12.7: Coordenadas cilíndricas y esféricas

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objetivos de aprendizaje

Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares.
Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas.
Convertir de coordenadas esféricas a rectangulares.
Convertir de coordenadas rectangulares a esféricas.

El sistema de coordenadas cartesianas proporciona una manera sencilla de describir la ubicación de los puntos en el espacio. Algunas superficies, sin embargo, pueden ser difíciles de modelar con ecuaciones basadas en el sistema cartesiano. Este es un problema familiar; recordemos que en dos dimensiones, las coordenadas polares a menudo proporcionan un sistema alternativo útil para describir la ubicación de un punto en el plano, particularmente en casos que involucran círculos. En esta sección, observamos dos formas diferentes de describir la ubicación de los puntos en el espacio, ambas basadas en extensiones de coordenadas polares. Como su nombre indica, las coordenadas cilíndricas son útiles para tratar problemas que involucran cilindros, como calcular el volumen de un tanque de agua redondo o la cantidad de aceite que fluye a través de una tubería. De igual manera, las coordenadas esféricas son útiles para tratar problemas que involucran esferas, como encontrar el volumen de estructuras abovedadas.

Coordenadas cilíndricas

Cuando expandimos el sistema tradicional de coordenadas cartesianas de dos dimensiones a tres, simplemente agregamos un nuevo eje para modelar la tercera dimensión. Comenzando con las coordenadas polares, podemos seguir este mismo proceso para crear un nuevo sistema de coordenadas tridimensional, llamado sistema de coordenadas cilíndricas. De esta manera, las coordenadas cilíndricas proporcionan una extensión natural de coordenadas polares a tres dimensiones.

Definición: El sistema de coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndrico, un punto en el espacio (Figura$\PageIndex{1}$) es representado por el triple ordenado$(r,θ,z)$, donde

$(r,θ)$son las coordenadas polares de la proyección del punto en el$xy$ plano
$z$es la coordenada habitual$z$ en el sistema de coordenadas cartesianas

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensionales. Hay un punto etiquetado como “(x, y, z) = (r, theta, z)”. En el plano x y, hay un segmento de línea que se extiende por debajo del punto. Este segmento de línea está etiquetado como “r”. El ángulo entre el segmento de línea y el eje x es theta. Hay un segmento de línea perpendicular al eje x. Junto con el segmento de línea etiquetado como r, este segmento de línea y el eje x forman un triángulo rectángulo. — Figura$\PageIndex{1}$: El triángulo rectángulo se encuentra en el$xy$ plano. La longitud de la hipotenusa$θ$ es$r$ y es la medida del ángulo formado por el$x$ eje positivo y la hipotenusa. La$z$ coordenada -describe la ubicación del punto por encima o por debajo del$xy$ plano.

En el$xy$ plano -plano, el triángulo rectángulo mostrado en la Figura$\PageIndex{1}$ proporciona la clave para la transformación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, o rectangulares.

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Las coordenadas rectangulares$(x,y,z)$ y las coordenadas cilíndricas$(r,θ,z)$ de un punto se relacionan de la siguiente manera:

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.

$x=r\cos θ$
$y=r\sin θ$
$z=z$

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

$r^2=x^2+y^2$
$\tan θ=\dfrac{y}{x}$
$z=z$

Al igual que cuando discutimos la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en dos dimensiones, cabe señalar que la ecuación$\tan θ=\dfrac{y}{x}$ tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, si restringimos$θ$ a valores entre$0$ y$2π$, entonces podemos encontrar una solución única basada en el cuadrante del $xy$-plano en el que$(x,y,z)$ se encuentra el punto original. Tenga en cuenta que si$x=0$, entonces el valor de$θ$ es$\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2},$ o$0$, dependiendo del valor de$y$.

Observe que estas ecuaciones se derivan de las propiedades de los triángulos rectos. Para que esto sea fácil de ver, considera punto$P$ en el $xy$plano -con coordenadas rectangulares$(x,y,0)$ y con coordenadas cilíndricas$(r,θ,0)$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$.

