12.4: El Producto Cruzado

Objetivos de aprendizaje

• Calcular el producto cruzado de dos vectores dados.
• Utilice determinantes para calcular un producto cruzado.
• Encuentra un vector ortogonal a dos vectores dados.
• Determinar áreas y volúmenes usando el producto cruzado.
• Calcular el par de un vector de fuerza y posición dados.

Imagínese a un mecánico girando una llave para apretar un perno. El mecánico aplica una fuerza al final de la llave. Esto crea rotación, o par, que aprieta el perno. Podemos usar vectores para representar la fuerza aplicada por el mecánico, y la distancia (radio) desde el perno hasta el extremo de la llave. Entonces, podemos representar el par por un vector orientado a lo largo del eje de rotación. Tenga en cuenta que el vector de par es ortogonal tanto al vector de fuerza como al vector de radio.

En esta sección, desarrollamos una operación llamada producto cruzado, que nos permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados. El cálculo del par es una aplicación importante de los productos cruzados, y examinamos el par con más detalle más adelante en la sección.

El producto cruzado y sus propiedades

El producto punto es una multiplicación de dos vectores que resulta en un escalar. En esta sección, se introduce un producto de dos vectores que genera un tercer vector ortogonal a los dos primeros. Considera cómo podríamos encontrar tal vector. Dejar\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) ser vectores distintos de cero. Queremos encontrar un vector\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) ortogonal a ambos\(\vecs u\) y\(\vecs v\) —es decir, queremos encontrar\(\vecs w\) tal que\(\vecs u ⋅ \vecs w=0\) y\( \vecs v⋅ \vecs w=0\). Por lo tanto\(w_1\),,\(w_2,\) y\(w_3\) debe satisfacer

\[u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3=0 \label{eq1} \]

\[v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3=0. \label{eq2} \]

Si multiplicamos la ecuación superior por\(v_3\) y la ecuación inferior por\(u_3\) y restamos, podemos eliminar la variable\(w_3\), lo que da

\[(u_1v_3−v_1u_3)w_1+(u_2v_3−v_2u_3)w_2=0. \nonumber \]

Si seleccionamos

\[\begin{align*} w_1 &=u_2v_3−u_3v_2 \\[4pt] w_2 &=−(u_1v_3−u_3v_1), \end{align*}\]

obtenemos un posible vector de solución. Sustituyendo estos valores de nuevo en las ecuaciones originales (Ecuaciones\ ref {eq1} y\ ref {eq2}) da

\[w_3=u_1v_2−u_2v_1. \nonumber \]

Es decir, vector

\[\vecs w=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩ \nonumber \]

es ortogonal a ambos\(\vecs u\) y\(\vecs v\), lo que nos lleva a definir la siguiente operación, denominada el producto cruzado.

Definición: Cross Product

Let\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩.\) Entonces, el producto cruzado\(\vecs u×\vecs v\) es vector

\[\begin{align} \vecs u×\vecs v &= (u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1) \mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k} \nonumber \\[4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩. \label{cross}\end{align} \]

Por la forma en que nos hemos desarrollado\(\vecs u×\vecs v\), debe quedar claro que el producto cruzado es ortogonal a ambos\(\vecs u\) y\(\vecs v\). No obstante, nunca está de más comprobar. Para mostrar que\(\vecs u×\vecs v\) es ortogonal a\(\vecs u\), calculamos el producto de punto de\(\vecs u\) y\(\vecs u×\vecs v\).

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs u×\ vecs v) &=+52 u_1, u_2, u_3⟩ u_2v_3−u_3v_2, −u_1v_3+u_3v_1, u_1v_2−u_2v_1⟩\\ [4pt] &=u_1 (_2v_3−u_3v_2) +u_2 (−u_1v_3+u_3v_1) +u_3 (u_1v_2−u_2v_1)\\ [4pt]
&=u_1u_2v_3−u_1u_3v_2−u_2v_3v_1+u_1u_3v_2−u_2u_3v_1\\ [4pt]
& =( u_1u_2v_3−u_1u_2 v_3) + (−u_1u_3v_2+u_1u_3v_2) + (u_2u_3v_1−u_2u_3v_1)\\ [4pt]
&= 0\ end {align*}\]

De manera similar, podemos demostrar que el producto cruzado también es ortogonal al\(\vecs v\).

El producto cruzado\(\vecs{a}×\vecs{b}\) (vertical, en rosa) cambia a medida que cambia el ángulo entre los vectores\(\vecs{a}\) (azul) y\(\vecs{b}\) (rojo). El producto cruzado (púrpura) siempre es perpendicular a ambos vectores, y tiene magnitud cero cuando los vectores son paralelos y máxima magnitud\(‖\vecs{a}‖‖\vecs{b}‖\) cuando son perpendiculares. (Dominio Público; LucasVB).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding a Cross Product

Dejar\(\vecs p=⟨−1,2,5⟩\) y\(\vecs q=⟨4,0,−3⟩\) (Figura\(\PageIndex{1}\)). Encuentra\(\vecs p×\vecs q\).

”. El segundo vector está etiquetado como “q = <4, 0, -3>”." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...6870027545.png">

Figura\(\PageIndex{1}\): Encontrar un producto cruzado a dos vectores dados.

Solución

Sustituya los componentes de los vectores en Ecuación\ ref {cross}:

\[\begin{align*} \vecs p×\vecs q &=⟨−1,2,5⟩×⟨4,0,−3⟩ \\[4pt] &= ⟨p_2q_3−p_3q_2,-(p_1q_3−p_3q_1),p_1q_2−p_2q_1⟩ \\[4pt] &= ⟨2(−3)−5(0),−(−1)(−3)+5(4),(−1)(0)−2(4)⟩ \\[4pt] &= ⟨−6,17,−8⟩.\end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra\(\vecs p×\vecs q\)\(\vecs p=⟨5,1,2⟩\) y\(\vecs q=⟨−2,0,1⟩.\) expresa la respuesta usando vectores unitarios estándar.

Pista

Usa la fórmula\(\vecs u×\vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)\mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k}.\)

Contestar

\(\vecs p×\vecs q = \mathbf{\hat i}−9\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

Aunque puede no ser obvio a partir de la Ecuación\ ref {cruz}, la dirección de la\(\vecs u×\vecs v\) viene dada por la regla de la derecha. Si sostenemos la mano derecha con los dedos apuntando en la dirección de\(\vecs u\), luego rizar los dedos hacia el vector\(\vecs v\), el pulgar apunta en la dirección del producto cruzado, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): La dirección de\( \vecs u× \vecs v\) está determinada por la regla de la derecha.

