12.4E: Ejercicios para la Sección 12.4

Para los ejercicios 1-4,\(\vecs{v}\) se dan los vectores\(\vecs{u}\) y.

a. Encontrar el producto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) de los vectores\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\). Exprese la respuesta en forma de componentes.

b. Esbozar los vectores\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\), y\(\vecs{u}\times\vecs{v}\).

1)\(\quad \vecs{u}=⟨2,0,0⟩, \quad \vecs{v}=⟨2,2,0⟩\)

Contestar

\(a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨0,0,4⟩;\)

\(b.\)

2)\(\quad \vecs{u}=⟨3,2,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨1,1,0⟩\)

3)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

Contestar

\( a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨6,−4,2⟩;\)

\(b.\)

4)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat j}+3\mathbf{\hat k}, \quad \vecs{v}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

5) Simplificar\((\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}+3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k})×\mathbf{\hat i}.\)

Contestar

\(−2\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat k}\)

6) Simplificar\(\mathbf{\hat j}×(\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat j}+5\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}).\)

En los ejercicios 7-10,\(\vecs{v}\) se dan vectores\(\vecs{u}\) y. Encuentra el vector de unidad\(\vecs{w}\) en la dirección del vector de producto cruzado\(\vecs{u}×\vecs{v}.\) Exprese tu respuesta usando vectores unitarios estándar.

7)\(\quad \vecs{u}=⟨3,−1,2⟩, \quad \vecs{v}=⟨−2,0,1⟩\)

Contestar

\(\vecs{w}=−\frac{\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat i}−\frac{7\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{6}}{9}\mathbf{\hat k}\)

8)\(\quad \vecs{u}=⟨2,6,1⟩, \quad \vecs{v}=⟨3,0,1⟩\)

9)\(\quad \vecs{u}=\vecd{AB}, \quad \vecs{v}=\vecd{AC},\) dónde\(A(1,0,1),\, B(1,−1,3)\), y\(C(0,0,5)\)

Contestar

\(\vecs{w}=−\frac{4\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat i}−\frac{2\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat k}\)

10)\(\quad \vecs{u}=\vecd{OP}, \quad \vecs{v}=\vecd{PQ},\) dónde\(P(−1,1,0)\) y\(Q(0,2,1)\)

11) Determinar el número real\(α\) tal que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) y\(\mathbf{\hat i}\) son ortogonales, donde\(\vecs{u}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−5\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs{v}=4\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+α\mathbf{\hat k}.\)

Contestar

\(α=10\)

12) Demostrar eso\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) y\( 2\mathbf{\hat i}−14\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\) no puede ser ortogonal para ningún α número real, donde\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+7\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs{v}=α\mathbf{\hat i}+5\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\).

13) Mostrar que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) es ortogonal a\(\vecs{u}+\vecs{v}\) y\(\vecs{u}−\vecs{v}\), donde\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\) son vectores distintos de cero.

14) Mostrar que\(\vecs{v}\times\vecs{u}\) es ortogonal a\( (\vecs{u}⋅\vecs{v})(\vecs{u}+\vecs{v})+\vecs{u}\), donde\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\) son vectores distintos de cero.

15) Calcular el determinante\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\1&−1&7\\2&0&3\end{vmatrix}\).

Contestar

\( −3\mathbf{\hat i}+11\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

16) Calcular el determinante\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&3&−4\\1&6&−1\end{vmatrix}\).

Para los ejercicios 17-18,\(\vecs{v}\) se dan los vectores\(\vecs{u}\) y. Utilice la notación determinante para encontrar el vector\(\vecs{w}\) ortogonal a los vectores\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\).

17)\(\quad \vecs{u}=⟨−1, 0, e^t⟩, \quad \vecs{v}=⟨1, e^{−t}, 0⟩,\) donde\(t\) es un número real

Contestar

\(\vecs{w}=⟨−1, e^t, −e^{−t}⟩\)

18)\(\quad \vecs{u}=⟨1, 0, x⟩, \quad \vecs{v}=⟨\frac{2}{x},1, 0⟩,\) donde\(x\) es un número real distinto de cero

19) Encontrar el vector\( (\vecs{a}−2\vecs{b})×\vecs{c},\) donde\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\2&−1&5\\0&1&8\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&1&1\\2&−1&−2\end{vmatrix},\) y\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}.\)

Contestar

\( −26\mathbf{\hat i}+17\mathbf{\hat j}+9\mathbf{\hat k}\)

20) Encontrar el vector\( \vecs{c}×(\vecs{a}+3\vecs{b}),\) donde\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\5&0&9\\0&1&0\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&−1&1\\7&1&−1\end{vmatrix},\) y\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat k}.\)

21) [T] Utilice el producto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) para encontrar el ángulo agudo entre vectores\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\), donde\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+2\mathbf{\hat j}\) y\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\) Expresar la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.

