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# 13.3E: Ejercicios para la Sección 13.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Determinación de la longitud del arco

En las preguntas 1 a 5, encuentra la longitud del arco de la curva en el intervalo dado.

1)$$\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+(2t^2+1)\,\hat{\mathbf{j}}, \quad 1≤t≤3$$

Responder
$$8\sqrt{5}$$unidades

2)$$\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+14t \,\hat{\mathbf{j}},\quad 0≤t≤7$$. Esta parte de la gráfica se muestra aquí:

3)$$\vecs r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩, \quad −1≤t≤0$$

Responder
$$\frac{1}{54}(37^{3/2}−1)$$unidades

4)$$\vecs r(t)=⟨2 \sin t,5t,2 \cos t⟩,\quad 0≤t≤π$$. Esta parte de la gráfica se muestra aquí:

5)$$\vecs r(t)=⟨e^{−t \cos t},e^{−t \sin t}⟩$$ en el intervalo$$[0,\frac{π}{2}]$$. Aquí está la porción de la gráfica en el intervalo indicado:

6) Configura una integral para representar la longitud del arco de$$t = 0$$ a$$t = 2$$ lo largo de la curva trazada por$$\vecs r(t) = \langle t, \, t^4\rangle.$$ Luego usa la tecnología para aproximar esta longitud a la milésima de unidad más cercana.

7) Encuentra la longitud de una vuelta de la hélice dada por$$\vecs r(t)= \frac{1}{2} \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+\frac{1}{2} \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,t \,\hat{\mathbf{k}}$$.

Responder
$$=2π$$Unidades de longitud

8) Encuentra la longitud del arco de la función valorada por vector$$\vecs r(t)=−t \,\hat{\mathbf{i}}+4t \,\hat{\mathbf{j}}+3t \,\hat{\mathbf{k}}$$ sobre$$[0,1]$$.

9) Una partícula viaja en círculo con la ecuación de movimiento$$\vecs r(t)=3 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}} +0 \,\hat{\mathbf{k}}$$. Encuentra la distancia recorrida alrededor del círculo por la partícula.

Responder
$$6π$$unidades

10) Establecer una integral para encontrar la circunferencia de la elipse con la ecuación$$\vecs r(t)= \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}$$.

11) Encuentra la longitud de la curva$$\vecs r(t)=⟨\sqrt{2}t,\, e^t, \, e^{−t}⟩$$ a lo largo del intervalo$$0≤t≤1$$. El gráfico se muestra aquí:

Responder
$$\left(e−\frac{1}{e}\right)$$unidades

12) Encuentra la longitud de la curva$$\vecs r(t)=⟨2 \sin t, \, 5t, \, 2 \cos t⟩$$ para$$t∈[−10,10]$$.

## Vectores de tangentes unitarios y vectores normales unitarios

13) La función de posición para una partícula es$$\vecs r(t)=a \cos( ωt) \,\hat{\mathbf{i}}+b \sin (ωt) \,\hat{\mathbf{j}}$$. Encuentre el vector tangente unitario y el vector normal unitario en$$t=0$$.

Solución:
\ (\ begin {align*}\ vecs r' (t) &= -aω\ sin (ωt)\,\ hat {\ mathbf {i}} +bω\ cos (ωt)\,\ hat {\ mathbf {j}}\\ [5pt]
\ |\ vecs r' (t)\ | &=\ sqrt {a^2 ω^2\ sin^2 (ωt) +b^2ω^2\ cos^2 (ωt)}\\ [5pt]
\ vecs T (t) &=\ dfrac {\ vecs r' (t)} {\ |\ vecs r' (t)\ |} =\ dfrac {-aω\ sin (ωt)\,\ hat {\ mathbf {i}} +bω\ cos (ωt)\,\ hat {\ mathbf {j}}} {\ sqrt {a^2 ω^2\ sin^2 (ωt) +b^2ω^2\ cos^2 (ωt)}}\\ [5pt]
\ vecs T (0) &=\ dfrac {bω\,\ hat {\ mathbf {j}}} {\ sqrt {(bω) ^2}} =\ dfrac {bω\,\ hat {\ mathbf {j}}} {|bω|}\ end {align*}\)

