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# 13.1: Funciones Vectoriales y Curvas Espaciales

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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##### Objetivos de aprendizaje
• Escriba la ecuación general de una función de valor vectorial en forma de componente y forma de unidad-vector.
• Reconocer ecuaciones paramétricas para una curva espacial.
• Describir la forma de una hélice y escribir su ecuación.
• Definir el límite de una función con valor vectorial.

Nuestro estudio de las funciones vectoriales combina ideas de nuestro examen anterior del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. En esta sección, ampliamos conceptos de capítulos anteriores y también examinamos nuevas ideas sobre curvas en el espacio tridimensional. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación de material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.

## Definición de una función valorada por vector

Nuestro primer paso para estudiar el cálculo de las funciones vectoriales es definir qué es exactamente una función valorada por vector. Luego podemos mirar gráficos de funciones vectoriales y ver cómo definen curvas tanto en dos como en tres dimensiones.

##### Definición: Funciones con valor vectorial

Una función de valor vectorial es una función de la forma

$\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}} \; \; \text{or} \; \;\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}}+h(t)\,\hat{\mathbf{k}}, \nonumber$

donde las funciones de componente$$f$$$$g$$, y$$h$$, son funciones de valor real del parámetro$$t$$. Las funciones con valores vectoriales también se escriben en la forma

$\vecs r(t)=⟨f(t),\,g(t)⟩ \; \; \text{or} \; \; \vecs r(t)=⟨f(t),\,g(t),\,h(t)⟩. \nonumber$

En ambos casos, la primera forma de la función define una función bidimensional valorada por vector; la segunda forma describe una función tridimensional valorada por vector.

El parámetro$$t$$ puede estar entre dos números reales:$$a≤t≤b$$. Otra posibilidad es que el valor de$$t$$ pueda asumir todos los números reales. Por último, las propias funciones del componente pueden tener restricciones de dominio que hacen cumplir restricciones sobre el valor de$$t$$. A menudo usamos$$t$$ como parámetro porque$$t$$ puede representar el tiempo.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Evaluating Vector-Valued Functions and Determining Domains

Para cada una de las siguientes funciones vectoriales, evaluar$$\vecs r(0)$$$$\vecs r(\frac{\pi}{2})$$, y$$\vecs r(\frac{2\pi}{3})$$. ¿Alguna de estas funciones tiene restricciones de dominio?

1. $$\vecs r(t)=4\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+3\sin t\,\hat{\mathbf{j}}$$
2. $$\vecs r(t)=3\tan t\,\hat{\mathbf{i}}+4 \sec t\,\hat{\mathbf{j}}+5t\,\hat{\mathbf{k}}$$

Solución

1. Para calcular cada uno de los valores de función, sustituya el valor apropiado de$$t$$ en la función:

\ begin {align*}\ vecs r (0)\; = 4\ cos (0)\ hat {\ mathbf {i}} +3\ sin (0)\ hat {\ mathbf {j}}\\ [4pt] =4\ hat {\ mathbf {i}} +0\ hat {\ mathbf {j}} =4\ hat {\ mathbf {i}}\ [4pt]\ vecs r\ izquierda (\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\; = 4\ cos\ izquierda (\ frac {π} {2}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {i}} +3\ sin\ izquierda (\ frac {π} {2}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {j}}\\ [4pt] = 0\ hat {\ mathbf bf {i}} + 3\ hat {\ mathbf {j}} =3\ hat {\ mathbf {j}}\\ [4pt]\ vecs r\ left (\ frac {2\ pi} {3}\ derecha)\; =4\ cos\ izquierda (\ frac {2π} {3}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {i}} +3\ sin\ izquierda (\ frac {2π} {3}\ derecha)\ hat {\ mathbf {j}}\\ [4pt] =4\ izquierda (−\ tfrac {1} {2}\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} +3\ izquierda (\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}\ derecha)\ hat {\ mathbf {j}} =−2\ hat {\ mathbf {i}} +\ tfrac {3\ sqrt {3}} {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ end {align*}