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares. Hay un punto etiquetado como “P = (x, y, 0) = (r, theta, 0)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto P. Este segmento de línea está etiquetado como “r”. El ángulo entre el eje x y el segmento de línea r se etiqueta “theta”. También hay un segmento de línea vertical etiquetado como “y” desde P hasta el eje x. Forma un triángulo rectángulo. — Figura$\PageIndex{2}$: El teorema de Pitágoras proporciona ecuación$r^2=x^2+y^2$. Las relaciones del triángulo rectángulo nos dicen eso$x=r\cos θ, y=r\sin θ,$ y$\tan θ=y/x.$

Consideremos las diferencias entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas observando las superficies generadas cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Si$c$ es una constante, entonces en coordenadas rectangulares, las superficies de la forma$x=c, y=c,$ o$z=c$ son todos planos. Los planos de estas formas son paralelos al$yz$ plano, al$xz$ plano y al$xy$ plano, respectivamente. Cuando convertimos a coordenadas cilíndricas, la$z$ coordenada -no cambia. Por lo tanto, en coordenadas cilíndricas, las superficies de la forma$z=c$ son planos paralelos al$xy$ plano. Ahora, pensemos en superficies de la forma$r=c$. Los puntos en estas superficies están a una distancia fija del$z$ eje. Es decir, estas superficies son cilindros circulares verticales. Por último, ¿qué pasa$θ=c$? Los puntos en una superficie de la forma$θ=c$ están en un ángulo fijo desde el$x$ eje -eje, lo que nos da un medio plano que comienza en el$z$ eje -eje (Figuras$\PageIndex{3}$ y$\PageIndex{4}$).

Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensionales. Es paralelo al plano y z donde x = c. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensionales. Es paralelo al plano x z donde y = c. la tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensionales donde z = c. — Figura$\PageIndex{3}$: En coordenadas rectangulares, (a) las superficies de la forma$x=c$ son planos paralelos al$yz$ plano, (b) las superficies de la forma$y=c$ son planos paralelos al$xz$ plano, y (c) las superficies de la forma$z=c$ son planos paralelos al$xy$ plano.

Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un cilindro circular derecho en el sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene el eje z en el medio. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensionales. Es vertical con el eje z en un borde. La tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensionales donde z = c. — Figura$\PageIndex{4}$: En coordenadas cilíndricas, (a) las superficies de la forma$r=c$ son cilindros verticales de radio$r$, (b) las superficies de la forma$θ=c$ son semiplanos en ángulo$θ$ desde el$x$ eje -y (c) las superficies de la forma$z=c$ son planos paralelos al$xy$ - avión.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Converting from Cylindrical to Rectangular Coordinates

Trace el punto con coordenadas cilíndricas$(4,\dfrac{2π}{3},−2)$ y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares.

Solución

La conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares requiere una simple aplicación de las ecuaciones enumeradas en Nota:

\[\begin{align*} x &=r\cos θ=4\cos\dfrac{2π}{3}=−2 \\[4pt] y &=r\sin θ=4\sin \dfrac{2π}{3}=2\sqrt{3} \\[4pt] z &=−2 \end{align*}. \nonumber \]

El punto con coordenadas cilíndricas$(4,\dfrac{2π}{3},−2)$ tiene coordenadas rectangulares$(−2,2\sqrt{3},−2)$ (Figura$\PageIndex{5}$).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un punto donde r = 4, z = -2 y theta = 2 pi /3. — Figura$\PageIndex{5}$: La proyección del punto en el$xy$ plano es de 4 unidades desde el origen. La línea desde el origen hasta la proyección del punto forma un ángulo$\dfrac{2π}{3}$ con el$x$ eje positivo. El punto se encuentra$2$ unidades por debajo del$xy$ plano.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$R$El punto tiene coordenadas cilíndricas$(5,\frac{π}{6},4)$. Trazar$R$ y describir su ubicación en el espacio utilizando coordenadas rectangulares o cartesianas.

Pista

Los dos primeros componentes coinciden con las coordenadas polares del punto en el $xy$plano.

Contestar

Las coordenadas rectangulares del punto son$(\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2},4).$

$Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensionales. Hay un punto etiquetado como “(5, pi/6, 4)”. El punto se encuentra por encima de un segmento de línea en el plano x y etiquetado como r = 5 que es pi/6 grados del eje x. La distancia desde el plano x y hasta el punto está etiquetada como “z = 4”.$

Si este proceso le parece familiar, es con buena razón. Este es exactamente el mismo proceso que seguimos en Introducción a Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares bidimensionales.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Converting from Rectangular to Cylindrical Coordinates

Convierta las coordenadas rectangulares$(1,−3,5)$ en coordenadas cilíndricas.