Observe lo que esto significa para la dirección de\(\vecs v×\vecs u\). Si aplicamos la regla de la derecha a\(\vecs v×\vecs u\), comenzamos con nuestros dedos apuntando en la dirección de\(\vecs v\), luego rizar nuestros dedos hacia el vector\(\vecs u\). En este caso, el pulgar apunta en la dirección opuesta a\(\vecs u×\vecs v\). (¡Pruébalo!)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Anticommutativity of the Cross Product

Dejar\(\vecs u=⟨0,2,1⟩\) y\(\vecs v=⟨3,−1,0⟩\). Calcular\(\vecs u×\vecs v\)\(\vecs v×\vecs u\) y graficarlos.

”. El segundo vector está etiquetado como “v = <3, -1, 0>”." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...9414463549.png">

Figura\(\PageIndex{3}\): ¿Están los productos cruzados\(\vecs u×\vecs v\) y\(\vecs v×\vecs u\) en la misma dirección?

Solución

Tenemos

\(\vecs u×\vecs v=⟨(0+1),−(0−3),(0−6)⟩=⟨1,3,−6⟩\)

\(\vecs v×\vecs u=⟨(−1−0),−(3−0),(6−0)⟩=⟨−1,−3,6⟩.\)

Eso lo vemos, en este caso,\(\vecs u×\vecs v=−(\vecs v×\vecs u)\) (Figura\(\PageIndex{4}\)). Esto lo demostramos en general más adelante en este apartado.

Figura\(\PageIndex{4}\): Los productos cruzados\(\vecs{u}×\vecs{v}\) y\(\vecs{v}×\vecs{u}\) son ambos ortogonales a\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\), pero en direcciones opuestas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos vectores\(\vecs u\) y se\(\vecs v\) encuentran en el\(xy\) plano -( el\(z\) -componente de cada vector es cero). Ahora supongamos que los\(y\) componentes\(x\) - y -de\(\vecs u\) y el\(y\) -componente de\(\vecs v\) son todos positivos, mientras que el\(x\) -componente de\(\vecs v\) es negativo. Suponiendo que los ejes de coordenadas están orientados en las posiciones habituales, ¿en qué dirección\(\vecs u×\vecs v\) apunta?

Pista

Recuerda la regla de la derecha (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Contestar

Arriba (la\(z\) dirección positiva)

Los productos cruzados de los vectores unitarios estándar\(\mathbf{\hat i}\)\(\mathbf{\hat j}\),, y\(\mathbf{\hat k}\) pueden ser útiles para simplificar algunos cálculos, así que consideremos estos productos cruzados. Una aplicación sencilla de la definición demuestra que

\[\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat i}=\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat j}=\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat k}=\vecs 0. \nonumber \]

(El producto cruzado de dos vectores es un vector, por lo que cada uno de estos productos da como resultado el vector cero, no el escalar)\(0\). Depende de usted verificar los cálculos por su cuenta.

Además, debido a que el producto cruzado de dos vectores es ortogonal a cada uno de estos vectores, sabemos que el producto cruzado de\(\mathbf{\hat i}\) y\(\mathbf{\hat j}\) es paralelo a\(\mathbf{\hat k}\). De manera similar, el producto vectorial de\(\mathbf{\hat i}\) y\(\mathbf{\hat k}\) es paralelo a\(\mathbf{\hat j}\), y el producto vectorial de\(\mathbf{\hat j}\) y\(\mathbf{\hat k}\) es paralelo a\(\mathbf{\hat i}\).

Podemos usar la regla de la derecha para determinar la dirección de cada producto. Entonces tenemos

\ [\ begin {align*}\ mathbf {\ hat i} ×\ mathbf {\ hat j} &=\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
\ mathbf {\ hat j} ×\ mathbf {\ hat i} &=−\ mathbf {\ hat k}\\ [10pt]
\ mathbf {\ hat j} ×\ mathbf {\ hat k} &=\ mathbf {\ hat i}\\ [4pt]
\ mathbf {\ hat k} ×\ mathbf {\ hat j} &=−\ mathbf {\ hat i}\\ [10 pt]
\ mathbf {\ hat k} ×\ mathbf {\ hat i} &=\ mathbf {\ hat j}\\ [4pt]
\ mathbf {\ hat i} ×\ mathbf {\ hat k} &=−\ mathbf {\ hat j}. \ end {alinear*}\]

Estas fórmulas vienen a la mano más adelante.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Cross Product of Standard Unit Vectors

Encuentra\(\mathbf{\hat i} ×(\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k})\).

Solución

Eso lo sabemos\(\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k}=\mathbf{\hat i}\). Por lo tanto,\(\mathbf{\hat i}×(\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k})=\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat i}=\vecs 0.\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra\((\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat j})×(\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat i}).\)

Pista

Recuerda la regla de la derecha (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Contestar

\(−\mathbf{\hat i}\)

Como hemos visto, el producto punto a menudo se llama el producto escalar porque resulta en un escalar. El producto cruzado da como resultado un vector, por lo que a veces se le llama el producto vectorial. Estas operaciones son ambas versiones de multiplicación vectorial, pero tienen propiedades y aplicaciones muy diferentes. Exploremos algunas propiedades del producto cruzado. Demostramos sólo algunas de ellas. Las pruebas de las otras propiedades se dejan como ejercicios.

Propiedades del Producto Cruzado

Dejar\(\vecs u,\vecs v,\) y\(\vecs w\) ser vectores en el espacio, y dejar\(c\) ser un escalar.

1. Propiedad anticonmutativa:\[\vecs u×\vecs v=−(\vecs v×\vecs u) \nonumber \]
2. Propiedad distributiva:\[\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=\vecs u×\vecs v+\vecs u×\vecs w \nonumber \]
3. Multiplicación por una constante:\[c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v) \nonumber \]
4. Producto cruzado del vector cero:\[\vecs u×\vecs 0=\vecs 0×\vecs u=\vecs 0 \nonumber \]
5. Producto cruzado de un vector consigo mismo:\[\vecs v×\vecs v=\vecs 0 \nonumber \]
6. Producto triple escalar:\[\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)⋅\vecs w \nonumber \]

Prueba

Para propiedad\(i\), queremos mostrar\(\vecs u×\vecs v=−(\vecs v×\vecs u).\) Tenemos

\[\begin{align*} \vecs u×\vecs v &=⟨u_1,u_2,u_3⟩×⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−u_1v_3+u_3v_1,u_1v_2−u_2v_1⟩ \\[4pt] &=−⟨u_3v_2−u_2v_3,−u_3v_1+u_1v_3,u_2v_1−u_1v_2⟩ \\[4pt] &=−⟨v_1,v_2,v_3⟩×⟨u_1,u_2,u_3⟩\\[4pt] &=−(\vecs v×\vecs u).\end{align*}\]

A diferencia de la mayoría de las operaciones que hemos visto, el producto cruzado no es conmutativo. Esto tiene sentido si pensamos en la regla de la mano derecha.