Para determinar si esta función tiene alguna restricción de dominio, considere las funciones componentes por separado. La función del primer componente es$$f(t)=4 \cos t$$ y la segunda función componente es$$g(t)=3\sin t$$. Ninguna de estas funciones tiene restricción de dominio, por lo que el dominio de$$\vecs r(t)=4\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$ es todo números reales.
2. Para calcular cada uno de los valores de función, sustituya el valor apropiado de t en la función:\begin{align*}\vecs r(0) \; = 3\tan(0)\hat{\mathbf{i}}+4\sec(0) \hat{\mathbf{j}}+5(0) \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] = 0\hat{\mathbf{i}}+4j+0 \hat{\mathbf{k}}=4 \hat{\mathbf{j}} \\[4pt] \vecs r\left(\frac{\pi}{2}\right) \; = 3\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{i}}+4\sec\left(\frac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{j}}+5\left(\frac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{k}},\,\text{which does not exist} \\[4pt] \vecs r\left(\frac{2\pi}{3}\right) \; =3\tan\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\hat{\mathbf{i}}+4\sec\left(\frac{2\pi}{3}\right) \hat{\mathbf{j}}+5\left(\frac{2\pi}{ 3}\right) \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] =3(−\sqrt{3})\hat{\mathbf{i}}+4(−2)\hat{\mathbf{j}}+\frac{10π}{3} \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] =(-3\sqrt{3})\hat{\mathbf{i}}−8\hat{\mathbf{j}}+\frac{10π}{3} \hat{\mathbf{k}}\end{align*} Para determinar si esta función tiene alguna restricción de dominio, considere las funciones componentes por separado. La función del primer componente es$$f(t)=3\tan t$$, la segunda función componente es$$g(t)=4\sec t$$, y la tercera función componente es$$h(t)=5t$$. Las dos primeras funciones no están definidas para múltiplos impares de$$\frac{\pi}{2}$$, por lo que la función no se define para múltiplos impares de$$\frac{\pi}{2}$$. Por lo tanto,$\text{D}_{\vecs r}=\Big\{t\,|\,t≠ \frac{(2n+1)\pi}{2}\Big\},\nonumber$ donde$$n$$ está cualquier entero.
##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Para la función vectorizada$$\vecs r(t)=(t^2−3t) \,\hat{\mathbf{i}}+(4t+1) \,\hat{\mathbf{j}}$$, evaluar$$\vecs r(0),\, \vecs r(1)$$, y$$\vecs r(−4)$$. ¿Esta función tiene alguna restricción de dominio?

Pista

Sustituir los valores apropiados de$$t$$ en la función.

Responder

$$\vecs r(0) = \hat{\mathbf{j}},\, \vecs r(1)=−2 \hat{\mathbf{i}}+5 \hat{\mathbf{j}},\, \vecs r(−4)=28 \hat{\mathbf{i}}−15 \hat{\mathbf{j}}$$

El dominio de$$\vecs r(t)=(t^2−3t)\hat{\mathbf{i}}+(4t+1)\hat{\mathbf{j}}$$ es todo números reales.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$ ilustra un concepto importante. El dominio de una función vectorizada consiste en números reales. El dominio puede ser todos números reales o un subconjunto de los números reales. El rango de una función con valor vectorial consiste en vectores. Cada número real en el dominio de una función de valor vectorial se mapea a un vector de dos o tres dimensiones.

## Gráfica de funciones valoradas por vectores

Recordemos que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto en el plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección específica para una distancia específica, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto terminal del vector. Calculamos los componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar una función con valor vectorial, normalmente graficamos los vectores en el dominio de la función en posición estándar, ya que al hacerlo se garantiza la singularidad de la gráfica. Esta convención también se aplica a las gráficas de funciones tridimensionales con valores vectoriales. La gráfica de una función vectorizada de la forma

$\vecs r(t)=f(t)\, \hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}} \nonumber$

consiste en el conjunto de todos los puntos$$(f(t),\,g(t))$$, y el camino que traza se denomina curva plana. La gráfica de una función vectorizada de la forma

$\vecs r(t)=f(t) \,\hat{\mathbf{i}}+g(t) \,\hat{\mathbf{j}}+h(t) \,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

consiste en el conjunto de todos los puntos$$(f(t),\,g(t),\,h(t))$$, y el camino que traza se denomina curva espacial. Cualquier representación de una curva plana o curva espacial usando una función de valor vectorial se denomina parametrización vectorial de la curva.