Solución

Utilice el segundo conjunto de ecuaciones de Note para traducir de coordenadas rectangulares a cilíndricas:

\[\begin{align*} r^2 &= x^2+y^2 \\[4pt] r &=±\sqrt{1^2+(−3)^2} \\[4pt] &= ±\sqrt{10}. \end{align*}\]

Elegimos la raíz cuadrada positiva, así que$r=\sqrt{10}$ .Ahora, aplicamos la fórmula para encontrar$θ$. En este caso,$y$ es negativo y$x$ es positivo, lo que significa que debemos seleccionar el valor de$θ$ entre$\dfrac{3π}{2}$ y$2π$:

\[\begin{align*} \tan θ &=\dfrac{y}{x} &=\dfrac{−3}{1} \\[4pt] θ &=\arctan(−3) &≈5.03\,\text{rad.} \end{align*}\]

En este caso, las coordenadas z son las mismas tanto en coordenadas rectangulares como cilíndricas:

\[ z=5. \nonumber \]

El punto con coordenadas rectangulares$(1,−3,5)$ tiene coordenadas cilíndricas aproximadamente iguales a$(\sqrt{10},5.03,5).$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Convertir punto$(−8,8,−7)$ de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.

Pista: $r^2=x^2+y^2$y$\tan θ=\frac{y}{x}$
Contestar: $(8\sqrt{2},\frac{3π}{4},−7)$

El uso de coordenadas cilíndricas es común en campos como la física. Los físicos que estudian las cargas eléctricas y los capacitores utilizados para almacenar estas cargas han descubierto que estos sistemas a veces tienen una simetría cilíndrica. Estos sistemas tienen complicadas ecuaciones de modelado en el sistema de coordenadas cartesianas, lo que los hace difíciles de describir y analizar. Las ecuaciones a menudo se pueden expresar en términos más simples usando coordenadas cilíndricas. Por ejemplo, el cilindro descrito por ecuación$x^2+y^2=25$ en el sistema cartesiano puede ser representado por ecuación cilíndrica$r=5$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Identifying Surfaces in the Cylindrical Coordinate System

Describir las superficies con las ecuaciones cilíndricas dadas.

$θ=\dfrac{π}{4}$
$r^2+z^2=9$
$z=r$

Solución

a. Cuando el ángulo$θ$ se mantiene constante mientras$r$ y$z$ se les permite variar, el resultado es un medio plano (Figura$\PageIndex{6}$).

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensionales. Hay un plano unido al eje z, dividiendo el plano x y con una línea diagonal. El ángulo entre el eje x y este plano es pi/4. — Figura$\PageIndex{6}$: En coordenadas polares, la ecuación$θ=π/4$ describe el rayo que se extiende diagonalmente a través del primer cuadrante. En tres dimensiones, esta misma ecuación describe un semiplano.

b. Sustituir$r^2=x^2+y^2$ en ecuación$r^2+z^2=9$ para expresar la forma rectangular de la ecuación:$x^2+y^2+z^2=9$. Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio 3 (Figura$\PageIndex{7}$).

Esta figura es una esfera. Tiene el eje z a través del centro verticalmente. El punto de intersección con el eje z y la esfera es (0, 0, 3). También está el eje y a través del centro de la esfera horizontalmente. La intersección de la esfera y el eje y es el punto (0, 3, 0). — Figura$\PageIndex{7}$: La esfera centrada en el origen con radio 3 se puede describir mediante la ecuación cilíndrica$r^2+z^2=9$.

c. Para describir la superficie definida por la ecuación$z=r$, es útil examinar trazas paralelas al$xy$ plano. Por ejemplo, la traza en plano$z=1$ es círculo$r=1$, la traza en plano$z=3$ es círculo$r=3$, y así sucesivamente. Cada traza es un círculo. A medida que$z$ aumenta el valor de, el radio del círculo también aumenta. La superficie resultante es un cono (Figura$\PageIndex{8}$).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un cono elíptico con el eje z hacia abajo en el centro. Los dos conos, uno del lado derecho hacia arriba y el otro al revés, se encuentran en el origen. — Figura$\PageIndex{8}$: Las trazas en planos paralelos al$xy$ plano son círculos. El radio de los círculos aumenta a medida que$z$ aumenta.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Describir la superficie con ecuación cilíndrica$r=6$.

Pista

Los$z$ componentes$θ$ y de los puntos en la superficie pueden tomar cualquier valor.

Contestar

Esta superficie es un cilindro con radio$6$.

$Esta figura es un cilindro circular derecho. Es vertical con el eje z a través del centro. Se encuentra en la parte superior del plano x y.$

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, se describe la ubicación de un punto en el espacio utilizando un triple ordenado en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndricas, se describe la ubicación de un punto en el espacio utilizando dos distancias$(r$$z)$ y una medida de ángulo$(θ)$. En el sistema de coordenadas esféricas, nuevamente utilizamos un triple ordenado para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, el triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, así como las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para coordenadas esféricas se basan en medidas de ángulo, como las de coordenadas polares.