Para la propiedad\(iv\)., esto se deriva directamente de la definición del producto cruzado. Tenemos

\[\vecs u × \vecs 0=⟨u_2(0)−u_3(0),−(u_1(0)−u_3(0)),u_1(0)−u_2(0)⟩=⟨0,0,0⟩=\vecs 0. \nonumber \]

Entonces, por propiedad i.,\(\vecs 0×\vecs u=\vecs 0\) también. Recuerde que el producto punto de un vector y el vector cero es el escalar\(0\), mientras que el producto cruzado de un vector con el vector cero es el vector\(\vecs 0\).

Propiedad\(vi\). se parece a la propiedad asociativa, pero tenga en cuenta el cambio en las operaciones:

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=uv_2w_3−v_3w_2, −v_1w_3+v_3w_1, v_1w_2−v_2w_1⟩\\ [4pt]
&= u_1 (v_2w_3w_2) +u_2 (−v_1w_3+v_3w_1) +u_3 (v_1w_2−v_2w_1)\\ [4pt]
&=u_1v_2w_3−u_1w_2w_2−u_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2−u_2w_2−2−u_2w_3w_1+u_3v_1w_2−2−2w_3u_3v_2w_1\\ [4pt]
& =( u_2v_3−u_3v _2) w_1+ (u_3v_1−u_1v_3) w_2+ (u_1v_2−u_2v_1) w_3\\ [4pt]
&= +52 u_2v_3−u_3v_2, u_3v_1−u_1v_3, u_1v_2−u_2v_1_1, w_2, w_3⟩ =(\ vecs u×\ vecs v) ⋅\ vecs w.\ end {align*}\]

\(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using the Properties of the Cross Product

Utilice las propiedades cruzadas del producto para calcular\((2\mathbf{\hat i}×3\mathbf{\hat j})×\mathbf{\hat j}.\)

Solución

\ [\ begin {align*} (2\ mathbf {\ hat i} ×3\ mathbf {\ hat j}) ×\ mathbf {\ hat j} &=2 (\ mathbf {\ hat i} ×3\ mathbf {\ hat j}) ×\ mathbf {\ hat j}\\ [4pt]
&=2 (3) (\ mathbf {\ hat i} ×\ mathbf {\ hat j}) ×\ mathbf {\ hat j}\\ [4pt]
& =( 6\ mathbf {\ hat k}) ×\ mathbf {\ hat j}\\ [4pt]
&=6 (\ mathbf { \ hat k} ×\ mathbf {\ hat j})\\ [4pt]
&=6 (−\ mathbf {\ hat i}) =−6\ mathbf {\ hat i}. \ end {alinear*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice las propiedades del producto cruzado para calcular\((\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k})×(\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat j}).\)

Pista

\(\vecs u×\vecs v=−(\vecs v×\vecs u)\)

Contestar

\(−\mathbf{\hat k}\)

En lo que va de esta sección, nos hemos preocupado por la dirección del vector\(\vecs u×\vecs v\), pero no hemos discutido su magnitud. Resulta que hay una expresión simple para la magnitud de\(\vecs u×\vecs v\) involucrar las magnitudes de\(\vecs u\) y\(\vecs v\), y el seno del ángulo entre ellas.

Magnitud del producto cruzado

Dejar\(\vecs u\) y\(\vecs v\) ser vectores, y dejar que\(θ\) sea el ángulo entre ellos. Entonces,\(‖\vecs u×\vecs v‖=‖\vecs u‖⋅‖\vecs v‖⋅\sin θ.\)

Prueba

Dejar\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) ser vectores, y dejar\(θ\) denotar el ángulo entre ellos. Entonces

\ [\ begin {align*} ≈\ vecs u×\ vecs v^2 &= (u_2v_3−u_3v_2) ^2+ (u_3v_1−u_1v_3) ^2+ (u_1v_2−u_2v_1) ^2\\ [4pt]
&=u^2_2v^2_3−2u_2 u_3v_2v_3+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_1−2u_1u_3v_3v_3+u^2_1v^2_3+u^2_1v^2_2u_1u_2v_1v_2+u^2_2v^2_1\ [4pt]
&u=u^2_1v^2_1+u^2_1v^1+^2_1v^2_2+u^2_1v^2_3+u^2_2v^2_1+u^2_2_2v ^2_2+u^2_2v^2_3+u^2_3v^2_1+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_3v^2_3− (u^2_1v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_3v^2_3+2u_1u_2v_1v_2+2u_1u_3v_3v_3+2u_2u_3u_v_2v_3)\\ [4pt]
& =( u^2_1+u^2_2+u^2_2+u^2_3) (v^2_1+v^2_2+v^2_3) − (u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) ^2\\ [4pt]
&vec=993\ vecs u^2"vecs v^2− (\ s u⋅\ vecs v) ^2\\ [4pt]
&=‖\ vecs u^2‖\ vecs v^2−‖\ vecs u^2‖\ vecs v^2\ cos^2θ\\ [4pt]
&=‖\ vecs u^2‖\ vecs v^2 (1−\ cos^2θ)\\ [4pt]
&=‖\ vecs u^2‖\ vecs ^2 (\ sin^2θ). \ end {align*}\ nonumber\]

Tomando raíces cuadradas y señalando que\(\sqrt{\sin^2θ}=\sinθ\) para\(0≤θ≤180°,\) nosotros tenemos el resultado deseado:

\[‖\vecs u×\vecs v‖=‖\vecs u‖‖\vecs v‖ \sin θ. \nonumber \]

□

Esta definición del producto cruzado nos permite visualizar o interpretar el producto geométricamente. Es claro, por ejemplo, que el producto cruzado se define solo para vectores en tres dimensiones, no para vectores en dos dimensiones. En dos dimensiones, es imposible generar un vector simultáneamente ortogonal a dos vectores no paralelos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Calculating the Cross Product

Utilice “Magnitud del Producto Cruzado” para encontrar la magnitud del producto cruzado de\(\vecs u=⟨0,4,0⟩\) y\(\vecs v=⟨0,0,−3⟩\).