Si$$bω > 0, \; \vecs T(0) = \hat{\mathbf{j}},$$ y si$$bω < 0, \; T(0)= -\hat{\mathbf{j}}$$
Responder
Si$$bω > 0, \; \vecs T(0)= \hat{\mathbf{j}},$$ y si$$bω < 0, \; \vecs T(0)= -\hat{\mathbf{j}}$$

Si$$a > 0, \; \vecs N(0)= -\hat{\mathbf{i}},$$ y si$$a < 0, \; \vecs N(0)= \hat{\mathbf{i}}$$

14) Dado$$\vecs r(t)=a \cos (ωt) \,\hat{\mathbf{i}} +b \sin (ωt) \,\hat{\mathbf{j}}$$, encontrar el vector binormal$$\vecs B(0)$$.

15) Dado$$\vecs r(t)=⟨2e^t,e^t \cos t,e^t \sin t⟩$$, determinar el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$.

Responder
\ (\ begin {align*}\ vecs T (t) &=\ izquierda\ langle\ frac {2} {\ sqrt {6}},\,\ frac {\ cos t−\ sin t} {\ sqrt {6}},\,\ frac {\ cos t+\ sin t} {\ sqrt {6}}\ derecha\ rangle\\ [4pt]
=\ izquierda\ langle\ frac {\ sqrt {6}} {3},\,\ frac {\ sqrt {6}} {6} (\ cos t−\ sin t),\,\ frac {\ sqrt {6}} {6} (\ cos t+\ sin t)\ derecha\ rangle\ final { alinear*}\)

16) Dado$$\vecs r(t)=⟨2e^t,\, e^t \cos t,\, e^t \sin t⟩$$, encontrar el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$ evaluado en$$t=0$$,$$\vecs T(0)$$.

17) Dado$$\vecs r(t)=⟨2e^t,\, e^t \cos t,\, e^t \sin t⟩$$, determinar el vector normal unitario$$\vecs N(t)$$.

Responder
$$\vecs N(t)=⟨0,\, -\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin t + \cos t), \, \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos t- \sin t)⟩$$

18) Dado$$\vecs r(t)=⟨2e^t,\, e^t \cos t,\, e^t \sin t⟩$$, encontrar el vector normal unitario$$\vecs N(t)$$ evaluado en$$t=0$$,$$\vecs N(0)$$.

Responder
$$\vecs N(0)=⟨0, \;-\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$$

19) Dado$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$, encontrar el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$. El gráfico se muestra aquí:

Responder
$$\vecs T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>$$

20) Encuentre el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$ y el vector normal unitario$$\vecs N(t)$$ en$$t=0$$ para la curva plana$$\vecs r(t)=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩$$. El gráfico se muestra aquí:

21) Encuentra el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$ para$$\vecs r(t)=3t \,\hat{\mathbf{i}}+5t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+2t \,\hat{\mathbf{k}}$$.

Responder
$$\vecs T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{100t^2+13}}(3 \,\hat{\mathbf{i}}+10t \,\hat{\mathbf{j}}+2 \,\hat{\mathbf{k}})$$

22) Encontrar el vector normal principal a la curva$$\vecs r(t)=⟨6 \cos t,6 \sin t⟩$$ en el punto determinado por$$t=\frac{π}{3}$$.

23) Encuentra$$\vecs T(t)$$ para la curva$$\vecs r(t)=(t^3−4t) \,\hat{\mathbf{i}}+(5t^2−2) \,\hat{\mathbf{j}}$$.

Responder
$$\vecs T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{9t^4+76t^2+16}}\big((3t^2−4)\,\hat{\mathbf{i}}+10t \,\hat{\mathbf{j}}\big)$$

24) Encuentra$$\vecs N(t)$$ para la curva$$\vecs r(t)=(t^3−4t)\,\hat{\mathbf{i}}+(5t^2−2)\,\hat{\mathbf{j}}$$.