Cada curva plana y curva espacial tiene una orientación, indicada por flechas dibujadas en la curva, que muestra la dirección del movimiento a lo largo de la curva a medida que$$t$$ aumenta el valor del parámetro.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$ : Graphing a Vector-Valued Function

Crea una gráfica de cada una de las siguientes funciones vectoriales:

1. La curva plana representada por$$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤2\pi$$
2. La curva plana representada por$$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$$
3. La curva espacial representada por$$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$,$$0≤t≤4\pi$$

Solución

1. Al igual que con cualquier gráfica, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna de la tabla en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura$$\PageIndex{1}$$). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Tabla de Valores para$$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤2\pi$$
$$t$$ $$\vecs r(t)$$ $$t$$ $$\vecs r(t)$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$0$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$4\hat{\mathbf{i}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\pi$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$-4\hat{\mathbf{i}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{5\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$-2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{\pi}{2}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{3\hat{\mathbf{j}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{3\pi}{2}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{-3\hat{\mathbf{j}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{3\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$-2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{7\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$2\pi$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$4\hat{\mathbf{i}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; "> \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">

2. La tabla de valores para$$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$$ es la siguiente:

Tabla de Valores para$$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$$
$$t$$ $$\vecs r(t)$$ $$t$$ $$\vecs r(t)$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$0$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle\sqrt[3]{\pi}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{-4\hat{\mathbf{i}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{\pi}{4}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{5\pi}{4}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{\pi}{2}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{3\hat{\mathbf{j}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{2}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{-3\hat{\mathbf{j}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{4}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{7\pi}{4}}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\displaystyle\sqrt[3]{2\pi}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; "> \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">

La gráfica de esta curva es también una elipse centrada en el origen.

3. Pasamos por el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.

Tabla de Valores para$$\mathrm{r(t)= 4 \cos t \hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \hat{\mathbf{j}}+t \hat{\mathbf{k}}}$$,$$\mathrm{0≤t≤4\pi}$$
$$t$$ $$\vecs r(t)$$ $$t$$ $$\vecs r(t)$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{0}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{\pi}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{-4\hat{\mathbf{i}}}+ \pi \hat{\mathbf{k}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{5\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{5\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{\pi}{2}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{4\hat{\mathbf{j}} +\frac{\pi}{2} \hat{\mathbf{k}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{3\pi}{2}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{-4\hat{\mathbf{j}} +\frac{3\pi}{2} \hat{\mathbf{k}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{3\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{3\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{7\pi}{4}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{7\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$$
\ (t\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{2\pi}$$ \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">$$\mathrm{4\hat{\mathbf{j}} + 2\pi \hat{\mathbf{k}}}$$ \ (t\)” style="vertical-align:middle; "> \ (\ vecs r (t)\)” style="vertical-align:middle; ">

Los valores luego se repiten, salvo por el hecho de que el coeficiente de siempre$$\hat{\mathbf{k}}$$ está aumentando ($$\PageIndex{3}$$). Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina el$$\hat{\mathbf{k}}$$ componente, entonces la función se convierte$$\vecs r(t)=4\cos t \hat{\mathbf{i}}+ 4\sin t \hat{\mathbf{j}}$$, que es un círculo de radio 4 centrado en el origen.

Podrán notar que las gráficas en las partes a. y b. son idénticas. Esto sucede porque la función que describe la curva b es una llamada reparameterización de la función que describe la curva a. de hecho, cualquier curva tiene un número infinito de reparameterizaciones; por ejemplo, podemos reemplazarla$$t$$ con$$2t$$ en cualquiera de las tres curvas anteriores sin cambiar la forma de la curva. El intervalo sobre el que$$t$$ se define puede cambiar, pero eso es todo. Volvemos a esta idea más adelante en este capítulo cuando estudiamos la parametrización de longitud de arco. Como se mencionó, el nombre de la forma de la curva de la gráfica en$$\PageIndex{3}$$ es una hélice. La curva se asemeja a un resorte, con una sección transversal circular mirando hacia abajo a lo largo del$$z$$ eje. También es posible que una hélice sea elíptica en sección transversal. Por ejemplo, la función con valor vectorial$$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$ describe una hélice elíptica. La proyección de esta hélice en el$$xy$$ plano es una elipse. Por último, las flechas en la gráfica de esta hélice indican la orientación de la curva a medida$$t$$ que avanza de$$0$$ a$$4π$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Crear una gráfica de la función vectorizada$$\vecs r(t)=(t^2−1)\hat{\mathbf{i}}+(2t−3) \hat{\mathbf{j}}$$,$$0≤t≤3$$.