Definición: sistema de coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto$P$ en el espacio (Figura$\PageIndex{9}$) es representado por el triple ordenado$(ρ,θ,φ)$ donde

$ρ$(la letra griega rho) es la distancia entre$P$ y el origen$(ρ≠0);$
$θ$es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas;
$φ$(la letra griega phi) es el ángulo formado por el$z$ eje positivo y el segmento de línea$\bar{OP}$, donde$O$ está el origen y$0≤φ≤π.$

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un punto etiquetado como “(x, y, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está etiquetado como “rho”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está etiquetado como “r”. El ángulo entre el eje x y r es theta. — Figura$\PageIndex{9}$: Relación entre coordenadas esféricas, rectangulares y cilíndricas.

Por convención, el origen se representa como$(0,0,0)$ en coordenadas esféricas.

COMO: Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Las coordenadas rectangulares$(x,y,z)$, cilíndricas$(r,θ,z),$ y esféricas$(ρ,θ,φ)$ de un punto se relacionan de la siguiente manera:

Convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares.

$x=ρ\sin φ\cos θ$
$y=ρ\sin φ\sin θ$
$z=ρ\cos φ$

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

$ρ^2=x^2+y^2+z^2$
$\tan θ=\dfrac{y}{x}$
$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}).$

Convertir de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.

$r=ρ\sin φ$
$θ=θ$
$z=ρ\cos φ$

Convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas.

$ρ=\sqrt{r^2+z^2}$
$θ=θ$
$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}})$

Las fórmulas para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares pueden parecer complejas, pero son aplicaciones sencillas de la trigonometría. Al mirar Figura, es fácil verlo$r=ρ \sin φ$. Entonces, mirando el triángulo en el$xy$ plano -con r como su hipotenusa, tenemos$x=r\cos θ=ρ\sin φ \cos θ$. La derivación de la fórmula para$y$ es similar. La figura también muestra que$ρ^2=r^2+z^2=x^2+y^2+z^2$ y$z=ρ\cos φ$. Resolviendo esta última ecuación$φ$ y luego sustituyendo$ρ=\sqrt{r^2+z^2}$ (de la primera ecuación) rendimientos$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}})$. También, tenga en cuenta que, como antes, debemos tener cuidado al usar la fórmula$\tan θ=\dfrac{y}{x}$ para elegir el valor correcto de$θ$.

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un punto etiquetado como “(x, y, z) = (r, theta, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está etiquetado como “rho”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está etiquetado como “r”. El ángulo entre el eje x y r es theta.La distancia de r al punto está etiquetada como “z”. — Figura$\PageIndex{10}$: Las ecuaciones que convierten de un sistema a otro se derivan de relaciones de triángulo rectángulo.

Como hicimos con las coordenadas cilíndricas, consideremos las superficies que se generan cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Dejar$c$ ser una constante, y considerar superficies de la forma$ρ=c$. Los puntos en estas superficies se encuentran a una distancia fija del origen y forman una esfera. La coordenada$θ$ en el sistema de coordenadas esféricas es la misma que en el sistema de coordenadas cilíndricas, por lo que las superficies de la forma$θ=c$ son semiplanos, como antes. Por último, considere las superficies de la forma$φ=0$. Los puntos en estas superficies están en un ángulo fijo desde el$z$ eje y forman un medio cono (Figura$\PageIndex{11}$).

Esta figura tiene tres imágenes. La primera imagen es una esfera centrada en el sistema de coordenadas tridimensionales. La segunda figura es un plano vertical con una arista en el eje z en el sistema de coordenadas tridimensionales. La tercera imagen es un cono elíptico con el centro en el origen del sistema de coordenadas tridimensionales. — Figura$\PageIndex{11}$: En coordenadas esféricas, las superficies de la forma$ρ=c$ son esferas de radio$ρ$ (a), las superficies de la forma$θ=c$ son semiplanos en ángulo$θ$ desde el$x$ eje -eje (b), y las superficies de la forma$ϕ=c$ son semicones en un ángulo$ϕ$ desde el $z$-eje (c).

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Converting from Spherical Coordinates

Trace el punto con coordenadas esféricas$(8,\dfrac{π}{3},\dfrac{π}{6})$ y exprese su ubicación tanto en coordenadas rectangulares como cilíndricas.

