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12.1E: Ejercicios para la Sección 12.1

  • Page ID
    116153
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para los ejercicios 1 - 10, considere puntos\(P(−1,3), Q(1,5),\) y\(R(−3,7)\). Determinar los vectores solicitados y expresar cada uno de ellos

    a. en forma de componentes y

    b. mediante el uso de vectores unitarios estándar.

    1)\( \vecd{PQ}\)

    Responder
    a.\(\vecd{PQ}=⟨2,2⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}=2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    2)\(\vecd{PR}\)

    3)\(\vecd{QP}\)

    Responder
    a.\(\vecd{QP}=⟨−2,−2⟩\)
    b.\(\vecd{QP}=−2\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)

    4)\(\vecd{RP}\)

    5)\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}\)

    Responder
    a.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=⟨0,6⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=6\hat{\mathbf j}\)

    6)\(\vecd{PQ}−\vecd{PR}\)

    7)\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}\)

    Responder
    a.\(2\vecd{PQ}→−2\vecd{PR}=⟨8,−4⟩\)
    b.\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}=8\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)

    8)\(2\vecd{PQ}+\frac{1}{2}\vecd{PR}\)

    9) El vector unitario en la dirección de\(\vecd{PQ}\)

    Responder
    a.\(\left\langle\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle\)
    b.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf j}\)

    10) El vector unitario en la dirección de\(\vecd{PR}\)

    11) Un vector\({\overset{\scriptstyle\rightharpoonup}{\mathbf v}}\) tiene punto inicial\((−1,−3)\) y punto terminal\((2,1)\). Encuentra el vector de unidad en la dirección de\(\vecs v\). Exprese la respuesta en forma de componentes.

    Responder
    \(⟨\frac{3}{5},\frac{4}{5}⟩\)

    12) Un vector\(\vecs v\) tiene punto inicial\((−2,5)\) y punto terminal\((3,−1)\). Encuentra el vector de unidad en la dirección de\(\vecs v\). Exprese la respuesta en forma de componentes.

    13) El vector\(\vecs v\) tiene punto inicial\(P(1,0)\) y punto terminal\(Q\) que se encuentra en el\(y\) eje -y por encima del punto inicial. Encuentra las coordenadas del punto terminal\(Q\) tal que la magnitud del vector\(\vecs v\) sea\(\sqrt{5}\).

    Responder
    \(Q(0,2)\)

    14) El vector\(\vecs v\) tiene punto inicial\(P(1,1)\) y punto terminal\(Q\) que se encuentra en el\(x\) eje -y a la izquierda del punto inicial. Encuentra las coordenadas del punto terminal\(Q\) tal que la magnitud del vector\(\vecs v\) sea\(\sqrt{10}\).

    Para los ejercicios 15 y 16, utilice los vectores dados\(\vecs a\) y\(\vecs b\).

    a. Determinar la suma vectorial\(\vecs a+\vecs b\) y expresarla tanto en la forma de componente como mediante el uso de los vectores unitarios estándar.

    b. Encontrar la diferencia vectorial\(\vecs a −\vecs b\) y expresarla tanto en la forma de componente como mediante el uso de los vectores unitarios estándar.

    c. Verificar que los vectores\(\vecs a, \; \vecs b,\) y\(\vecs a+\vecs b\), y, respectivamente\(\vecs a, \, \vecs b\), y\(\vecs a−\vecs b\) satisfacen la desigualdad del triángulo.

    d. Determinar los vectores\(2\vecs a, \;−\vecs b,\) y\(2\vecs a−\vecs b.\) expresar los vectores tanto en la forma de componente como mediante el uso de vectores unitarios estándar.

    15)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs b=\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}\)

    Responder
    \(a.\, \vecs a+\vecs b=⟨3,4⟩, \quad \vecs a+\vecs b=3\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}\)
    \(b.\, \vecs a−\vecs b=⟨1,−2⟩, \quad \vecs a−\vecs b=\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)
    \(c.\)Las respuestas variarán
    \(d.\, 2\vecs a=⟨4,2⟩, \quad 2\vecs a=4\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}, \quad −\vecs b=⟨−1,−3⟩, \quad −\vecs b=−\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}, \quad 2\vecs a−\vecs b=⟨3,−1⟩, \quad 2\vecs a−\vecs b=3\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    16)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}, \quad \vecs b=−2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    17) Let\(\vecs a\) Ser un vector de posición estándar con punto terminal\((−2,−4)\). Let\(\vecs b\) Ser un vector con punto inicial\((1,2)\) y punto terminal\((−1,4)\). Encuentra la magnitud del vector\(−3\vecs a+\vecs b−4\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}.\)

    Responder
    \(15\)