Pista

Comienza haciendo una tabla de valores, luego grafica los vectores para cada valor de$$t$$.

Responder

En este punto, puede notar una similitud entre las funciones con valores vectoriales y las curvas parametrizadas. En efecto, dada una función vectorizada$$\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}}$$ podemos definir$$x=f(t)$$ y$$y=g(t)$$. Si existe una restricción en los valores de$$t$$ (por ejemplo,$$t$$ se restringe al intervalo$$[a,b]$$ para algunas constantes$$a<b$$, entonces esta restricción se aplica al parámetro. La gráfica de la función parametrizada estaría entonces de acuerdo con la gráfica de la función de valor vectorial, excepto que la gráfica con valor vectorial representaría vectores en lugar de puntos. Dado que podemos parametrizar una curva definida por una función$$y=f(x)$$, también es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.

## Límites y Continuidad de una Función Vectorial

Ahora echamos un vistazo al límite de una función valorada por vector. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de las funciones valoradas por vectores.

##### Definición: límite de una función valorada por vector

Una función vectorizada$$\vecs r$$ se acerca al límite a$$\vecs L$$ medida que se$$t$$ aproxima$$a$$, escrita

$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs L, \nonumber$

siempre

$\lim \limits_{t \to a} \big\| \vecs r(t) - \vecs L \big\| = 0. \nonumber$

Esta es una definición rigurosa del límite de una función valorada por vector. En la práctica, utilizamos el siguiente teorema:

##### Teorema: Límite de una función de valor vectorial

Dejar$$f$$,$$g$$, y$$h$$ ser funciones de$$t$$. Luego, el límite de la función de valor vectorial a$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$$ medida que t se acerca a está dado por

$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} , \label{Th1}$

siempre que los límites$$\lim \limits_{t \to a} f(t)$$ y$$\lim \limits_{t \to a} g(t)$$ existan.

Del mismo modo, el límite de la función vectorizada$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$$ como$$t$$ enfoques$$a$$ viene dado por

$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} +[\lim \limits_{t \to a} h(t)] \hat{\mathbf{k}} , \label{Th2}$

siempre que los límites$$\lim \limits_{t \to a} f(t)$$,$$\lim \limits_{t \to a} g(t)$$ y$$\lim \limits_{t \to a} h(t)$$ existan.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo calcular el límite de una función con valor vectorial.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Evaluating the Limit of a Vector-Valued Function

Para cada una de las siguientes funciones vectoriales, calcule$$\lim \limits_{t \to 3}\vecs r(t)$$ para

1. $$\vecs r(t)=(t^2−3t+4) \hat{\mathbf{i}}+(4t+3)\hat{\mathbf{j}}$$
2. $$\vecs r(t)=\frac{2t−4}{t+1}\hat{\mathbf{i}}+\frac{t}{t^2+1} \hat{\mathbf{j}}+(4t−3) \hat{\mathbf{k}}$$

Solución

1. Utilice la ecuación\ ref {Th1} y sustituya el valor$$t=3$$ en las dos expresiones componentes:

\begin{align*} \lim \limits_{t \to 3} \vecs r(t) \; = \lim \limits_{t \to 3} \left[(t^2−3t+4) \hat{\mathbf{i}} + (4t+3) \hat{\mathbf{j}}\right] \\[4pt] = \left[\lim \limits_{t \to 3} (t^2−3t+4)\right]\hat{\mathbf{i}}+\left[\lim \limits_{t \to 3} (4t+3)\right] \hat{\mathbf{j}} \\[4pt] = 4 \hat{\mathbf{i}}+15 \hat{\mathbf{j}} \end{align*}