Contestar

\( 72°\)

22) [T] Usa el producto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) para encontrar el ángulo obtuso entre vectores\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\), donde\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}.\) Expresar la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.

23) Utilizar el seno y el coseno del ángulo entre dos vectores distintos de cero\(\vecs u\) y\(\vecs v\) para probar la identidad de Lagrange:\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\).

24) Verificar la identidad de Lagrange\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\) para vectores\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−2\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs{v}=2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}.\)

25) Los vectores Nonzero\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\) se llaman colineales si existe un escalar distinto de cero\(α\) tal que\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). Mostrar eso\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\) son colineales si y solo si\( \vecs{u}\times\vecs{v}=0.\)

26) Los vectores Nonzero\(\vecs{u}\) y\(\vecs{v}\) se llaman colineales si existe un escalar distinto de cero\(α\) tal que\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). Mostrar que los vectores\( \vecd{AB}\) y\(\vecd{AC}\) son colineales, donde\(A(4,1,0), \, B(6,5,−2),\) y\(C(5,3,−1).\)

27) Encuentra el área del paralelogramo con lados adyacentes\(\vecs{u}=⟨3,2,0⟩\) y\(\vecs{v}=⟨0,2,1⟩\).

Contestar

\(7\)

28) Encuentra el área del paralelogramo con lados adyacentes\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}\) y\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\)

29) Considerar puntos\(A(3,−1,2),\, B(2,1,5),\) y\(C(1,−2,−2).\)

a. encontrar el área de paralelogramo\(ABCD\) con lados adyacentes\(\vecd{AB}\) y\( \vecd{AC}\).

b. Encuentra el área del triángulo\(ABC\).

c. Encuentra la distancia de punto\(A\) a línea\(BC\).

Contestar

a.\(5\sqrt{6};\) b.\(\frac{5\sqrt{6}}{2};\) c.\(\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{59}} =\frac{5\sqrt{354}}{59} \)

30) Considerar puntos\(A(2,−3,4),\, B(0,1,2),\) y\(C(−1,2,0).\)

a. encontrar el área de paralelogramo\(ABCD\) con lados adyacentes\( \vecd{AB}\) y\( \vecd{AC}\).

b. Encuentra el área del triángulo\(ABC\).

c. Encuentra la distancia de punto\(B\) a línea\(AC.\)

En los ejercicios 31-32,\(\vecs{w}\) se dan vectores\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\), y.

a. Encontrar el producto escalar triple\(\vecs{u}⋅(\vecs{v}×\vecs{w}).\)

b. encontrar el volumen del paralelepípedo con los bordes adyacentes\(\vecs{u},\,\vecs{v}\), y\(\vecs{w}\).

31)\(\quad \vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k},\) y\(\quad \vecs{w}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

Contestar

\( a. 2; \quad b. 2\)unidades ³

32)\(\quad \vecs{u}=⟨−3,5,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨0,2,−2⟩,\) y\(\quad \vecs{w}=⟨3,1,1⟩\)

33) Calcular los productos escalares triples\(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})\) y\(\vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v}),\) dónde\(\vecs{u}=⟨1,1,1⟩, \vecs{v}=⟨7,6,9⟩,\) y\(\vecs{w}=⟨4,2,7⟩.\)

Contestar

\(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})=−1, \quad \vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v})=1\)

34) Calcular los productos escalares triples\(\vecs{w}⋅(\vecs{v}×\vecs{u})\) y\(\vecs{u}⋅(\vecs{w}×\vecs{v}),\) dónde\(\vecs{u}=⟨4,2,−1⟩, \vecs{v}=⟨2,5,−3⟩,\) y\(\vecs{w}=⟨9,5,−10⟩.\)

35) Encontrar vectores\(\vecs{a},\, \vecs{b}\), y\(\vecs{c}\) con un producto escalar triple dado por el determinante\( \begin{vmatrix}1&2&3\\0&2&5\\8&9&2\end{vmatrix}\). Determinar su producto escalar triple.