Solución

Tenemos

\ [\ begin {align*} ‖\ vecs u×\ vecs v‖ &= ‖\ vecs u‖\ vecs v⋅\ sinθ\ [4pt]
&=\ sqrt {0^2+4^2+0^2} ⋅\ sqrt {0^2+0^2+ (−3) ^2} ⋅\ sin {\ dfrac {π} {2}}\\ [4pt]
&=4 (3) (1) =12\ final {alinear*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Utilice “Magnitud del Producto Cruzado” para encontrar la magnitud de\(\vecs u×\vecs v\), dónde\(\vecs u=⟨−8,0,0⟩\) y\(\vecs v=⟨0,2,0⟩\).

Pista

Vectores\(\vecs u\) y\(\vecs v\) son ortogonales.

Contestar

16

Determinantes y el producto cruzado

Usar la ecuación\ ref {cross} para encontrar el producto cruzado de dos vectores es sencillo, y presenta el producto cruzado en la forma de componente útil. La fórmula, sin embargo, es complicada y difícil de recordar. Afortunadamente, tenemos una alternativa. Podemos calcular el producto cruzado de dos vectores usando notación determinante.

Un\(2×2\) determinante se define por

\[\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{vmatrix} =a_1b_2−b_1a_2. \nonumber \]

Por ejemplo,

\[\begin{vmatrix}3 & −2\\5 & 1\end{vmatrix} =3(1)−5(−2)=3+10=13. \nonumber \]

Un\(3×3\) determinante se define en términos de\(2×2\) determinantes de la siguiente manera:

\[\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\\c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix}b_2 & b_3\\c_2 & c_3\end{vmatrix}−a_2\begin{vmatrix}b_1 & b_3\\c_1 & c_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{vmatrix}.\label{expandEqn} \]

La ecuación\ ref {expandeQn} se conoce como la expansión del determinante a lo largo de la primera fila. Observe que los multiplicadores de cada uno de\(2×2\) los determinantes del lado derecho de esta expresión son las entradas en la primera fila del\(3×3\) determinante. Además, cada uno de\(2×2\) los determinantes contiene las entradas del\(3×3\) determinante que quedarían si tacharas la fila y columna que contiene el multiplicador. Así, para el primer término a la derecha,\(a_1\) es el multiplicador, y el\(2×2\) determinante contiene las entradas que quedan si tachas la primera fila y la primera columna del\(3×3\) determinante. De igual manera, para el segundo término\(a_2\), el multiplicador es, y el\(2×2\) determinante contiene las entradas que quedan si tachas la primera fila y la segunda columna del\(3×3\) determinante. Observe, sin embargo, que el coeficiente del segundo término es negativo. El tercer término se puede calcular de manera similar.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Using Expansion Along the First Row to Compute a \(3×3\) Determinant

Evaluar el determinante\(\begin{vmatrix}2 & 5 &−1\\−1 & 1 & 3\\−2 & 3 & 4\end{vmatrix}\).

Solución

Tenemos

\ [\ begin {align*}\ begin {vmatrix} 2 & 5 & −1\\ −1 & 1 & 3\\ −2 & 3 & 4\ end {vmatrix} &=2\ begin {vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 4\ end {vmatrix} −5\ begin {vmatrix} −1 & 3\ −2 & 4\ end {vmatrix} −1\ begin {vmatrix} −1\ begin vmatrix} −1 & 1\\ −2 & 3\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&=2 (4−9) −5 (−4+6) −1 (−3+2 )\\ [4pt]
&= 2 (−5) −5 (2) −1 (−1) =−10−10+1\\ [4pt]
&=−19\ end {align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Evaluar el determinante\(\begin{vmatrix}1 & −2 & −1\\3 & 2 & −3\\1 & 5 & 4\end{vmatrix}\).

Pista

Expandir a lo largo de la primera fila. ¡No olvides que el segundo término es negativo!

Contestar

40

Técnicamente, los determinantes se definen sólo en términos de matrices de números reales. Sin embargo, la notación determinante proporciona un dispositivo mnemónico útil para la fórmula del producto cruzado.

Regla: Producto Cruzado Calculado por un Determinante

Dejar\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) ser vectores. Entonces el producto cruzado\(\vecs u×\vecs v\) es dado por

\[\vecs u×\vecs v=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k}\\u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_2 & u_3\\v_2 & v_3\end{vmatrix}\mathbf{\hat i}−\begin{vmatrix}u_1 & u_3\\v_1 & v_3\end{vmatrix}\mathbf{\hat j}+\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{vmatrix}\mathbf{\hat k}. \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Using Determinant Notation to find \(\vecs p×\vecs q\)

Dejar\(\vecs p=⟨−1,2,5⟩\) y\(\vecs q=⟨4,0,−3⟩\). Encuentra\(\vecs p×\vecs q\).

Solución

Establecimos nuestro determinante colocando los vectores unitarios estándar en la primera fila, los componentes de\(\vecs u\) en la segunda fila y los componentes de\(\vecs v\) en la tercera fila. Entonces, tenemos

\ [\ begin {align*}\ vecs p×\ vecs q &=\ begin {vmatrix}\ mathbf {\ hat i} &\ mathbf {\ hat j} &\ mathbf {\ hat k}\\ −1 & 2 & 5\\ 4 & 0 & −3\ end {vmatrix} =\ begin {vmatrix} 2 & 5\\ 0 & −3\ end {vmatrix}}\ mathbf {\ hat i} −\ begin {vmatrix} −1 & 5\\ 4 & −3\ end {vmatrix}\ mathbf {\ hat j} +\ begin {vmatrix} − 1 & 2\\ 4 & 0\ end {vmatrix}\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&= (−6−0)\ mathbf {\ hat i} − (3−20)\ mathbf {\ hat j} + (0−8)\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&=−6\ mathbf {\ hat i} +17\ mathbf bf {\ hat j} −8\ mathbf {\ hat k}. \ end {alinear*}\]

Observe que esta respuesta confirma el cálculo del producto cruzado en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Utilice la notación determinante para encontrar\(\vecs a×\vecs b\), dónde\(\vecs a=⟨8,2,3⟩\) y\(\vecs b=⟨−1,0,4⟩.\)

Pista

Calcular el determinante\(\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i} \mathbf{\hat j} \mathbf{\hat k}\\8 & 2 & 3\\−1 & 0 & 4\end{vmatrix}\).