Solución

Utilice las ecuaciones de Note para traducir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura$\PageIndex{12}$):

\[ \begin{align*} x &=ρ\sin φ\cos θ \\[4pt] &=8 \sin(\dfrac{π}{6}) \cos(\dfrac{π}{3}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{2} \\[4pt] &=2 \\[4pt] y &=ρ\sin φ\sin θ \\[4pt] &= 8\sin(\dfrac{π}{6})\sin(\dfrac{π}{3}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] &= 2\sqrt{3} \\[4pt] z &=ρ\cos φ \\[4pt] &= 8\cos(\dfrac{π}{6}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \\[4pt] &= 4\sqrt{3} \end{align*}\]

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un punto etiquetado como “(8, pi/3, pi/6)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está etiquetado como “rho = 8”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z está etiquetado como “phi = pi/6". Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. El ángulo entre el eje x y r está etiquetado como “theta = pi/3". — Figura$\PageIndex{12}$: La proyección del punto en el$xy$ plano -es$4$ unidades desde el origen. La línea desde el origen hasta la proyección del punto forma un ángulo$π/3$ con el$x$ eje positivo. El punto se encuentra$4\sqrt{3}$ unidades por encima del$xy$ plano.

El punto con coordenadas esféricas$(8,\dfrac{π}{3},\dfrac{π}{6})$ tiene coordenadas rectangulares$(2,2\sqrt{3},4\sqrt{3}).$

Encontrar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

\[ \begin{align*} r&=ρ \sin φ \\[4pt] &= 8\sin \dfrac{π}{6} &=4 \\[4pt] θ&=θ \\[4pt] z&=ρ\cos φ\\[4pt] &= 8\cos\dfrac{π}{6} \\[4pt] &= 4\sqrt{3} .\end{align*}\]

Así, las coordenadas cilíndricas para el punto son$(4,\dfrac{π}{3},4\sqrt{3})$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Trace el punto con coordenadas esféricas$(2,−\frac{5π}{6},\frac{π}{6})$ y describa su ubicación tanto en coordenadas rectangulares como cilíndricas.

Pista

Convertir las coordenadas primero puede ayudar a encontrar la ubicación del punto en el espacio más fácilmente.

Contestar

Cartesiano:$(−\frac{\sqrt{3}}{2},−\frac{1}{2},\sqrt{3}),$ cilíndrico:$(1,−\frac{5π}{6},\sqrt{3})$

$Esta figura es del sistema de coordenadas tridimensionales. Tiene un punto. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto.El ángulo entre el eje x y rho es theta.$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Converting from Rectangular Coordinates

Convierta las coordenadas rectangulares en coordenadas$(−1,1,\sqrt{6})$ esféricas y cilíndricas.

Solución

Comience convirtiendo de coordenadas rectangulares a esféricas:

\[ \begin{align*} ρ^2 &=x^2+y^2+z^2=(−1)^2+1^2+(\sqrt{6})^2=8 \\[4pt] \tan θ &=\dfrac{1}{−1} \\[4pt] ρ&=2\sqrt{2} \text{ and }θ=\arctan(−1)=\dfrac{3π}{4}. \end{align*}\]

Porque$(x,y)=(−1,1)$, entonces la elección correcta para$θ$ es$\frac{3π}{4}$.

En realidad, hay dos formas de identificarse$φ$. Podemos usar la ecuación$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})$. Un enfoque más sencillo, sin embargo, es usar la ecuación$z=ρ\cos φ.$ Sabemos que$z=\sqrt{6}$ y$ρ=2\sqrt{2}$, entonces

$\sqrt{6}=2\sqrt{2}\cos φ,$por lo$\cos φ=\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

y por lo tanto$φ=\dfrac{π}{6}$. Las coordenadas esféricas del punto son$(2\sqrt{2},\dfrac{3π}{4},\dfrac{π}{6}).$

Para encontrar las coordenadas cilíndricas para el punto, solo necesitamos encontrar r:

$r=ρ\sin φ=2\sqrt{2}\sin(\dfrac{π}{6})=\sqrt{2}.$

Las coordenadas cilíndricas para el punto son$(\sqrt{2},\dfrac{3π}{4},\sqrt{6})$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Identifying Surfaces in the Spherical Coordinate System

Describir las superficies con las ecuaciones esféricas dadas.