Contestar

\(\vecs{a}=⟨1,2,3⟩, \quad \vecs{b}=⟨0,2,5⟩, \quad \vecs{c}=⟨8,9,2⟩; \quad \vecs{a}⋅(\vecs{b}×\vecs{c})=−9\)

36) El triple producto escalar de los vectores\(\vecs{a},\,\vecs{b}\), y\(\vecs{c}\) viene dado por el determinante\( \begin{vmatrix}0&−2&1\\0&1&4\\1&−3&7\end{vmatrix}\). Buscar vector\(\vecs{a}−\vecs{b}+\vecs{c}.\)

37) Considerar el paralelepípedo con aristas\( OA,OB,\) y\( OC\), dónde\( A(2,1,0),B(1,2,0),\) y\( C(0,1,α).\)

a. encontrar el número real de\( α>0\) tal manera que el volumen del paralelepípedo sea\( 3\) unidades ^3.

b. para\( α=1,\) encontrar la altura\(h\) desde el vértice\(C\) del paralelepípedo. Esboza el paralelepípedo.

Contestar

\( a. \, α=1; \quad b. \, h=1\)unidad,

38) Considerar puntos\( A(α,0,0),B(0,β,0),\) y\( C(0,0,γ)\), con\( α, β\), y números reales\( γ\) positivos.

a. Determinar el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes\( \vecd{OA}, \vecd{OB},\) y\( \vecd{OC}\).

b. encontrar el volumen del tetraedro con vértices\( O,A,B,\) y\( C\). (Pista: El volumen del tetraedro es\( 1/6\) del volumen del paralelepípedo.)

c. Encontrar la distancia desde el origen hasta el plano determinada por\( A,B,\) y\( C\). Esbozar el paralelepípedo y el tetraedro.

39) Dejar\( u,v,\) y\( w\) ser vectores tridimensionales y\(c\) ser un número real. Demostrar las siguientes propiedades del producto cruzado.

a.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

d.\( \vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

40) Mostrar que los vectores\(\vecs u=⟨1,0,−8⟩,\,\vecs v=⟨0,1,6⟩\), y\(\vecs w=⟨−1,9,3⟩\) satisfacer las siguientes propiedades del producto cruzado.

a.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

d.\(\vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

41) Vectores distintos de cero\(\vecs u,\,\vecs v\), y se dice que\(\vecs w\) son linealmente dependientes si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros dos. Por ejemplo, existen dos números reales distintos de cero\( α\) y\( β\) tal que\(\vecs w=α\vecs u+β\vecs v\). De lo contrario, los vectores se denominan linealmente independientes. Demostrar eso\(\vecs u,\vecs v\), y\(\vecs w\) podrían colocarse en el mismo plano si y sólo si son dependientes lineales.

42) Considerar vectores\(\vecs u=⟨1,4,−7⟩,\,\vecs v=⟨2,−1,4⟩,\,\vecs w=⟨0,−9,18⟩\), y\(\vecs p=⟨0,−9,17⟩.\)

a. Demuéstralo\(\vecs u,\,\vecs v\), y se\(\vecs w\) puede colocar en el mismo plano usando su producto escalar triple

b. Demostrar eso\(\vecs u,\,\vecs v\), y se\(\vecs w\) puede colocar en el mismo plano usando la definición de que existen dos números reales distintos de cero\( α\) y de\( β\) tal manera que\( w=αu+βv.\)

c. Demostrar que\(\vecs u,\,\vecs v\), y\(\vecs p\) son linealmente independientes, es decir, ninguno de los vectores es una combinación lineal de los otros dos.

43) Considerar puntos\( A(0,0,2), B(1,0,2), C(1,1,2),\) y\( D(0,1,2).\) ¿Son vectores\( \vecd{AB}, \vecd{AC},\) y\( \vecd{AD}\) linealmente dependientes (es decir, uno de los vectores es una combinación lineal de los otros dos)?

Contestar

Sí,\( \vecd{AD}=α\vecd{AB}+β\vecd{AC},\) dónde\( α=−1\) y\( β=1.\)

44) Mostrar que los vectores\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j},\) y\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) son linealmente independientes, es decir, existen dos números reales distintos de cero\(α\) y\(β\) tales que\(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}=α(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j})+β(\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}).\)

45) Dejar\(\vecs u=⟨u_1,u_2⟩\) y\(\vecs v=⟨v_1,v_2⟩\) ser vectores bidimensionales. El producto cruzado de vectores\(\vecs u\) y no\(\vecs v\) está definido. Sin embargo, si los vectores son considerados como los vectores tridimensionales\( \tilde{\vecs u}=⟨u_1,u_2,0⟩\) y\( \tilde{\vecs v}=⟨v_1,v_2,0⟩\), respectivamente, entonces, en este caso, podemos definir el producto cruzado de\( \tilde{\vecs u}\) y\( \tilde{\vecs v}\). En particular, en notación determinante, el producto cruzado de\( \tilde{\vecs u}\) y\( \tilde{\vecs v}\) viene dado por

\( \tilde{\vecs u}×\tilde{\vecs v}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\u_1&u_2&0\\v_1&v_2&0\end{vmatrix}\).