    18) Let\(\vecs a\) Ser un vector de posición estándar con punto terminal en\((2,5)\). Let\(\vecs b\) Ser un vector con punto inicial\((−1,3)\) y punto terminal\((1,0)\). Encuentra la magnitud del vector\(\vecs a−3\vecs b+14\hat{\mathbf i}−14\hat{\mathbf j}.\)

    19) Let\(\vecs u\) y\(\vecs v\) ser dos vectores distintos de cero que no son equivalentes. Considerar los vectores\(\vecs a=4\vecs u+5\vecs v\) y\(\vecs b=\vecs u+2\vecs v\) definidos en términos de\(\vecs u\) y\(\vecs v\). Encuentra el escalar\(λ\) tal que los vectores\(\vecs a+λ\vecs b\) y\(\vecs u−\vecs v\) son equivalentes.

    Responder
    \(λ=−3\)

    20) Let\(\vecs u\) y\(\vecs v\) ser dos vectores distintos de cero que no son equivalentes. Considerar los vectores\(\vecs a=2\vecs u−4\vecs v\) y\(\vecs b=3\vecs u−7\vecs v\) definidos en términos de\(\vecs u\) y\(\vecs v\). Encuentra los escalares\(α\) y\(β\) tal que los vectores\(α\vecs a+β\vecs b\) y\(\vecs u−\vecs v\) son equivalentes.

    21) Considerar el vector\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) con componentes que dependen de un número real\(t\). A medida que el número\(t\) varía, los componentes de\(\vecs a(t)\) cambio también, dependiendo de las funciones que los definen.

    a. Escribir los vectores\(\vecs a(0)\) y\(\vecs a(π)\) en forma de componentes.

    b. Demostrar que la magnitud\(∥\vecs a(t)∥\) del vector\(\vecs a(t)\) permanece constante para cualquier número real\(t\).

    c. Como\(t\) varía, mostrar que el punto terminal del vector\(\vecs a(t)\) describe un círculo centrado en el origen del radio\(1\).

    Responder
    \(a.\, \vecs a(0)=⟨1,0⟩, \quad \vecs a(π)=⟨−1,0⟩\)
    \(b.\)Las respuestas pueden variar
    \(c.\) Las respuestas pueden variar

    22) Considerar vector\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) con componentes que dependen de un número real\(x∈[−1,1]\). A medida que el número\(x\) varía, los componentes de\(\vecs a(x)\) cambio también, dependiendo de las funciones que los definen.

    a. Escribir los vectores\(\vecs a(0)\) y\(\vecs a(1)\) en forma de componentes.

    b. Demostrar que la magnitud\(∥\vecs a(x)∥\) del vector\(\vecs a(x)\) permanece constante para cualquier número real\(x\).

    c. Como\(x\) varía, mostrar que el punto terminal del vector\(\vecs a(x)\) describe un círculo centrado en el origen del radio\(1\).

    23) Mostrar que los vectores\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) y\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) son equivalentes para\(x=1\) y\(t=2kπ\), donde\(k\) es un entero.

    Respuesta Las respuestas pueden variar

    24) Mostrar que los vectores\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) y\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) son opuestos para\(x=1\) y\(t=π+2kπ\), donde\(k\) es un entero.

    Para los ejercicios 25-28, encuentra un vector\(\vecs v\) con la magnitud dada y en la misma dirección que el vector\(\vecs u\).

    25)\(\|\vecs v\|=7, \quad \vecs u=⟨3,4⟩\)

    Responder
    \(\vecs v=⟨\frac{21}{5},\frac{28}{5}⟩\)

    26)\(‖\vecs v‖=3,\quad \vecs u=⟨−2,5⟩\)

    27)\(‖\vecs v‖=7,\quad \vecs u=⟨3,−5⟩\)

    Contestar
    \(\vecs v=⟨\frac{21\sqrt{34}}{34},−\frac{35\sqrt{34}}{34}⟩\)

    28)\(‖\vecs v‖=10,\quad \vecs u=⟨2,−1⟩\)

    Para los ejercicios 29-34, encuentra la forma componente del vector\(\vecs u\), dada su magnitud y el ángulo que hace el vector con el\(x\) eje positivo. Dar respuestas exactas cuando sea posible.

    29)\(‖\vecs u‖=2, θ=30°\)

    Contestar
    \(\vecs u=⟨\sqrt{3},1⟩\)

    30)\(‖\vecs u‖=6, θ=60°\)

    31)\(‖\vecs u‖=5, θ=\frac{π}{2}\)

    Contestar
    \(\vecs u=⟨0,5⟩\)

    32)\(‖\vecs u‖=8, θ=π\)

    33)\(‖\vecs u‖=10, θ=\frac{5π}{6}\)

    Contestar
    \(\vecs u=⟨−5\sqrt{3},5⟩\)

    34)\(‖\vecs u‖=50, θ=\frac{3π}{4}\)

    Para los ejercicios 35 y 36,\(\vecs u\) se da vector. Encuentra el ángulo\(θ∈[0,2π)\) que\(\vecs u\) hace el vector con la dirección positiva del\(x\) eje -en sentido contrario a las agujas del reloj.