$θ=\dfrac{π}{3}$
$φ=\dfrac{5π}{6}$
$ρ=6$
$ρ=\sin θ \sinφ$

Solución

a. La variable$θ$ representa la medida del mismo ángulo tanto en el sistema de coordenadas cilíndrico como en el esférico. Los puntos con coordenadas se$(ρ,\dfrac{π}{3},φ)$ encuentran en el plano que forma ángulo$θ=\dfrac{π}{3}$ con el$x$ eje positivo. Porque$ρ>0$, la superficie descrita por ecuación$θ=\dfrac{π}{3}$ es el semiplano que se muestra en la Figura$\PageIndex{13}$.

b. La ecuación$φ=\dfrac{5π}{6}$ describe todos los puntos del sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una línea desde el origen formando un ángulo que mide$\dfrac{5π}{6}$ rad con el$z$ eje positivo. Estos puntos forman un medio cono (Figura). Debido a que solo hay un valor para$φ$ eso se mide desde el$z$ eje positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas).

Esta figura es la parte superior de un cono elíptico. El punto inferior del cono está en el origen del sistema de coordenadas tridimensionales. — Figura$\PageIndex{14}$: La ecuación$φ=\dfrac{5π}{6}$ describe un cono.

Para encontrar la ecuación en coordenadas rectangulares, utilice la ecuación$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}).$

\[ \begin{align*} \dfrac{5π}{6} &=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \\[4pt] \cos\dfrac{5π}{6}&=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[4pt] −\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[4pt] \dfrac{3}{4} &=\dfrac{z^2}{x^2+y^2+z^2} \\[4pt] \dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}+\dfrac{3z^2}{4} &=z^2 \\[4pt] \dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}−\dfrac{z^2}{4} &=0. \end{align*}\]

Esta es la ecuación de un cono centrado en el$z$ eje.

c. La ecuación$ρ=6$ describe el conjunto de todas las$6$ unidades de puntos alejadas del origen, una esfera con radio$6$ (Figura$\PageIndex{15}$).

Esta figura es una esfera. El eje z es verticalmente a través del centro e interseca la esfera en (0, 0, 6). El eje y es horizontalmente a través del centro e interseca la esfera en (0, 6, 0). — Figura$\PageIndex{15}$: La ecuación$ρ=6$ describe una esfera con radio$6$.

d. Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, utilizando ecuaciones$y=ρsinφ\sin θ$ y$ρ^2=x^2+y^2+z^2:$

$ρ=\sin θ \sin φ$

$ρ^2=ρ\sin θ\sin φ$Multiplique ambos lados de la ecuación por$ρ$.

$x^2+y^2+z^2=y$Sustituir las variables rectangulares usando las ecuaciones anteriores.

$x^2+y^2−y+z^2=0$Restar$y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^2+y^2−y+\dfrac{1}{4}+z^2=\dfrac{1}{4}$Completa el cuadrado.

$x^2+(y−\dfrac{1}{2})^2+z^2=\dfrac{1}{4}$. Reescribe los términos medios como un cuadrado perfecto.

La ecuación describe una esfera centrada en un punto$(0,\dfrac{1}{2},0)$ con radio$\dfrac{1}{2}$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Describir las superficies definidas por las siguientes ecuaciones.

$ρ=13$
$θ=\dfrac{2π}{3}$
$φ=\dfrac{π}{4}$

Pista: Piense en lo que representa cada componente y lo que significa mantener ese componente constante.
Contestar a: Este es el conjunto de todas las$13$ unidades de puntos desde el origen. Este conjunto forma una esfera con radio$13$.
Respuesta b: Este conjunto de puntos forma un medio plano. El ángulo entre el medio plano y el$x$ eje positivo es$θ=\dfrac{2π}{3}.$
Respuesta c: Dejar$P$ ser un punto en esta superficie. El vector de posición de este punto forma un ángulo de$φ=\dfrac{π}{4}$ con el$z$ eje positivo, lo que significa que los puntos más cercanos al origen están más cerca del eje. Estos puntos forman un medio cono.

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría alrededor de un punto, como el volumen del espacio dentro de un estadio abovedado o las velocidades del viento en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene ecuación cartesiana$x^2+y^2+z^2=c^2$ tiene la ecuación simple$ρ=c$ en coordenadas esféricas.

En geografía, la latitud y la longitud se utilizan para describir las ubicaciones en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Figura. Aunque la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, utilizamos coordenadas esféricas para comunicar las ubicaciones de los puntos en la Tierra. Supongamos que la Tierra tiene la forma de una esfera con radio$4000$ mi. Expresamos medidas de ángulo en grados en lugar de radianes porque la latitud y la longitud se miden en grados.