Utilice este resultado para calcular\( (\cos θ\,\mathbf{\hat i}+\sin θ\,\mathbf{\hat j})×(\sin θ\,\mathbf{\hat i}−\cos θ\,\mathbf{\hat j}),\) dónde\( θ\) está un número real.

Contestar

\( −\mathbf{\hat k}\)

46) Considerar puntos\( P(2,1), Q(4,2),\) y\( R(1,2).\)

a. Encuentra el área del triángulo\( PQR\).

b. Determinar la distancia desde el punto\( R\) hasta la línea que pasa por\( P\) y\( Q\).

47) Determinar un vector de magnitud\( 10\) perpendicular al plano que pasa por el eje x y el punto\( P(1,2,4).\)

Contestar

\( ⟨0,±4\sqrt{5},2\sqrt{5}⟩\)

48) Determinar un vector unitario perpendicular al plano que pasa por el eje z y el punto\( A(3,1,−2).\)

49) Considerar\(\vecs u\) y\(\vecs v\) dos vectores tridimensionales. Si la magnitud del vector de producto cruzado\(\vecs u×\vecs v\) es\( k\) veces mayor que la magnitud del vector\(\vecs u\), mostrar que la magnitud de\(\vecs v\) es mayor o igual a\( k\), donde\( k\) es un número natural.

50) [T] Supongamos que las magnitudes de dos vectores distintos de cero\(\vecs u\) y\(\vecs v\) son conocidas. La función\( f(θ)=‖\vecs u‖‖\vecs v‖\sin θ\) define la magnitud del vector de producto cruzado\(\vecs u×\vecs v,\) donde\( θ∈[0,π]\) está el ángulo entre\(\vecs u\) y\(\vecs v\).

a. Grafique la función\( f\).

b. Encontrar el mínimo absoluto y el máximo de función\( f\). Interpretar los resultados.

c. Si\( ‖\vecs u‖=5\) y\( ‖\vecs v‖=2\), encontrar el ángulo entre\(\vecs u\) y\(\vecs v\) si la magnitud de su vector de producto cruzado es igual a\( 9\).

51) Encuentra todos los vectores\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) que satisfagan la ecuación\( ⟨1,1,1⟩×\vecs w=⟨−1,−1,2⟩.\) Pista: Deberías poder escribir todos los componentes de\(\vecs w\) en términos de una de las constantes\(w_1,w_2,\) o\(w_3\).

Contestar

Escribiendo todos los componentes en términos de la constante\(w_3\), una forma de representar estos vectores es:\(\vecs w=⟨w_3−1,w_3+1,w_3⟩,\) donde\( w_3\) está cualquier número real.
Tenga en cuenta que aquí podríamos usar cualquier parámetro que deseemos. Podríamos establecer\(w_3 = a\). Entonces también\(\vecs w=⟨a−1,a+1,a⟩\) representarían estos vectores.

52) Resolver la ecuación\(\vecs w×⟨1,0,−1⟩=⟨3,0,3⟩,\) donde\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) es un vector distinto de cero con una magnitud de\( 3\).

53) [T] Un mecánico usa una llave de 12 pulgadas para girar un perno. La llave hace un\( 30°\) ángulo con la horizontal. Si el mecánico aplica una fuerza vertical de\( 10\) lb en el mango de la llave, ¿cuál es la magnitud del par en el punto\( P\) (vea la siguiente figura)? Exprese la respuesta en pie-libras redondeadas a dos decimales.

Contestar

8.66 ft-lb

54) [T] Un niño aplica los frenos en una bicicleta aplicando una fuerza hacia abajo de 20 lb en el pedal cuando la manivela de 6 pulgadas forma un\( 40°\) ángulo con la horizontal (ver la siguiente figura). Encuentre el par en el punto\( P\). Exprese su respuesta en pie-libras redondeadas a dos decimales.