25) Encuentra el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$ para$$\vecs r(t)=⟨2 \sin t,\, 5t,\, 2 \cos t⟩$$.

Responder
$$\vecs T(t)=⟨\frac{2\sqrt{29}}{29}\cos t,\, \frac{5\sqrt{29}}{29},\,−\frac{2\sqrt{29}}{29}\sin t⟩$$

26) Encuentra el vector normal de la unidad$$\vecs N(t)$$ para$$\vecs r(t)=⟨2\sin t,\,5t,\,2\cos t⟩$$.

Responder
$$\vecs N(t)=⟨−\sin t,\, 0,\, −\cos t⟩$$

## Parameterizaciones de Longitud de Arco

27) Encuentra la función de longitud de arco$$\vecs s(t)$$ para el segmento de línea dado por$$\vecs r(t)=⟨3−3t,\, 4t⟩$$. Después escribe la parametrización de longitud de arco de$$r$$ with$$s$$ como parámetro.

Responder
Función de longitud de arco:$$s(t)=5t$$; La parametrización de longitud de arco de$$\vecs r(t)$$:$$\vecs r(s)=\left(3−\dfrac{3s}{5}\right)\,\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{4s}{5}\,\hat{\mathbf{j}}$$

28) Parametrizar la hélice$$\vecs r(t)= \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+ \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$ usando el parámetro de longitud de arco$$s$$, de$$t=0$$.

29) Parametrizar la curva usando el parámetro de longitud de arco$$s$$, en el punto en el que$$t=0$$ para$$\vecs r(t)=e^t \sin t \,\hat{\mathbf{i}} + e^t \cos t \,\hat{\mathbf{j}}$$

Responder
$$\vecs r(s)=\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right) \sin \left( \ln \left(1+ \dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\,\hat{\mathbf{i}} +\left(1+ \dfrac{s}{\sqrt{2}}\right) \cos \left( \ln \left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)\,\hat{\mathbf{j}}$$

## Curvatura y Círculo Osculante

30) Encuentra la curvatura de la curva$$\vecs r(t)=5 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$ en$$t=π/3$$. (Nota: La gráfica es una elipse.)

31) Encuentra la$$x$$ coordenada en la que la curvatura de la curva$$y=1/x$$ es un valor máximo.

Responder
El valor máximo de la curvatura se produce en$$x=1$$.

32) Encuentra la curvatura de la curva$$\vecs r(t)=5 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+5 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$. ¿La curvatura depende del parámetro$$t$$?

33) Encuentra la curvatura$$κ$$ de la curva$$y=x−\frac{1}{4}x^2$$ en el punto$$x=2$$.

Responder
$$\frac{1}{2}$$

34) Encuentra la curvatura$$κ$$ para la curva$$y=\frac{1}{3}x^3$$ en el punto$$x=1$$.

35) Encuentra la curvatura$$κ$$ de la curva$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+6t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+4t \,\hat{\mathbf{k}}$$. El gráfico se muestra aquí:

Responder
$$κ≈\dfrac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}}$$

36) Encuentra la curvatura de$$\vecs r(t)=⟨2 \sin t,5t,2 \cos t⟩$$.

37) Encuentra la curvatura de$$\vecs r(t)=\sqrt{2}t \,\hat{\mathbf{i}}+e^t \,\hat{\mathbf{j}}+e^{−t} \,\hat{\mathbf{k}}$$ en el punto$$P(0,1,1)$$.

Responder
$$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

38) ¿En qué punto tiene la curva$$y=e^x$$ la curvatura máxima?

39) ¿Qué pasa con la curvatura en$$x→∞$$ cuanto a la curva$$y=e^x$$?

Responder
La curvatura se aproxima a cero.