Esta figura es una imagen de la Tierra. Tiene el meridiano principal etiquetado, que es un círculo en la superficie que circunnavega la Tierra verticalmente a través de los polos. También se etiqueta el ecuador que es un círculo horizontal que circunnavega la Tierra. Tres vectores se extienden desde el centro de la Tierra. Dos de ellos se extienden hasta el ecuador e indican una medida de longitud. Dos de ellos se extienden a un círculo polar vertical e indican una medida de latitud. — Figura$\PageIndex{16}$: En el sistema latitud—longitud, los ángulos describen la ubicación de un punto en la Tierra en relación con el ecuador y el meridiano principal.

Que el centro de la Tierra sea el centro de la esfera, con el rayo desde el centro a través del Polo Norte representando el$z$ eje positivo. El meridiano primo representa la traza de la superficie a medida que cruza el$xz$ plano. El ecuador es el rastro de la esfera que cruza el$xy$ plano.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Converting Latitude and Longitude to Spherical Coordinates

La latitud de Columbus, Ohio, es$40°$ N y la longitud es$83°$ W, lo que significa que Colón está$40°$ al norte del ecuador. Imagina un rayo desde el centro de la Tierra a través de Colón y un rayo desde el centro de la Tierra a través del ecuador directamente al sur de Colón. La medida del ángulo formado por los rayos es$40°$. De la misma manera, midiendo desde el meridiano principal, Colón yace$83°$ al oeste. Exprese la ubicación de Columbus en coordenadas esféricas.

Solución

El radio de la Tierra es$4000$ mi, entonces$ρ=4000$. La intersección del meridiano principal y el ecuador se encuentra en el$x$ eje positivo. El movimiento hacia el oeste se describe luego con medidas de ángulo negativas, lo que demuestra que$θ=−83°$, Debido a que Colón se encuentra$40°$ al norte del ecuador, se encuentra al$50°$ sur del Polo Norte, así$φ=50°$. En coordenadas esféricas, Colón se encuentra en el punto$(4000,−83°,50°).$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Sydney, Australia está en$34°S$ y$151°E.$ Express Sydney se encuentra en coordenadas esféricas.

Pista: Debido a que Sydney se encuentra al sur del ecuador, necesitamos$90°$ sumar para encontrar el ángulo medido desde el$z$ eje positivo.
Contestar: $(4000,151°,124°)$

Las coordenadas cilíndricas y esféricas nos dan la flexibilidad para seleccionar un sistema de coordenadas adecuado al problema que nos ocupa. Una elección reflexiva del sistema de coordenadas puede hacer que un problema sea mucho más fácil de resolver, mientras que una mala elección puede llevar a cálculos innecesariamente complejos. En el siguiente ejemplo, examinamos varios problemas diferentes y discutimos cómo seleccionar el mejor sistema de coordenadas para cada uno.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Choosing the Best Coordinate System

En cada una de las siguientes situaciones, determinamos qué sistema de coordenadas es el más apropiado y describimos cómo orientaríamos los ejes de coordenadas. Podría haber más de una respuesta correcta sobre cómo deben orientarse los ejes, pero seleccionamos una orientación que tenga sentido en el contexto del problema. Nota: No hay suficiente información para configurar o resolver estos problemas; simplemente seleccionamos el sistema de coordenadas (Figura$\PageIndex{17}$).

Encuentra el centro de gravedad de una bola de boliche.
Determinar la velocidad de un submarino sometido a una corriente oceánica.
Calcular la presión en un tanque de agua cónico.
Encuentra el volumen de petróleo que fluye a través de un oleoducto.
Determinar la cantidad de piel requerida para hacer una pelota de fútbol.

Esta cifra tiene 5 imágenes. En la primera imagen se muestran bolas de boliche. La segunda imagen es un submarino que viaja sobre una superficie oceánica. La tercera imagen es un cono de tráfico. La cuarta imagen es una pipline a través de algunas tierras áridas. La quinta imagen es un balón de fútbol. — Figura$\PageIndex{17}$: (crédito: (a) modificación de obra por scl hua, Wikimedia, (b) modificación de obra por DVIDSHUB, Flickr, (c) modificación de obra de Michael Malak, Wikimedia, (d) modificación de obra de Sean Mack, Wikimedia, (e) modificación de obra de Elvert Barnes, Flickr)

