encontrar el área de la región descrita y luego confirmar usando la integral definida.

41)\(r=3\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

42)\(r=\sin θ+\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2\)y\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2\)

43)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

En los ejercicios 44 - 46, usa la fórmula familiar de la geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirmar usando la integral definida.

44)\(r=3\sin θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π\)unidades y\(\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π\) unidades

45)\(r=\sin θ+\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

46)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) en el intervalo\(0≤θ≤π\)

Responder

\(C=2π(5)=10π\)unidades y\(\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π\) unidades

47) Verificar que si\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\) entonces\(\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.\)

En los ejercicios 48 - 56, encuentra la pendiente de una línea tangente a una curva polar\(r=f(θ)\). Let\(x=r\cos θ=f(θ)\cos θ\) y\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), así la ecuación polar ahora\(r=f(θ)\) está escrita en forma paramétrica.

48) Utilizar la definición de la derivada\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}\) y la regla del producto para derivar la derivada de una ecuación polar.

Responder

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}\)

49)\(r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)\)

50)\(r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)\)

Responder

La pendiente es\(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

51)\(r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)\)

52)\(r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)\)

Responder

La pendiente es 0.

53)\(r=6+3\cos θ; \; (3,π)\)

54)\(r=4\cos(2θ);\) puntas de las hojas

Responder

En\((4,0),\) la pendiente es indefinido. At\(\left(−4,\frac{π}{2}\right)\), la pendiente es 0.

55)\(r=2\sin(3θ);\) puntas de las hojas

56)\(r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)\)

Responder

La pendiente es indefinida en\(θ=\frac{π}{4}\).

57) Encontrar los puntos en el intervalo\(−π≤θ≤π\) en el que el cardioide\(r=1−\cos θ\) tiene una línea tangente vertical u horizontal.

58) Para el cardioide\(r=1+\sin θ,\) encontrar la pendiente de la línea tangente cuando\(θ=\frac{π}{3}\).

Responder

Pendiente = −1.

En los ejercicios 59 - 62, encuentra la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de\(θ\).

59)\(r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}\)

60)\(r=θ, \; θ=\frac{π}{2}\)

Responder

La pendiente es\(\frac{−2}{π}\).

61)\(r=\ln θ, \; θ=e\)

62) [T] Utilice la tecnología:\(r=2+4\cos θ\) at\(θ=\frac{π}{6}\)

Responder

Respuesta de la calculadora: −0.836.

En los ejercicios 63 - 66, encuentra los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical.

63)\(r=4\cos θ\)

64)\(r^2=4\cos(2θ)\)

Responder

Tangente horizontal en\(\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)\).

65)\(r=2\sin(2θ)\)

66) El cardioide\(r=1+\sin θ\)

Responder

Tangentes horizontales en Tangentes\(\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.\)
verticales en\(\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}\) y también en el polo\((0,0)\).

67) Mostrar que la curva\(r=\sin θ\tan θ\) (llamada cissoide de Diócles) tiene la línea\(x=1\) como asíntota vertical.