Contestar

\(\vecs a×\vecs b = 8\mathbf{\hat i}−35\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

Uso del producto cruzado

El producto cruzado es muy útil para varios tipos de cálculos, entre ellos encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados, calcular áreas de triángulos y paralelogramos, e incluso determinar el volumen de la forma geométrica tridimensional hecha de paralelogramos conocidos como paralelepípedo. Los siguientes ejemplos ilustran estos cálculos.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Finding a Unit Vector Orthogonal to Two Given Vectors

Dejar\(\vecs a=⟨5,2,−1⟩\) y\(\vecs b=⟨0,−1,4⟩\). Encuentra un vector unitario ortogonal a ambos\(\vecs a\) y\(\vecs b\).

Solución

El producto cruzado\(\vecs a×\vecs b\) es ortogonal a ambos vectores\(\vecs a\) y\(\vecs b\). Podemos calcularlo con un determinante:

\ [\ begin {align*}\ vecs a×\ vecs b &=\ begin {vmatrix}\ mathbf {\ hat i} &\ mathbf {\ hat j} &\ mathbf {\ hat k}\\ 5 & 2 & −1\ 0 & −1 & −1 & 4\ end {vmatrix} =\ begin {vmatrix} 2 & −1\\ −1 & 4\ end {vmatrix} matriz}\ mathbf {\ hat i} −\ begin {vmatrix} 5 & −1\\ 0 & 4\ end {vmatrix}\ mathbf {\ hat j} +\ begin {vmatrix} 5 & 2\\ 0 & −1\ end {vmatrix}\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
& =( 8−1)\ mathbf {\ hat i} − (20−0)\ mathbf {\ hat j} + (−5−0)\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&=7\ mathbf {\ hat i} −20\ mathbf {\ hat j} −5\ mathbf {\ hat k}. \ end {align*}\ nonumber\]

Normaliza este vector para encontrar un vector unitario en la misma dirección:

\(\|\vecs a×\vecs b\|=\sqrt{(7)^2+(−20)^2+(−5)^2}=\sqrt{474}\).

Por lo tanto,\(\left\langle\dfrac{7}{\sqrt{474}},\dfrac{−20}{\sqrt{474}},\dfrac{−5}{\sqrt{474}}\right\rangle\) es un vector unitario ortogonal a\(\vecs a\) y\(\vecs b\).

Simplificado, este vector se vuelve\(\left\langle\dfrac{7\sqrt{474}}{474},\dfrac{−10\sqrt{474}}{237},\dfrac{−5\sqrt{474}}{474}\right\rangle\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encontrar un vector unitario ortogonal a ambos\(\vecs a\) y\(\vecs b\), donde\(\vecs a=⟨4,0,3⟩\) y\(\vecs b=⟨1,1,4⟩.\)

Pista

Normalizar el producto cruzado.

Contestar

\(\left\langle\dfrac{−3}{\sqrt{194}},\dfrac{−13}{\sqrt{194}},\dfrac{4}{\sqrt{194}}\right\rangle\)o, simplificado como\(\left\langle\dfrac{−3\sqrt{194}}{194},\dfrac{−13\sqrt{194}}{194},\dfrac{2\sqrt{194}}{97}\right\rangle\)

Para utilizar el producto cruzado para el cálculo de áreas, declaramos y probamos el siguiente teorema.

Área de un paralelogramo

Si localizamos vectores\(\vecs u\) y\(\vecs v\) tales que forman lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del paralelogramo viene dada por\(‖\vecs u×\vecs v‖\) (Figura\(\PageIndex{5}\)).

Figura\(\PageIndex{5}\): El paralelogramo con lados adyacentes\(\vecs u\) y\(\vecs v\) tiene base\(‖\vecs u‖\) y altura\(‖\vecs v‖\sin θ\).

Prueba

Mostramos que la magnitud del producto cruzado es igual a la altura de los tiempos base del paralelogramo.

\[\begin{align*} \text{Area of a parallelogram} &= \text{base} × \text{height} \\[4pt] &=‖\vecs u‖(‖\vecs v‖\sin θ) \\[4pt] &=‖\vecs u×\vecs v‖ \end{align*}\]

□

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Finding the Area of a Triangle

Dejar\(P=(1,0,0),Q=(0,1,0),\) y\(R=(0,0,1)\) ser los vértices de un triángulo (Figura\(\PageIndex{6}\)). Encuentra su área.

Figura\(\PageIndex{6}\): Encontrar el área de un triángulo usando el producto cruzado.

Solución

Tenemos\(\vecd{PQ}=⟨0−1,1−0,0−0⟩=⟨−1,1,0⟩\) y\(\vecd{PR}=⟨0−1,0−0,1−0⟩=⟨−1,0,1⟩\). El área del paralelogramo con lados adyacentes\(\vecd{PQ}\) y\(\vecd{PR}\) viene dada por\(∥\vecd{PQ}×\vecd{PR}∥\):

\ [\ begin {align*}\ vecd {PQ}\ times\ vecd {PR} &=\ begin {vmatrix}\ mathbf {\ hat i} &\ mathbf {\ hat j} &\ mathbf {\ hat k}\\ −1 & 0\ −1 & 0\ −1 & 0 & 1\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&= (1−0)\ mathbf {\ hat i} − (−1−0)\ mathbf {\ hat j} + (0− (−1))\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&=\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j} +\ mathbf {\ hat k}\\ [10pt]
\ [10pt]\ vecd {PQ} ×\ vecd {PR} &=[ 4pt]
&=\ sqrt {1^2+1^2+1^2}\\ [4pt]
&=\ sqrt {3}. \ end {align*}\ nonumber\]

El área de\(ΔPQR\) es la mitad del área del paralelogramo o\(\sqrt{3}/2 \, \text{units}^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra el área del paralelogramo\( PQRS\) con vértices\( P(1,1,0)\),\(Q(7,1,0)\),\(R(9,4,2)\), y\( S(3,4,2)\).

Pista

Dibuje el paralelogramo e identifique dos vectores que forman lados adyacentes del paralelogramo.

Contestar

\(6\sqrt{13}\, \text{units}^2\)

El Producto Triple Escalar

Debido a que el producto cruzado de dos vectores es un vector, es posible combinar el producto de punto y el producto cruzado. El producto punto de un vector con el producto cruzado de otros dos vectores se llama el producto escalar triple porque el resultado es un escalar.