Solución

Claramente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas probablemente funcionarían mejor aquí. El origen debe ubicarse en el centro físico de la pelota. No hay una opción obvia de cómo deben orientarse los$z$ ejes$x$$y$ -, - y -ejes. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el$z$ eje con el eje de simetría del bloque de peso.
Un submarino generalmente se mueve en línea recta. No hay simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El$z$ eje -probablemente debería apuntar hacia arriba. Los$y$ ejes $x$- y -podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser alguna ubicación física conveniente, como la posición inicial del submarino o la ubicación de un puerto en particular.
Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono puede ser representado por la ecuación$z=kr,$ donde$k$ es una constante. En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma$φ=c$ son medio conos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuádricas y pueden ser representados por ecuaciones de la forma$z^2=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}.$ En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres. Sin embargo, la ecuación para la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que podríamos querer evitar esa elección. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que podría ser agradable tener un componente que represente la altura y la profundidad directamente. Con base en este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elija el $z$eje -para alinearse con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.
Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente elegiríamos orientar nuestro $z$eje con el eje central de la tubería. El$x$ eje -se podría elegir para apuntar recto hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse con base en la declaración del problema. Tenga en cuenta que esto pone el $z$eje -en una orientación horizontal, que es un poco diferente a lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.
Un balón tiene simetría rotacional alrededor de un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas funcionarían mejor. El$z$ eje -debe alinearse con el eje de la bola. El origen podría ser el centro de la bola o quizás uno de los extremos. La posición del$x$ eje -es arbitraria.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

¿Qué sistema de coordenadas es el más adecuado para crear un mapa estelar, visto desde la Tierra (ver la siguiente figura)?

$Esta figura es un círculo con una carta estelar en el medio.$

¿Cómo debemos orientar los ejes de coordenadas?

Pista: ¿Qué tipos de simetría están presentes en esta situación?
Contestar: Coordenadas esféricas con el origen ubicado en el centro de la tierra, el$z$ eje -alineado con el Polo Norte y el$x$ eje -alineado con el meridiano primo

Conceptos clave

En el sistema de coordenadas cilíndrico, un punto en el espacio está representado por el triple ordenado$(r,θ,z),$ donde$(r,θ)$ representa las coordenadas polares de la proyección del punto en el$xy$ plano -y z representa la proyección del punto sobre el$z$ eje -eje.
Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas, utilice ecuaciones$x=r\cos θ, y=r\sin θ,$ y$z=z.$
Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas, utilice ecuaciones$r^2=x^2+y^2, \tan θ=\dfrac{y}{x},$ y$z=z.$
En el sistema de coordenadas esféricas, un punto$P$ en el espacio está representado por el triple ordenado$(ρ,θ,φ)$, donde$ρ$ está la distancia entre$P$ y el origen$(ρ≠0), θ$ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas, y$φ$ es el ángulo formado por el $z$eje positivo y segmento de línea$\bar{OP}$, donde$O$ está el origen y$0≤φ≤π.$
Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas, utilice ecuaciones$x=ρ\sin φ\cos θ, y=ρ\sin φ\sin θ,$ y$z=ρ\cos φ.$
Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, utilice ecuaciones$ρ^2=x^2+y^2+z^2, \tan θ=\dfrac{y}{x},$ y$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})$.
Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas, utilice ecuaciones$r=ρ\sin φ, θ=θ,$ y$z=ρ\cos φ.$
Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas, utilice ecuaciones$ρ=\sqrt{r^2+z^2}, θ=θ,$ y$φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}).$

Glosario

sistema de coordenadas cilíndricas: una manera de describir una ubicación en el espacio con un triple ordenado$(r,θ,z),$ donde$(r,θ)$ representa las coordenadas polares de la proyección del punto en el$xy$ plano y z representa la proyección del punto sobre el$z$ eje -eje

sistema de coordenadas esféricas: una manera de describir una ubicación en el espacio con un triple ordenado$(ρ,θ,φ),$ donde$ρ$ está la distancia entre$P$ y el origen$(ρ≠0), θ$ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas, y$φ$ es el ángulo formado por el$z$ eje positivo y la línea segmento$\bar{OP}$, donde$O$ es el origen y$0≤φ≤π$

Colaboradores y Atribuciones

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Definición: El sistema de coordenadas cilíndricas

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Converting from Cylindrical to Rectangular Coordinates

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Converting from Rectangular to Cylindrical Coordinates

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Identifying Surfaces in the Cylindrical Coordinate System

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Definición: sistema de coordenadas esféricas

COMO: Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Converting from Spherical Coordinates

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Converting from Rectangular Coordinates

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Identifying Surfaces in the Spherical Coordinate System

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Converting Latitude and Longitude to Spherical Coordinates

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Choosing the Best Coordinate System

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)