    35)\(\vecs u=5\sqrt{2}\hat{\mathbf i}−5\sqrt{2}\hat{\mathbf j}\)

    Contestar
    \(θ=\frac{7π}{4}\)

    36)\(\vecs u=−\sqrt{3}\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    37) Dejar\(\vecs a=⟨a_1,a_2⟩, \vecs b=⟨b_1,b_2⟩\), y\(\vecs c =⟨c_1,c_2⟩\) ser tres vectores distintos de cero. Si\(a_1b_2−a_2b_1≠0\), entonces muestran que hay dos escalares,\(α\) y\(β\), tal que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b.\)

    Respuesta Las respuestas pueden variar

    38) Considerar vectores\(\vecs a=⟨2,−4⟩, \vecs b=⟨−1,2⟩,\) y\(\vecs c =\vecs 0\) Determinar los escalares\(α\) y\(β\) tal que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b\).

    39) Dejar\(P(x_0,f(x_0))\) ser un punto fijo en la gráfica de la función diferenciable\(f\) con un dominio que es el conjunto de números reales.

    a. Determinar el número real\(z_0\) tal que el punto\(Q(x_0+1,z_0)\) esté situado en la línea tangente a la gráfica de\(f\) punto\(P\).

    b. Determinar el vector unitario\(\vecs u\) con punto inicial\(P\) y punto terminal\(Q\).

    Contestar
    \(a. \quad z_0=f(x_0)+f′(x_0); \quad b. \quad \vecs u=\frac{1}{\sqrt{1+[f′(x_0)]^2}}⟨1,f′(x_0)⟩\)

    40) Considerar la función\(f(x)=x^4,\) donde\(x∈R\).

    a. Determinar el número real\(z_0\) tal que el punto\(Q(2,z_0)\) s situado en la línea tangente a la gráfica de\(f\) en punto\(P(1,1)\).

    b. Determinar el vector unitario\(\vecs u\) con punto inicial\(P\) y punto terminal\(Q\).

    41) Considerar\(f\) y definir\(g\) dos funciones sobre un mismo conjunto de números reales\(D\). Dejar\(\vecs a=⟨x,f(x)⟩\) y\(\vecs b=⟨x,g(x)⟩\) ser dos vectores que describen las gráficas de las funciones, donde\(x∈D\). Mostrar que si las gráficas de las funciones\(f\) y\(g\) no se cruzan, entonces los vectores\(\vecs a\) y no\(\vecs b\) son equivalentes.

    42) Encontrar\(x∈R\) tal que los vectores\(\vecs a=⟨x, \sin x⟩\) y\(\vecs b=⟨x, \cos x⟩\) son equivalentes.

    43) Calcular las coordenadas de punto\(D\) tal que\(ABCD\) sea un paralelogramo, con\(A(1,1), B(2,4)\), y\(C(7,4)\).

    Contestar
    \(D(6,1)\)

    44) Considerar los puntos\(A(2,1), B(10,6), C(13,4)\), y\(D(16,−2)\). Determinar la forma componente del vector\(\vecd{AD}\).

    45) La velocidad de un objeto es la magnitud de su vector de velocidad relacionado. Un balón lanzado por un mariscal de campo tiene una velocidad inicial de\(70\) mph y un ángulo de elevación de\(30°\). Determinar el vector de velocidad en mph y expresarlo en forma de componente. (Redondear a dos decimales.)

    Contestar
    \(⟨60.62,35⟩\)

    46) Un beisbolista lanza una pelota de béisbol en ángulo\(30°\) con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es\(100\) mph, encuentra los componentes horizontal y vertical del vector de velocidad inicial del beisbol. (Redondear a dos decimales.)

    47) Se dispara una bala con una velocidad inicial de\(1500\) pies/seg en un ángulo\(60°\) con la horizontal. Encuentra los componentes horizontal y vertical del vector de velocidad de la bala. (Redondear a dos decimales.)

    Contestar
    Los componentes horizontal y vertical son\(750\) pies/seg y\(1299.04\) pies/seg, respectivamente.

    48) [T] Un velocista de 65 kg ejerce una fuerza de\(798\) N en\(19°\) ángulo con respecto al suelo sobre el bloque inicial en el instante en que comienza una carrera. Encuentra el componente horizontal de la fuerza. (Redondear a dos decimales.)