Definición: Producto Escalar Triple

El producto escalar triple de vectores\( \vecs u\),\( \vecs v,\) y\(\vecs w\) es

\[ \vecs u⋅( \vecs v× \vecs w). \nonumber \]

Cálculo de un producto escalar triple

El triple producto escalar de los vectores

\[ \vecs u=u_1 \mathbf{\hat i}+u_2 \mathbf{\hat j}+u_3\mathbf{\hat k} \nonumber \]

\[ \vecs v=v_1\mathbf{\hat i}+v_2\mathbf{\hat j}+v_3\mathbf{\hat k} \nonumber \]

y

\[ \vecs w=w_1 \mathbf{\hat i}+w_2\mathbf{\hat j}+w_3\mathbf{\hat k} \nonumber \]

es el determinante de la\(3×3\) matriz formada por los componentes de los vectores:

\[ \vecs u⋅( \vecs v× \vecs w)=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3\\w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}. \label{triple2} \]

Prueba

El cálculo es sencillo.

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=+52 u_1, u_2, u_3⟩ v_2w_3−v_3w_2, −v_1w_3+v_3w_1, v_1w_2−v_2w_1⟩\\ [4pt] &=u_1 (v_1w_1 (v_2w_1⟩\ [4pt] &=u_1 (v_1 _2w_3−v_3w_2) +u_2 (−v_1w_3+v_3w_1) +u_3 (v_1w_2−v_2w_1)\\ [4pt]
&=u_1 (v_2w_3−v_3w_2) −u_2 (v_1w_3−u−v_3w_1) +u_2 (v_1w_3w_1) _3 (v_1w_2−v_2w_1)\\ [4pt]
&=\ begin {vmatrix} u_ 1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\ end {vmatrix}. \ end {align*}\ nonumber\]

□

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Calculating the Triple Scalar Product

Dejar\(\vecs u=⟨1,3,5⟩,\,\vecs v=⟨2,−1,0⟩\) y\(\vecs w=⟨−3,0,−1⟩\). Calcular el producto escalar triple\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w).\)

Solución

Aplicar la ecuación\ ref {triple2} directamente:

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=\ begin {vmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & −1 & 0\\ −3 & 0 & −1\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&=1\ begin {vmatrix} −1 & 0\\ 0 & −1\ end {vmatrix} −3\ begin {vmatrix} 2 & 0\\ −3 & −1\ end {vmatrix} +5\ begin {vmatrix} 2 & −1\\ −3 & 0\ end { vmatrix}\\ [4pt]
& =( 1−0) −3 (−2−0) +5 (0−3)\\ [4pt]
&=1+6−15=−8. \ end {align*}\ nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcular el producto escalar triple\(\vecs a⋅(\vecs b×\vecs c),\) donde\(\vecs a=⟨2,−4,1⟩, \vecs b=⟨0,3,−1⟩\), y\(\vecs c=⟨5,−3,3⟩.\)

Pista

Coloca los vectores como las filas de una\(3×3\) matriz, luego calcula el determinante.

Contestar

\(17\)

Cuando creamos una matriz a partir de tres vectores, debemos tener cuidado con el orden en el que enumeramos los vectores. Si los enumeramos en una matriz en un orden y luego reorganizamos las filas, el valor absoluto del determinante permanece sin cambios. Sin embargo, cada vez que dos filas cambian de lugar, el determinante cambia de signo:

\(\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\\c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}=d \quad\quad \begin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3\\a_1 & a_2 & a_3\\c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}=−d \quad\quad \begin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3\\c_1 & c_2 & c_3\\a_1 & a_2 & a_3\end{vmatrix}=d \quad\quad \begin{vmatrix}c_1 & c_2 & c_3\\b_1 & b_2 & b_3\\a_1 & a_2 & a_3\end{vmatrix}=−d\)

Verificar este hecho es sencillo, pero bastante desordenado. Echemos un vistazo a esto con un ejemplo:

\ [\ begin {align*}\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 1\\ −2 & 0 & 3\\ 4 & 1 & −1\ end {vmatrix} &=\ begin {vmatrix} &=\ begin {vmatrix} 0 & 3\\ 1 & −1\ end {vmatrix} −2\ begin {vmatrix} −2 & 3\ 4 & −1\ end {vmatrix} +\ begin {vmatrix}} −2 & 0\\ 4 & 1\ end {vmatrix}\\ [4pt]
& =( 0−3) −2 (2−12) + (−2−0)\\ [4pt]
&=−3+20−2=15. \ end {align*}\ nonumber\]

Cambiando las dos filas superiores que tenemos

\ [\ begin {align*}\ begin {vmatrix} −2 & 0 & 3\\ 1 & 2 & 1\\ 4 & 1 & −1\ end {vmatrix} &=-2\ begin {vmatrix} 2 & 1\\ 1 & −1\ end {vmatrix} +3\ begin {vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 1\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&=−2 (−2−1) +3 (1−8)\\ [4pt]
&=6−21=−15. \ end {align*}\ nonumber\]

Reorganizar vectores en los productos triples equivale a reordenar las filas en la matriz del determinante. Dejar\(\vecs u=u_1\mathbf{\hat i}+u_2\mathbf{\hat j}+u_3\mathbf{\hat k}, \vecs v=v_1\mathbf{\hat i}+v_2\mathbf{\hat j}+v_3\mathbf{\hat k},\) y\(\vecs w=w_1\mathbf{\hat i}+w_2\mathbf{\hat j}+w_3\mathbf{\hat k}.\) aplicar nota, tenemos

\[\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3\\w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix} \nonumber \]

y

\[\vecs u⋅(\vecs w×\vecs v)=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\w_1 & w_2 & w_3\\v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}. \nonumber \]

Podemos obtener el determinante para el cálculo\(\vecs u⋅(\vecs w×\vecs v)\) cambiando las dos filas inferiores de\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w).\) Por lo tanto,\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)=−\vecs u⋅(\vecs w×\vecs v).\)

Siguiendo este razonamiento y explorando las diferentes formas en que podemos intercambiar variables en el producto escalar triple conducen a las siguientes identidades:

\ [\ begin {align}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=−\ vecs u⋅ (\ vecs w×\ vecs v)\\ [10pt]
\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=\ vecs v⋅ (\ vecs w×\ vecs u) =\ vecs w⋅ (\ vecs u×\ vecs v). \ end {align}\ nonumber\]

Dejar\(\vecs u\) y\(\vecs v\) ser dos vectores en posición estándar. Si\(\vecs u\) y no\(\vecs v\) son múltiplos escalares entre sí, entonces estos vectores forman lados adyacentes de un paralelogramo. Vimos en Note que el área de este paralelogramo es\(‖\vecs u×\vecs v‖\). Ahora supongamos que agregamos un tercer vector\(\vecs w\) que no se encuentra en el mismo plano que\(\vecs u\) y\(\vecs v\) pero que aún comparte el mismo punto inicial. Entonces estos vectores forman tres bordes de un paralelepípedo, un prisma tridimensional con seis caras que son cada una paralelogramos, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). El volumen de este prisma es producto de la altura de la figura y del área de su base. El producto escalar triple de\(\vecs u,\vecs v,\) y\(\vecs w\) proporciona un método simple para calcular el volumen del paralelepípedo definido por estos vectores.