40) Encuentra el punto de curvatura máxima en la curva$$y=\ln x$$.

41) Encontrar las ecuaciones del plano normal y el plano osculante de la curva$$\vecs r(t)=⟨2 \sin (3t),t,2 \cos (3t)⟩$$ en punto$$(0,π,−2)$$.

Responder
$$y=6x+π$$y$$x+6y=6π$$

42) Encuentra ecuaciones de los círculos osculantes de la elipse$$4y^2+9x^2=36$$ en los puntos$$(2,0)$$ y$$(0,3)$$.

43) Encuentra la ecuación para el plano osculante en el punto$$t=π/4$$ de la curva$$\vecs r(t)=\cos (2t) \,\hat{\mathbf{i}}+ \sin (2t) \,\hat{\mathbf{j}}+t\,\hat{\mathbf{k}}$$.

Responder
$$x+2z=\frac{π}{2}$$

44) Encontrar el radio de curvatura de$$6y=x^3$$ en el punto$$(2,\frac{4}{3}).$$

45) Encuentra la curvatura en cada punto de$$(x,y)$$ la hipérbola$$\vecs r(t)=⟨a \cosh( t),b \sinh (t)⟩$$.

Responder
$$\dfrac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}}$$

46) Calcular la curvatura de la hélice circular$$\vecs r(t)=r \sin (t) \,\hat{\mathbf{i}}+r \cos (t) \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$.

47) Encontrar el radio de curvatura de$$y= \ln (x+1)$$ en el punto$$(2,\ln 3)$$.

Responder
$$\frac{10\sqrt{10}}{3}$$

48) Encontrar el radio de curvatura de la hipérbola$$xy=1$$ en el punto$$(1,1)$$.

Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana$$C$$ descrita por$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}$$. Utilice esta parametrización para responder a las preguntas 49 - 51.

49) Encuentra la longitud de la curva a lo largo del intervalo$$[0,2]$$.

Responder
$$\frac{1}{4}\big[ 4\sqrt{17} + \ln\left(4+\sqrt{17}\right)\big]\text{ units }\approx 4.64678 \text{ units}$$

50) Encuentra la curvatura de la curva plana en$$t=0,1,2$$.

51) Describir la curvatura a medida que t aumenta de$$t=0$$ a$$t=2$$.

Responder
La curvatura disminuye a lo largo de este intervalo.

La superficie de una copa grande se forma girando la gráfica de la función$$y=0.25x^{1.6}$$ de$$x=0$$ a$$x=5$$ alrededor del$$y$$ eje -eje (medido en centímetros).

52) [T] Utilice la tecnología para graficar la superficie.

53) Encontrar la curvatura$$κ$$ de la curva generadora en función de$$x$$.

Contestar
$$κ=\dfrac{30}{x^{2/5}\left(25+4x^{6/5}\right)^{3/2}}$$

Ten en cuenta que inicialmente tu respuesta puede ser:
$$\dfrac{6}{25x^{2/5}\left(1+\frac{4}{25}x^{6/5}\right)^{3/2}}$$

Podemos simplificarlo de la siguiente manera:
\ (\ begin {align*}\ dfrac {6} {25x^ {2/5}\ left (1+\ frac {4} {25} x^ {6/5}\ right) ^ {3/2}} &=\ dfrac {6} {25x^ {2/ 5}\ grande [\ frac {1} {25}\ izquierda (25+4x^ {6/5}\ derecha)\ grande] ^ {3/2}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {6} {25x^ {2/5}\ izquierda (\ frac {1} {25}\ derecha) ^ {3/2}\ grande [25+4x^ {6/5}\ grande ^ {3/2}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {6} {\ frac {25} {125} x^ {2/5}\ grande [25+4x^ {6/5}\ grande] ^ {3/2}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {30} {x^ {2/ 5}\ izquierda (25+4x^ {6/5}\ derecha) ^ {3/2}}\ final {alinear*}\)

54) [T] Utilice la tecnología para graficar la función de curvatura.