55) [T] Encuentra la magnitud de la fuerza que se necesita aplicar al extremo de una llave de 20 cm ubicada en la dirección positiva del\(y\) eje -si la fuerza se aplica en la dirección\( ⟨0,1,−2⟩\) y produce un par de\( 100\) N·m al perno ubicado en el origen.

Contestar

\(250\sqrt{5}\)N\(\approx 559\) N

56) [T] ¿Cuál es la magnitud de la fuerza requerida para ser aplicada al extremo de una llave de 1 pie en un ángulo de\( 35°\) para producir un par de\( 20\) N·m?

57) [T] El vector de fuerza\(\vecs F\) que actúa sobre un protón con una carga eléctrica de\( 1.6×10^{−19}\,C\) (en culombios) moviéndose en un campo magnético\(\vecs B\) donde el vector\(\vecs v\) de velocidad viene dado por\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (aquí,\(\vecs v\) se expresa en metros por segundo,\(\vecs B\) está en tesla [T], y\(\vecs F\) está en newtons [N]). Encuentra la fuerza que actúa sobre un protón que se mueve en el\(xy\) plano a velocidad\(\vecs v=10^5\mathbf{\hat i}+10^5\mathbf{\hat j}\) (en metros por segundo) en un campo magnético dado por\(\vecs B=0.3\mathbf{\hat j}\).

Contestar

\(\vecs F=4.8×10^{−15}\,kN\)

58) [T] El vector de fuerza\(\vecs F\) que actúa sobre un protón con una carga eléctrica de\( 1.6×10^{−19}\,C\) movimiento en un campo magnético\(\vecs B\) donde el vector\(\vecs v\) de velocidad viene dado por\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (aquí,\(\vecs v\) se expresa en metros por segundo,\(\vecs B\) en\( T\), y\(\vecs F\) en\( N\)). Si la magnitud de la fuerza\(\vecs F\) que actúa sobre un protón es\( 5.9×10^{−17}\,N\) y el protón se mueve a la velocidad de 300 m/seg en campo magnético\(\vecs B\) de magnitud 2.4 T, encuentra el ángulo entre el vector\(\vecs v\) de velocidad del protón y el campo magnético\(\vecs B\). Exprese la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.

59) [T] Considerar\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\,\sin t,\,2t⟩\) el vector de posición de una partícula en el tiempo\( t∈[0,30]\), donde los componentes de\(\vecs r\) se expresan en centímetros y el tiempo en segundos. Dejar\( \vecd{OP}\) ser el vector de posición de la partícula después de la\( 1\) sec.

a. Determinar el vector unitario\(\vecs B(t)\) (denominado vector unitario binormal) que tiene la dirección del vector de producto cruzado\(\vecs v(t)×\vecs a(t),\) donde\(\vecs v(t)\) y\(\vecs a(t)\) son el vector de velocidad instantánea y, respectivamente, el vector de aceleración de la partícula después de\( t\) segundos.

b. Usar un CAS para visualizar vectores\(\vecs v(1),\,\vecs a(1)\), y\(\vecs B(1)\) como vectores comenzando en el punto\( P\) junto con la trayectoria de la partícula.

Contestar

a.\(\vecs B(t)=⟨\frac{2\sqrt{5}\sin t}{5},−\frac{2\sqrt{5}\cos t}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}⟩;\)

b.

60) Un panel solar se monta en el techo de una casa. El panel puede ser considerado como posicionado en los puntos de coordenadas (en metros)\( A(8,0,0), B(8,18,0), C(0,18,8),\) y\( D(0,0,8)\) (ver la siguiente figura).

a. Encontrar vector\(\vecs n=\vecd{AB}×\vecd{AD}\) perpendicular a la superficie de los paneles solares. Exprese la respuesta usando vectores unitarios estándar. Tenga en cuenta que la magnitud de este vector debería darnos el área de rectángulo\(ABCD\).

b. Supongamos que el vector unitario\(\vecs s=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat k}\) apunta hacia el Sol a una hora determinada del día y el flujo de energía solar es\(\vecs F=900\vecs s\) (en vatios por metro cuadrado [\( W/m^2\)]). Encuentre la cantidad predicha de energía eléctrica que puede producir el panel, la cual viene dada por el producto puntual de los vectores\(\vecs F\) y\(\vecs n\) (expresada en vatios).

c. Determinar el ángulo de elevación del Sol sobre el panel solar. Exprese la respuesta en grados redondeados al número entero más cercano. (Pista: El ángulo entre vectores\(\vecs n\) y\(\vecs s\) y el ángulo de elevación son complementarios.)

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