Volumen de un Paralelepípedo

El volumen de un paralelepípedo con bordes adyacentes dado por los vectores\(\vecs u,\vecs v\), y\(\vecs w\) es el valor absoluto del producto escalar triple (Figura\(\PageIndex{7}\)):

\[V=||\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)||. \nonumber \]

Tenga en cuenta que, como su nombre lo indica, el producto escalar triple produce un escalar. La fórmula de volumen que se acaba de presentar utiliza el valor absoluto de una cantidad escalar.

Figura\(\PageIndex{7}\): La altura del paralelepípedo viene dada por\(\|\text{proj}_{\vecs v×\vecs w}\vecs u\|.\)

Prueba

El área de la base del paralelepípedo viene dada por\(‖\vecs v×\vecs w‖.\) La altura de la figura viene dada por\(\|\text{proj}_{\vecs v×\vecs w}\vecs u\|.\) El volumen del paralelepípedo es el producto de la altura y el área de la base, por lo que tenemos

\ [\ begin {align*} V &=\ texto {proj} _ {\ vecs v×\ vecs w}\ vecs u‖\ vecs v×\ vecs w‖\\ [4pt]
&=\ dfrac {\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w)} {‖\ vecs v×\ vecs w‖}\ vecs v×\ vecs w‖\\ [4pt]
&=\ |\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w)\ |. \ end {alinear*}\]

□

Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Calculating the Volume of a Parallelepiped

Dejar\(\vecs u=⟨−1,−2,1⟩,\vecs v=⟨4,3,2⟩,\) y\(\vecs w=⟨0,−5,−2⟩\). Encuentra el volumen del paralelepípedo con bordes adyacentes\(\vecs u,\vecs v\), y\(\vecs w\) (Figura\(\PageIndex{8}\)).

; v = <4, 3, 2>; y w = <0, -5, -2>." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...7777869284.png">

Figura\(\PageIndex{8}\)

Solución

Tenemos

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=\ begin {vmatrix} −1 & −2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 0 & −5 & −2\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&= (−1)\ begin {vmatrix} 3 & 2\ −5 & −2\ end {vmatrix} +2\ begin {vmatrix} 4 & 2\\ 0 & −2\ end {vmatrix} +\ begin {vmatrix} 4 & 3\\ 0 & −5\ end { vmatrix}\\ [4pt]
& =( −1) (−6+10) +2 (−8−0) + (−20−0)\\ [4pt]
&=−4−16−20\\ [4pt]
&=−40. \ end {alinear*}\]

Así, el volumen del paralelepípedo es\(|−40|=40\) unidades ³

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Encuentra el volumen del paralelepípedo formado por los vectores\(\vecs a=3\mathbf{\hat i}+4\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}, \vecs b=2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k},\) y\(\vecs c=3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}.\)

Pista

Calcular el producto escalar triple encontrando un determinante.

Contestar

\(8\)unidades ³

Aplicaciones del producto cruzado

El producto cruzado aparece en muchas aplicaciones prácticas en matemáticas, física e ingeniería. Examinemos aquí algunas de estas aplicaciones, incluida la idea de torque, con la que iniciamos esta sección. Otras aplicaciones aparecen en capítulos posteriores, particularmente en nuestro estudio de campos vectoriales como los campos gravitacionales y electromagnéticos (Introducción al Cálculo vectorial).

Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Using the Triple Scalar Product

Utilice el producto escalar triple para mostrar esos vectores\(\vecs u=⟨2,0,5⟩,\vecs v=⟨2,2,4⟩\), y\(\vecs w=⟨1,−1,3⟩\) son coplanares, es decir, mostrar que estos vectores se encuentran en el mismo plano.

Solución

Comience calculando el producto escalar triple para encontrar el volumen del paralelepípedo definido por\(\vecs u,\vecs v,\) y\(\vecs w\):

\ [\ begin {align*}\ vecs u⋅ (\ vecs v×\ vecs w) &=\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 5\\ 2 & 2 & 4\\ 1 & −1 & 3\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&= [2 (2) (3) + (0) (4) (1) +5 (2) (−1)] [5 (2) (1) + (2) (4) (−1) + (0) (2) (3)]\\ [4pt]
&=2−2 =0. \ end {alinear*}\]

El volumen del paralelepípedo es de\(0\) unidades ³, por lo que una de las dimensiones debe ser cero. Por lo tanto, los tres vectores se encuentran todos en el mismo plano.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

¿Son los vectores\(\vecs a=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}, \vecs b=\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k},\) y\(\vecs c=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) coplanares?

Pista

Calcular el producto escalar triple.

Responder

No, el producto escalar triple es\(−4≠0,\) así que los tres vectores forman los bordes adyacentes de un paralelepípedo. No son coplanares.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Finding an Orthogonal Vector

Solo un solo plano puede atravesar cualquier conjunto de tres puntos no colineales. Encuentra un vector ortogonal al plano que contiene puntos\(P=(9,−3,−2),Q=(1,3,0),\) y\(R=(−2,5,0).\)

Solución

El plano debe contener vectores\(\vecd{PQ}\) y\(\vecd{QR}\):

\(\vecd{PQ}=⟨1−9,3−(−3),0−(−2)⟩=⟨−8,6,2⟩\)

\(\vecd{QR}=⟨−2−1,5−3,0−0⟩=⟨−3,2,0⟩.\)

El producto cruzado\(\vecd{PQ}×\vecd{QR}\) produce un vector ortogonal a ambos\(\vecd{PQ}\) y\(\vecd{QR}\). Por lo tanto, el producto cruzado es ortogonal al plano que contiene estos dos vectores:

\ [\ begin {align*}\ vecd {PQ} ×\ vecd {QR} &=\ begin {vmatrix}\ mathbf {\ hat i} &\ mathbf {\ hat j} &\ mathbf {\ hat k}\\ −8 & 6 & 2\\ −3 & 2 & 0\ end {vmatrix}\\ [4pt]
&=0\ mathbf {\ hat} −6\ mathbf {\ hat j} −16\ mathbf {\ hat k} − (−18\ mathbf {\ hat k} +4\ mathbf {\ hat i} +0\ mathbf {\ hat j})\\ [4pt]
&=−4\ mathbf {\ hat i} −6\ mathbf {\ hat j} +2\ mathbf {\ hat k}. \ end {alinear*}\]

Hemos visto cómo usar el producto escalar triple y cómo encontrar un vector ortogonal a un plano. Ahora aplicamos el producto cruzado a situaciones del mundo real.

