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# 11.6: Capítulo 11 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Las coordenadas rectangulares del punto$$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$$ son$$\left(2\sqrt{3},−2\right).$$

2) Las ecuaciones$$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$$ representan una hipérbola.

Contestar
Cierto

3) La longitud del arco de la espiral dada por$$r=\dfrac{θ}{2}$$ for$$0≤θ≤3π$$ es$$\frac{9}{4}π^3$$ unidades.

4) Dado$$x=f(t)$$ y$$y=g(t)$$, si$$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$$, entonces$$f(t)=g(t)+C,$$ donde$$C$$ es una constante.

Contestar
Falso. Imagina$$y=t+1, \; x=−t+1.$$

En los ejercicios 5 -8, esboza la curva paramétrica y elimina el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva.

5)$$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$$

6)$$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$$

Contestar

$$y=1−x^3$$

7)$$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$$

8)$$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$$

Contestar

$$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$$

En los ejercicios 9 - 10, esboza la curva polar y determina qué tipo de simetría existe, si la hay.

9)$$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$$

10)$$r=5\cos(5θ)$$

Contestar

Simétrico alrededor del eje polar

En los ejercicios 11 - 12, encuentra la ecuación polar para la curva dada como una ecuación cartesiana.

11)$$x+y=5$$

12)$$y^2=4+x^2$$

Contestar
$$r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$$

En los ejercicios 13 - 14, encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafica tanto la función como su línea tangente.

13)$$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$$

14)$$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$$

Contestar

$$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$$

15) Encontrar$$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$$ y$$\dfrac{d^2x}{dy^2}$$ de$$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$$

En los ejercicios 16 -17, encuentra la zona de la región.

16)$$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$$

Contestar
$$\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$$

17)$$r=1−\sin θ$$ en el primer cuadrante

En los ejercicios 18 - 19, encuentra la longitud del arco de la curva sobre el intervalo dado.

18)$$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$$

Contestar
$$9\sqrt{10}$$unidades

19)$$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$$ Comprueba tu respuesta por geometría.

En los ejercicios 20 - 22, encuentra la ecuación cartesiana que describe las formas dadas.

20) Una parábola con enfoque$$(2,−5)$$ y directrix$$x=6$$

Contestar
$$(y+5)^2=−8x+32$$

21) Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en$$(−7,2)$$ y$$(1,2)$$

22) Una hipérbola con vértices en$$(3,−2)$$$$(−5,−2)$$ y y focos en$$(−2,−6)$$ y$$(−2,4)$$

Contestar
$$\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$$

En los ejercicios 23 - 25, determinar la excentricidad e identificar la cónica. Esboza la cónica.

23)$$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$$

24)$$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$$

Contestar

$$e=\frac{2}{3}$$, elipse

25)$$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$$

26) Determinar la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la órbita más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es 39.26 UA y el eje menor es 38.07 AU. ¿Qué es la excentricidad?

Contestar
$$\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$$

27) El cometa C/1980 E1 se observó en 1980. Dada una excentricidad$$1.057$$ y un perihelio (punto de acercamiento más cercano al Sol) de$$3.364$$ AU, encontramos las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Tenemos la garantía de volver a ver a este cometa? (Pista: Considera el Sol en el punto$$(0,0)$$.)

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