    49) [T] Dos fuerzas, una fuerza horizontal de\(45\) lb y otra de\(52\) lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es\(25°\). Encuentra la magnitud y el ángulo de dirección desde el\(x\) eje positivo de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. (Redondear a dos decimales.)

    Contestar
    La magnitud de la fuerza resultante es\(94.71\) lb; el ángulo de dirección es\(13.42°\).

    50) [T] Dos fuerzas, una fuerza vertical de\(26\) lb y otra de\(45\) lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es\(55°\). Encuentra la magnitud y el ángulo de dirección desde el\(x\) eje positivo de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. (Redondear a dos decimales.)

    51) [T] Tres fuerzas actúan sobre el objeto. Dos de las fuerzas tienen las magnitudes\(58\) N y\(27\) N, y hacen ángulos\(53°\) y\(152°\), respectivamente, con el\(x\) eje positivo. Encuentra la magnitud y el ángulo de dirección desde el\(x\) eje positivo de la tercera fuerza de tal manera que la fuerza resultante que actúa sobre el objeto sea cero. (Redondear a dos decimales.)

    Contestar
    La magnitud del tercer vector es\(60.03\) N; el ángulo de dirección es\(259.38°\).

    52) Tres fuerzas con magnitudes 80 lb, 120 lb y 60 lb actúan sobre un objeto en ángulos de\(45°, 60°\) y\(30°\), respectivamente, con el\(x\) eje positivo. Encuentra la magnitud y el ángulo de dirección desde el\(x\) eje positivo de la fuerza resultante. (Redondear a dos decimales.)

    53) [T] Un avión está volando en dirección\(43°\) este de norte (también abreviado como\(N43E\) a una velocidad de\(550\) mph. Un viento con velocidad\(25\) mph viene del suroeste a una dirección de\(N15E\). ¿Cuáles son la velocidad de avance y la nueva dirección del avión?

    Contestar
    La nueva velocidad de avance del avión es\(572.19\) mph; la nueva dirección es\(N41.82E.\)

    54) [T] Una embarcación viaja en el agua a\(30\) mph en dirección de\(N20E\) (es decir,\(20°\) al este del norte). Una fuerte corriente se mueve a\(15\) mph en una dirección de\(N45E\). ¿Cuáles son las nuevas velocidades y dirección de la embarcación?

    55) [T] Un peso de 50 lb es colgado por un cable para que las dos porciones del cable formen ángulos de\(40°\) y\(53°\), respectivamente, con la horizontal. Encuentra las magnitudes de las fuerzas de tensión\(\vecs T_1\) y\(\vecs T_2\) en los cables si la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es cero. (Redondear a dos decimales.)

    Contestar
    \(\|\vecs T_1\|=30.13 \, lb, \quad \|\vecs T_2\|=38.35 \, lb\)

    56) [T] Un peso de 62 lb cuelga de una cuerda que hace los ángulos de\(29°\) y\(61°\), respectivamente, con la horizontal. Encuentra las magnitudes de las fuerzas de tensión\(\vecs T_1\) y\(\vecs T_2\) en los cables si la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es cero. (Redondear a dos decimales.)

    57) [T] Una embarcación de 1500 lb está estacionada en una rampa que hace un ángulo de\(30°\) con la horizontal. El vector de peso de la embarcación apunta hacia abajo y es una suma de dos vectores: un vector horizontal\(\vecs v_1\) que es paralelo a la rampa y un vector vertical\(\vecs v_2\) que es perpendicular a la superficie inclinada. Las magnitudes de los vectores\(\vecs v_1\) y\(\vecs v_2\) son la componente horizontal y vertical, respectivamente, del vector de peso de la embarcación. Encuentra las magnitudes de\(\vecs v_1\) y\(\vecs v_2\). (Redondea al entero más cercano.)

    Contestar
    \(\|\vecs v_1\|=750 \, lb, \quad \|\vecs v_2\|=1299 \, lb\)

    58) [T] Una caja de 85 lb está en reposo sobre una\(26°\) inclinación. Determinar la magnitud de la fuerza paralela a la inclinación necesaria para evitar que la caja se deslice. (Redondea al entero más cercano.)

    59) Un cable de tipo soporta un poste que tiene\(75\) pies de altura. Un extremo del cable está unido a la parte superior del poste y el otro extremo está anclado al suelo\(50\) ft desde la base del poste. Determine los componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión en el cable si su magnitud es\(50\) lb. (Redondear al entero más cercano.)

    Contestar
    Los dos componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión son\(28\) lb y\(42\) lb, respectivamente.

    60) Un cable de tipo polo telefónico tiene un ángulo de elevación\(35°\) con respecto a la tierra. La fuerza de tensión en el alambre de tipo es\(120\) lb. Encuentre los componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión. (Redondea al entero más cercano.)


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