A veces una fuerza hace que un objeto gire. Por ejemplo, girar un destornillador o una llave crea este tipo de efecto rotacional, llamado torque.

Definición: Torque

Torque,\(\vecs \tau\) (la letra griega tau), mide la tendencia de una fuerza a producir rotación alrededor de un eje de rotación. Dejar\(\vecs r\) ser un vector con un punto inicial ubicado en el eje de rotación y con un punto terminal ubicado en el punto donde se aplica la fuerza, y dejar que el vector\(\vecs F\) represente la fuerza. Entonces el par es igual al producto cruzado de\(r\) y\(F\):

\[\vecs \tau=\vecs r×\vecs F. \nonumber \]

Ver Figura\(\PageIndex{9}\).

Figura\(\PageIndex{9}\): El par mide cómo una fuerza hace que un objeto gire.

Piense en usar una llave para apretar un perno. El torque τ aplicado al perno depende de qué tan fuerte empujemos la llave (fuerza) y de qué tan arriba aplicemos la fuerza (distancia) del mango. El par aumenta con una mayor fuerza sobre la llave a una mayor distancia del perno. Las unidades comunes de torque son el newton-metro o pie-libra. Aunque el par es dimensionalmente equivalente al trabajo (tiene las mismas unidades), los dos conceptos son distintos. El par se usa específicamente en el contexto de rotación, mientras que el trabajo generalmente implica movimiento a lo largo de una línea.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\): Evaluating Torque

Un perno se aprieta aplicando una fuerza de\(6\) N a una llave de 0,15 m (Figura\(\PageIndex{10}\)). El ángulo entre la llave y el vector de fuerza es\(40°\). Encuentra la magnitud del par alrededor del centro del perno. Redondear la respuesta a dos decimales.

Figura\(\PageIndex{10}\): Torque describe la acción de torsión de la llave.

Solución:

Sustituya la información dada en la ecuación que define el par:

\ [\ begin {align*} ‖\ vecs τ‖ &=\ |\ vecs r×\ vecs F\ |\\ [4pt]
&=‖\ vecs r\ vecs F\ sinθ\ [4pt]
& =( 0.15\,\ text {m}) (6\,\ text {N})\ sin 40°\\ [4pt]
&≈0.58\,\ texto {nm.} \ end {alinear*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Calcular la fuerza requerida para producir un\(15\) par de torsión Nm en un ángulo\(30º\) de una varilla de\(150\) -cm.

Pista

\(‖\vecs τ‖=15\)Nm y\(‖\vecs r‖=1.5\) m

Responder

\(20\)N

Conceptos clave

• El producto cruzado\(\vecs u×\vecs v\) de dos vectores\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) es un vector ortogonal a ambos\(\vecs u\) y\(\vecs v\). Su longitud viene dada por\(‖\vecs u×\vecs v‖=‖\vecs u‖⋅‖\vecs v‖⋅\sin θ,\) dónde\(θ\) está el ángulo entre\(\vecs u\) y\(\vecs v\). Su dirección viene dada por la regla de la derecha.
• La fórmula algebraica para calcular el producto cruzado de dos vectores,

\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\)y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\), es

\(\vecs u×\vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)\mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k}.\)

• El producto cruzado satisface las siguientes propiedades para vectores\(\vecs u,\vecs v,\) y\(\vecs w\), y escalar\(c\):

\(\vecs u×\vecs v=−(\vecs v×\vecs u)\)

\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=\vecs u×\vecs v+\vecs u×\vecs w\)

\(c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

\(\vecs u×\vecs 0=\vecs 0×\vecs u=\vecs 0\)

\(\vecs v×\vecs v=\vecs 0\)

\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)⋅\vecs w\)

• El producto cruzado de vectores\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) es el determinante\(\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k}\\u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}\)
• Si los vectores\(\vecs u\) y\(\vecs v\) forman lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del paralelogramo viene dada por\(\|\vecs u×\vecs v\|.\)
• El triple producto escalar de vectores\(\vecs u, \vecs v,\) y\(\vecs w\) es\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w).\)
• El volumen de un paralelepípedo con bordes adyacentes dado por vectores\(\vecs u,\vecs v\), y\(\vecs w\) es\(V=|\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)|.\)
• Si el triple escalar producto de vectores\(\vecs u,\vecs v,\) y\(\vecs w\) es cero, entonces los vectores son coplanares. Lo contrario también es cierto: Si los vectores son coplanarios, entonces su producto escalar triple es cero.
• El producto cruzado se puede utilizar para identificar un vector ortogonal a dos vectores dados o a un plano.
• El par\(\vecs τ\) mide la tendencia de una fuerza a producir rotación alrededor de un eje de rotación. Si la fuerza\(\vecs F\) actúa a una distancia (desplazamiento)\(\vecs r\) del eje, entonces el par es igual al producto cruzado de\(\vecs r\) y\(\vecs F: \vecs τ=\vecs r×\vecs F.\)

Ecuaciones Clave

• El producto cruzado de dos vectores en términos de los vectores unitarios

\[\vecs u×\vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)\mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k} \nonumber \]

Glosario

producto cruzado

\(\vecs u×\vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)\mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k},\)dónde\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\)

determinante

un número real asociado a una matriz cuadrada

paralelepípedo

un prisma tridimensional con seis caras que son paralelogramos

par

el efecto de una fuerza que hace que un objeto gire

producto escalar triple

el producto de punto de un vector con el producto cruzado de otros dos vectores:\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)\)

producto vectorial

el producto cruzado de dos vectores