1. Utilice la ecuación\ ref {Th2} y sustituya el valor$$t=3$$ en las tres expresiones componentes:

\begin{align*} \lim \limits_{t \to 3} \vecs r(t) \; = \lim \limits_{t \to 3}\left(\dfrac{2t−4}{t+1}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{t}{t^2+1}\hat{\mathbf{j}}+(4t−3) \hat{\mathbf{k}}\right) \\[4pt] = \left[\lim \limits_{t \to 3} \left(\dfrac{2t−4}{t+1}\right)\right]\hat{\mathbf{i}}+\left[\lim \limits_{t \to 3} \left(\dfrac{t}{t^2+1}\right)\right] \hat{\mathbf{j}} +\left[\lim \limits_{t \to 3} (4t−3)\right] \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] = \tfrac{1}{2} \hat{\mathbf{i}}+\tfrac{3}{10}\hat{\mathbf{j}}+9 \hat{\mathbf{k}} \end{align*}

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Calcular$$\lim \limits_{t \to 2} \vecs r(t)$$ para la función$$\vecs r(t) = \sqrt{t^2 + 3t - 1}\,\hat{\mathbf{i}}−(4t-3)\hat{\mathbf{j}}− \sin \frac{(t+1)\pi}{2}\hat{\mathbf{k}}$$

Pista

Utilice la ecuación\ ref {Th2} del teorema anterior.

Responder

$\lim \limits_{t \to 2} \vecs r(t) = 3\hat{\mathbf{i}}−5\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

Ahora que sabemos calcular el límite de una función valorada por vector, podemos definir continuidad en un punto para tal función.

##### Definiciones

Dejar$$f$$,$$g$$, y$$h$$ ser funciones de$$t$$. Entonces, la función de valor vectorial$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$$ es continua en el punto$$t=a$$ si se mantienen las siguientes tres condiciones:

1. $$\vecs r(a)$$existe
2. $$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t)$$existe
3. $$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs r(a)$$

Del mismo modo, la función de valor vectorial$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$$ es continua en el punto$$t=a$$ si se mantienen las siguientes tres condiciones:

1. $$\vecs r(a)$$existe
2. $$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t)$$existe
3. $$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs r(a)$$

#### Resumen

• Una función de valor vectorial es una función de la forma$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+ g(t) \hat{\mathbf{j}}$$ o$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$$, donde las funciones del componente$$f$$,$$g$$, y$$h$$ son funciones de valor real del parámetro$$t$$.
• La gráfica de una función vectorizada de la forma$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$$ se denomina curva plana. La gráfica de una función vectorizada de la forma$$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$$ se denomina curva espacial.
• Es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.
• Para calcular el límite de una función de valor vectorial, calcule los límites de las funciones componentes por separado.

#### Ecuaciones Clave

• Función con valor vectorial
$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$$ o$$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$$, o$$\vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩$$ o$$\vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$$
• Límite de una función con valor vectorial
$$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}}$$ o$$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} + [\lim \limits_{t \to a} h(t)] \hat{\mathbf{k}}$$

## Glosario

funciones de componentes
las funciones componentes de la función con valor vectorial$$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$$ son$$f(t)$$ y$$g(t)$$, y las funciones componentes de la función valorada por vector$$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$$ son$$f(t)$$,$$g(t)$$ y$$h(t)$$
hélice
una curva tridimensional en forma de espiral
límite de una función con valor vectorial
una función de valor vectorial$$\vecs r(t)$$ tiene un límite$$\vecs L$$ como se$$t$$ acerca$$a$$ si$$\lim \limits{t \to a} \left| \vecs r(t) - \vecs L \right| = 0$$
curva de plano
el conjunto de pares ordenados$$(f(t),g(t))$$ junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias$$x=f(t)$$ y$$y=g(t)$$
reparameterización
una parametrización alternativa de una función de valor vectorial dada
curva de espacio
el conjunto de triples ordenados$$(f(t),g(t),h(t))$$ junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias$$x=f(t)$$,$$y=g(t)$$ y$$z=h(t)$$
parametrización vectorial
cualquier representación de una curva de plano o espacio usando una función de valor vectorial
una función de la forma$$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$$ o$$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$$, donde el componente funciona$$f$$,$$g$$, y$$h$$ son funciones de valor real del parámetro$$t$$.